专题01二次根式（期末复习知识清单）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学二次根式专题知识清单全面梳理了二次根式的核心内容，涵盖定义、性质、乘除、最简二次根式、加减等6大知识范畴，搭建了从基础概念到性质理解再到运算应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+10类题型+变式训练”的三维架构，突出“双重非负性”等重难点标注，如“平方法比较大小”的方法总结培养推理意识。设计“易错点梳理”和几何面积计算等应用题型，助力学生自主高效复习，也为教师精准教学提供有力辅助。

专题01二次根式（6知识&10题型&6易错） 【清单01】二次根式 形如 的式子称为二次根式。符号“ ”称为二次根号， 称为被开方数。 有意义的条件：被开方数a必须大于或等于0。这是进行所有运算和化简的前提。 【清单02】二次根式的重要性质： 1、双重非负性： ，且 a ≥ 0。 。这是将一个非负数开平方后再平方，结果保持不变。 。这是二次根式化简的基石，关键在于根据a的正负去掉绝对值符号。 【清单03】积的算术平方根 (a≥0， b≥0)。 语言描述：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 【清单04】二次根式的乘除 乘法法则： 。 除法法则： 。 【清单05】最简二次根式 1 被开方数中不含 ；②被开方数中没有能开得尽方的 。 【清单06】二次根式的加减 加减运算的前提是化为 并合并同类二次根式。 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这些二次根式就称为 二次根式。 加减法则：二次根式相加减，先将各根式化为 ，再合并 （只将系数相加减，根号部分不变）。 【题型一】二次根式的求值 【例1】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-2】当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【题型二】二次根式的乘法 【例1】计算的结果是（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】计算：． 【题型三】二次根式的除法运算 【例1】化简（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 ． 【题型四】二次根式的乘除法混合运算 【例1】计算： ． 【变式1-1】计算：． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【题型五】二次根式的比较大小 【例1】比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【变式1-1】在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【变式1-1】【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【题型六】二次根式的加减法 【例1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】计算：． 【题型七】二次根式的分母有理化 【例1】已知，，则代数式 ． 【变式1-1】有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)填空：______；______； (2)化简，已知． ①求的值； ②求的值． 【变式1-2】先化简，再求值：已知，求的值． 【题型八】二次根式的混合运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【变式1-1】计算： 【变式1-2】计算 (1) (2) 【题型九】二次根式的化简求值问题 【例1】如果，，那么 ． 【变式1-1】已知：，则的值为 ． 【变式1-2】已知，，则的值为 ． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中． 【题型十】二次根式的应用 【例1】根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【变式1-1】某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【变式1-2】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 【变式1-3】已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 【变式1-4】如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【题型一】二次根式的判定 【例1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【题型二】使二次根式有意义的条件 【例1】若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式1-1】函数 的自变量x的取值范围是 ． 【变式1-2】已知a，b为有理数，且，求的值． 【题型三】二次根式的化简 【例1】化简： ． 【变式1-1】已知，化简： ． 【变式1-2】已知，化简： ． 已知最简二次根式求参数 【例1】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式1-1】已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【变式1-2】若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【题型五】最简二次根式的判定 【例1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列二次根式中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【题型六】积的算术平方根 【例1】如果成立，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】化简： (1)；    (2). 试卷第26页，共28页 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式（6知识&10题型&6易错） 【清单01】二次根式 形如的式子称为二次根式。符号“ ”称为二次根号，a称为被开方数。 有意义的条件：被开方数a必须大于或等于0。这是进行所有运算和化简的前提。 【清单02】二次根式的重要性质： 1、双重非负性：≥ 0，且 a ≥ 0。 。这是将一个非负数开平方后再平方，结果保持不变。 。这是二次根式化简的基石，关键在于根据a的正负去掉绝对值符号。 【清单03】积的算术平方根 (a≥0， b≥0)。 语言描述：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 【清单04】二次根式的乘除 乘法法则： (a≥0, b≥0)。 除法法则： (a≥0, b≥0) 。 【清单05】最简二次根式 1 被开方数中不含分母；②被开方数中没有能开得尽方的因数或因式。 【清单06】二次根式的加减 加减运算的前提是化为最简二次根式并合并同类二次根式。 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式。 加减法则：二次根式相加减，先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（只将系数相加减，根号部分不变）。 【题型一】二次根式的求值 【例1】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 【变式1-1】二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 【变式1-2】当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【题型二】二次根式的乘法 【例1】计算的结果是（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键；根据二次根式的乘法计算即可得解． 【详解】解：， 故选：． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【题型三】二次根式的除法运算 【例1】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质．将转化为分数形式，利用二次根式的性质和除法运算化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式1-1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、和在实数范围内无定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 【变式1-2】 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型四】二次根式的乘除法混合运算 【例1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键． 直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：根据二次根式非负性得出， ． 【题型五】二次根式的比较大小 【例1】比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 【变式1-1】在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 【变式1-1】【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【题型六】二次根式的加减法 【例1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B．，故该选项不正确，不符合题意；     C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式1-2】计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加减解答即可． 本题考查了二次根式的性质，加减运算，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解： ． 【题型七】二次根式的分母有理化 【例1】已知，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化， 先对x和y进行分母有理化，得到 ，然后分别计算和的值，最后求和即可． 【详解】解：； ， ， ， ， ． 故答案为：15． 【变式1-1】有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)填空：______；______； (2)化简，已知． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据分母有理化计算即可求解； （2）①先求得，得出，再整体代入代数式，即可求解； ②根据，将整体代入代数式，即可求解； 【详解】（1）， ， 故答案为：， （2）解：①∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ②∵， ∴ 【变式1-2】先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查的是分母有理化，能够利用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键． 先对原式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【题型八】二次根式的混合运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算： （1）根据二次根式的性质进行计算即可． （2）根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1-1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法与运算法则（除法可转化为根式的商、合并同类二次根式）是解题的关键．先将二次根式化为最简形式，再根据二次根式的运算法则逐步计算． 【详解】解：原式 ． 【变式1-2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，分母有理化，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型九】二次根式的化简求值问题 【例1】如果，，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，通过已知条件求出，利用完全平方公式将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，利用完全平方公式正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1-1】已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 【变式1-2】已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值及二次根式的混合运算，分母有理化，解题的关键是熟练掌握实数和分式的混合运算顺序和运算法则． 先把括号里面的进行通分，再算除法化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【题型十】二次根式的应用 【例1】根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 【变式1-1】某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为． 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去个花坛面积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 【变式1-2】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 【答案】(1)该座钟摆针的摆动周期为 (2)在内，该座钟发出70次滴答声 【分析】本题主要考查了代数式求值、有理数除法运算的应用、二次根式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接将，，代入，再根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先根据题意列式，然后运用有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：将，，代入，得 答：该座钟摆针的摆动周期为． （2）解：，（次）． 答：在内，该座钟发出70次滴答声． 【变式1-3】已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理逆定理，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）通过计算三边的平方关系，判断三角形形状； （2）利用海伦公式计算三角形面积． 【详解】（1）解：实践基地是直角三角形； 理由：∵三边长分别为， ，， ， ∴该三角形是直角三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴的面积是． 【变式1-4】如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 【题型一】二次根式的判定 【例1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 【变式1-1】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【变式1-2】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 【题型二】使二次根式有意义的条件 【例1】若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为：． 【变式1-1】函数 的自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式分母不为零和二次根式被开方数非负的条件求解. 【详解】解：∵， 解得：， ∵， 解得：， 故自变量的取值范围是且. 【变式1-2】已知a，b为有理数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数、几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0是解题的关键． 先确定二次根式中被开方数的取值范围，再整理原式，利用非负数的和为0时，每个非负数都为 0的性质求出的值，最后代入计算式子的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵由题意得且， ∴且， ∵， ∴且， 故且 解得，， ∴． 【题型三】二次根式的化简 【例1】化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简， 根据算术平方根的性质，，再判断 的符号，化简即可． 【详解】解：因为 ， 所以 ， 因此 ． 故答案为：． 【变式1-1】已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一化简再运算即可． 【详解】因为，所以，，， 因此，原式． 故答案为：． 【变式1-2】已知，化简： ． 【答案】6 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简，求解即可，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 已知最简二次根式求参数 【例1】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1-1】已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 【变式1-2】若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 【题型五】最简二次根式的判定 【例1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：∵ A. 被开方数含有分母，不是最简二次根式； B. 被开方数含有分母，不是最简二次根式； C. ，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式； D. 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 故选：D． 【变式1-1】下列二次根式中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含平方因子，由此求解即可． 【详解】解：最简二次根式定义要求被开方数不含分母且不含平方因子； 选项A：，11为质数，无平方因子； 选项B：，，无平方因子； 选项C：，被开方数含分母； 选项D：，2为质数，无平方因子； 不是最简二次根式的是C． 故选：C． 【变式1-2】下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 【题型六】积的算术平方根 【例1】如果成立，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的意义，被开方数大于等于0，列不等式组求解． 【详解】∵， ∴， 解得：﹣3≤x≤3． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【变式1-1】下列式子正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】A．原式，故本选项错误． B．原式=，故本选项错误． C．原式不能化简，故本选项错误． D．原式=，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．1．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，0；当a＜0时，二次根式无意义．2．性质：|a|． 【变式1-2】化简： (1)；    (2). 【答案】(1) ;  (2) . 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）原式=； （2）原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 试卷第26页，共28页 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $