专题04一元一次方程的应用大题专练（2大知识点+13大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材苏科版

专题04一元一次方程的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 一、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 二、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 1.配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. 2.工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 3.销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 4.方案设计问题 （1）借助方程先求出相等的情况。 （2）再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 5.比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 6.数字问题 （1）多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 （2）连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 7.行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 8.分段计费问题 分段计费问题解题思路： （1）明确分段区间 （2）明确不同区间的计费标准 （3）分区间讨论计算 9.和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 10.日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 【考点1】一元一次方程的应用之配套问题 【例1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生26人，女生23人 (2)6名 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设七（5）班班有女生x人，则有男生人，结合七（5）班共有学生49人，再建立方程求解即可； （2）设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据1个盒身匹配2个盒底，建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设七（5）班班有女生x人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ∴（人）． 答：七（5）班有男生26人，女生23人； （2）解：设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． 答：需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有45名工人，平均每人每天可以加工桌面5个或桌腿12条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【答案】应安排人生产桌面，安排人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能够理解题意列出方程是解题关键．设安排x人生产桌面，则安排人生产桌腿，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设安排x人生产桌面，则安排人生产桌腿， 根据题意得：， 解得：， 则 答：应安排人生产桌面，安排人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）自上海迪士尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配2只手套．如果某车间有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个米老鼠玩具．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【答案】应分配9名工人生产手套，6名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和米老鼠玩具的等量关系是解决本题的关键．设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应分配9名工人生产手套，6名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：每张硬纸板剪6个侧面；B方法：每张硬纸板剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． (1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问多少张硬纸板用A方法裁剪？能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个数为个，底面的个数为个； (2)裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由x张用A方法，就有张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； （2）根据侧面个数和底面个数比为，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵裁剪时x张用A方法， ∴裁剪时张用B方法， ∴用B方法裁剪侧面的个数为：（个）， 用B方法裁剪底面的个数为：（个）， ∴裁剪出的侧面的个数为：个， 底面的个数为：个， （2）解：由题意得：， 解得：， ∴盒子的个数为：（个）． 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子． 【考点2】一元一次方程的应用之工程问题 【例2】（24-25七年级上·江苏南通·期末）一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要5天能够完成任务 (2)甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． （1）设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量，由此即可求解． 【详解】（1）解：设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务． 根据题意，列得方程． 解得． 答：乙队还需要5天能够完成任务． （2）解：甲队的工作量为，乙队的工作量为，（万元）， 答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元． 【变式训练】 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 5．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一项工程需要挖土方，甲挖掘机单独做9小时完成，乙挖掘机单独做12小时完成．若乙挖掘机先单独做若干小时后，由甲挖掘机接着单独做余下的工程，完成全部的工程共共用了10小时．则乙挖掘机先单独做了多少小时？ 【答案】4小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设乙挖掘机先单独做了x小时，则甲单独做了小时，根据整个工程为单位1，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设乙挖掘机先单独做了x小时，则甲单独做了小时，根据题意得： ， 解得：， 答：乙挖掘机先单独做了4小时． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·月考）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 【答案】(1)这批校服共有960件 (2)乙工厂共加工28天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设这批校服共有件，由单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天得：，即可解得答案； （2）设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意可得方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设这批校服共有件， 由题意得：， 解得：， 答：这批校服共有960件； （2）解：设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意得： ， 解得， （天， 答：乙工厂共加工28天． 【考点3】一元一次方程的应用之销售盈亏问题 【例3】（22-23七年级上·江苏南通·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【答案】(1)篮球的进价为元，足球的进价为元 (2)购进篮球个，购进足球个 (3)元 【分析】（）设足球的价格为元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意求出单个篮球和足球的利润，进而列出方程解答即可求解； （）分别求出活动后单个篮球和足球的利润，进而根据题意列出算式计算即可； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元，足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元，单个足球的利润为元， ∴， 解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； （3）解：由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 【变式训练】 7．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某地今年种植的茶树受气候影响，第一季茶叶大幅减产，造成价格上涨，每千克的价格比去年同期多元茶农夏某今年第一季的茶叶产量为，比去年同期减少，但销售收入却比去年同期增加了夏某今年第一季茶叶的销售收入为多少元？ 【答案】夏某今年第一季茶叶的销售收入为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设夏某去年第一季茶叶的销售收入为元，则今年第一季茶叶的销售收入为元，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：设夏某去年第一季茶叶的销售收入为元，则今年第一季茶叶的销售收入为元， 由题意得：， 解得：， 元， 夏某今年第一季茶叶的销售收入为元． 8．（25-26七年级上·重庆·期中）列方程解应用题 某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． (2)若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价元，乙种产品打m折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利13600元，求m的值． 【答案】(1)商场购进甲产品120件，购进乙产品80件 (2)8 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设商场购进甲产品件，购进乙产品件，可得； （2）根据“总利润=总售价-总成本”的思路，列出方程即可求解 【详解】（1）解：设商场购进甲产品件，购进乙产品件， 根据题意，得 解得 （件） 答：商场购进甲产品件，则购进乙产品件． （2）根据题意，得 解得 9．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海成功举行．期间，各类珠海航展文创纪念品深受广大军迷热情追捧，尤其是以歼-20和歼-35为主题的飞机模型，成为畅销品．某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，已知每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元．将B品牌飞机模型按进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌飞机模型仍可获利35元． (1)设每个A品牌飞机模型进价x元，则每个B品牌飞机模型进价________________元，根据题意可列方程________________． (2)由（1）求得每个A品牌飞机模型进价________元，每个B品牌飞机模型进价________元． (3)利用一元一次方程求出B品牌飞机模型的打折数． 【答案】(1)， (2)60，100 (3)打折数为9折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利润问题的基本公式及方程的解法． （1）根据题意设每个A品牌飞机模型的进价为x元，因为B品牌飞机模型比A品牌每个贵40元，所以每个B品牌飞机模型的进价即为元，然后根据购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元列出方程：； （2）根据（1）列出的方程解此方程即可； （3）设B品牌飞机模型打a折，根据进价提高后标价，再打a折出售，仍获利35元可先算出标价，然后打a折即为标价乘以，再根据售价−进价=利润，列出方程解这个方程即可求出a的值，从而得出打折数． 【详解】（1）解：∵每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元， ∴每个B品牌飞机模型进价为元， 则根据题意列出方程为：， 故答案为：，． （2）解：由（1）可知：，解得， ∴， 故答案为：60，100． （3）解：设B品牌飞机模型打a折， 由题意可得：， 解得， 即B品牌飞机模型打9折． 【考点4】一元一次方程的应用之方案设计问题 【例4】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 【答案】(1)元；元 (2)选择方案一费用最低； (3)120 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值等知识． （1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； （3）根据题意得到，解方程即可． 【详解】（1）解：方案一：购买本读物的费用元； 方案二：购买本读物的费用元； （2）解：当时， 方案一：购买本读物的费用（元）； 方案二：购买本读物的费用（元）； ， 选择方案一费用最低； （3）解：由题意得， 解得， 故答案为：120． 【变式训练】 10．（25-26七年级上·江苏·期中）盐城市某中学组织学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)求参观的学生人数和原计划租用45座客车的辆数； (2)若租两种客车，怎样租用最省钱？最低租金是多少元？ 【答案】(1)学生240人，原计划租5辆 (2)最省为租4辆45座和1辆60座，最低租金1180元 【分析】本题考查了一元一次方程与不等式的应用，涉及到了方案选择，解题关键是理解题意，列出一元一次方程与不等式求解． （1）根据总人数不变列出方程即可求解； （2）分别计算不同方案的总价，比较后即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租 45 座客车 x 辆， ． 学生人数（人） 答：学生有 240 人，原计划租 45 座车 5 辆． （2）设租45座a辆，60座b辆， ，且（因两种车都要租用）， ∴， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， ∵1180元费用最低， ∴最省钱为租4辆45座和1辆60座，租金1180元． 11．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【答案】(1)12个 (2)小敏方案不行，理由见解析；小强的方案可行，最多可做23个包装盒 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确寻找等量关系是解本题的关键． （1）设张白板纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果： （2）对于小敏，设张做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的 值；对于小强，设余下的白板纸张 做盒身，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，检验即可； 【详解】（1）解：设x张白板纸做盒身，则有张做盒盖， 根据题意，得， 解得， 所以． 答：最多可做12个包装盒． （2）解：小敏方案不行，设x张做盒身， 根据题意，得， 解得，不符合题意； 小强的方案可行，设余下的白板纸y张做盒身， 根据题意，得， 解得， 所以， 所以最多可做23个包装盒． 12．（25-26七年级上·江苏南通·月考）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费元，则该单位购买门票价格为元每张（总费用广告赞助费门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过张，每张元，若所购门票超过张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含的代数式来表示总费用为 方案二中，当购买的门票数不超过张时，用含的代数式来表示总费用为 当所购门票数超过张时，用含的代数式来表示总费用为 ； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计张（甲乙两单位购买数量均大于100张），花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【答案】(1)，， (2)甲单位购买了门票500张，乙单位购买了门票200张 【分析】（1）根据题意可直接写出表达式， （2）设乙单位购买门票张，然后分别根据甲乙不同方案构造等量关系，列方程求解． 本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出总费用的等量关系式是解题关键． 【详解】（1）由题意可知：， 由题意可知：不超过100张时：， 超过100张时：． 故答案为：，，． （2）设乙单位购买了门票张，则甲单位购买了门票张， 故甲单位购买了门票500张，乙单位购买了门票200张． 【考点5】一元一次方程的应用之比赛积分问题 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）某校积极推进“阳光体育活动”，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其他班级分别进行一场比赛，每班共要进行10场比赛），比赛规则规定每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得分，赛后有A，B，C，D四个班级得分情况如下表： 参加班级 A B C D 得分情况 14 18 10 6 (1)根据以上信息，求A，B，C，D四个班级的平均分； (2)若A班在所有的比赛中总得分为14分，则该班胜了几场？ (3)假设比赛结束后，E班得分比F，G两班得分之和的2倍还多2分，且E班获胜场数超过F，G两班获胜场数之和，请求出E班胜了几场？ 【答案】(1)A，B，C，D四个班级的平均分是12分 (2)该班胜了6场 (3)E班胜了9场 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数的定义求解即可； （2）设该班胜a场，则该班负场，根据一共得14分建立方程求解即可； （3）设E班获胜x场，F，G两班获胜y场，根据E班得分比F，G两班得分之和的2倍还多2分列出等式得到，再根据E班获胜场数超过F，G两班获胜场数之和列式求解即可． 【详解】（1）解：分， 答：A，B，C，D四个班级的平均分为12分； （2）解：设该班胜a场，则该班负场， 依题意有， 解得． 答：该班胜了6场． （3）解：设E班获胜x场，F，G两班获胜y场， 依题意有 ， 解得， ∵， ∴， 解得：， ∵，x，y为整数， ∴，且x为奇数， ∴． 答：E班胜了9场． 【变式训练】 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【答案】(1)6，； (2)小明答对了15道题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对道题得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答对道题得分；利用答错道题得分参赛者的得分答对道题得分参赛者答对题目数，即可求出答错道题得分； （2）设小明答对了道题，则答错道题，利用小明的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：参赛者答对道题得分 答错道题得分 故答案为：6，； （2）设小明答对了道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得： 答：小明答对了道题． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况，理由见解析 (3)存在，胜场次数是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答，联系实际情况． （1）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以求得胜一场和负一场各积多少分； （2）先判断，然后说明理由，可以用假设存在，求出相应的胜场次数，注意胜场次数必须是整数； （3）首先判断，然后根据题意求出相应的胜场次数，本题得以解决． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， ，得， 答：胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 理由：假设当前8场胜场时，胜场总积分等于它的负场总积分， ， 解得，， 是整数， 不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况； （3）解：存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 设在比赛结束后，胜了场， ， 解得，， 当是正整数且是3的倍数时，胜场总积分等于它的负场总积分，胜场次数是． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题？ 【答案】(1) (2)94 (3)他已作答了6道题 【分析】（1）从参赛者的得分可以求出答对一题和答错一题的得分和为分，由此可以用含的式子表示答错一题的得分； （2）从参赛者的得分入手，根据答对的得分+加上答错的得分=分建立方程求出其解，然后再求即可； （3）设参赛者已作答了道题，根据参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分列方程计算即可． 【详解】（1）解：由参赛者的得分情况可知：答对一题和答错一题的得分和为：（分）， 设答对1道题得分，则答错1道题的得分为分 ． （2）解：由参赛者的得分情况，得， 解得，则， 所以答对1道题得5分，答错1道题扣1分， 所以． （3）解：设参赛者已作答了道题． 根据题意，得，解得． 故他已作答了6道题． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【考点6】一元一次方程的应用之数字问题 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）观察下面三行数： 第行                                    第行                                    第行                                    (1)第行中的第个数可表示为 ． (2)第行、第行中的数与第行中的数分别有什么关系？ (3)取每行中的第个数，从上到下依次把这三个数记为，，． 当时，求的值． 请直接写出________． 是否存在这样的一列数，使得其中三个数的和为？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)第一行，第n个数是第二行，第n个数的2倍，第三行，第n个数比第一行，第n个数大2 (3)①；②；③不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，数字类的规律探索，一元一次方程的应用，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可得从左往右，每一个数都是前一个数的倍，据此可得答案； （2）观察可知，第一行第n个数是第二行第n个数的2倍，第三行第n个数比第一行第n个数大2； （3）①根据（1）（2）的结果分别求出A、B、C的值，再求和即可得到答案；②根据（2）可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可；③根据题意可得方程，解方程求出B的值，进而求出A的值，看是否符合（1）的规律即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，从左往右，每一个数都是前一个数的倍， ∴第行中的第个数可表示为； （2）解：观察可知，第一行第n个数是第二行第n个数的2倍，第三行第n个数比第一行第n个数大2； （3）解：①当时，， ∴； ②由题意得， ， ∴ ； ③由题意得，， 当时，则，解得， ∴， ∴存在正整数n使得， ∴n一定为偶数， 而，解得，为奇数，这与n为偶数矛盾， ∴一定不存在正整数n使得， ∴不存在这样的一列数，使得其中三个数的和为1282． 【变式训练】 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘方运算，以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． （1）根据题意得到第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即可解题； （2）观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍，则设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为，根据题意有，再解方程求出，再由第一行的第n个数是即可求解． 【详解】（1）解：第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即，，，…， 所以第一行的第n个数是． 所以第一行的第7个数为， 故答案为：； （2）解：能，理由如下： 观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， 设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为， 根据题意有， 解得， ， ， n的值为5． 17．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 18．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）定义：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“差数”．将一个“差数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把原两位数与新两位数的差与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，原两位数与新两位数的差为，差-9与9的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列数中：20、58、88中，“差数”为__________；②计算，__________； (2)如果一个“差数”的十位数字为，个位数字是y，则__________（用含有x，y的代数式来表示）． (3)如果一个“差数”的十位数字为，个位数字是，且，请求出“差数”； 【答案】(1)58，4 (2) (3)25 【分析】本题考查了一元一次方程的其他应用，列代数式，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据差数”的定义，进行分析判断，得58是“差数”；20、88都不是“差数”，再根据的意义进行列式计算，即可作答． （2）先得，对换后的新的两位数，即为，再根据的意义进行列式计算，即可作答． （3）“差数”的值，对换得出新的两位数为，再根据的意义进行列式，最后由，建立方程，即可作答． 【详解】（1）解：根据“差数”的定义，58是“差数”；20、88都不是“差数”， 把的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，即为， ∴， 即， （2）解：∵一个“差数”的十位数字为，个位数字是y， ∴这个“差数”， 这个“差数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，即为， ； （3）解：∵一个“差数”的十位数字为，个位数字是， ∴“差数”的值为， 这个“差数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，即为， 则 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ “差数”的值为． 【考点7】一元一次方程的应用之行程问题 【例7】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两人相遇时，x为1 (3)当甲、乙两人相距时，x的值为或 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，行程问题、相遇问题和分段行程的分析．分阶段分析路程关系：相遇时用“路程和总距离”列方程；相遇后根据“路程差间距”列方程是解题关键． （1）根据公式“路程速度时间”列式即可； （2）根据公式“两人路程和总距离”和（1）的计算结果列方程即可； （3）首先计算甲、乙与相遇点的距离，再分乙未追上甲和乙超过甲两种情况分类讨论． 【详解】（1）解：根据题意， 甲骑行的时间为，乙骑行的时间为， 甲的平均速度是，乙的平均速度是， 甲骑行的路程为，乙骑行的路程为， 答：，． （2）设：根据题意， 当两人相遇时，甲、乙路程之和为， ， 解得， 当两人相遇时，骑行时间为1h． 答：当甲、乙两人相遇时，为1． （3）解：两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口， ∴甲与相遇点的距离为， 乙与相遇点的距离为， ①当乙未追上甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得； ②当乙超过甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得． 综上所述，x的值为或． 答：当甲、乙两人相距时，x的值为或． 【变式训练】 19．（25-26七年级上·江苏南通·期中）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，分别到达时停止，出发分钟时两人相遇，此时李明比刘伟多行进千米，相遇后6分钟李明到达地． (1)两地间的距离是多少千米？ (2)刘伟有几次与李明相距千米？相距千米时的行进时间是多少分钟？ 【答案】(1)两地间的距离是千米 (2)刘伟有次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间是分钟或分钟 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用； （1）根据题意得出李明与刘伟的速度差为(千米/时)，设刘伟每小时行，则李明每小时行，根据题意列出一元一次方程，解方程得出刘伟每小时行(千米)，李明每小时行进(千米)，根据李明总用时为分钟，即可求解； （2）设行进时间为 （分钟）分三种情况讨论，①相遇前；②相遇后，李明到达地前和李明到达地后，根据刘伟与李明相距千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵出发后两人相遇且李明比刘伟多行进， ∴李明与刘伟的速度差为(千米/时)， 设刘伟每小时行，则李明每小时行， 根据题意列一元一次方程得： 解得， ∴刘伟每小时行(千米)，李明每小时行进(千米)， 答：两地间的距离是千米 （2）解：设行进时间为 （分钟） 相遇前，， 依题意， 解得： 相遇后，当时，李明到达地． ∴当时， 解得：（舍去） 刘伟每小时行(千米)，两地间的距离是千米，则刘伟到达地需要分钟 当，此时李明到达地 依题意， 解得： 综上所述，刘伟有次与李明相距6千米，相距6千米时的行进时间是分钟或分钟 20．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）如图，是两张不同类型火车的车票（“次”表示动车，“次”表示高铁）： 已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离与两车何时到达终点B 地？ 【答案】A，B两地之间的距离为，两车在2025年1月1日到达终点B 地 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 由题意得，该动车比高铁早出发1小时，设A，B两地之间的距离为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：由题意得，该动车比高铁早出发1小时， 设A，B两地之间的距离为， 根据题意，得， 解得， 则， ∵动车的出发时间为2025年1月1日， ∴两车在2025年1月1日到达终点B 地 答：A，B两地之间的距离为，两车在2025年1月1日到达终点B 地． 21．（25-26七年级上·江苏南京·月考）小明骑车从A地出发，经过一段平路到达B地，再经过一段上坡路到达C地，然后立即原路返回地，返回途中在地休息了．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，小明出发后回到地，其中到达地前，平路用了，上坡路用了． (1)小明在平路上的速度为多少？（列一元一次方程解决问题） (2)若小明出发的同时，小红从地出发，沿相同路线，以的速度匀速步行至A地，经过几小时小红和小明在途中相遇？请直接写出结果． 【答案】(1)； (2)经过小时小红和小明在途中相遇． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设小明在平路上的速度为，则小明骑车上坡的速度为，小明骑车下坡的速度为，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设经过小时小红和小明在途中相遇，判断得到小红和小明在段相遇，根据题意可得方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：设小明在平路上的速度为，则小明骑车上坡的速度为，小明骑车下坡的速度为，根据题意可得， ， 解得， 答：小明在平路上的速度为； （2）两地之间的距离为， 两地之间的距离为， 设经过小时小红和小明在途中相遇， ∵，，， ∴小红和小明在段相遇， 根据题意可得，， 解得， 答：经过小时小红和小明在途中相遇． 【考点8】一元一次方程的应用之分段计费问题 【例8】（22-23七年级上·福建漳州·期中）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过220度的电量 0.50 二档 超过220度至420度的部分 0.55 三档 超过420度的部分 0.80 (1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应缴多少电费？ (2)如果某户居民某月用电a度（），请用含a的整式表示该户居民该月应缴电费． (3)小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度？ 【答案】(1)260元 (2)元 (3)320度 【分析】（1）根据阶梯电价收费标准进行计算即可； （2）根据阶梯电价收费标准进行计算，即可获得答案； （3）首先确定该月用电量在二档，设小明家九月份用电x度，结合题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：（元）， ∴小明家七月份应缴260元电费； （2）根据题意可得，， ∴该户居民该月应缴电费元； （3）当用电220度时，应缴电费（元）； 当用电420度时，应缴电费（元）． ∵， ∴该月用电量在二档， 设小明家九月份用电x度， 则有，解得． 答：该月用电320度． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算、列代数式、一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． 【变式训练】 22．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 【答案】(1)47 (2)， (3)12 【分析】本题考查了根据题意列代数式，一元一次方程的应用等知识． （1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列式，并化简即可求解； （3）根据题意列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：若每月用水量16立方米，需交水费（元）． 故答案为：47； （2）解：当不超过10立方米，需交水费元；当超过10立方米，需交水费元． 故答案为：，； （3）解：∵， ∴由题意得， 解得． 答：小颖家11月份共用水12立方米． 23．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】(1)小辰家8月应缴的电费金额是元 (2)她家8月份用电350度 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； （2）解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 24．（25-26七年级上·江苏南通·月考）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1)元 (2) (3)270度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，当时，结合用电收费标准方式进行列式化简，即可作答． （3）先整理得，设11月份用电量为x度，且，依题意，得，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， ∴小林家4月份应付的电费为元； （2）解：当时，则电费为（元）； （3）解：依题意，， 设11月份用电量为x度，且； 由（2）得当时，则电费为元， 依题意，得， 解得． 【考点9】一元一次方程的应用之和差倍分问题 【例9】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）方程是一种重要的工具，利用它可以解决很多问题．试用一元一次方程解决以下两个问题： (1)某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问有多少个小朋友？”若设共有个小朋友，则列出的方程是______． (2)某校综合实践小分队成一列在野外拓展训练，在队伍中的队长数了一下他前后的人数，发现他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多．这列队伍一共有多少名学生？ 【答案】(1) (2)21 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意、找到所求的量的等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设共有x个小朋友，根据“若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个”以及苹果的个数不变列出方程即可； （2）设开始队长后面有x名学生，由“他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多”列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：设共有x个小朋友，根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设开始队长后面有x名学生， 由题意得， 解得：， 共有学生（名）， 答：这列队伍一共有21名学生． 【变式训练】 25．（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原来节目总人数为t人，则七年级人数为人；增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人，根据七年级人数占总人数列出方程求解． 【详解】解：设大合唱节目原来总人数为t人，则原来七年级人数为人， 增加6名七年级学生后，七年级人数为人，总人数为人， 由题意，， 解得， 所以原来总人数人，七年级人数为人． 答：原来七年级的表演人数为6人． 26．（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 27．（25-26八年级上·四川成都·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【答案】(1)该车间有男生31人，女生54人 (2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数女生人数”列出方程并解答； （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 【考点10】一元一次方程的应用之日历问题 【例10】（22-23七年级上·四川成都·期末）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)140 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示其它六个数． （1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，，相加即可得到答案； （2）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，得：，解得，最大的数是，而日历中没有32，故“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为． 【详解】（1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）解：“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是， 根据题意得：， 解得， 此时最大的数是， 而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）解：年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， 当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为， 故答案为：140． 【变式训练】 28．（24-25七年级上·河北邢台·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)70 (2)29 (3)不能，理由见解析 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，，然后得出一元一次方程求解即可； （3）设型框正中间的数字为．同（2）求解方程，结合日历表即可求解 【详解】（1）解：根据题意得． （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，； 所以这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 所以． 答：这七个数字中最大的数字是29． （3）不能． 理由：设型框正中间的数字为．由（2）可知，这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 因为，32不在月历表中， 所以型框框住的七个数字之和不能为168． 29．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据框最中间的数，表示出其余个数是解决问题的关键． （1）根据框最中间的数，表示出其余个数，再列出个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，，然后根据数的位置解答即可． 【详解】（1）解：解：∵框最中间的数为a，则其余4个数分别为，，，， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 当时，， 结合日历表，得出当正中间的数为17时，右上角、右下角的数不存在，所以这5个数的和不能等于85． 30．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则 ．若，则 ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足为正整数，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． 【答案】(1)14； (2)小明的说法不对，理由见解析 (3)66 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用，可求出的值，利用，即可用含的代数式表示出的值； （2）假设设小明的说法正确，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出，由，不符合题意，可得出假设不成立，即小明的说法不对； （3）观察图形，可得出符合题意的的各值，再将其相加，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：若，则， 若，则． 故答案为：14；． （2）解：小明的说法不对，理由如下： 假设小明的说法正确，根据题意得：， 即， 解得：， ， ，不符合题意， 假设不成立， 即小明的说法不对； （3）解：图中符合为整数即,则b是5的倍数，且不造边的位置，则仅有3个“”字形框， 其中的值分别为17，22，27， ． 故答案为：66． 【考点11】一元一次方程的应用之古代数学问题 【例11】（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【答案】井深8尺，绳长36尺 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是此题的关键． 设井深尺，由两次测量绳长不变列出方程求解即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意列方程得， 解得， ． 答：井深8尺，绳长36尺． 【变式训练】 31．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）明代时，1斤两，故有“半斤八两”，设．《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（即八两）．求分银子的共有多少个客人？ 【答案】共有6个客人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据银子总量不变，列出方程求解即可． 【详解】解：设共有n个客人， 每人分七两，则多四两，则银子总量为， 每人分九两，则还差半斤（即八两），则银子总量为， 所以， 解得：． 32．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 【答案】有24个牧童，50个杏． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设牧童有人，根据两种分法中杏的总数不变这一等量，列出一元一次方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设牧童有人，根据题意，得 ， 解得， 所以． 答：有24个牧童，50个杏． 33．（24-25七年级上·山东聊城·月考）《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)走路快的人在前面，两人相隔300步 (2)500步 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． （1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】（1）解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步， 由题意得： 解得：， ∴两人相隔（步）， 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步； （2）解：设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得： 解得：， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 【考点12】一元一次方程的应用之几何问题 【例12】（25-26七年级上·浙江温州·月考）三张大小相同的正方形纸片粘贴成如图所示的形状放在地上，相邻两张纸片的重叠部分为小正方形，且每个大正方形的面积比每个小正方形的面积的2倍还大4，若被这三张纸片遮盖的地面面积为60，求一个小正方形的面积． 【答案】12 【分析】设一个小正方形的面积为x，则一个大正方形的面积为，根据题意列方程求出x的值即可．本题考查了列一元一次方程解应用题，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设一个小正方形的面积为x，则一个大正方形的面积为，根据题意得 ， ， ， ， ∴一个小正方形的面积为12． 【变式训练】 34．（25-26七年级上·山西太原·月考）两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，左侧容器的高为，先在左侧容器中倒满水，然后将其倒入空置的右侧容器中，倒完以后（不存在倒水漏洒的情况），此时右侧容器中的水面离右侧容器底部有多高？（请你通过方程思想解决这个问题） 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱的体积，找到等量关系是解题的关键．根据水的体积不变，可得小圆柱体的体积等于大圆柱体的底面积乘以此时大圆柱中水的高度，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设此时右侧容器中的水面离右侧容器底部． 解得， 答：此时右侧容器中的水面离右侧容器底部． 35．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）小明在学习了“转化表达”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)现在小明想将图2重新粘贴到图1中的某个位置，经过折叠以后，仍然可以折叠成一个长方体纸盒共有_____种粘贴方法．你认为他应该将图2粘贴到图1中的什么位置，请你帮助小明在图1上补全其中的一种粘贴方法； (2)已知这个长方体纸盒的高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】(1)4，补全其中的一种粘贴方法见解析 (2)这个长方体纸盒的体积为605立方厘米 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况； （2）设底面边长为，根据棱长的和是，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【详解】（1）解：如图，粘贴的位置有四种情况如下： 故答案为：4； （2）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长， ∵长方体纸盒所有棱长的和是，长方体纸盒高为， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为：立方厘米． 36．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是 （填序号）； (2)若设长方体的高为，则 ①长方体的宽为 （用含的式子表示）； ②请求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤ (2)①（或）② 【分析】本题考查长方体的相对面，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握长方体展开图的特征，列出一元一次方程． （1）根据长方体展开图的“相间、端”是对面，进行判断，即可解题； （2）①根据图形可得长、宽、高的关系，再列代数式即可； ②根据展开图中长、宽、高的关系列出方程，求出长、宽、高；再根据体积的计算方法，即可解题． 【详解】（1）解：∵长方体展开图的“相间、端”是对面， ∴面①和面⑤是相对面， 故答案为：⑤． （2）解：设长方体的高为，则长方体的长为， ∴长方体的宽为， 或为 故答案为：或； ∵长方体的宽为或， ∴， 解得， ∴长方体的高为，长方体的长为，长方体的宽为， ∴长方体的体积为：， 答：长方体的体积为． 【考点13】一元一次方程的应用之动点问题 【例13】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【答案】(1)，4 (2)4.5或9 (3)每秒个单位 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）由题意得，点P表示的数为，分别表示出、的长，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）利用两点间的距离求出，设，动点C，D运动的速度为，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧，分析可得；要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间，分析可得，联立方程即可求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴t的值为4.5或9； （3）解：， C，D为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，动点C，D运动的速度为， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为3秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 即， 解得， 点的速度为每秒个单位． 【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的和与差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，运用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式训练】 37．（24-25七年级上·四川成都·期末）在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点，数轴上两点之间的距离，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关点运动后所表示的数． （1）①求出，，可得；②由，设，则，分两种情况可得为或； （2）当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为，可得，，故，解得；求出时，点与点相遇；当点与点相遇后，即时，可得，解得． 【详解】（1）解：①∵点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∴； 故答案为：； ②∵，故设，则， 当，在原点两侧时，， ∴； 当，在原点同侧时，， ∴； 综上所述，为或； （2）解：存在某一时刻，使得，理由如下： 当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得：； 当，即时，点与点相遇； 当点与点相遇后，即时，运动后表示的数为，运动后表示的数为， ∴，， ∴， 解得：； ∴的值为或． 38．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在数轴上点，，表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)请直接写出，，的长度； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动．设点、、同时出发，运动时间为秒， ①七秒后，表示的数为 ，表示的数为 　　，表示的数为 　　． ②试探索：的值是否随着时间的变化而变化？请说明理由． (3)若点以每秒4个单位的速度从点出发，点以每秒3个单位的速度运动从点出发，设点、同时出发，运动时间为秒．试探究：经过多少秒后，点、两点间的距离为14个单位． 【答案】(1)，， (2)①，15，41；②不变化，理由见解析 (3)秒或22秒或秒或6秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是理解题意，找到等量关系列出方程，对点M、N运动的方向进行分类讨论． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①根据运动方向、速度以及时间，求解即可；②用t表示出、，计算即可求解； （3）分四种情况：①当点向右运动，点向左运动时；②当点、点都向右运动时；③当点向左运动，点向右运动时；④当点、点都向左运动时；根据等量关系点M、N两点间的距离为14个单位，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：根据题意，点、、表示的数分别为、、， ①当时，， ， ， ∴点、、表示的数分别为、15、41， 故答案为：，15，41． ②不变化，理由如下： 根据题意可知，，， ∴，， ∴， ∴的值不随时间的变化而变化． （3）解：①当点向右运动，点向左运动时， 此时点、表示的数分别为、， ∵点的运动速度大于点的运动速度，且， ∴当点、两点间的距离为14个单位时，点在点的右侧， ∴， 解得； ②当点、点都向右运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得； ③当点向左运动，点向右运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得； ④当点、点都向左运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得， 综上所述，经过秒或22秒或秒或6秒，点、两点间的距离为14个单位． 39．（25-26七年级上·江苏南通·月考）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】已知，在数轴上点、、表示的数分别为、、，已知是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项． 【综合运用】 (1)填空：，线段的中点表示的数______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．若点到、、之间的距离和等于，则___； (3)动点、分别从点、同时出发沿数轴向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (4)为数轴上一动点，若为中点，为中点，为中点，点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的长． 【答案】(1)， (2) (3)运动秒后，点可以追上点 (4)不发生变化， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，中点公式，数轴上的动点问题，单项式的系数，多项式的次数、系数的定义，一元一次方程的应用等； （1）由单项式的系数，多项式的次数、系数的定义得，，，由数轴上两点之间的距离及中点公式，即可求解； （2）由数轴上点的平移得点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，，，根据点到、、之间的距离和等于，列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）设运动秒后，点可以追上点，根据秒后表示的数相同，列方程，即可求解； （4）设的运动后表示的数为，由数轴上中点公式得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】（1）解：是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项， ，，， ， 线段的中点表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：点表示的数为， ， ， ， ， ， 当时，，解得：（舍去） 当时，，解得：（舍去） 当时，，解得：， 综上所述，， 故答案为：． （3）解：设运动秒后，点可以追上点，由题意得 ， 解得：， 答：运动秒后，点可以追上点； （4）解：不发生变化； 设的运动后表示的数为， 为中点，为中点，为中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（    ） 甲：设竿子长为尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据竿子与绳索的长度之间的关系找相等关系列方程． 【详解】解：设竿子长为尺，则绳索长为尺，对折后绳索长为尺， 根据对折后比竿子短尺， 可得：， 故甲正确； 设绳索长为尺，则竿子长为尺，对折后绳索长为尺， 根据对折后比竿子短尺， 可得：， 故乙正确. 甲、乙都对． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，小芬同学在构造一个的乘积幻方，使得每行、每列、每条对角线上三个非零有理数的乘积都相等；现在她已经填入了1，，3三个数，则图中x的值是（   ） 3 x 1 A．4 B． C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 现根据三个数的积相等，得出右下角的数为，再根据最左一列的积等于左上到右下角对角线的积列方程求解． 【详解】解：由第2竖列与第3横列的积相等得右下角的数为， 由最左一列的积等于左上到右下角对角线的积得：， 解得：， 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是301；当输入时，输出结果是454．若输出结果是526，那么满足条件的正整数x的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分情况讨论：由一次输入，两次输入，三次输入，四次输入，五次输入，再分别建立方程求解即可. 【详解】解：由题意可得：当输出结果是526时， 当一次输入时，则， 解得：， 当两次输入时，则， 解得：， 当三次输入时，则， 解得：， 当四次输入时，则， 解得：， 当五次输入时，则， 解得：（不合题意舍去）． 故满足条件的x的正整数值最多有4个． 故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏南通·期末）把正整数1至2025按一定规律排列如图，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ） A．2021 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】设中间的数为x，则另外两个数分别为，，将三个数相加，可得出方框中三个数的和是，再代入各选项中的数，可得出关于x的一元一次方程，解之取x的值为整数的选项即可． 本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设中间的数为x，则另外两个数分别为，， 方框中三个数的和是 A.根据题意得：， 解得：， 方框中三个数的和不可能是2021，选项A不符合题意； B.根据题意得：， 解得：， 方框中三个数的和不可能是2023，选项B不符合题意； C.根据题意得：， 解得：， 方框中三个数的和不可能是2024，选项C不符合题意； D.根据题意得：， 解得：， 方框中三个数的和可能是2025，选项D符合题意． 故选：D 5．（24-25七年级上·江苏常州·期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，可列出符合题意的一元一次方程，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键． 根据所列方程得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，即可求解． 【详解】解∶设买甜果个，则买苦果个， 方程中， 表示买甜果花费的钱数， ∴甜果的单价是文/个； 表示买苦果花费的钱数， ∴苦果的单价是文/个． ∴题中用“…，…”表示缺失的条件为甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：A． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）小慧在月历上圈出四个数，并计算出它们的和为36，这四个数所在位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程在日历问题中的应用，明确日历中上下行及左右相邻数之间的关系是解题的关键．日历中的每个数都是整数且上下相邻是，左右相邻差，根据题意列方程可解． 【详解】解；A．设最小的数是x，则， 解得，不是正整数，故本选项不符合题意； B．设最小的数是x，则， 解得，不是正整数，故本选项不符合题意； C．设最小的数是x，则， 解得，故本选项符合题意； D．设最小的数是x，则， 解得：，不是正整数，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）一道来自课本的习题的变式：甲地到乙地全程，先是一段上坡后是一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走那么从甲地到乙地需，甲地到乙地上坡路和平路各是多少？如果设甲地到乙地上坡路是，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元一次方程，设甲地到乙地上坡路是，则平路是，根据从甲地到乙地需为等量关系，列出一元一次方程即可． 【详解】解：设甲地到乙地上坡路是，则平路是， 根据题意可知：， 故选：C 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）春节即将来临，某兴趣小组计划做一批“中国结”，如果每人做10个，那么可比计划多做6个；如果每人做9个，那么将比计划少做7个，该兴趣小组计划做多少个“中国结”？若设该兴趣小组计划做x个“中国结”，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设计划做x个“中国结”，根据如果每人做10个，那么可比计划多做了6个，如果每人做9个，那么将比计划少做7个，列出方程即可． 【详解】解：解：设计划做x个“中国结”，根据题意，得 ． 故选：A． 二、填空题 9．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方．将9个数填在的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图是一个未完成的广义三阶幻方，根据已知的3个数，可得 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据幻方的特征找到等量关系．根据题意可得：，求出的值，即可求解． 【详解】解：由图可知：， 解得，， 则． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确地列出方程．设种萝卜的小长方形土地的长为，根据萝卜与白菜的总产量比为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设种萝卜的小长方形土地的长为，萝卜的单位面积产量为， 则：种白菜的小长方形土地的长为，白菜的单位面积产量为， 由题意，得：， 解得：； 种植萝卜的小长方形土地的长为； 故答案为：． 11．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．利用等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量，进而得出方程求出即可． 【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作， ∵甲单独做需要14小时完成，乙单独做需要11小时完成， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：运动后，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 13．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，7，点C在线段上，沿点C将数轴向右折叠，使点A落在点B的左侧点处，且，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴，解一元一次方程．设点表示的数是，利用，列出方程解答即可． 【详解】解：设点表示的数是， 则，， ∵， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，18，点P为数轴上一动点．如果点P以每分钟2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟3个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动．若t分钟时点P到点M，N的距离相等，则t的值为 ． 【答案】4或24 【分析】此题主要考查了数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用．设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即，点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是，再建立方程求解即可. 【详解】解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即． 点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是． ∴，． ∴， ∴或， 解得：或． 综上所述，t的值为或． 故答案为：或 15．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，已知每个长方形卡片长为，宽为，依此类推，当摆放个时，实线部分长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，一元一次方程，熟练掌握图形变化的规律是解题的关键； 首先计算出前几个图形中实线部分的长度，从中找出规律，根据规律得到第个图形实线部分的长度； 【详解】解：第个图形实线部分的长度为， 第个图形实线部分的长度为， 第个图形实线部分的长度为， 第个图形实线部分的长度为， 可以发现奇数项的项数规律为， ， 解得： 第个图形的实线部分的长度为； 故答案为： 16．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．设绳索长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长 尺，根据题意得 故答案为：． 三、解答题 17．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）某书法社团中女生人数占这个社团人数的一半，如果再有8名女生加入，那么女生人数就占全团人数的．求这个书法社团的人数． 【答案】这个书法社团有人 【分析】根据题意，设书法社团有人，列方程即可求解． 【详解】解：设书法社团有人，则该社团女生有， ∴，解得，， ∴这个书法社团有人． 【点睛】本题主要考查方程的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握方程的运用是解题的关键． 18．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？ 【答案】32km 【分析】设A、B两地路程是，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设A、B两地路程是． 由题意得：， 解得：． 答：A、B两地路程是32． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解答的关键． 19．（22-23七年级上·江苏南通·期末）【课本再现】 （1）某商店出售两件衣服，每件元，其中一件赚，另一件赔，卖这两件衣服总的是赚还是赔？ 【拓展应用】 （2）某校六年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的衬衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】（1）卖这两件衣服总的是赔；（2）降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 【分析】本题考查了一元一次方程： （1）设赚钱的那件衣服的进价为元，赔钱的那件衣服的进价为元，根据题意列方程求解； （2）设降价之前销售的衬衫数量为件，则降价之后销售的衬衫数量为件，根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：设赚钱的那件衣服的进价为元，赔钱的那件衣服的进价为元， 根据题意得，， 解得，， 所以（元）， 答：卖这两件衣服总的是赔． （2）解：设降价之前销售的衬衫数量为件，则降价之后销售的衬衫数量为件， 根据题意得， 解得． 答：降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 20．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）甲、乙两车分别从相距的、两地出发，沿足够长的公路行驶，甲车速度为，乙车速度为．两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），多长时间后两车相距？ 【答案】10小时或26小时后两车相距 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握行程问题中的一些等量关系，能够设未知数并列出方程．分情况讨论，相遇之前相距和相遇之后相距，设时间为x小时，列方程求解． 【详解】解：依题意，两车相距分两种情况， ①相遇之前相距，乙车路程一开始相距的距离甲车路程， 列式：， 解得， ②相遇之后相距，甲车路程（乙车路程一开始相距的距离）， 列式：，解得， 答：10小时或26小时后两车相距． 21．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数，点C表示数． (1)请在数轴上用圆规作出点B、点C（不写作法，保留作图痕迹）； (2)线段的中点为，若，求a的值． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数的定义，数轴上点表示有理数即可求解； （2）运用两点之间距离的计算方法，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示数a，点B表示数， ∴点A表示数与点B表示数互为相反，即到原点的距离相等， ∵点C表示数，即将点表示的数向右移动一个单元格， 作图如下， （2）解：点B表示数，点C表示数， ∴中点表示的数为， ∴， 解得，． 22．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）请你根据妈妈和小明的对话内容，列方程解决下列问题． 已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？ 【答案】小明能在妈妈到达火车站前追上她，在妈妈出发20分钟后追上她． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．设小明出发分钟可以追上妈妈，根据题意列方程，求得小明出发分钟可以追上妈妈，此时妈妈步行了分钟，再根据妈妈步行到火车站需要30分钟，即可得出答案． 【详解】解：设小明出发分钟可以追上妈妈， 由题意得：， 解得：， 即小明出发分钟可以追上妈妈， 此时妈妈步行了分钟， 分钟，即妈妈步行到火车站需要30分钟， 因为20分钟30分钟， 所以小明能在妈妈到达火车站前追上她，在妈妈出发20分钟后追上她． 23．（25-26七年级上·江苏·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，动点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据可得，在由线段，可得． （2）用含的整式表示点，点，故根据题意可列式，求解即可． （3）根据点在线段上，，，可得点表示的数为：，再由，分成点在点右边和点不在点右边时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且， ∵， ∴， ∵点在点的右侧，且， ∴， 故答案为：，； （2）由题意可得：点表示的数为：， ∵点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为：， ∵当两点相遇时停止运动，即当，时停止运动， ∴线段的长度； （3）解：∵点在线段上，且，， ∴，，点表示的数为：， 由（2）可知，点表示的数为：，且在点左边， ∴， 当点在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 当点不在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当或时，． 24．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足． (1)______，______； (2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？ 【答案】(1)， (2)的长度不发生变化， (3)点运动秒或秒时，、两点相距个单位长度 【分析】本题主要考查数轴上两点距离、偶次幂及绝对值的非负性、整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据偶次幂及绝对值的非负性可进行求解； （2）由题意可设表示的数为，则表示的数为，则有表示的数为，表示的数为，然后问题可求解； （3）设点运动秒时，、两点相距个单位长度，根据题意得，表示的数为，表示的数为，进而根据题意可列方程进行求解． 【详解】（1）解：， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：的长度不发生变化，理由如下： 设表示的数为，则表示的数为， 表示的数为，表示的数为，、分别是、的中点， 表示的数为，表示的数为， ； 的长度不发生变化，其值为11； （3）解：设点运动秒时，、两点相距个单位长度， 根据题意得，表示的数为，表示的数为， ， 即或， 解得或， 点运动秒或秒时，、两点相距个单位长度． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04一元一次方程的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 一、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 二、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 1.配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. 2.工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 3.销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 4.方案设计问题 （1）借助方程先求出相等的情况。 （2）再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 5.比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 6.数字问题 （1）多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 （2）连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 7.行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 8.分段计费问题 分段计费问题解题思路：明确分段区间；明确不同区间的计费标准；分区间讨论计算 9.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 10.日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 【考点1】一元一次方程的应用之配套问题 【例1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有45名工人，平均每人每天可以加工桌面5个或桌腿12条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 2．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）自上海迪士尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配2只手套．如果某车间有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个米老鼠玩具．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 3．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：每张硬纸板剪6个侧面；B方法：每张硬纸板剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． (1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问多少张硬纸板用A方法裁剪？能做多少个盒子？ 【考点2】一元一次方程的应用之工程问题 【例2】（24-25七年级上·江苏南通·期末）一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【变式训练】 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 5．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一项工程需要挖土方，甲挖掘机单独做9小时完成，乙挖掘机单独做12小时完成．若乙挖掘机先单独做若干小时后，由甲挖掘机接着单独做余下的工程，完成全部的工程共共用了10小时．则乙挖掘机先单独做了多少小时？ 6．（23-24七年级上·江苏盐城·月考）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 【考点3】一元一次方程的应用之销售盈亏问题 【例3】（22-23七年级上·江苏南通·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【变式训练】 7．（25-26七年级上·江苏南京·期末）某地今年种植的茶树受气候影响，第一季茶叶大幅减产，造成价格上涨，每千克的价格比去年同期多元茶农夏某今年第一季的茶叶产量为，比去年同期减少，但销售收入却比去年同期增加了夏某今年第一季茶叶的销售收入为多少元？ 8．（25-26七年级上·重庆·期中）列方程解应用题 某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． (2)若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价元，乙种产品打m折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利13600元，求m的值． 9．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海成功举行．期间，各类珠海航展文创纪念品深受广大军迷热情追捧，尤其是以歼-20和歼-35为主题的飞机模型，成为畅销品．某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，已知每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元．将B品牌飞机模型按进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌飞机模型仍可获利35元． (1)设每个A品牌飞机模型进价x元，则每个B品牌飞机模型进价________________元，根据题意可列方程________________． (2)由（1）求得每个A品牌飞机模型进价________元，每个B品牌飞机模型进价________元． (3)利用一元一次方程求出B品牌飞机模型的打折数． 【考点4】一元一次方程的应用之方案设计问题 【例4】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 【变式训练】 10．（25-26七年级上·江苏·期中）盐城市某中学组织学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)求参观的学生人数和原计划租用45座客车的辆数； (2)若租两种客车，怎样租用最省钱？最低租金是多少元？ 11．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）小敏和小强假期到某工厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，最多可做几个包装盒？（列一元一次方程解答） (2)现有27张白板纸，最多可做几个包装盒？ 为了解决问题（2），小敏和小强分别设计了自己的解决方案． 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖；余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 12．（25-26七年级上·江苏南通·月考）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费元，则该单位购买门票价格为元每张（总费用广告赞助费门票费）． 方案二：若购买的门票数不超过张，每张元，若所购门票超过张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含的代数式来表示总费用为 方案二中，当购买的门票数不超过张时，用含的代数式来表示总费用为 当所购门票数超过张时，用含的代数式来表示总费用为 ； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计张（甲乙两单位购买数量均大于100张），花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【考点5】一元一次方程的应用之比赛积分问题 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）某校积极推进“阳光体育活动”，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其他班级分别进行一场比赛，每班共要进行10场比赛），比赛规则规定每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得分，赛后有A，B，C，D四个班级得分情况如下表： 参加班级 A B C D 得分情况 14 18 10 6 (1)根据以上信息，求A，B，C，D四个班级的平均分； (2)若A班在所有的比赛中总得分为14分，则该班胜了几场？ (3)假设比赛结束后，E班得分比F，G两班得分之和的2倍还多2分，且E班获胜场数超过F，G两班获胜场数之和，请求出E班胜了几场？ 【变式训练】 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 14．（2025七年级上·全国·专题练习）明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题 【考点6】一元一次方程的应用之数字问题 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）观察下面三行数： 第行                                    第行                                    第行                                    (1)第行中的第个数可表示为 ． (2)第行、第行中的数与第行中的数分别有什么关系？ (3)取每行中的第个数，从上到下依次把这三个数记为，，． 当时，求的值． 请直接写出________． 是否存在这样的一列数，使得其中三个数的和为？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由 【变式训练】 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 17．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 18．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）定义：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“差数”．将一个“差数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把原两位数与新两位数的差与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，原两位数与新两位数的差为，差-9与9的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列数中：20、58、88中，“差数”为__________；②计算，__________； (2)如果一个“差数”的十位数字为，个位数字是y，则__________（用含有x，y的代数式来表示）． (3)如果一个“差数”的十位数字为，个位数字是，且，请求出“差数”； 【考点7】一元一次方程的应用之行程问题 【例7】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【变式训练】 19．（25-26七年级上·江苏南通·期中）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，分别到达时停止，出发分钟时两人相遇，此时李明比刘伟多行进千米，相遇后6分钟李明到达地． (1)两地间的距离是多少千米？ (2)刘伟有几次与李明相距千米？相距千米时的行进时间是多少分钟？ 20．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）如图，是两张不同类型火车的车票（“次”表示动车，“次”表示高铁）： 已知该动车和高铁的平均速度分别为，，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离与两车何时到达终点B 地？ 21．（25-26七年级上·江苏南京·月考）小明骑车从A地出发，经过一段平路到达B地，再经过一段上坡路到达C地，然后立即原路返回地，返回途中在地休息了．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，小明出发后回到地，其中到达地前，平路用了，上坡路用了． (1)小明在平路上的速度为多少？（列一元一次方程解决问题） (2)若小明出发的同时，小红从地出发，沿相同路线，以的速度匀速步行至A地，经过几小时小红和小明在途中相遇？请直接写出结果． 【考点8】一元一次方程的应用之分段计费问题 【例8】（22-23七年级上·福建漳州·期中）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过220度的电量 0.50 二档 超过220度至420度的部分 0.55 三档 超过420度的部分 0.80 (1)小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应缴多少电费？ (2)如果某户居民某月用电a度（），请用含a的整式表示该户居民该月应缴电费． (3)小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度？ 【变式训练】 22．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 23．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 24．（25-26七年级上·江苏南通·月考）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【考点9】一元一次方程的应用之和差倍分问题 【例9】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）方程是一种重要的工具，利用它可以解决很多问题．试用一元一次方程解决以下两个问题： (1)某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问有多少个小朋友？”若设共有个小朋友，则列出的方程是______． (2)某校综合实践小分队成一列在野外拓展训练，在队伍中的队长数了一下他前后的人数，发现他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多．这列队伍一共有多少名学生？ 【变式训练】 25．（25-26七年级上·江苏常州·月考）元旦将至，学校组织学生进行元旦文艺汇演的节目排练，其中大合唱《大中华》节目中，七年级人数占该节目人数的一半，如果再增加6名七年级学生，那么七年级人数就占该节目总人数的，求大合唱《大中华》节目中原来七年级的表演人数． 26．（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 27．（25-26八年级上·四川成都·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【考点10】一元一次方程的应用之日历问题 【例10】（22-23七年级上·四川成都·期末）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【变式训练】 28．（24-25七年级上·河北邢台·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 29．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 30．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则 ．若，则 ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足为正整数，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． 【考点11】一元一次方程的应用之古代数学问题 【例11】（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 【变式训练】 31．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）明代时，1斤两，故有“半斤八两”，设．《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（即八两）．求分银子的共有多少个客人？ 32．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？ 33．（24-25七年级上·山东聊城·月考）《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【考点12】一元一次方程的应用之几何问题 【例12】（25-26七年级上·浙江温州·月考）三张大小相同的正方形纸片粘贴成如图所示的形状放在地上，相邻两张纸片的重叠部分为小正方形，且每个大正方形的面积比每个小正方形的面积的2倍还大4，若被这三张纸片遮盖的地面面积为60，求一个小正方形的面积． 【变式训练】 34．（25-26七年级上·山西太原·月考）两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，左侧容器的高为，先在左侧容器中倒满水，然后将其倒入空置的右侧容器中，倒完以后（不存在倒水漏洒的情况），此时右侧容器中的水面离右侧容器底部有多高？（请你通过方程思想解决这个问题） 35．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）小明在学习了“转化表达”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)现在小明想将图2重新粘贴到图1中的某个位置，经过折叠以后，仍然可以折叠成一个长方体纸盒共有_____种粘贴方法．你认为他应该将图2粘贴到图1中的什么位置，请你帮助小明在图1上补全其中的一种粘贴方法； (2)已知这个长方体纸盒的高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 36．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是 （填序号）； (2)若设长方体的高为，则 ①长方体的宽为 （用含的式子表示）； ②请求长方体包装盒的体积． 【考点13】一元一次方程的应用之动点问题 【例13】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【变式训练】 37．（24-25七年级上·四川成都·期末）在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 38．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在数轴上点，，表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)请直接写出，，的长度； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动．设点、、同时出发，运动时间为秒， ①七秒后，表示的数为 ，表示的数为 　　，表示的数为 　　． ②试探索：的值是否随着时间的变化而变化？请说明理由． (3)若点以每秒4个单位的速度从点出发，点以每秒3个单位的速度运动从点出发，设点、同时出发，运动时间为秒．试探究：经过多少秒后，点、两点间的距离为14个单位． 39．（25-26七年级上·江苏南通·月考）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】已知，在数轴上点、、表示的数分别为、、，已知是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项． 【综合运用】 (1)填空：，线段的中点表示的数______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．若点到、、之间的距离和等于，则___； (3)动点、分别从点、同时出发沿数轴向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (4)为数轴上一动点，若为中点，为中点，为中点，点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的长． 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（    ） 甲：设竿子长为尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，小芬同学在构造一个的乘积幻方，使得每行、每列、每条对角线上三个非零有理数的乘积都相等；现在她已经填入了1，，3三个数，则图中x的值是（   ） 3 x 1 A．4 B． C． D．12 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是301；当输入时，输出结果是454．若输出结果是526，那么满足条件的正整数x的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·江苏南通·期末）把正整数1至2025按一定规律排列如图，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ） A．2021 B．2023 C．2024 D．2025 5．（24-25七年级上·江苏常州·期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，可列出符合题意的一元一次方程，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 6．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）小慧在月历上圈出四个数，并计算出它们的和为36，这四个数所在位置可能是（   ） A．B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）一道来自课本的习题的变式：甲地到乙地全程，先是一段上坡后是一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走那么从甲地到乙地需，甲地到乙地上坡路和平路各是多少？如果设甲地到乙地上坡路是，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）春节即将来临，某兴趣小组计划做一批“中国结”，如果每人做10个，那么可比计划多做6个；如果每人做9个，那么将比计划少做7个，该兴 趣小组计划做多少个“中国结”？若设该兴趣小组计划做x个“中国结”，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方．将9个数填在的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图是一个未完成的广义三阶幻方，根据已知的3个数，可得 ． 10．（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长 、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当 萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 11．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 13．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，7，点C在线段上，沿点C将数轴向右折叠，使点A落在点B的左侧点处，且，则点C表示的数是 ． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，18，点P为数轴上一动点．如果点P以每分钟2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟3个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动．若t分钟时点P到点M，N的距离相等，则t的值为 ． 15．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，已知每个长方形卡片长为，宽为，依此类推，当摆放个时，实线部分长 为 ． 16．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为 ． 三、解答题 17．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）某书法社团中女生人数占这个社团人数的一半，如果再有8名女生加入，那么女生人数就占全团人数的．求这个书法社团的人数． 18．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两人同时骑自行车出发从A地去B地，甲骑行速度为12，乙骑行速度为10．2h后，乙剩余路程是甲的1.5倍．求A、B两地路程是多少？ 19．（22-23七年级上·江苏南通·期末）【课本再现】 （1）某商店出售两件衣服，每件元，其中一件赚，另一件赔，卖这两件衣服总的是赚还是赔？ 【拓展应用】 （2）某校六年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金， 商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的衬衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 20．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）甲、乙两车分别从相距的、两地出发，沿足够长的公路行驶，甲车速度为，乙车速度为．两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），多长时间后两车相距？ 21．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数，点C表示数． (1)请在数轴上用圆规作出点B、点C（不写作法，保留作图痕迹）； (2)线段的中点为，若，求a的值． 22．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）请你根据妈妈和小明的对话内容，列方程解决下列 问题． 已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？ 23．（25-26七年级上·江苏·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为 个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 24．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足． (1)______，______； (2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？ 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $