专题08 期末真题通关之填空必考题（期末复习专项训练，26大题型70题）九年级数学上学期苏科版

专题08 期末真题通关之填空必考题（70题） 选择必考题 题型1 比例的性质与黄金分割 题型16 三角函数的应用 题型2 一元二次方程的实数根与根 题型17 折叠问题 题型3 二次函数的定义与顶点坐标 题型18 黄金三角形 题型4 数据的分析 题型19 二次函数与不等式 题型5 概率问题 题型20 最值问题 题型6 列一元二次方程与三角函数值 题型21 网格中的三角函数 题型7 二次函数的应用 题型22 二次函数的增减性与对称性 题型8 正多边形与圆 题型23 二次函数的各项系数关系 题型9 弧长、扇形面积、圆锥侧面积 题型24 取值范围问题 题型10 表格中的二次函数 题型25 路径问题 题型11 圆周角定理 题型26 二次函数的新定义 题型12 相似三角形的性质 题型13 平行线分线段成比例 题型14 位似中心求解 题型15 一元二次方程根与系数关系 题型一 比例的性质与黄金分割 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例性质，由已知比例关系，利用分式的运算性质，将所求表达式变形后代入求解． 【详解】解：， ∴ ． 故答案为． 2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点上方的琴弦长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】解：∵二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为，且二胡的琴弦长为， 则有， 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 题型二 一元二次方程的实数根与根 3．（吉林省松原市2025-2026学年上学期期末测试九年级数学试题）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握好方程的解的意义是解题关键． 利用方程根的定义，将a代入方程得到的值，然后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，变形得，， ∴． 故答案为：2026． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）若关于x的方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】由于已知方程有两个相等的实数根，所以利用一元二次方程的根的判别式，建立关于m的方程，解方程即可求出m的取值．本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，正确掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 二次函数的定义与顶点坐标 5．（25-26九年级上·福建南平·月考）若关于的函数是二次函数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是应用知识点解决问题； 根据二次函数的定义，二次项系数必须不为零． 【详解】解：函数 是二次函数， 需满足二次项系数，解得 ， 故答案为 ：． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键是将a，b，c的值代入二次函数顶点坐标公式求解即可． 【详解】解：抛物线 中，，，，顶点横坐标 ，代入解析式得 ，所以顶点坐标为 ， 故答案为：． 题型四 数据的分析 7．（2025八年级上·全国·专题练习）某中学举行朗诵比赛．甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是 选手．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了运用加权平均数做决策，求加权平均数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 计算甲、乙、丙三名选手的加权平均分，观众评分权重为，评委评分权重为，比较总分即可． 【详解】解：甲的总分为：（分）； 乙的总分为：（分）； 丙的总分为：（分）； ∵， ∴总分最高的是乙选手， 故答案为：乙． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是 班． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差，根据方差的意义，方差越小，表示数据波动越小，成绩越整齐，据此求解即可． 【详解】解：甲班方差为，乙班方差为．由于， 因此乙班方差更小，成绩更整齐． 故答案为：乙． 题型五 概率问题 9．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为： ． 故答案为：． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为， 故答案为：． 题型六 列一元二次方程与三角函数值 11．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意． 设年平均增长率为x， 【详解】设年平均增长率为x，则2019年销量为万辆，2020年销量为万辆， 根据题意，2020年销量为130万辆， 因此可列方程为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算． 先求出特殊角的三角函数值，再计算二次根式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型七 二次函数的应用 13．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为 m． 【答案】0.2/ 【分析】本题考查了二次函数的应用，求得球出手时运动员的横坐标是解题的关键．求得当时，x的值，进而根据题意求得运动员所在的横坐标，即可求得篮球出手时的高度，进而求得运动员跳离地面的高度． 【详解】解：令，即， 解得，（舍）， 运动员所在的横坐标为：， 当时，， 运动员跳离地面的高度为：， 故答案为：0.2． 14．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）皓轩同学参加体育课实心球测试，实心球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系为，则他的实心球测试成绩是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 实心球测试成绩即实心球落地时的水平距离，此时高度，代入到函数关系式中，求出对应的的值，即可解答． 【详解】解：当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴他的实心球测试成绩是． 故答案为：10． 题型八 正多边形与圆 15．（25-26九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆的相关计算，分别求出和的度数是解决本题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示，易得是等边三角形，则，进而求出和的度数，在等腰中，根据，求出，在中，结合含的直角三角形性质与勾股定理求得的长度，即为半径的长度． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示： 则结合题意等分圆周可知，，，， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，，，则， ， 是等腰直角三角形， 在等腰中，，，则由勾股定理可得，解得， 在中，，，则， 又，则勾股定理可得，即，解得， ∴， 则， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）我国数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”：用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，直角三角形的性质， 先画出图形，并作，可求出中心角，再根据“含直角三角形的性质”得，然后求出，即可得正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点M， 是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，设的半径是2， 在正十二边形中，， 在中，， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， 解得， ∴的近似值为． 故答案为：． 题型九 弧长、扇形面积、圆锥侧面积 17．（2025九年级上·全国·专题练习）已知扇形的圆心角为，其半径为3，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，将，代入公式得扇形的面积公式为进行求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．（2025·四川广安·一模）如图1是一个圆锥形生日帽，图2是其示意图．若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，则将该圆锥沿母线剪开后，其侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案. 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得， 其侧面展开扇形的圆心角为． 故答案为：． 题型十 表格中的二次函数 19．（浙江省浙派联盟2025-2026学年九年级上学期科学12月独立作业数学试卷）二次函数图象上部分点的坐标如下表所示： x … 0 4 … y … 2 2 … 则方程的解为 ． 【答案】或者 【分析】先根据表格中和时值相等，确定抛物线对称轴；将方程转化为原函数的情况，结合对称轴求方程的解．本题主要考查了二次函数的对称性及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握利用二次函数对称性求方程的解是解题的关键． 【详解】解：和时，, 抛物线对称轴为直线 时，， ∴， 方程， ∴， 时，， ∴点关于直线 的对称点为， 方程的解为或， 故答案为：或者． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，求这个二次函数的最小值为 ． x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 【答案】2 【分析】根据表格信息利用待定系数法可求得二次函数的解析式，然后将解析式写为顶点式即可求其最值．本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和求二次函数的最值，将二次函数的解析式写为顶点式是解题的关键． 【详解】解：将，，代入得， 解得， ， ， 该函数的最小值是． 故答案为：． 题型十一 圆周角定理 21．（浙江省浙派联盟2025-2026学年九年级上学期科学12月独立作业数学试卷）如图，是的直径，内接于．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、 内角和定理、等边对等角，连接，由等边对等角得到，进而求出，再根据圆周角定理可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，弦，弧，圆心角的关系，勾股定理的应用，过作交于，交于，证明，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：过作交于，交于，而， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径是3， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 题型十二 相似三角形的性质 23．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 24．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为12，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型十三 平行线分线段成比例 25．（北京市房山区2025-2026学年上学期学业水平调研九年级数学试题）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，由平行线分线段成比例可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 26．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，若，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据题意，可得，然后代入可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十四 位似中心求解 27．（江西省抚州市六校联盟2025-2026学年上学期九年级质量检测数学试题）如图，已知与位似，位似中心为点O，的面积与面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质；位似图形相似，对应点与位似中心共线，且到位似中心的距离之比等于位似比，根据面积之比求出相似比即可求解. 【详解】解：∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∵， ∴与的位似比为， ∴， ∵C、O、F三点共线， ∴. 故答案为：. 28．（25-26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数的应用，解题的关键是需要分情况讨论． 连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，根据待定系数法求出直线，进而求出与轴交点坐标；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：。 ∴， 当时，，即点. 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 故答案为或． 题型十五 一元二次方程根与系数关系 29．（25-26九年级上·全国·期末）设是方程的两个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 30．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）若一元二次方程的两个根为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及代数式，根据关系求出两根之和与两根之积，再代入化简后的代数式计算． 【详解】解：，． ． 故答案为：． 题型十六 三角函数的应用 31．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角，竖直下降10米至D，测得A点俯角，那么峭壁的高是 米（精确到米） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，俯角与仰角，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由题意及图，得，，推导出为等腰直角三角形，且，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：由题意及图，得，， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 32．（2025九年级下·四川绵阳·学业考试）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，分别在和中利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该旗杆的高度． 【详解】解：在中，米，， ∴， 解得：米， 在中，米，， ∴， 解得：米， 故该校的旗杆高约为：（米）， 故答案为：． 33．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为 米．    【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题、仰角俯角问题．如图过点B作交于点D，过于点E，由题意求得，由平行可求得，再根据三角形外角的性质进而求得，由平行线的性质得，进而得，根据等角对等边得，设，在中，利用锐角三角函数求得， ，进而可得，再求解即可． 【详解】解：过点B作交于点D，过于点E，如图所示，   斜坡的坡度， ， ， ， ， ， ，竖直向上， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 在中，，， 即，， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：． 题型十七 折叠问题 34．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】取点在上的对应点，连接、、、、、，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，有，进而求得，再通过勾股定理求得，易证得是等边三角形，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接、、、、、，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点， ∴根据折叠的性质有：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到是解答本题的关键． 35．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图1等边，，点、分别是和上的点，沿折叠使点落在上的点处，如图2，折痕为，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴, 又∵，点在上， ∴， ， 又∵折叠后与重合， ∴, 又∵,且是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则有， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得即， ∴， ∴， ， 故答案为． 36．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，．点为的中点，连接，点为上一个动点，点为矩形另一边上的一个动点，过直线将矩形折叠，使点的对应点始终落在上，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 当与相似时，则为直角三角形， ①当时，，如图，则， ∴，即：， 解得； ②当时，，则：， ∴，即：， 解得； 综上：或； 故答案为：或． 题型十八 黄金三角形 37．（25-26九年级上·河南南阳·月考）定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，黄金分割；可求出，当为的顶角时，取的中点D，连接，则，可证明是“黄金三角形”，再证明得到，进一步证明，可得；当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”，此时． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 如图所示，当为的顶角时，取的中点D，连接， ∴； ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴是“黄金三角形”； ∵， ∴点M是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”， ∴此时； 综上所述，的长为1或， 故答案为：1或． 38．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图1，点C把线段分成，两部分，如果，那么称点C是线段的黄金分割点，k的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图2，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割，根据，，均为“黄金三角形”，得到，，，然后分别代数求解即可． 【详解】∵为“黄金三角形” ∴，即 ∴ ∵为“黄金三角形” ∴，即 ∴ ∵为“黄金三角形” ∴，即 ∴． 故答案为：． 39．（22-23九年级上·湖南株洲·期末）如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若，则 ． 【答案】 【分析】设．由题意可知，由，可得，列出方程即可解决问题． 【详解】设．由题意可知， ∵，， ∴，同理， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴或不合题意舍去， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 题型十九 二次函数与不等式 40．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当时，y的取值范围是 ． 0 1 2      6 3 2 3 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据表格数据，确定二次函数的对称轴为直线，开口方向，结合给定自变量范围分析函数值的取值范围． 【详解】解：由表可知，当和时，， 故对称轴为直线． 当时，，为函数最小值， 因此二次函数开口向上． 在内，y的最小值为2（在处取得）， 当x趋近于时，y趋近于但不等于， 当x趋近于时，y趋近于但不等于， ∴y的取值范围为． 故答案为：． 41．（25-26九年级上·山东烟台·月考）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中﹒若对于，都有，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，因式分解，不等式的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据得到，即可变形为，根据得到，根据，得到，即可求出﹒ 【详解】解：∵ 点在抛物线上，， ∴， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴﹒ 故答案为： 42．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据二次函数图象的顶点坐标，设出顶点式，再将代入求得解析式，然后结合求出的取值范围 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像过， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，有最小值， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，有最大值0， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】 题型二十 最值问题 43．（25-26九年级上·福建南平·月考）如图．已知正方形的四个顶点在上，点为线段上的动点，过点作于点、若正方形的边长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理；作点关于的对称点，取的中点，以点为圆心，为半径作，根据题意在为圆心,为半径的一段圆弧上运动，进而根据，得出当在上时，取得最小值，即取得最小值，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，取的中点P，以为半径作， ∴ ∵ ∴ ∴在以为圆心,为半径的一段圆弧上运动， ∴ ∴当在上时，取得最小值，即取得最小值， ∵正方形的边长为， ∴， 在中， ∴取得最小值为， 故答案为：． 44．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，正方形中，，点E为的中点，点P为边上一动点，连接，作，交于点M．点N为线段上一点，且，连接，取的中点H，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接和，由题意容易判断出是等边三角形，结合正方形的性质，可得，从而得出P，C，M，H四点共圆．由圆周角定理可得，，所以动点H的轨迹是一条线段，则当时，线段取最小值，结合题干数据计算即可． 【详解】解：如图，连接和，作，垂足为I， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点H是的中点， ∴，且平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴P，C，M，H四点共圆， 由圆周角定理可得，， ∵为定值， ∴动点H的轨迹是一条线段， 由垂线段最短可知，当点H和I点重合时，取最小值， ∵点E为的中点， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆的判定，圆周角定理，直角三角形的性质和线段最值问题，由对角互补判断四点共圆，进而确定点H的运动轨迹是解题关键． 45．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用已知条件以及三角形内心的性质，将转化为定角，进而通过作的外接圆，利用圆内接四边形的性质找到当点P与点重合时，CP的值最小，最后通过求解即可． 【详解】解：， ， ， 点P是的内心， 分别是和的平分线， ， ， ∵，，， ∴， 点P在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示： 圆心记作点O，连接，在优弧上取一点Q，连接，则， ， ， 连接，交于点，当点P与点重合时，的值最小，分别过点O作于点M，交的延长线于点N，如图所示： ∴，， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， 即的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，涉及到正方形的性质、三角形的内心、三角形外接圆以及圆内接四边形的性质等知识，根据已知条件作出适当的辅助线以及借助圆的相关性质是解决本题的关键． 题型二十一 网格中的三角函数 46．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】连接，设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，，且，故，解答即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，熟练掌握勾股定理及其逆定理，正切的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得 ，，， 故， 故， 故， 故答案为：2． 47．（2025·浙江温州·二模）如图是由正方形所组成的网格，点A，B，C分别在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，求角的正切值，先利用勾股定理求出各边长度，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据正切的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 48．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，取格点E、F，连接，可证明都是等腰直角三角形，则可证明，得到；可证明，得到，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，取格点E、F，连接， 由网格的特点可得， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴； ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二十二 二次函数的增减性与对称性 49．（北京市房山区2025-2026学年上学期学业水平调研九年级数学试题）抛物线上有一点，点是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线对称轴及轴对称：先求抛物线的对称轴，再利用对称性质求点的坐标． 【详解】解：抛物线（）的对称轴为， 点关于对称轴的对称点的横坐标满足，解得，纵坐标不变， 故点的坐标为， 故答案为：． 50．（25-26九年级上·山西临汾·月考）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．由抛物线开口向下且对称轴为直线可知离对称轴水平距离越远，函数值越小，据此求解可得． 【详解】解：∵ 二次函数中， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∵点的横坐标分别为，对称轴为直线， 各点横坐标到对称轴的距离分别为 ∵， ∴． 故答案为：． 51．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象的开口向上，对称轴是直线， ∵，且当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 题型二十三 二次函数的各项系数关系 52．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②方程没有实数根；③对于任意实数，都有；④；⑤．其中正确的有 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，逐项分析各个结论即可． 【详解】解：①开口向上， ， 根据图像，可知对称轴为， 则， 得 函数图像与轴交于负半轴， ， ； 故①错误； ②二次函数与直线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根； 故②错误； ③二次函数的对称轴为， 时，函数取得最大值， 对于任意实数，都有， 即对于任意实数，都有； 故③正确； ④由图可知，当时，， ， ， 当时，函数取得最小值， ； 故④正确； ⑤二次函数与轴交于点、， 设二次函数表达式为， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得． 故⑤正确． 故答案为：． 53．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点．根据二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，结合对称轴可判断①，②，结合二次函数的最值可判断③，证明，结合当时，可判断④． 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ， ，故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， ，故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有：， ∴，故③正确； 对称轴为直线， ， 当时，， ． ，即，故④正确． 综上所述，正确的有③④． 故答案为：③④． 54．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与性质是解题的关键． 从抛物线开口向下得，对称轴得，与轴正半轴交点得，故，①错误；由对称轴，得，代入后，结合，故②正确；当时，二次函数最大值为，即对任意实数，，两边减得，即，故③正确；联立抛物线与直线方程，得的横坐标为；结合对称轴得，再由 “横坐标小于” 和，推导得，故④正确． 【详解】解：①：∵抛物线开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； ②：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②正确； ③：由抛物线图像可知：当时，二次函数最大值为， ∴当取全体实数时，， ∴，即，故③正确； ④：联立， 化简得， ∴或， 即点的横坐标为， ∵， ∴， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴， ∵， ∴，即， 解得，故④正确； 综上，正确的有：②③④． 故答案为：②③④． 题型二十四 取值范围问题 55．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数． （1）点是该二次函数的图象上一动点，当点到轴的距离为2时，的值是 ； （2）若函数的图象上到轴距离为2的点有四个，则的取值范围是 ． 【答案】 1或3 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质． （1）点M到x轴的距离为2，即，代入函数解析式求解方程； （2）函数图像开口向上，图象上到x轴距离为2的点有四个，即顶点到轴距离大于2，列不等式求n的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵点到轴的距离为2， ∴， 又点在二次函数的图像上， ∴， ∴． 即或． 解，得或． 解得无实数根． 故a的值为1或3． 故答案为：1或3． （2）， ∵函数的图象上到轴距离为2的点有四个， ∴， ∴． 故答案为：． 56．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是数形结合画出直线． 由抛物线可知，抛物线顶点为，翻折后该点变为，再根据直线与抛物线的交点个数判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点翻折后为， 则可知，当时，即直线为， 此时直线与新图象恰有三个交点，如图， 当时，即直线为， 此时直线与新图象恰有两个交点，如图， ∴可知，当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为： ． 57．（25-26九年级上·四川成都·期中）在矩形 中，，，P 为 边上的中点，F 为 边上的动点且不与端点重合，连接 ，过 P 作交 边于 E ，连接 ，连接 ，O 为中点，Q 为 中点，连接 ．则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、二次函数最值问题、中位线性质定理等内容，过点E作于点，则四边形是矩形，得，，由点P是的中点得，设，证明，得，，连接，则点为中点，取的中点，则，，证明是直角三角形，得，可求得的最小值为，当F与D重合时，的值为3，由F不与D重合，故可得的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 过点E作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∵点P是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴ ∴， ∴； 连接，则点为中点，取的中点，连接，， 则，，，， ∴，即是直角三角形， ∴， ∴当时，有最小值， 当F与D重合时，的值为3， 由题，F不与D重合， ∴． 题型二十五 路径问题 58．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图，等腰的面积为，，，作，．点是线段上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，是线段的中点．那么，当点从点运动到点时，点的运动路径长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轨迹，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 过点作于点．当点与重合时，点与重合，当点与重合时，点的对应点为，点的运动轨迹是的中位线，，利用相似三角形的性质求出可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． 当点与重合时，点与重合，当点与重合时，点的对应点为， 点的运动轨迹是的中位线，， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：3． 59．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，是等边三角形，边长是6，点P是边上一点，且，动点M从点P出发，沿运动到C点，作与相交于点Q，则在点M运动的过程中，点Q的运动路径长为 ． 【答案】7 【分析】分类讨论①当点M在上运动时，Q点的运动路径为由向C运动，此时运动路径长即为长，结合题意求即可；②当点M在上运动时，且在中点之前时，此时Q点沿射线方向运动，由题意可证，得出结论．设，则．由此即可列出关于和x的二次函数关系式．利用二次函数的性质求出的最大值即为此时点Q的运动路径长．③当点M在上运动，且在中点之后时，此时Q点沿射线方向运动，根据②可知，此时Q的运动路径长还是的最大值；最后将三个讨论的结果相加即可． 【详解】解： ①当点M在上运动时，作交于点，如图． ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴当点M由P向B运动时，点Q由向C运动． ∴此时Q点运动路径长为长， ∵， ∴． ②当点M在上运动，且在中点之前时，此时Q点沿射线方向运动，如图． ∵，，． ∴， ∵， ∴．　 ∴． ∴， 设，则． ∴，即． ∵， ∴当时，有最大值为． 即此时Q点运动路径长为． ③当点M在上运动，且在中点之后时，此时Q点沿射线方向运动，如图． 根据②可知． 即此时Q点运动路径长为． 综上，Q点运动路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的几何应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键． 60．（2025·江苏扬州·三模）如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式等知识，过点作于，设，构建一元二次方程，利用判别式求出的最大值，可得结论．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：过点作于，如图所示： 设， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴或（，不符合题意，舍去）， ∴， ∴的最大值为， 当点从点运动到点的过程中，开始时，点从点B开始向左运动，达到最大值时，然后点应该是再往右运动，然后回到点B， ∴点经过的路径长是2倍的的最大值， ∴点经过的路径长是， 故答案为：． 题型二十六 二次函数的新定义 61．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”，若二次函数在的图象上只存在一个“纵两倍点”，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次函数的图象与性质，将问题转化为图象交点问题是解题关键． 设是二次函数图象上的任意一点，将化为，问题转化为二次函数与直线在上只有一个交点，数形结合即可解答． 【详解】解：设是二次函数图象上的任意一点， 则由题可知方程在上只有一个解， 化为， 即二次函数与直线在上只有一个交点， 如图： 则或， ∴或， 故答案为：或． 62．（2025·安徽·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为． （1）函数的图象上的“倍值点”是 ． （2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 ． 【答案】 和 且 【分析】本题考查了函数的新定义问题，反比例函数，二次函数，一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“倍值函数”的定义代入即可求解． （2）根据“倍值函数”的定义代入即可列一元二次方程，再根据题意令即可． 【详解】解：（1）函数中，令， 则， 解得：或， 经检验或都是原方程的解， ∴函数的图象上的“倍值点”是和， 故答案为：是和． （2）在中，令， 则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 63．（2025·四川成都·模拟预测）新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．根据是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，，将，代入解方程组得到由，，两式相减得：，求得，得到“偶点”在直线上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线与抛物线在内有交点，将代入抛物线方程得得到，，这是一个函数，对称轴为直线，当时，当时，当时，求得在的最小值为，最大值为，于是得到结论． 【详解】解：已知是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，， 将，代入可得：， 解得或， ，当时，，不符合条件，舍去， 由，，两式相减得：， ， 即， ， ，即， “偶点”在直线上， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在内有交点， 联立得：， 整理得， ，，这是一个二次函数，对称轴为直线， 当时，； 当时，， 当时，； 在的最小值为，最大值为， 的取值范围 故答案为：；． 64．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 65．如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 66．已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了求平均数．计算这组数据的和，然后除以数据的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，数据之和为， ∵数据的个数为， ∴平均数为． 故答案为：10． 67．把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，解题时要熟练掌握并能根据题意画出树状图是关键． 依据题意，画出树状图，从而可得随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，进而可以计算概率求解． 【详解】根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 故答案为：． 68．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）对于二次函数 ，对称轴为直线．根据给定抛物线解析式，直接计算即可． （2）根据题意可得最小值在顶点处．根据最小值为，求出的值，可得到函数解析式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）抛物线 中，，， 对称轴为． 故答案为：． （2）∵抛物线开口向上，对称轴在内， ∴最小值在顶点处， 即当时，， ∵最小值为， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为． 故答案为：7 69．黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“豫”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“豫”字的笔画“、”在的黄金分割点C处，，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割及平行线的性质，先根据平行线的性质得出的长，再结合黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 70．如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】过点作，交的延长线于，过点作于，可证得，进而证得四边形是正方形，再证得，求得，利用三角函数求得，即可求得答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于，过点作于，如图， ∵将沿翻折，点恰好与点重合， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 则点到直线的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期末真题通关之填空必考题（70题） 选择必考题 题型1 比例的性质与黄金分割 题型16 三角函数的应用 题型2 一元二次方程的实数根与根 题型17 折叠问题 题型3 二次函数的定义与顶点坐标 题型18 黄金三角形 题型4 数据的分析 题型19 二次函数与不等式 题型5 概率问题 题型20 最值问题 题型6 列一元二次方程与三角函数值 题型21 网格中的三角函数 题型7 二次函数的应用 题型22 二次函数的增减性与对称性 题型8 正多边形与圆 题型23 二次函数的各项系数关系 题型9 弧长、扇形面积、圆锥侧面积 题型24 取值范围问题 题型10 表格中的二次函数 题型25 路径问题 题型11 圆周角定理 题型26 二次函数的新定义 题型12 相似三角形的性质 题型13 平行线分线段成比例 题型14 位似中心求解 题型15 一元二次方程根与系数关系 题型一 比例的性质与黄金分割 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若，则 ． 2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点上方的琴弦长为 ． 题型二 一元二次方程的实数根与根 3．（吉林省松原市2025-2026学年上学期期末测试九年级数学试题）若是方程的一个根，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）若关于x的方程有两个相等的实数根，则 ． 题型三 二次函数的定义与顶点坐标 5．（25-26九年级上·福建南平·月考）若关于的函数是二次函数，则的取值范围为 ． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）抛物线的顶点坐标为 ． 题型四 数据的分析 7．（2025八年级上·全国·专题练习）某中学举行朗诵比赛．甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是 选手．（填“甲”“乙”或“丙”） 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是 班． 题型五 概率问题 9．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是 ． 题型六 列一元二次方程与三角函数值 11．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为 ． 12．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）计算的值为 ． 题型七 二次函数的应用 13．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为 m． 14．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）皓轩同学参加体育课实心球测试，实心球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系为，则他的实心球测试成绩是 ． 题型八 正多边形与圆 15．（25-26九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为 ． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）我国数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”：用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ． 题型九 弧长、扇形面积、圆锥侧面积 17．（2025九年级上·全国·专题练习）已知扇形的圆心角为，其半径为3，则该扇形的面积为 ． 18．（2025·四川广安·一模）如图1是一个圆锥形生日帽，图2是其示意图．若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，则将该圆锥沿母线剪开后，其侧面展开图的圆心角的度数为 ． 题型十 表格中的二次函数 19．（浙江省浙派联盟2025-2026学年九年级上学期科学12月独立作业数学试卷）二次函数图象上部分点的坐标如下表所示： x … 0 4 … y … 2 2 … 则方程的解为 ． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，求这个二次函数的最小值为 ． x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 题型十一 圆周角定理 21．（浙江省浙派联盟2025-2026学年九年级上学期科学12月独立作业数学试卷）如图，是的直径，内接于．若，则的度数为 ． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为 ． 题型十二 相似三角形的性质 23．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ． 24．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为12，则的面积为 ． 题型十三 平行线分线段成比例 25．（北京市房山区2025-2026学年上学期学业水平调研九年级数学试题）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为 ． 26．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，若，，则长为 ． 题型十四 位似中心求解 27．（江西省抚州市六校联盟2025-2026学年上学期九年级质量检测数学试题）如图，已知与位似，位似中心为点O，的面积与面积之比为，则的值为 ． 28．（25-26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 题型十五 一元二次方程根与系数关系 29．（25-26九年级上·全国·期末）设是方程的两个根，则 ． 30．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）若一元二次方程的两个根为，则的值是 ． 题型十六 三角函数的应用 31．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角，竖直下降10米至D，测得A点俯角，那么峭壁的高是 米（精确到米） 32．（2025九年级下·四川绵阳·学业考试）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（结果精确到） 33．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为 米．    题型十七 折叠问题 34．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为 ． 35．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图1等边，，点、分别是和上的点，沿折叠使点落在上的点处，如图2，折痕为，且，则 ． 36．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，．点为的中点，连接，点为上一个动点，点为矩形另一边上的一个动点，过直线将矩形折叠，使点的对应点始终落在上，当与相似时，的长为 ． 题型十八 黄金三角形 37．（25-26九年级上·河南南阳·月考）定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 38．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图1，点C把线段分成，两部分，如果，那么称点C是线段的黄金分割点，k的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图2，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是 ． 39．（22-23九年级上·湖南株洲·期末）如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若，则 ． 题型十九 二次函数与不等式 40．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当时，y的取值范围是 ． 0 1 2      6 3 2 3 41．（25-26九年级上·山东烟台·月考）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中﹒若对于，都有，则a的取值范围为 ． 42．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是 题型二十 最值问题 43．（25-26九年级上·福建南平·月考）如图．已知正方形的四个顶点在上，点为线段上的动点，过点作于点、若正方形的边长为，则的最小值为 ． 44．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，正方形中，，点E为的中点，点P为边上一动点，连接，作，交于点M．点N为线段上一点，且，连接，取的中点H，连接，则线段的最小值为 ． 45．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是 ． 题型二十一 网格中的三角函数 46．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 47．（2025·浙江温州·二模）如图是由正方形所组成的网格，点A，B，C分别在格点上，则的值为 ． 48．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则为 ． 题型二十二 二次函数的增减性与对称性 49．（北京市房山区2025-2026学年上学期学业水平调研九年级数学试题）抛物线上有一点，点是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点的坐标为 ． 50．（25-26九年级上·山西临汾·月考）已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是 （用“”连接）． 51．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是 ． 题型二十三 二次函数的各项系数关系 52．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②方程没有实数根；③对于任意实数，都有；④；⑤．其中正确的有 （填序号） 53．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有 （填序号）． 54．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 题型二十四 取值范围问题 55．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数． （1）点是该二次函数的图象上一动点，当点到轴的距离为2时，的值是 ； （2）若函数的图象上到轴距离为2的点有四个，则的取值范围是 ． 56．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是 ． 57．（25-26九年级上·四川成都·期中）在矩形 中，，，P 为 边上的中点，F 为 边上的动点且不与端点重合，连接 ，过 P 作交 边于 E ，连接 ，连接 ，O 为中点，Q 为 中点，连接 ．则的取值范围为 ． 题型二十五 路径问题 58．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图，等腰的面积为，，，作，．点是线段上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，是线段的中点．那么，当点从点运动到点时，点的运动路径长为 ． 59．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，是等边三角形，边长是6，点P是边上一点，且，动点M从点P出发，沿运动到C点，作与相交于点Q，则在点M运动的过程中，点Q的运动路径长为 ． 60．（2025·江苏扬州·三模）如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是 ． 题型二十六 二次函数的新定义 61．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”，若二次函数在的图象上只存在一个“纵两倍点”，则的取值范围是 ． 62．（2025·安徽·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为． （1）函数的图象上的“倍值点”是 ． （2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 ． 63．（2025·四川成都·模拟预测）新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 64．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 65．如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 66．已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是 ． 67．把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是 ． 68．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ． 69．黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“豫”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“豫”字的笔画“、”在的黄金分割点C处，，若，则的长为 ．（结果保留根号） 70．如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $