专题07 期末真题通关之选择必考题（期末复习专项训练，26大题型70题）九年级数学上学期苏科版

专题07 期末真题通关之选择必考题（70题） 选择必考题 题型1 相似图形与位似图形 题型17 二次函数与不等式结合 题型2 一元二次方程的实数根 题型18 二次函数与各项系数关系 题型3 概率问题 题型19 最值问题 题型4 二次函数的平移 题型20 轨迹问题 题型5 圆周角定理 题型21 三角函数的应用 题型6 一元二次方程与二次函数的定义 题型22 取值范围问题 题型7 网格中的相似与三角函数 题型23 一元二次方程的估算与整体代换 题型8 弧长、圆锥侧面积 题型24 圆的翻折问题 题型9 数据的分析 题型25 相似中的比值问题 题型10 平行线分线段成比例 题型26 阴影面积问题 题型11 三角函数值 题型12 正多边形与圆 题型13 垂径定理 题型14 相似多边形的性质 题型15 比例的性质与黄金分割 题型16 列一元二次方程与配方变形 题型一 相似图形与位似图形 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义， 根据“形状相同，大小不同的图形是相似图形”解答即可． 【详解】解：图A，B，C形状相同，只有大小不同，都是相似图形；图D形状不同，大小也不同，不是相似图形． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． 题型二 一元二次方程的实数根 3．（24-25九年级上·河南南阳·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；通过将方程化为标准形式，计算判别式Δ的值，根据Δ的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选B． 4．（25-26九年级上·全国·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负且二次项系数不为零即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴判别式， 解得 综上，且， 故选：C． 题型三 概率问题 5．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率公式解答即可． 本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】 解：当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有等可能四种结果， ①两次都向左移动，则“”落在E处； ②先向左再向右，则“”回到格子A； ③先向右再向左，则“”回到格子A； ④两次都向右移动，则“”落在C处； 所以当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键．用空白区域的面积除以总面积即可． 解：由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同， ∴小明掷在空白区域的概率是． 故选：A． 题型四 二次函数的平移 7．（19-20九年级上·四川自贡·期末）将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为 故选：C． 8．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·期末）将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移． 根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 题型五 圆周角定理 9．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）如图，是的直径．弦交于点，连接．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， 故选：B． 10．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长度是（　　） A．15 B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质、等腰三角形性质、三角形外角定理、含角的直角三角形性质及勾股定理，掌握“辅助线构造（连接切点与圆心）及角度、线段长度的转化方法”是解题的关键．连接辅助线，利用切线性质得，结合等腰三角形性质、三角形外角定理及求出，再通过含角的直角三角形性质求圆的半径，最后用勾股定理计算的长度． 【详解】连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 设半径为，则，， 在中，， ∴，即，解得， ∴，， 由勾股定理：， ∴， ∴，即． 故选：C． 题型六 一元二次方程与二次函数的定义 11．（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意； B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意； C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意； D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意． 故选：B． 12．（25-26九年级上·河南周口·月考）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：由二次函数的定义可知，四个函数中，只有函数是二次函数， 故选：C． 题型七 网格中的相似与三角函数 13．（2025·安徽亳州·一模）如图，在7×4网格中，点A，B，C，D是格点（网格线的交点），连接，，过点D作交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，相似三角形的性质；通过网格数出，，根据勾股定理求出，再用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由图可知：，，， ∵ ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 故选D． 14．（25-26九年级上·吉林长春·期中）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 题型八 弧长、圆锥侧面积 15．（25-26九年级上·北京·月考）若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的求解，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 直接应用扇形弧长公式求解． 【详解】解：. 故该扇形的弧长为， 故选：B． 16．（浙江省海山教育联盟2025-2026学年上学期九年级知识类拓展评估数学试题卷）已知圆锥的底面半径是，母线长是，那么它的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式直接计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键 【详解】解：∵圆锥的底面半径是，母线长是， ∴圆锥的侧面积， 故选：． 题型九 数据的分析 17．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查众数，中位数，平均数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化；中位数因中间两数仍为和而保持不变． 【详解】解：∵ 原始数据排序后为， 中位数 ； 换人后数据排序为， 中位数 ； ∴ 中位数不变， 换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化 ∴不受影响的是中位数． 故选：D． 18．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某球队6名队员的身高（单位：cm）是：179，183，187，189，191，193．现增加一名身高为的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（   ） A．平均数变小，方差变小       B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差变小      D．平均数不变，方差变大 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和方差的计算，分别计算出增加队员前后的平均数和方差，比较变化即可． 【详解】解：原数据的平均数为， 则原数据的方差为， 新数据的平均数为， 则新数据的方差为， ∴平均数不变，方差变小， 故选：C． 题型十 平行线分线段成比例 19．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 20．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与交于点，，若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，即，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选:D． 题型十一 三角函数值 21．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 利用锐角三角函数求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 故选：A． 22．（25-26九年级上·北京·月考）在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 题型十二 正多边形与圆 23．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（    ） A． B．3 C．3.14 D．3.13 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质． 根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出三角形的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可． 【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， 即的面积为3， 此时． 故选：B． 24．（24-25九年级上·福建福州·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：的半径为1， 的面积， 如图，设是内接正十二边形的一条边，连接，， ∴， ∵圆的内接正十二边形的中心角为， ∴ 过点A作于点C， ， 圆的内接正十二边形的面积， ． 故选：A． 题型十三 垂径定理 25．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，半径于点D．已知，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 由，利用垂径定理得到D为的中点，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由，即可求出的长． 【详解】解：∵中，于点D，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：D． 26．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键；过点作半径于，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中，， ∴， 故选B． 题型十四 相似多边形的性质 27．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．由与相似，利用相似三角形面积之比等于相似比，求出两三角形面积之比，即可求出与四边形的面积比，即可解答． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：B． 28．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知，相似比为．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得到本题答案． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型十五 比例的性质与黄金分割 29．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，设，，其中，然后代入计算即可． 【详解】解：， 设，，其中， ． 故选：A． 30．（25-26九年级上·全国·期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 题型十六 列一元二次方程与配方变形 31．（25-26八年级上·上海闵行·月考）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；熟记增长（下降）模型是解题的关键． 依据两次增长（下降）模型进行列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得， ， 故选：C． 32．（25-26九年级上·四川眉山·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，使用配方法解一元二次方程，将常数项移项后，两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 题型十七 二次函数与不等式结合 33．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围． 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 故选：B． 34．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）设二次函数（是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： …… 0 1 2 3 …… …… 0 2 …… 若这三个实数的积为正数，则的取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由表格数据，求出二次函数解析式为，再用含a的式子表示出，根据解不等式，结合即可确定的取值范围． 【详解】解：将和代入，得：， 解得， ， ， ， ， ， ， 即， ， 临界点为，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 或，满足， 的取值范围是或， 故选：B． 35．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． … 1 3 … … 0 2 0 … 根据表中的信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：C． 题型十八 二次函数与各项系数关系 36．（25-26九年级上·陕西西安·月考）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤点，在其图象上，若，且，则一定有．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点问题．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，故①错误． 该函数图象与轴两个交点，则，即，故②正确． ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， ∴与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， ∴， ， ， ∴，故③错误． ∵当时，取得最小值， ∴，即（为任意实数），即（为任意实数），故④正确． ∵抛物线开口向上，图象上有两点和，对称轴为， ∴在的右侧， 当时，在抛物线的对称轴的右侧，随的增大而增大， ， ， 当时， ∴关于对称轴的对称点为， ， ， ∴，故⑤正确． 综上，可得正确结论的序号是：②④⑤． 故选：C． 37．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是根据图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数符号及函数值的变化． 由开口方向得的符号，由对称轴位置得的符号，由与轴交点得的符号，判断abc的符号；代入、得对应函数值，判断②③；根据二次函数的最值性质，判断④． 【详解】解：由图象知：图象开口向上，故；对称轴是直线，故，；与轴交于负半轴，故． ① ，，，则，正确； ② 当时，，由图象知时，，错误； ③ 当时，，由图象知时，，正确； ④当时，是最小值，故对任意，，即，正确． 综上，①③④正确，共3个． 故选：C． 38．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ①； ②； ③； ④若t为任意实数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与其系数之间的关系，根据开口方向可得，根据对称轴计算公式可得，根据与y轴的交点位置可得，据此可判断①；可求出当时，，据此可判断②；把点A的坐标代入解析式，可推出，据此可判断③；求出函数的最大值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的图像与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线的图像与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线的图像与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴函数的最大值为 ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 题型十九 最值问题 39．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图象，应用数形结合的思想求解是解题的关键． 直接根据函数的图象确定顶点坐标、开口方向及对称轴，得取值范围内的最大值为，由对称性可知时，由图知时，，故时，函数有最大值，有最小值． 【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为，对称轴为， ∵此抛物线开口向下， ∴此函数有最大值，最大值为； ∵关于对称轴对称的点为，此时对应的函数值， 当时，， ∴当时，，即函数有最大值，有最小值． 故选：C． 40．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点坐标为，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，找到与的关系，由此得到的最小值是的最大值，最后数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质可得： 点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点，的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交（如图）与平行（如图）， ∴如图，当时，延长交于点，过点作于点， 当，时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称、中心对称、旋转的性质、勾股定理、圆的性质、平行四边形的性质等，掌握点的运动规律，建立合理的数量关系，数形结合分析问题是关键． 41．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．根据矩形的性质，得出，根据，得出点P在以为直径的圆上，设此圆的圆心为点Q，连接，交于点P，得出此时最小，求出线段的最小值为即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，点在上，， ∴，， ∵， ∴点P在以为直径的圆上，设此圆的圆心为点Q，连接，交于点P，如图所示： 此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 故选：A． 题型二十 轨迹问题 42．（2025·贵州贵阳·二模）开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图是平开窗的打开实物图，图是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是，则这扇窗户底边端点扫过区域的轨迹长（弧长）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意可知弧的半径是，所对的圆心角的度数是，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，弧的半径是，所对的圆心角的度数是， 端点抛过区域的轨迹长是． 故选：C． 43．（2024·广东深圳·模拟预测）每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：由题意得，轨迹长为：． 故选：A． 44．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）在梯形纸片中，，，将这张纸片折叠一次，使得点与点重合，设折痕所在直线为，则点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用证明，再通过证明四边形的四条边相等，来证明它是菱形，然后利用勾股定理求得，再利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连线与直线交于点，直线交于点，连结， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴直线是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹是以为圆心为半径的半圆， ∴其长度为． 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，菱形的判断与性质，中位线的判定与性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是通过证明四边形的四条边相等，来证明四边形是菱形，再利用勾股定理求解． 题型二十一 三角函数的应用 45．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，等腰三角形的性质和判定，过点A作于F，过点E作于H，根据坡度的概念求出，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可得解． 【详解】解：如图，过点A作于F，过点E作于H，则，，， ∵斜坡的坡度，， ， ，， ， ， ∴， 故选：． 46．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在电线杆离地面米高的点处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成角，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：根据，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，，而， ∴， 故选：C． 47．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 题型二十二 取值范围问题 48．（2025·福建厦门·三模）平面直角坐标系，其中．直线与线段交于点C（不与重合）．点分别在线段上．直线过点D交直线于点F，直线过点E交直线于点G．若对于任意的点D，都存在点E，使得．设点C的横坐标为q，则q的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，坐标与图形面积，相似三角形的判定与性质，先画好图形，根据解析式可得，可得，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图， ∵过点D交直线于点F，直线过点E交直线于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平面直角坐标系，其中．点分别在线段上． ∴， 设，则， ∴， 解得：，即， ∵点C的横坐标为q， ∴， 解得：； 故选：B 49．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，延长交轴于点，则轴．连接．证明，得出，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出的最大与最小值，进而求出的取值范围． 【详解】解：如图，延长交轴于点，则轴．连接． 在与中， ， ， ， 设，则，设， ， ， ，， 时，有最大值，此时， 时，有最小值，此时， 的取值范围是． 故选：B． 50．（2024·江苏无锡·二模）在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，三角形三边性质，相似三角形的判定和性质，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接，利用平行四边形的性质可得，，再结合折叠的性质可证，得到，进而得，由此可得，得到，推导出四边形为平行四边形，得到，，即可得，又由得，根据三角形三边性质得，，又证明，得，即得，当点在的延长线时，，得，即可得到，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，， 由折叠得，，，，，， ∴，，，，， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 当点在的延长线时，， ∴， ∴， 故选：． 题型二十三 一元二次方程的估算与整体代换 51．（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 52．（25-26九年级上·北京·月考）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 53．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 题型二十四 圆的翻折问题 54．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，折叠的性质，三角形的外角，熟练掌握相关知识点是解题的关键，设点关于的对称点为，连接，圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，进而求出的度数，三角形的外角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设点关于的对称点为，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 故选C 55．（2025·四川乐山·二模）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故选：D． 56．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形， 设点的对称点为点，连接，进而得到，直径得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的内对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：设点的对称点为点，连接，则：， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴； 故选C． 题型二十五 相似中的比值问题 57．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图，是的中位线，是中点，连接并延长与相交于点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、相似三角形的性质及判定，关键是知识点的灵活应用； 由中点可知，又由于为的中点，可得，进而根据三角形相似可得． 【详解】解：∵是的中位线， ∴且， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案选：B． 58．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，，分别是的中点，连接，若，则的值为 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定定理和性质，以及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 先证明，利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合线段中点性质，以及勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴在中，， ∴，解得， ∵分别是的中点， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∴． 故选：B． 59．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，为的边上一点，且，延长到点，使，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交于点，易证得和，根据相似三角形的性质证得和，设、、、，则，根据得到，从而得出的值． 【详解】解：过点作交于点，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设、、、， ， ， 即， ， ， 故选：C． 题型二十六 阴影面积问题 60．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，．以的中点为圆心的圆弧分别与相切于点、，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，扇形面积的计算．连接，，根据切线的性质得到，，则四边形为正方形，而，为的中点，根据等腰直角三角形的性质得出，，则，再根据正方形的面积公式和扇形的面积公式，利用，进行计算即可． 【详解】解：连接，，，如图， ∵以的中点为圆心的圆弧分别与相切于点、， ∴，， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 61．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 62．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，以等边三角形的边为直径作半圆交于点，交于点，若等边三角形的边长为4，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，等边三角形的判定与性质等，将不规则图形面积转化为规则图形的面积是解题的关键．取的中点O，连接，根据等边三角形的性质易得、、、为等边三角形，且面积相等，然后根据阴影部分面积，利用扇形面积公式计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， ∵以边长为4的等边三角形的边为直径作半圆交于点，交于点， ∴，，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴和为等边三角形，且， ∴， ∵， ， ∴阴影部分面积 ． 故选：A． 63．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 64．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：则所需铁皮面积 故选B 65．某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 【答案】C 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为； 在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6， 故选：C． 66．盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 67．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 68．如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 69．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 70．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查矩形的性质，旋转的性质，全等、相似三角形的判定与性质，找到全等三角形和相似三角形建立线段之间的等量关系是解题关键． 先通过矩形的性质求出的长，再取与的交点为M，通过旋转和矩形的对角线相等且互相平分，证明，再利用等边对等角和对顶角，三角形内角和，推出，通过已知条件得到相似比，建立线段之间的等量关系，最后列方程求出对应的值即可． 【详解】解：如图，取与的交点为M， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是矩形的对角线，的交点， ∴， ∴， 由旋转的性质，可知，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， ∴， ， ∴的周长为， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末真题通关之选择必考题（70题） 选择必考题 题型1 相似图形与位似图形 题型17 二次函数与不等式结合 题型2 一元二次方程的实数根 题型18 二次函数与各项系数关系 题型3 概率问题 题型19 最值问题 题型4 二次函数的平移 题型20 轨迹问题 题型5 圆周角定理 题型21 三角函数的应用 题型6 一元二次方程与二次函数的定义 题型22 取值范围问题 题型7 网格中的相似与三角函数 题型23 一元二次方程的估算与整体代换 题型8 弧长、圆锥侧面积 题型24 圆的翻折问题 题型9 数据的分析 题型25 相似中的比值问题 题型10 平行线分线段成比例 题型26 阴影面积问题 题型11 三角函数值 题型12 正多边形与圆 题型13 垂径定理 题型14 相似多边形的性质 题型15 比例的性质与黄金分割 题型16 列一元二次方程与配方变形 题型一 相似图形与位似图形 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的实数根 3．（24-25九年级上·河南南阳·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（25-26九年级上·全国·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 题型三 概率问题 5．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 题型四 二次函数的平移 7．（19-20九年级上·四川自贡·期末）将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为(   ) A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·期末）将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型五 圆周角定理 9．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）如图，是的直径．弦交于点，连接．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长度是（　　） A．15 B．10 C． D．5 题型六 一元二次方程与二次函数的定义 11．（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·河南周口·月考）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型七 网格中的相似与三角函数 13．（2025·安徽亳州·一模）如图，在7×4网格中，点A，B，C，D是格点（网格线的交点），连接，，过点D作交于点P，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·吉林长春·期中）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型八 弧长、圆锥侧面积 15．（25-26九年级上·北京·月考）若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 16．（浙江省海山教育联盟2025-2026学年上学期九年级知识类拓展评估数学试题卷）已知圆锥的底面半径是，母线长是，那么它的侧面积是（   ） A． B． C． D． 题型九 数据的分析 17．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 18．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）某球队6名队员的身高（单位：cm）是：179，183，187，189，191，193．现增加一名身高为的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（   ） A．平均数变小，方差变小       B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差变小      D．平均数不变，方差变大 题型十 平行线分线段成比例 19．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与交于点，，若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 题型十一 三角函数值 21．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 22．（25-26九年级上·北京·月考）在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型十二 正多边形与圆 23．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（    ） A． B．3 C．3.14 D．3.13 24．（24-25九年级上·福建福州·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 题型十三 垂径定理 25．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，半径于点D．已知，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 题型十四 相似多边形的性质 27．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知，相似比为．若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 题型十五 比例的性质与黄金分割 29．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·全国·期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 题型十六 列一元二次方程与配方变形 31．（25-26八年级上·上海闵行·月考）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·四川眉山·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十七 二次函数与不等式结合 33．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 34．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）设二次函数（是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： …… 0 1 2 3 …… …… 0 2 …… 若这三个实数的积为正数，则的取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 35．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． … 1 3 … … 0 2 0 … 根据表中的信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十八 二次函数与各项系数关系 36．（25-26九年级上·陕西西安·月考）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤点，在其图象上，若，且，则一定有．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ①； ②； ③； ④若t为任意实数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十九 最值问题 39．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 40．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型二十 轨迹问题 42．（2025·贵州贵阳·二模）开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图是平开窗的打开实物图，图是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了，窗户底边长是，则这扇窗户底边端点扫过区域的轨迹长（弧长）是（   ） A． B． C． D． 43．（2024·广东深圳·模拟预测）每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 44．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）在梯形纸片中，，，将这张纸片折叠一次，使得点与点重合，设折痕所在直线为，则点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 题型二十一 三角函数的应用 45．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ） A． B． C． D． 46．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在电线杆离地面米高的点处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成角，则的长为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型二十二 取值范围问题 48．（2025·福建厦门·三模）平面直角坐标系，其中．直线与线段交于点C（不与重合）．点分别在线段上．直线过点D交直线于点F，直线过点E交直线于点G．若对于任意的点D，都存在点E，使得．设点C的横坐标为q，则q的取值范围为（    ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 50．（2024·江苏无锡·二模）在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型二十三 一元二次方程的估算与整体代换 51．（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 52．（25-26九年级上·北京·月考）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 53．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 题型二十四 圆的翻折问题 54．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 55．（2025·四川乐山·二模）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．2或 56．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型二十五 相似中的比值问题 57．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图，是的中位线，是中点，连接并延长与相交于点，则等于（    ） A． B． C． D． 58．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，，分别是的中点，连接，若，则的值为 （    ） A． B．2 C． D． 59．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，为的边上一点，且，延长到点，使，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型二十六 阴影面积问题 60．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，．以的中点为圆心的圆弧分别与相切于点、，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 61．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 62．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，以等边三角形的边为直径作半圆交于点，交于点，若等边三角形的边长为4，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 63．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 64．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 65．某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 66．盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 67．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 68．如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 69．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 70．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $