专题09 期末真题通关之解答必考题（期末复习专项训练，24大题型70题）九年级数学上学期苏科版

专题09 期末真题通关之解答必考题（70题） 选择必考题 题型1 三角函数的混合运算 题型15 二次函数中的角度、等角、半角问题 题型2 解一元二次方程 题型16 二次函数的不等式证明 题型3 一元二次方程的实数根与根与系数 题型17 二次函数中的面积问题 题型4 二次函数的表达式 题型18 相似中的路径问题 题型5 概率问题 题型19 圆中的无刻度尺作图 题型6 数据的分析 题型20 相似中的折叠问题与比值问题 题型7 圆的切线作图 题型21 二次函数中的特殊四边形 题型8 一元二次方程的应用 题型22 二次函数与三角函数结合 题型9 位似作图 题型23 相似与三角函数结合 题型10 相似三角形的判定 题型24 新定义问题 题型11 圆中的阴影面积 题型12 二次函数的应用 题型13 圆中的切线证明并与三角函数结合 题型14 三角函数的应用 题型一 三角函数的混合运算 1．（2025九年级上·山东济南·专题练习）计算：． 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算 (1) (2) 题型二 解一元二次方程 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）解下列方程： (1) (2) 5.（25-26九年级上·江苏苏州·月考）解方程： (1)； (2)． 6．（2025九年级上·北京·专题练习）解方程： (1) (2) 题型三 一元二次方程的实数根与根与系数 7．（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 8．（江西省吉安市十二校联盟2025-2026学年上学期第二次阶段训练九年级数学试卷）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若原方程有一个实数根是，求的值． 9．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 题型四 二次函数的表达式 10．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 11．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的关系式及顶点； (2)当时；直接写出的取值范围________； (3)将该函数图像沿轴翻折，所得图像的函数表达式为________． 12．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． 题型五 概率问题 13．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有三条裤子，分别为蓝色、黑色和白色． (1)小颖先拿了一件白色上衣，然后在三条裤子中随机拿了一条裤子穿上，恰好是白色上衣和蓝色裤子的概率是_______； (2)小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，请利用画树状图或列表的方法，求恰好是白色上衣和白色裤子的概率． 14．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图所示，小亮将滑动变阻器按以下方式接入电路：端或端与导线的点相连，端或端与导线的点相连． (1)请用树状图或列表法列出小亮所有可能的连接方式； (2)小亮在将滑动变阻器向左滑时，灯泡变暗的概率是______． 15．（浙江省海山教育联盟2025-2026学年上学期九年级知识类拓展评估数学试题卷）现有A，B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同． (1)将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为________； (2)分别将A，B两个袋子中的小球摇匀，然后从A，B袋中各随机摸出一个小球，小强说：“摸出的这两个小球标记的数字之和为6的概率与数字之和为8的概率相同．”请利用画树状图或列表的方法，说明小强的说法是否正确？ 题型六 数据的分析 16．（25-26九年级上·江西九江·月考）近年来技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于分（成绩得分用表示，共分为五组：；；；；）下面给出了部分信息：甲款软件20名使用者打分为：92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 乙款软件20名使用者打分在等级的数据是：97，97，98，98，98． 乙款软件抽取的使用者打分统计图 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款软件 97.5 98.5 乙款软件 97.5 99 （1）上述表中___________；___________； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中组所占圆心角的度数； （3）下列结论一定错误的是___________． ①甲乙两款样本数据的中位数均在组； ②甲乙两款样本数据得分在96以上的一样多； ③甲乙两款样本数据的、两组人数之和不一样多； ④甲乙两款样本数据的满分一样多． （4）根据甲、乙两款软件样本的打分统计情况，试估计哪款软件更优，并说明理由． 17．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 m 87 八年级参赛学生成绩 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ， ； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断 （填“”“”或“”）； (3)请分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 初中部 a 85 b 高中部 85 c 100 160 (1)根据图示计算出a、b、c的值； (2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？ (3)计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 题型七 圆的切线作图 19．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 20．（25-26九年级上·河南商丘·月考）如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：． 21．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，已知中，，，经过点和点，与交于点，且的圆心在边上． (1)尺规作图：请依题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若，则的面积为_________． 题型八 一元二次方程的应用 22．（25-26九年级上·新疆伊犁·期中）如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长），并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为长的木板（全部使用完），若设为米． (1)若仓库的面积为，求的长？ (2)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 23．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设每个台灯涨价x元． (1)每个台灯涨价x元后，该商场平均每月可售出________个台灯（用含x的代数式表示）； (2)该商场销售这种台灯能否实现平均每月13000元的销售利润？如果能，求出每个台灯售价；如果不能，请说明理由． 24．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 题型九 位似作图 25．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 26．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为______； (3)的面积=______． 27．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点．（格点是网格线的交点）． (1)将向右平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为； (3)若的面积为，则的面积为_________（用含的式子表示） 题型十 相似三角形的判定 28．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，四边形内接于平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 29．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 30．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 题型十一 圆中的阴影面积 31．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，的长为，求与所围成阴影部分的面积． 32．（25-26九年级上·北京·期中）如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求阴影部分的面积． 33．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中阴影部分的面积． 题型十二 二次函数的应用 34．（25-26九年级上·河南新乡·月考）年河南文化旅游节期间，某文创店推出两款以河南文化标志为主题的纪念品：款为“龙门石窟浮雕纪念牌”，款为“唐三彩小马挂件”．已知购进一个款纪念牌需元，购进一个款挂件需元． (1)根据线上预约数据，预计两款纪念品总需求量为个．若商家计划用不超过元的资金进货，那么至少需要购进款“唐三彩小马挂件”多少个？ (2)在销售过程中，商家发现每个款“龙门石窟浮雕纪念牌”定价元时，可售出个，售价每提高元，销售量就减少个．设每个款纪念牌售价为元，表示商家销售款纪念牌所获利润（单位：元）．求关于的函数表达式，并求出的最大值． 35．（北京市房山区2025-2026学年上学期学业水平调研九年级数学试题）某学生在打羽毛球时、发现羽毛球在空中的飞行路线可看作抛物线的一部分（不考虑空气阻力等因素），建立如图所示的平面直角坐标系，从点A处发球，羽毛球飞行过程中距离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下表： 0 3 6 9 0.70 2.05 2.50 2.05 (1)根据上述数据，羽毛球飞行过程中距离地面高度的最大值为________m； (2)求y关于x的函数表达式（不必求自变量x的取值范围）； (3)当对面另一名学生位于羽毛球正下方，羽毛球距离地面高度不大于他的最大击球高度2.4m时，视为击球成功．若对面这名学生位于羽毛球正下方时，，请问他能否击球成功？试通过计算说明． 36．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开（木栏的占地面积忽略不计），分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． (1)若苗圃的面积为96平方米，求的值； (2)求当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 题型十三 圆中的切线证明并与三角函数结合 37．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，中D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径r． 38．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求，的长． 39．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型十四 三角函数的应用 40．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）如图， 图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具----“碓（）”的结构简图，图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若 分米， 分米，，求点到水平线的距离的长． 41．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 42．（2025九年级上·全国·专题练习）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）． （参考数据：） 题型十五 二次函数中的角度、等角、半角问题 43．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（25-26九年级上·广东珠海·月考）综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十六 二次函数的不等式证明 45．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知抛物线（为常数）． (1)若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 46．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，且． (1)当抛物线经过，两点时， ①求b的值； ②点为抛物线在、之间的部分图象上的任意一点（包含、两点），都有．求的取值范围； (2)若=1，，是抛物线上的两点．当，时，总有，求b的取值范围． 题型十七 二次函数中的面积问题 47．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 48．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)如图1，点是抛物线第一象限的一点，连接，且与交于点． ①求的面积； ②设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (2)如图2，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在新抛物线对称轴上找一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点且为对角线的四边形是矩形，请求出点的坐标． 题型十八 相似中的路径问题 49．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形，，，是边上一点，且，点为边上一动点，连接，过作的垂线交矩形的边于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当点在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)在整个运动过程中，的中点的运动路径长为_________． 50．（2023·江苏淮安·模拟预测）【问题探究】 数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的探究与操作： 第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平． 【问题解决】 （1）如图1，填空：四边形的形状是 ； （2）如图2，小明连接了，E两点，发现线段与是相等的， ①请帮助小明写出证明的过程； ②如图2，若，求的值． 【问题延伸】 （3）如图3，若该矩形纸片的长，点M，N分别在边上，．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点上．在点M从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为 ． 题型十九 圆中的无刻度尺作图 51．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（每个作图任务画线条数不超过四条） (1)，均为格点，且经过，两点，在图1作出的中点； (2)经过格点、、三点，在图2中的圆上找一点，使平分． (3)，，，四点都在圆上，且，在图3作出的中点； (4)经过格点、、三点，点是圆与格线的交点，在图4中的圆上找一点，使． 52．（22-23九年级上·江苏无锡·月考）数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．    【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O； 第二步：连接； 第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和． 则图中、即为所求的点． 请在图②中，连接、、、，并求证：． 【方法迁移】 如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】 （2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______． （3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______． 题型二十 相似中的折叠问题与比值问题 53．（25-26九年级上·广东深圳·月考）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 54．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）（1）【问题情境】如图①，把三角板放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在上，则的值为___________； （2）【变式探究】如图②，正方形的边长为4，点在边上，连接并作，交边于点，当的值最小时，求的值； （3）【拓展应用】如图③，把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，求出的值． 题型二十一 二次函数中的特殊四边形 55．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，直线交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线，垂足为N，直线交y轴于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若，当m为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点E，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 56．（25-26九年级上·天津·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二十二 二次函数与三角函数结合 57．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是二次函数图像上位于直线上方的动点，连接； ①求的最大值； ②如图2，过点作，垂足为，若中有一个内角等于，求点的横坐标． 58．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知关于的二次函数图象与轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． (1)求的值； (2)若点恰好在二次函数的图象上，求此时的值：_____ (3)过点作的平分线交二次函数图象于点，过点作线段交轴于点，请直接写出_____． 题型二十三 相似与三角函数结合 59．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）（1）问题探究：如图1，在正方形，点，分别在边，上，于点，点，分别在边、上，．推断：的值为______； （2）类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用1：如图，四边形中，，，，，点，分别在边、上，求的值； （4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求． 60．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，其中点E，F分别是点 B，C的对应点． (1)如图1，连接 ， ，则的值为 ． (2)如图2，当点E恰好落在边上，连接交于点O，连接， ①的长度为 ； ②求的值． (3)若直线， 交于点 H，当时，请直接写出的长． 题型二十四 新定义问题 61．（25-26九年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，∴函数的“最优纵横值”为10．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求、的值； (3)若二次函数的顶点在，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 62．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线． 【应用】 (1)如图1，中，，，，是上一点，，求证：是的完美分割线； (2)如图2，菱形中，，点是边的中点，点是边上一点，连接交线段于，若是的完美分割线，且，求的长； (3)如图3，矩形中，点是的中点，为射线上的动点，连接并延长交射线于，是射线上一点，，若是的完美分割线，请直接写出的值． 63．解方程： 64．如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 65．宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查． 【调查与收集】 甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是___________． A．依次抽取100株 B．随机抽取100株 C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株 D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株 【整理与描述】 同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下： 甲样本的频数分布表 频数 7 45 15 20 13 乙样本的频数分布直方图 注：每组含最小值，不含最大值． 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是_________； （2）补全乙样本的频数分布直方图． 【分析与应用】 （1）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 5.73 乙 15.74 4.85 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数； （3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议． 66．某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 67．某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 68．已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 69．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 70．已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 期末真题通关之解答必考题（70题） 选择必考题 题型1 三角函数的混合运算 题型15 二次函数中的角度、等角、半角问题 题型2 解一元二次方程 题型16 二次函数的不等式证明 题型3 一元二次方程的实数根与根与系数 题型17 二次函数中的面积问题 题型4 二次函数的表达式 题型18 相似中的路径问题 题型5 概率问题 题型19 圆中的无刻度尺作图 题型6 数据的分析 题型20 相似中的折叠问题与比值问题 题型7 圆的切线作图 题型21 二次函数中的特殊四边形 题型8 一元二次方程的应用 题型22 二次函数与三角函数结合 题型9 位似作图 题型23 相似与三角函数结合 题型10 相似三角形的判定 题型24 新定义问题 题型11 圆中的阴影面积 题型12 二次函数的应用 题型13 圆中的切线证明并与三角函数结合 题型14 三角函数的应用 题型一 三角函数的混合运算 1．（2025九年级上·山东济南·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及特殊角的三角函数值、零指数幂及乘方运算等知识，熟记特殊角的三角函数值及相关运算法则是解决问题的关键． 先分别计算特殊角的三角函数值、零指数幂及，再由有理数加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入，然后先计算乘方，再计算乘法，最后从左到右进行计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，结合绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂以及绝对值计算，正确计算是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，再进行实数的混合运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 解一元二次方程 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 5.（25-26九年级上·江苏苏州·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 或 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握其解法是解题的关键． （1）用因式分解法进行计算； （2）用因式分解法进行计算． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或； （2）解：， ∴或． 6．（2025九年级上·北京·专题练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． （1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用直接开平方法转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （2）解：， 开方得：或， 解得：，． 题型三 一元二次方程的实数根与根与系数 7．（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得． 又， 故． 8．（江西省吉安市十二校联盟2025-2026学年上学期第二次阶段训练九年级数学试卷）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若原方程有一个实数根是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程： （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）将代入原方程，解关于的一元二次方程． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． （2）解：将代入原方程， ， 解得，， ， ． 9．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查含参方程的根的个数以及一元二次方程根与系数的关系，注意判别方程的形式是解题的关键． （1）由于题干未明确方程形式，故对与进行分类讨论，要使方程有根，一次方程满足题意要求，二次方程需满足，计算得出的取值范围即可； （2）既然方程有两个根，即为二次方程，故根据二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为； （2）解：∵和是方程有两个根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得，满足， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ∴的值为． 题型四 二次函数的表达式 10．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式．正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； 【详解】（1）解：∵设二次函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：, 当时，， 当时，， 当时，， 函数图象如图所示： 所以，当时，． 11．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的关系式及顶点； (2)当时；直接写出的取值范围________； (3)将该函数图像沿轴翻折，所得图像的函数表达式为________． 【答案】(1)；顶点坐标是； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要知识点有：求最值、待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟记二次函数的相关性质是解题关键． （1）将，两点坐标代入解析式，待定系数法就可求出，的值，再由解析式求出顶点坐标即可； （2）当时，结合图像可直接得出的取值范围； （3）图像沿直线翻折，开口大小不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点． ∴ 解得 ∴， ∴抛物线的顶点坐标是， （2）解：由图像可得当时， 时，函数有最小值， 时，函数有最大值， 所以的取值范围为：； （3）解：图像沿翻折，开口大小不变，顶点坐标变为， 所以表达式为：． 12．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）依据题意，根据表格数据可设，将代入得，求出a的值即可得出解析式，再把代入解析式即可求出m的值； （2）描点、连线即可得出答案； （3）根据二次函数的性质求出最小、最大值即可得出y的范围． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，设， ∴将代入得， ∴， ∴抛物线解析式为，即， 把代入得：； （2）解：根据表格中数据，描点、连线得：如图所示： （3）解：根据图象，当时，y的取值范围为． 故答案为：． 题型五 概率问题 13．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有三条裤子，分别为蓝色、黑色和白色． (1)小颖先拿了一件白色上衣，然后在三条裤子中随机拿了一条裤子穿上，恰好是白色上衣和蓝色裤子的概率是_______； (2)小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，请利用画树状图或列表的方法，求恰好是白色上衣和白色裤子的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵小颖先拿了一件白色上衣，然后在三条裤子中随机拿了一条裤子穿上， ∴恰好是白色上衣和蓝色裤子的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图为： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果数有1种， ∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是． 14．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图所示，小亮将滑动变阻器按以下方式接入电路：端或端与导线的点相连，端或端与导线的点相连． (1)请用树状图或列表法列出小亮所有可能的连接方式； (2)小亮在将滑动变阻器向左滑时，灯泡变暗的概率是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查列表法求概率； （1）根据列表法列举即可； （2）根据列表可知共有12种可能，其中有8种可使得灯泡变暗，由此可得概率． 【详解】（1）解：列表如下     （2）根据列表可知共有4种可能，其中有1种可使得灯泡变暗 小亮在将滑动变阻器向左滑时，灯泡变暗的概率是 故答案为：． 15．（浙江省海山教育联盟2025-2026学年上学期九年级知识类拓展评估数学试题卷）现有A，B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同． (1)将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为________； (2)分别将A，B两个袋子中的小球摇匀，然后从A，B袋中各随机摸出一个小球，小强说：“摸出的这两个小球标记的数字之和为6的概率与数字之和为8的概率相同．”请利用画树状图或列表的方法，说明小强的说法是否正确？ 【答案】(1) (2)正确， 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，概率公式应用，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4， ∴从中随机摸出一个小球，摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为； （2）解：画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为6与8的结果都有2种， ， ∴小强的说法是正确的． 题型六 数据的分析 16．（25-26九年级上·江西九江·月考）近年来技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于分（成绩得分用表示，共分为五组：；；；；）下面给出了部分信息：甲款软件20名使用者打分为：92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 乙款软件20名使用者打分在等级的数据是：97，97，98，98，98． 乙款软件抽取的使用者打分统计图 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款软件 97.5 98.5 乙款软件 97.5 99 （1）上述表中___________；___________； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中组所占圆心角的度数； （3）下列结论一定错误的是___________． ①甲乙两款样本数据的中位数均在组； ②甲乙两款样本数据得分在96以上的一样多； ③甲乙两款样本数据的、两组人数之和不一样多； ④甲乙两款样本数据的满分一样多． （4）根据甲、乙两款软件样本的打分统计情况，试估计哪款软件更优，并说明理由． 【答案】（1），；（2）（3）①②④（4）甲款软件更优 【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可解答； （2）用组所占百分比计算即可； （3）通过已知数据逐项分析即可； （4）根据甲、乙两款软件的众数和中位数判断即可． 【详解】解：（1）甲款软件20名使用者打分出现次数最多为， ， 乙款软件20名使用者打分在等级的人数为（名）， 中位数是将个分数按从高到低顺序排列的第和个数的平均数， ． 故答案为，； （2）组所占百分比为， ， 扇形统计图中组所占圆心角的度数为； （3）①甲款样本数据的中位数为在组；乙款样本数据的中位数为在组，故此项错误； ②甲款样本数据得分在96以上的有名；乙款样本数据得分在96以上的有名，不一样多，故此项错误； ③甲款样本数据的、两组人数之和为名，乙款样本数据的、两组人数之和为名，所以不一样多，故此项正确； ④甲款样本数据的满分有名．乙款样本数据在组有名，但不一定是满分，所以不一定一样多，故此项错误； 故答案为：①②④； （4）解：甲款软件更优． 甲、乙两款软件的平均数相同，而甲款软件的众数、中位数都大于乙款软件的众数、中位数， 甲款软件更优． 【点睛】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，平均数，中位数，众数，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 17．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 m 87 八年级参赛学生成绩 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ， ； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断 （填“”“”或“”）； (3)请分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． （1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数和中位数作决策即可． 【详解】（1）解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80， ∴； 将八年级的10个数据进行排序：； ∴； 故答案为：； （2）由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． （3）答案不唯一，合理即可． 七年级参赛学生成绩较好，理由如下： 因为七、八年级参赛学生成绩的平均数相同，但是七年级参赛学生的中位数大于八年级参赛学生的中位数． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 初中部 a 85 b 高中部 85 c 100 160 (1)根据图示计算出a、b、c的值； (2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？ (3)计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】(1)，， (2)初中部 (3)初中代表队 【分析】本题考查数据的分析，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是解题关键． （1）根据平均数、中位数、众数的意义及统计图进行计算； （2）比较两个队的平均数和中位数大小，然后可以作出判断； （3）根据方差的计算公式可以得到的值，再由方差的意义可以判断出哪个队的成绩较为稳定． 【详解】（1）∵初中部5位同学的成绩是：， ∴平均分， 众数， ∵高中5位同学的成绩排序可得：70、75、80、100、100， ∴； （2）由表格知初中部和高中部的平均分相同，但是初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好． （3）， ∵， ∴初中代表队比较稳定． 题型七 圆的切线作图 19．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了作图，作圆，作垂直平分线，矩形的性质，切线的性质等知识，作出垂直平分线是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点P，以点P为圆心，为半径画圆即可． （2）按照要求作图即可． 【详解】（1）解：即为所求， ∵四边形是矩形， ∴ 由作图得出且为的半径， ∴都是的切线 故与边、分别相切于点、； （2）解：①作线段的垂直平分线分别交于点E，交于点； ②作线段的垂直平分线交于点Q； ③以Q为圆心，长为半径作， 如下：即为所求． ∵经过、两点， ∴点在的垂直平分线上， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 则点为切点，故在圆上， ∴是圆的弦， ∴作出弦的垂直平分线，与上述的垂直平分线交于一点即为点（圆心是两条不重合的弦的垂直平分线的交点） 20．（25-26九年级上·河南商丘·月考）如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图（角平分线），切线的性质，圆周角定理及其推论； （1）根据角平分线的尺规作图的方法即可作图． （2）利用切线的性质可知，根据圆周角可知，利用角平分线的定义以及等量代换即可求出，结合对顶角相等即可求出，最后根据等腰三角形的判定即可证明． 【详解】（1）解：如解图所示，射线即为所求． （2）证明：是的切线， ， ． 是的直径， ， ． 平分， ． ． ， ． ． 21．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，已知中，，，经过点和点，与交于点，且的圆心在边上． (1)尺规作图：请依题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若，则的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)与直线相切，理由见解析 (3) 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定，含30度的直角三角形，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题： （1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D即可； （2）证明即可； （3）证明，是等边三角形可得结论． 【详解】（1）解：由题意作图如下： （2）解：与直线相切， 理由：如图，连接 ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线； （3）解：如图，连接， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 的面积 故答案为：． 题型八 一元二次方程的应用 22．（25-26九年级上·新疆伊犁·期中）如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长），并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为长的木板（全部使用完），若设为米． (1)若仓库的面积为，求的长？ (2)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】(1)米 (2)仓库的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程与图形有关的问题，正确的理解题意是解题的关键． （1）设的长为米，则米，进而结合题意即可作答； （2）根据题意得到，判断方程的解即可得到结论． 【详解】（1）解：设的长为米，则米， 根据题意得，， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴， 则 ， ∴该方程无实数解， ∴仓库的面积不能为． 23．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设每个台灯涨价x元． (1)每个台灯涨价x元后，该商场平均每月可售出________个台灯（用含x的代数式表示）； (2)该商场销售这种台灯能否实现平均每月13000元的销售利润？如果能，求出每个台灯售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨x元后的月销售量； （2）列出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】（1）解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯． 故答案为：； （2）解：依题意，得， 整理，得， ， ∴原方程无解． 答：该商场销售这种台灯不能实现平均每月13000元的销售利润． 24．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或时，的面积为 【分析】此题主要考查了动点问题，一元二次方程的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或时，的面积为． 题型九 位似作图 25．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，把绕点逆时针方向旋转得到，即为所求； （2）如图，在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； （3）的面积为． 26．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为______； (3)的面积=______． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3)14 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，包括位似图形的画法，位似变换中点的坐标变化规律及位似图形的面积比． （1）把点A，B，C的横坐标分别乘以可得它们的对应点，，的坐标，描出，，，并顺次连接，，即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）先计算出的面积，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所求： （2）解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为， 故答案为：． （3）解：， ∵以点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴， ∴． 故答案为：14． 27．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点．（格点是网格线的交点）． (1)将向右平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为； (3)若的面积为，则的面积为_________（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，位似变换和相似三角形的性质，解题的关键是掌握图形平移的性质与作图方法． （1）根据平移的性质性质找到A、B、C三点的对应点，再连接成三角形即可； （2）找出的对应点，再连接成即可； （3）运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得， ∴， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴与的面积比为 又的面积为， ∴的面积为 故答案为： ． 题型十 相似三角形的判定 28．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，四边形内接于平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用圆周角与弧的对应关系转化角的等量关系，通过构造辅助线（延长线段）创造全等或相似的条件． （1）利用平分得到角相等，结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），即可得证． （2）由可得，通过圆内接四边形的对角互补性质得到，结合第一问结论及角平分线性质证明，再通过角的等量转化证明． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ． （2）证明：， ， 四边形内接于， ， 点在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 29．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，， ， 平分交于点， ， ， ， ∽． （2）解：如图，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 30．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 题型十一 圆中的阴影面积 31．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，的长为，求与所围成阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意得到，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可得到，再根据圆周角定理得到，推出，进而得到，即可得出结论； （2）连接，作于点，如图所示，由的长为，求出，证明为等边三角形，得到，，勾股定理求出，再利用与所围成阴影部分的面积等于即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，作于点，如图所示， ， ， ∵的长为， ∴， ， 为等边三角形， ，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，弧长公式，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 32．（25-26九年级上·北京·期中）如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得，结合，可推出，即可证明； （2）证明四边形是菱形，得到，，即，可知，，则是等边三角形，根据勾股定理求出，作，根据30度角的性质得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， 又， ， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 即， ∴ 即，， ， 是等边三角形， 即， ∵ ∴ 如图，作， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，30度角的性质，扇形面积公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 33．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆周角，弦，弧的关系证明即可． （2）运用圆的内接四边形的性质，得到，结合，，继而得到，结合为的直径，得到，；根据，结合三角形的外角性质，计算即可． （3）连接，证明出是等边三角形，求出，根据，计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：连接，，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积，的面积， 阴影部分的面积扇形的面积的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，三角函数，扇形面积公式．解题的关键是掌握以上知识点． 题型十二 二次函数的应用 34．（25-26九年级上·河南新乡·月考）年河南文化旅游节期间，某文创店推出两款以河南文化标志为主题的纪念品：款为“龙门石窟浮雕纪念牌”，款为“唐三彩小马挂件”．已知购进一个款纪念牌需元，购进一个款挂件需元． (1)根据线上预约数据，预计两款纪念品总需求量为个．若商家计划用不超过元的资金进货，那么至少需要购进款“唐三彩小马挂件”多少个？ (2)在销售过程中，商家发现每个款“龙门石窟浮雕纪念牌”定价元时，可售出个，售价每提高元，销售量就减少个．设每个款纪念牌售价为元，表示商家销售款纪念牌所获利润（单位：元）．求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】(1)个 (2)，最大值为元 【分析】（）设需要购进款“唐三彩小马挂件”个，则需要购进款“龙门石窟浮雕纪念牌”个，根据题意列出不等式解答即可求解； （）根据题意求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设需要购进款“唐三彩小马挂件”个，则需要购进款“龙门石窟浮雕纪念牌”个， 由题意得，， 解得， 答：至少需要购进款“唐三彩小马挂件”个； （2）解：由题意得，， 即， ∵， ∴当时，取最大值，的最大值为元． 35．（北京市房山区2025-2026学年上学期学业水平调研九年级数学试题）某学生在打羽毛球时、发现羽毛球在空中的飞行路线可看作抛物线的一部分（不考虑空气阻力等因素），建立如图所示的平面直角坐标系，从点A处发球，羽毛球飞行过程中距离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下表： 0 3 6 9 0.70 2.05 2.50 2.05 (1)根据上述数据，羽毛球飞行过程中距离地面高度的最大值为________m； (2)求y关于x的函数表达式（不必求自变量x的取值范围）； (3)当对面另一名学生位于羽毛球正下方，羽毛球距离地面高度不大于他的最大击球高度2.4m时，视为击球成功．若对面这名学生位于羽毛球正下方时，，请问他能否击球成功？试通过计算说明． 【答案】(1)2.50 (2) (3)能击球成功，见解析 【分析】本题考查了二次函数的对称性、待定系数法求解析式及函数值的计算，解题的关键是利用抛物线的对称性确定顶点位置，再用待定系数法求出函数表达式． （1）利用抛物线对称性确定对称轴与顶点，得到最大高度； （2）设二次函数一般式，代入表格数据联立方程，求出解析式； （3）将代入解析式计算值，与2.4比较判断击球是否成功． 【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线的对称轴为（因和时值相等），故顶点在处，此时，即最大高度为． （2）解：设抛物线的函数表达式为，代入表格数据： 当时，，得； 当时，，得，即； 当时，，得，即． 联立方程解得：，， 故函数表达式为：； （3）解：当时，代入函数表达式： ， 因，故能击球成功． 36．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开（木栏的占地面积忽略不计），分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． (1)若苗圃的面积为96平方米，求的值； (2)求当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)8 (2)当x为米时，苗圃的最大面积为平方米 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得的长为米；根据题意得，，即可解得x的值； （2）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为米， ∴的长为米， 根据题意得，， 解得，或， ∵当时，（不合题意，舍去）； 当时，（符合题意） ∴的值为； （2）解：设苗圃的面积为， ， ∵， ∴， ∵，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃的最大面积为平方米． 题型十三 圆中的切线证明并与三角函数结合 37．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，中D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1)见详解； (2). 【分析】（1）连接，根据题意得，结合圆和等腰三角形的性质得，则，结合已知得，即可证明； （2）根据题意知和，则，解得和，求得，即可得半径． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 且是半径， 则是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故的半径． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的判定和性质． 38．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定； （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：如图1，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． （2）解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 39．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 题型十四 三角函数的应用 40．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）如图， 图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具----“碓（）”的结构简图，图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若 分米， 分米，，求点到水平线的距离的长． 【答案】分米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交直线于点，连接，由可得分米，分米，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交直线于点，连接， 在中，，分米， ∴分米， ∴分米， ∵， ∴， 即， 解得分米， 答：点到水平线的距离的长为分米． 41．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【答案】(1)5米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，根据题意可得，设米，米，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）延长交于H， 可证明四边形是矩形，得到米，设米，则米，解得到米，解得到米，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于F， ∵斜坡的坡比为， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米， 答：坡顶到地面的距离为5米； （2）解：如图所示，延长交于H，由题意得，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 由（1）可得米， 设米，则米， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴， 解得， ∴米， 答：南城门城楼的高度约为米． 42．（2025九年级上·全国·专题练习）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）． （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高度长，再加的高度即可求解． 【详解】（1）解：在中，， 由题意得， ； 即索道的长约为． （2）解：如图，延长交直线于点， 则， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， 由题意得， 即山顶点到水平地面的距离的长约为． 题型十五 二次函数中的角度、等角、半角问题 43．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，根据二次函数的性质求出最值，可得，进而求解； （3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点E的坐标为，设点F的坐标为，再根据，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为①； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 对于， 令， 解得或4， 令，则， 故点B的坐标为，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， ∵， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点Q的坐标为； ∵，， 故四边形为平行四边形； （3）解：∵D是的中点， ∴点， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 过点Q作轴于点H， 则，故， 而， ∴， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为， 设点F的坐标为， 由点B、E的坐标得：， 由点B、F的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点F的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 44．（25-26九年级上·广东珠海·月考）综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点的坐标为：． (2)关系式为：，当时，的最大值为； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）根据待定系数法求得函数解析式，然后再求出顶点坐标即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线：， 把代入函数解析式得到， 故顶点的坐标为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在， 当点在点左侧时，是钝角，为锐角，此时得； 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线，根据两直线平行内错角相等可知直线与抛物线在第一象限的交点为，此时有， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键． 题型十六 二次函数的不等式证明 45．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知抛物线（为常数）． (1)若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①把点坐标代入解析式，利用待定系数法求解析式；②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）根据对于任意实数，都有，得出对于任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①把代入得： ，解得， ∴； ②抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵对于任意实数，都有， ∴对于任意实数都成立， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得，， ∴交点、横坐标分别是和， ∴． 46．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，且． (1)当抛物线经过，两点时， ①求b的值； ②点为抛物线在、之间的部分图象上的任意一点（包含、两点），都有．求的取值范围； (2)若=1，，是抛物线上的两点．当，时，总有，求b的取值范围． 【答案】(1)①b=-1；②且 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． （1）①代入/得，再求解即可；②可得对于时，要求，即：，即再分类讨论求解即可； （2）在上：对称轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，最小值为：在上：对称轴在区间内部，函数开口向上，最大值在离对称轴较远的端点处取得．右端点离对称轴的距离为2，左端点距离为1，故最大值无限接近再由求解即可． 【详解】（1）解：①代入得 已知， 故； ②时，抛物线为： 由题意抛物线经过，两点时，点为抛物线在、之间的部分图象上的任意一点（包含、两点），都有， 可得对于时，要求，即： ，即 当时成立； 当时，需，即对恒成立． 函数在上y随x的增大而增大，最大值为， 故． 因此，的取值范围为且； （2）解：抛物线为： 对称轴为，且． 由，时抛物线上的两点．当，时，总有， 即在上：对称轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，最小值为： 在上：对称轴在区间内部，函数开口向上，最大值在离对称轴较远的端点处取得．右端点离对称轴的距离为2，左端点距离为1，故最大值无限接近 由条件总有得： ， 由知， 故， 即． 因此，的取值范围为． 题型十七 二次函数中的面积问题 47．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的面积问题，最短路线的问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 48．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)如图1，点是抛物线第一象限的一点，连接，且与交于点． ①求的面积； ②设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (2)如图2，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在新抛物线对称轴上找一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点且为对角线的四边形是矩形，请求出点的坐标． 【答案】(1)①；②， (2)， 【分析】（1）①先求出与轴交点为，，再根据求出面积即可． ②设点，由，即，可得，即，得，再求出点的坐标即可． （2）先求出平移后的新的抛物线为，抛物线的对称轴为与轴交于S，作对称轴于，作轴于点，可证明 ，得，，得，设，， 得，作于点，，，在中，根据，得，再求出的值即可． 【详解】（1）解：①由题可知：与轴相交于点，， ， 解之得：，， 即，， 当时，， ， ． ②设抛物线上的点的坐标为， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ∴， （2）解：化为顶点式 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得新的抛物线 即， ∴抛物线的对称轴为与轴交于S， 如图，作对称轴于，作轴于点， ， ∵四边形是矩形． ，， ， ，同理：， ，， ， ，， ， 设，， ，则，， ，作于点，，， 在中，，即， ∴， ∴， 又∵， 解之得或， ∴，． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了抛物线的平移，求与抛物线有关的三角形面积，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等．作垂线构造全等三角形是解决问题的关键． 题型十八 相似中的路径问题 49．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形，，，是边上一点，且，点为边上一动点，连接，过作的垂线交矩形的边于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当点在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)在整个运动过程中，的中点的运动路径长为_________． 【答案】(1)1 (2)不变； (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平面直角坐标系中线段中点的坐标，用勾股定理求平面直角坐标系中两点的距离； （1）证明，可得，即可求解； （2）过点作于点，证明可得，再利用勾股定理可得结论； （3）分类讨论：①当点Q在边上时，过作，交于点，交于N，点在直线上运动，当，即点P运动到图1中位置时，运动到最左端；当运动到和在处，即点P运动到图1中，位置时，运动到最右端，即最右端点为，最左端点为，并且点P从运动到的过程中，点会从运动到再回到，运动的路程长为；②当点Q在边上时，以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，此时点在直线上运动，其运动路径为一个线段；分别求出两个运动路径长度，然后相加即可. 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，是边上一点，且， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． （2）解：不变化，理由如下： 过点作于点，如图所示： ， ∵四边形为矩形， ∴四边形、四边形均为矩形， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴在中，， ． （3）解：①当点Q在边上时，过作，交于点，交于N，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴ ∵点是的中点 ∴平行线分线段成比例定理可得：、分别为、中点 ∴点在直线上运动，当，即点P运动到图1中位置时，运动到最左端；当运动到和在处，即点P运动到图1中，位置时，运动到最右端，即最右端点为，最左端点为，并且点P从运动到的过程中，点会从运动到再回到. ∴运动的路程长为， ∵四边形是矩形， ， ∵， 当在处，即点P运动到图1中位置时， 由（1）知，， ∴，是的中点， ∵为的中位线， ， 当，即点P运动到图1中位置时，此时四边形、四边形为矩形， ∴ 由（1）知， ， 即， ∴或（舍去）， ， ， ， ②当点Q在边上时，以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图2所示： 设，，则， 由（2）得 ∵在中， 在中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 令，则 ∴ ∴ ∴此时点在直线上运动，其运动路径为一个线段 如图2所示，当P点在B点的时候M点在最下端， 即时，此时 当Q点在D点的时候M点在最上端， 由（1）得：即时，此时 ∴此时M点运动路径长为 综上：点的运动路径长为． 50．（2023·江苏淮安·模拟预测）【问题探究】 数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的探究与操作： 第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平． 【问题解决】 （1）如图1，填空：四边形的形状是 ； （2）如图2，小明连接了，E两点，发现线段与是相等的， ①请帮助小明写出证明的过程； ②如图2，若，求的值． 【问题延伸】 （3）如图3，若该矩形纸片的长，点M，N分别在边上，．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点上．在点M从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为 ． 【答案】（1）正方形；（2）①证明见解析；②；（3） 【分析】（1）由翻折可知，又不难证明四边形是矩形，从而可得结论． （2）①连接，则由翻折的对称性可知，依次证明，，即可得出．②勾股定理解求出，证明，根据对应边成比例求出，再根据即可求解； （3）注意动点E随着M的移动先从左往右，再从右往左，计算几个临界点时的长度即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴四边形是矩形． 由折叠可知：， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． （2）①证明：连接，则由翻折的对称性可知， 又由（1）可知， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ②解：∵， ∴， 中，设，则， ， 解得， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴． （3）解：如图，连接，， ∵与边交于点E， ∴． 故． 当M在点A处时，如图， 由折叠得， 由得， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； M移动到时，如图，同理可得：点E向右移动到， 当M移动到时，点E又向左移动到． 当M继续移动时，边与边不相交，不合题意． 故点E移动的路径长为:． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合问题，动点问题，矩形的性质，轴对称的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键在与分析动点的运动状态，特别是要准确地判断临界点发生的条件，并确定位置． 题型十九 圆中的无刻度尺作图 51．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（每个作图任务画线条数不超过四条） (1)，均为格点，且经过，两点，在图1作出的中点； (2)经过格点、、三点，在图2中的圆上找一点，使平分． (3)，，，四点都在圆上，且，在图3作出的中点； (4)经过格点、、三点，点是圆与格线的交点，在图4中的圆上找一点，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点即可； （2）取格点、，连接、、，交于点，交于点，连接并延长交圆于点，连接即可； （3）连接、，交于点，连接并延长、连接并延长，两延长线交于点，过点、作直线交于点； （4）设圆交格线于点，取格点、，连接并延长交圆于点，连接． 【详解】（1）解：取格点，连接交于点，连接、、、， 设网格中的小正方形的边长为个单位， ∵，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴与互相垂直且平分， ∴点是的中点， 则点即为所作； （2）取格点、，连接、、，交于点，交于点，连接并延长交圆于点，连接，连接、， ∵，，，，， 又∵，， ∴，， ∴和都是经过格点、、三点的圆的直径， ∴点为圆心， ∵，，，， 又∵，， ∴，， ∴点、在上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴平分， 则点即为所作； （3）连接、，交于点，连接并延长、连接并延长，两延长线交于点，过点、作直线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴点为的中点， 则点即为所作； （4）设圆交格线于点，取格点、，连接并延长交圆于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，等腰三角形判定与性质及三线合一，垂直平分线的判定与性质，两平行弦所夹的弧相等，同弧和等弧所对的圆周角相等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题， 52．（22-23九年级上·江苏无锡·月考）数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．    【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O； 第二步：连接； 第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和． 则图中、即为所求的点． 请在图②中，连接、、、，并求证：． 【方法迁移】 如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】 （2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______． （3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______． 【答案】（1）见解析；方法迁移：见解析；（2）且；（3）8 【分析】（1）根据尺规作图可知是等边三角形，，利用圆周角定理可知； 方法迁移：作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心，为半径作，与、的交点为P （2）当过点A和D时，，当与相切于点E时，只有一个交点，计算得，即可求得； （3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，证明点P在圆O上，则当点P在线段上时，最短，在中，，，，即可求得的最小值为 【详解】解：（1）∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据圆周角定理可知：；    方法迁移：尺规作图如下： 作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心，为半径作，与、的交点为P；    （2）如下图所示：    当过点A和D时，， 当与相切于点E时，只有一个交点， ∵， ∴， ∴满足的点P恰有两个时，m的取值范围且， 故答案为：且； （3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，在优弧上取一点H，连接， ∴， ∴， ∴四点共圆，即点P在圆O上， ∴当点P在线段上时，最短，    作交的延长线于点F， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的作法，勾股定理，一点到圆上一点距离的最值问题，矩形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角和圆心角之间的关系 题型二十 相似中的折叠问题与比值问题 53．（25-26九年级上·广东深圳·月考）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为；②或 【分析】（1）由同角的余角相等得出，由题意可得，，证明，得出，，由等腰直角三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由题意可得，由同角的余角相等可得，证明，得出，，求出，即可得出结果； （3）①由（1）可得，，，则和都是等腰直角三角形，由轴对称的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出四边形为正方形，过点作于点，求出，得到，分两种情况：当时，；当时，此时，求出与的函数表达式为，再由二次函数的性质即可得出结果；②记正方形的中心为，由题意可得，连接、、，则，结合直角三角形的性质可得，从而得出点、、、、都在上，且、为直径，由圆周角定理可得，过点作于点，作于点，则，，四边形为矩形，由勾股定理可得，则，求出正方形的面积为，从而得出，由此计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），，证明如下： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）①由（1）可得：，，， ∴和都是等腰直角三角形， ∵点与点关于对称， ∴为等腰直角三角形，， ∴四边形为正方形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴，， 当时，， ∴； 如图，当时，此时， 同理可得：； 综上所述，与的函数表达式为， 当时，有最小值，最小值为； ②如图，记正方形的中心为， ∵， ∴， 连接、、， ∵正方形的中心为， ∴， ∵是直角斜边上的中线， ∴， ∴， ∴点、、、、都在上，且、为直径， ∴， 过点作于点，作于点， ∴，，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， ∴， 解得：或，经检验都符合题意； 综上所述，当时，为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 54．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）（1）【问题情境】如图①，把三角板放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在上，则的值为___________； （2）【变式探究】如图②，正方形的边长为4，点在边上，连接并作，交边于点，当的值最小时，求的值； （3）【拓展应用】如图③，把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）设，可得，利用相似三角形的性质求解得到，则，再利用二次函数的性质得到当时，取得最小值，为，故当时，取得最小值3，取得最小值，再由，得到； （3）以为顶点作，其中边交于．交延长线与，利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，得到，再结合，，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】（1）解：矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）设，由题意得， ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 对称轴为直线， 而， ∴当时，取得最小值，为 ∵， ∴当时，取得最小值3，取得最小值， ∵， ∴； （3）如图，以为顶点作，其中边交与．交延长线于， 在平行四边形中，，， ，， 又， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 又，， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、含角的直角三角形的性质、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 题型二十一 二次函数中的特殊四边形 55．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，直线交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线，垂足为N，直线交y轴于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若，当m为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点E，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当m为时，四边形是平行四边形 (3)存在，m的值为或 【分析】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键． （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解； （3）根据，分E在内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，； 当时，， 点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意，， ， 当四边形是平行四边形时，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得：， 直线的解析式为， 又过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为， ， ， 解得（不合题意，舍去），； 当m为时，四边形是平行四边形； （3）解：存在，理由如下： 对称轴为， 设P点坐标为， 点横坐标为：， ， ①如图1，点E在上， ，即E是的中点， ， 又点E在直线上，代入得，， 解得：或（舍去）， 故此时m的值为； ②如图2，点E在的延长线上，设E点坐标为， ，， ①， ②， 联立①②得，， 解得：（舍去）或， 综上所述，m的值为或． 56．（25-26九年级上·天津·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为直线 (2)，4 (3)存在，M的坐标是或 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，根据抛物线与x轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：设直线的表达式为， 将点B的坐标代入上式得， 解得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ， ∴有最大值， 当时，的最大值为4； （3）解：存在，理由： 当时，点， 设点，而点； ∵四边形是菱形， ∴， 即， 解得：， 即点M的坐标为或． 题型二十二 二次函数与三角函数结合 57．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是二次函数图像上位于直线上方的动点，连接； ①求的最大值； ②如图2，过点作，垂足为，若中有一个内角等于，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】（1）由题意可知二次函数经过点、点和点，联立方程，求出，即可得抛物线的函数表达式； （2）①过点作的平行线交轴于点，交轴于点，先求出所在直线的函数表达式为，则设所在直线的函数表达式为，当和只有一个公共点时取最大值，联立方程求出，继而求得，所在直线的函数表达式为，求得，依据列式计算即可； ②通过画图找到半角正切值，并构造,且轴，相似比为设，则，，分类讨论当时和当时的坐标，代入抛物线的函数表达式，求出值即可求得横坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数，经过点、点和点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：①过点作的平行线交轴于点，交轴于点，如图， 设所在直线的函数表达式记为， 所在直线的函数表达式记为， 所在直线的函数表达式记为， ∵点、点 ∴，解得， 所在直线的函数表达式为， 设所在直线的函数表达式为， 当与有一个公共点时，取最大值， 即， 化简得， ，即， 解得， 代入，化简得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为， 当时，， ∴点的坐标为， 将点，代入得 ，解得， 所在直线的函数表达式为， 当时解得， ∴点的坐标为， ∴， ； ②如图，已知，令，则，， 在的延长线上截取， ∴， ∴， 即， ∵点、点，且、在轴上， ∴， 当时，如图 构造，且轴， 相似比为， ∵， ∴， 设，则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为， 将代入，得， 解得（舍去）或， ∴的横坐标为； 当时， ， ，， ∴， ∴的横坐标为，纵坐标为， 将代入得， 解得（舍去）或， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线表达式、通过抛物线图像求与一次函数围成三角形最大面积，构建相似三角形，利用三角函数半角正切求动点坐标的知识点，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 58．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知关于的二次函数图象与轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． (1)求的值； (2)若点恰好在二次函数的图象上，求此时的值：_____ (3)过点作的平分线交二次函数图象于点，过点作线段交轴于点，请直接写出_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得点A、B、C的坐标，进而求得、，由勾股定理求出，利用正弦定义求解即可； （2）过D作轴于P，证明，利用全等三角形的性质求得点D坐标为，代入二次函数解析式中解方程即可求解； （3）设与y轴交于点K，过K作于H，根据角平分线的定义可得是等腰直角三角形，则，设，解直角三角形求得，则，求得；过E作轴于M，然后解直角三角形，分别求得，，进而可求解． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴； 当时，由，解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：如图所示，过D作轴于P，则， 由旋转性质得，，且点D在第一象限， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点D坐标为， ∵点D恰好在二次函数的图象上， ∴， 解得； （3）解：设与y轴交于点K，过K作于H， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 过E作轴于M，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及旋转的性质、锐角三角函数、二次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 题型二十三 相似与三角函数结合 59．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）（1）问题探究：如图1，在正方形，点，分别在边，上，于点，点，分别在边、上，．推断：的值为______； （2）类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用1：如图，四边形中，，，，，点，分别在边、上，求的值； （4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4） 【分析】（1）证，可得，证四边形是平行四边形，进而即可求解； （2）作，由折叠性质知，证，进而即可求解； （3）作，，连接，证得，由，可得，证，进而即可求解； （4）过点P作交的延长线于利用相似三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 由题意可得：，， ， ，， ， ； ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ； 故答案为：1； （2），理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 作， 则四边形是矩形， ∴， 由折叠性质知， ，， ， ， ， ， ； （3）作，，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由勾股定理可得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理可得：，即， ，（不符合题意，舍去）， ， ，， ， ， ， ； （4）如图2中，过点P作交的延长线于则， ∵， 设，，则， ，， ， ， 或（舍）， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 60．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，其中点E，F分别是点 B，C的对应点． (1)如图1，连接 ， ，则的值为 ． (2)如图2，当点E恰好落在边上，连接交于点O，连接， ①的长度为 ； ②求的值． (3)若直线， 交于点 H，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到； （2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到，求解，由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到，再进一步求解即可． （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得． 【详解】（1）解：由旋转的性质知，，， ， ， ． （2）解：①四边形是矩形， ，， ， . ②如图，过点作于点， 由旋转可知，， ， ， ， ， ∴， 平分 又，， ， ∴， 由旋转可知，， ，， ， ． ∴． （3）解：的长为或，理由如下， 由旋转得，，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 为等边三角形， 同理为等边三角形． ∴， 如图，令与的交点为， ，， ， ， 如图，同理可得， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型二十四 新定义问题 61．（25-26九年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，∴函数的“最优纵横值”为10．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求、的值； (3)若二次函数的顶点在，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】(1)8 (2)， (3) 【分析】本题考查配方法和二次函数的性质的应用： （1）根据“纵横值”的定义求解即可； （2）根据二次函数的顶点的位置可求出b的值，表示出，利用配方法求出其最大值即可求出c； （3）根据二次函数顶点在直线上可求出h，表示出，利用配方法求出其最大值，并结合二次函数图象性质求出其最小值，从而得到答案． 【详解】（1）解： 故答案为：8； （2）解：∵二次函数的顶点在直线上， ∴，即， ∴， 则， 即二次函数的最优纵横值为， ∴， ∴， ∴，； （3）解：二次函数的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴，解得， 故二次函数为， 则， 当时，当时，的最大值为， 当时，有最小值， ∴当时，求该二次函数的纵横值的范围是． 62．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线． 【应用】 (1)如图1，中，，，，是上一点，，求证：是的完美分割线； (2)如图2，菱形中，，点是边的中点，点是边上一点，连接交线段于，若是的完美分割线，且，求的长； (3)如图3，矩形中，点是的中点，为射线上的动点，连接并延长交射线于，是射线上一点，，若是的完美分割线，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为1或或． 【分析】（1）证，得，即可得解； （2）易得是的完美分割线，，进而可得，再证，进而设参建立方程求解即可； （3）由题意分三种情况讨论，画出图形，进而求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴是的完美分割线； （2）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的完美分割线，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴； ∴，即； （3）解：①或时，如图， 则四边形是正方形； ∴； ②时，如图： 此时可设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 由，可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ③时，如图， 此时， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为1或或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 63．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的求解方法是解题的关键．用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 64．如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是菱形，理由见详解 【分析】（1）先理解题意，结合两位同学的想法，作图，再根据平行四边形的性质以及切线的性质，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质进行分析，即可作答． （2）先理解题意，作图，证明，得，因为四边形是平行四边形，得，即，得，故，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）解：左边同学的思路： 过点O作，连接，，如图所示： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是的切线； 右边同学的思路： 连接，并延长交于点F，如图所示： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是切点， 即直线是的切线； （2）解：是菱形，理由如下： 当与相切时，记切点为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 65．宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查． 【调查与收集】 甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是___________． A．依次抽取100株 B．随机抽取100株 C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株 D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株 【整理与描述】 同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下： 甲样本的频数分布表 频数 7 45 15 20 13 乙样本的频数分布直方图 注：每组含最小值，不含最大值． 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是_________； （2）补全乙样本的频数分布直方图． 【分析与应用】 （1）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 5.73 乙 15.74 4.85 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数； （3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议． 【答案】[调查与收集]B；[整理与描述]（1）；（2）见解析；[调查与收集]（1）见解析；（2）65；（3）见解析 【分析】[调查与收集] 利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断； [整理与描述] （1）根据频率的定义计算甲样本中组的频率； （2）先计算出乙样本组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图； [分析与应用] （1）先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后填表即可； （2）根据两者的方差提出建议即可． 【详解】解： [调查与收集] 为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差， 所以应该随机抽取100株作为样本； 故选：B； [整理与描述] （1）甲样本中组的频率， （2）乙样本总频数为100，已知各组频数为， 则组的频数为：， 补全乙样本的频数分布直方图： [分析与应用] （1）甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20， ‌甲样本平均数 =， 乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值， 前两组频数和为，前三组频数和为， 第50、51个数据落在组， 乙样本中位数出现的组别落在组， 填表如下： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 15.74 5.73 乙 15.74 4.85 （2）估计甲种葡萄树每株产量不低于的株数： 甲样本中组频数为13，频率为， 试验田甲种葡萄树共500株，故估计株数为（株） （3）合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的种植技术． 【点睛】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． 66．某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 67．某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①，②可以，理由见解析③见解析 【分析】（1）设，，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设，，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 68．已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明见解析 ②为定值，该定值为 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 69．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 70．已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $