专题08 期末真题通关之解答必考题（期末复习专项训练，19大题型55题）八年级数学上学期新教材苏科版

专题08 期末真题通关之解答必考题（55题） 选择必考题 题型1 实数的运算 题型12 行程问题 题型2 平方根与立方根解方程 题型13 三角形的新定义 题型3 平方根与立方根综合应用 题型14 无刻度尺作图 题型4 平面直角坐标系中的网格作图 题型15 一次函数与角度问题 题型5 正比例与一次函数表达式 题型16 一次函数与特殊三角形结合 题型6 全等三角形的判定 题型17 一次函数与k型结合 题型7 垂直平分线与角平分线的综合应用 题型18 一次函数中的定值问题 题型8 勾股定理及逆定理的实际应用 题型19 一次函数中的新定义 题型9 一次函数解析式、不等式、面积问题 题型10 尺规作图 题型11 一次函数的应用 题型一 实数的运算 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算： (1) (2)． 2．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 3．（22-23七年级上·山东泰安·期末）（1）计算： （2）求的值： 题型二 平方根与立方根解方程 4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）解方程 (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1) ； (2)． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）解方程： (1)； (2)． 题型三 平方根与立方根综合应用 7．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 8．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 题型四 平面直角坐标系中的网格作图 10．（25-26八年级上·全国·期末）已知：如图所示， (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标． (2)直接写出的面积为 ． (3)在x轴上画出点P，使最小．（不写作法，保留作图痕迹） 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)作出关于x轴对称的； (2)写出点，，的坐标： ， ， ； (3)计算的面积． 12．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)与关于轴对称，在图中画出； (2)写出，，的坐标，______，______，______； (3)若点关于轴的对称点为，则的坐标是______； (4)求的面积． 题型五 正比例与一次函数表达式 13．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积． (3)若是轴上的一点，且，求点的坐标． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若该函数图象沿轴向上平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 15．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 题型六 全等三角形的判定 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 18．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，；求证：． 题型七 垂直平分线与角平分线的综合应用 19．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 20．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 21．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 题型八 勾股定理及逆定理的实际应用 22．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 23．（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 24．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 题型九 一次函数解析式、不等式、面积问题 25．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式． (2)求的面积． (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 26．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 27．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且经过点，两函数图象交于点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 题型十 尺规作图 28．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接、若．求的度数． 30．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知中，． (1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）： ①作的平分线交于D； ②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H； (2)求证：． 题型十一 一次函数的应用 31．（24-25八年级下·广西钦州·月考）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 32．（24-25八年级下·广东广州·期末）浮箭漏（如图①）是西汉时期的一种计时仪器，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，经过实验探究发现，箭尺读数与供水时间成一次函数关系．某次实验中，研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 箭尺读数 6 18 30 42 (1)建立平面直角坐标系如图②，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请画出该一次函数的图象； (2)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 33．（2022·四川德阳·中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 题型十二 行程问题 34．（24-25七年级下·陕西西安·期末）小丽星期天从家里出发沿一条笔直的公路骑车去外婆家玩，当她骑了一段路后，想起要买个礼物送给外婆，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去外婆家，设小丽出发的时间为分钟，离家的距离为米，图中的折线表示与之间的关系． (1)小丽家到外婆家的距离是______米，她在商店停留了______分钟； (2)求小丽家到商店的距离； (3)求小丽买好礼物后骑车去外婆家这一段中与之间的关系式； (4)当米时，求的值． 35．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，A地与C地的距离为320千米．乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后按原路原速返回B地并立即驶往C地，结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，图是两车距A地的距离y（单位：千米）与出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象（甲车的函数图象不完整）． (1)求乙车从B地到C地的行驶过程中y关于x的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)甲车的速度为______________千米/小时；当______________时，甲车刚好到达C地；在图中补充甲车从A地到C地行驶过程中，y关于x的函数图象； (3)当两车从B地出发后，第一次相遇时，求相遇点与A地的距离； (4)乙车到达C地前，直接写出当两车之间相距100千米时x的值． 题型十三 三角形的新定义 36．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 37．（23-24八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为．请仅用无刻度的直尺，分别在图1，图2中画出满足条件的直线（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，画直线； (2)在图2中，画直线． 题型十四 无刻度尺作图 38．（24-25八年级上·河南郑州·期末）加菲尔德利用图①验证了勾股定理，过等腰直角的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点 E，研究图形，不难发现． (1)如图②，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A 的坐标为，求点B 的坐标． (2)如图③，直线分别交x轴，y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，求直线的表达式． (3)在(2)的条件下，若点Q 是直线上且位于第三象限的一个动点，点M 是y轴上的一个动点，当以点B，M，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点 Q 的坐标． 39．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接． ①若，则点的坐标为 ； ②若的面积为，则点的坐标为 ； ③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标． 题型十五 一次函数与角度问题 40．（23-24八年级上·江西赣州·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 41．（24-25八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究． 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 题型十六 一次函数与特殊三角形结合 42．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求，两点坐标； (2)求的坐标； (3)在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 43．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 题型十七 一次函数与k型结合 44．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图4，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 45．（25-26八年级上·福建三明·期中）已知，在中，， (1)如图1，若的两个顶点、分别为直线与坐标轴的交点． ①求出、的坐标； ②求出点的坐标； (2)如图2，，分别是坐标轴上两点，若的顶点是轴正半轴上的动点，顶点在第一象限内，过，两点作直线，交轴于点．在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由． 题型十八 一次函数中的定值问题 46．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 47．（21-22八年级上·江苏淮安·期末）如图1，直线与轴、轴分别交于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点在轴的正半轴，连接．将沿直线折叠，点的对应点恰好落在直线上，求线段的长度； (3)点是轴上一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． ①直线与直线的交点为，在点的运动过程中，存在某些位置，使得为等腰三角形．求出当点在轴负半轴上时，点的坐标； ②点到轴的距离是否为一个定值，如果是，请直接写出这个定值，如果不是，请说明理由． 题型十九 一次函数中的新定义 48．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点， (1)求直线l：的不动点坐标； (2)已知直线：与x、y轴分别交于点A、B． ①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标； ②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由． 49．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） (1)点的关联点的坐标为 ； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 50．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 51．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 52．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 53．（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 54．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 55．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期末真题通关之解答必考题（55题） 选择必考题 题型1 实数的运算 题型12 行程问题 题型2 平方根与立方根解方程 题型13 三角形的新定义 题型3 平方根与立方根综合应用 题型14 无刻度尺作图 题型4 平面直角坐标系中的网格作图 题型15 一次函数与角度问题 题型5 正比例与一次函数表达式 题型16 一次函数与特殊三角形结合 题型6 全等三角形的判定 题型17 一次函数与k型结合 题型7 垂直平分线与角平分线的综合应用 题型18 一次函数中的定值问题 题型8 勾股定理及逆定理的实际应用 题型19 一次函数中的新定义 题型9 一次函数解析式、不等式、面积问题 题型10 尺规作图 题型11 一次函数的应用 题型一 实数的运算 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先进行开立方、开算术平方根、计算绝对值，然后进行加减运算； （2）先进行乘方、开算术平方根，计算绝对值，再进行除法运算，最后进行加减法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根． 先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 3．（22-23七年级上·山东泰安·期末）（1）计算： （2）求的值： 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题主要考查了实数的混合运算及平方根，立方根与利用平方根解方程，熟练掌握运算法则与解方程的步骤是解题的关键． （1）先开方，乘方，然后计算加法即可； （2）先移项，然后根据平方根解答方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 移项得， 两边乘2得，， 开平方得，， 解得 或 ． 题型二 平方根与立方根解方程 4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查平方根和立方根： （1）的平方根为，可得或，再解一元一次方程即可； （2）的立方根为，可得，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：的平方根为，可得 或， 解得或； （2）解：的立方根为，可得 ， 解得． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ， ， ． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）， ， ， ， 解得． 题型三 平方根与立方根综合应用 7．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根的概念． （1）根据一个正数的两个不同的平方根和为0得到方程，即可求解，再根据立方根的定义得到，即可求解； （2）将求解得代入进行求值，再求解平方根． 【详解】（1）解:根据题意得，， 解得， 的立方根是， ， 解得； （2）解：由（1）知，，， ， 的平方根是， 的平方根是． 8．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 题型四 平面直角坐标系中的网格作图 10．（25-26八年级上·全国·期末）已知：如图所示， (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标． (2)直接写出的面积为 ． (3)在x轴上画出点P，使最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析，，， (2) (3)图见解析 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换、三角形的面积公式，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接得到，再结合图形即可写出三个顶点的坐标； （2）利用割补法即可求解； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： 由图可得，，，； （2）解：， 故答案为：； （3）解：如图所示，点P即为所求： 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)作出关于x轴对称的； (2)写出点，，的坐标： ， ， ； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，点的坐标，利用网格求三角形的面积．解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作出点，，关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）结合图形直接得出三个点的坐标； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的图形． （2）解：∵，， ∴；； 故答案为：；； （3）解：的面积 12．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)与关于轴对称，在图中画出； (2)写出，，的坐标，______，______，______； (3)若点关于轴的对称点为，则的坐标是______； (4)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) (4) 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标及图形的轴对称变换，三角形面积的计算；对称点的坐标变化规律：关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；求格点三角形面积时，割补法是常用技巧，将三角形置于规则图形内，用规则图形面积减去多余部分的面积． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，连线即可； （2）根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （3）利用关于轴对称的性质求解即可； （4）利用割补法将置于边长为的正方形内，利用正方形的面积减去多余的直角三角形的面积． 【详解】（1）解：画图如下； （2）由图可知：的坐标为；的坐标为；的坐标为； 故答案为：；；； （3）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数， 点关于轴的对称点为的坐标为； 故答案为：； （4）将置于边长为的正方形内，正方形的面积为， 周围多余的三个直角三角形的面积和为， 的面积为． 题型五 正比例与一次函数表达式 13．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积． (3)若是轴上的一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，勾股定理求两点距离． （1）把代入，得到和值，即可得到结论； （2）令，求得的值，即可求得一次函数图象与轴的交点坐标； （3）设，根据建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得：，； （2）该一次函数为， 令，则，解得， 该一次函数图象与轴的交点坐标为，； ∴ （3）设， ∵ ∴ 解得： ∴ 14．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若该函数图象沿轴向上平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数的定义，一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入（1）中所求解析式，进行求解即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，再令，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， 解得：， 则与的函数关系式是， 即； （2）把点代入得：， 解得：； （3）由“上加下减”的原则可知，将函数的图象沿轴向上平移个单位长度后所得函数的解析式为， 令，则， 平移后的图象与轴的交点的坐标为． 15．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 【答案】(1)的解析式为：，， (2)6 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设的解析式为：，将，代入求出，进而求出，，将代入即可求出； （2）求出，分别求出的面积和的面积，相减即可． 【详解】（1）解：设的解析式为： ∵经过， ∴将、代入解析式得： ， ∴，， 即的解析式为：， ∵在； ∴， ∴ ∵在， ∴ ∴； （2）解：是与轴的交点， 在中令，则， 得， ∴，，到的距离为2， ∵， ∴，， ∴． 题型六 全等三角形的判定 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． （1）通过证明，得出对应边相等，从而证明； （2）先证明，结合三角形内角和等知识求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， 在与中，， ∴ ； （2）解：在与中， ∴， ，， ， ． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；设与交于点H，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：如图，设与交于点H， ∵，且，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质定理． 根据平行得到，然后可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 题型七 垂直平分线与角平分线的综合应用 19．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 20．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质等知识． （1）证明，得到，即可得到点、点都在的垂直平分线上，从而得到垂直平分； （2）先求出，根据三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为，， ∴， 即， ∴． 21．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，,根据的平分线与的垂直平分线交于点D，得到和，进而得到和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得即可； （2）由题意证得和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得，进而证得，计算求解的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，, 点D在的垂直平分线上 ，，平分 ， 在和中， ； （2）解：在和中， ． 答：BE的长为． 题型八 勾股定理及逆定理的实际应用 22．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 23．（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 24．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)直角三角形 (3)36 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长， （2）然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）利用（2）的结论，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：是直角三角形， ，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：，，，，，， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为36． 题型九 一次函数解析式、不等式、面积问题 25．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式． (2)求的面积． (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）将点，分别代入两个解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接,先求得的坐标，进而根据，即可求解． （3）根据不等式组的解集是一次函数在下方，且在轴下方部分对应的自变量的取值范围，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，直线和直线相交于点， ，． ，． 直线为，直线． （2）如图，连接． 直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点， 对于，当时，，当时，， 对于，当时， ，，． ，． 又， ． （3）由题意得，不等式组的解集是一次函数在下方，且在轴下方部分对应的自变量的取值范围， 结合函数图象可得，． 26．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 27．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且经过点，两函数图象交于点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)，一次函数的解析式是 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象和性质解此题的关键． （1）把点C的纵坐标代入，求出m，再把B、C的坐标代入得出方程组，再求出k、b即可； （2）根据函数的图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：两函数图象交于点， 把点的纵坐标代入得：， 解得：， 即， 函数经过点，点， ， 解得， 一次函数的解析式是； （2）解：由图象可知关于的不等式的解集是． 题型十 尺规作图 28．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据角平分线尺规作图的要求作出图形即可； （2）根据证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可； （3）以O为圆心，适当长为半径作弧交，于点E，F，过点F作，过点E作，直线交于点P，作射线即可． 【详解】（1）解：如图①，射线即为所求； （2）解：如图①中，连接，， 在和中， ， ， ， 平分 ； （3）解：如图②中，射线即为所求． 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接、若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质， 对于（1），分别以点A，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，交于点E； 对于（2），根据等腰三角形的性质得再根据线段垂直平分线的性质得，进而得,最后根据得出答案. 【详解】（1）解：如图，直线即为所求. （2）解：∵ ∴ ∵垂直平分, ∴， ∴, ∴. 30．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知中，． (1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）： ①作的平分线交于D； ②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H； (2)求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查尺规作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定等知识，正确地作出的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键． ①按照基本作图“作已知角的平分线”的要求作的平分线，交于点D即可； ②按照基本作图“作已知线段的垂直平分线”的要求作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点H即可． 因为垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H，所以，而，，即可根据“”证明 【详解】（1）解：①作的平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，交于点E，交于点F，垂足为点H， 线段及线段即为所求． （2）证明：垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H， ， 平分， ， 在和中， ， ． 题型十一 一次函数的应用 31．（24-25八年级下·广西钦州·月考）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据表格中变量的变化规律即可； （3）当时，求出对应的值，从而求出具体的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：根据表格，时间增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， 则， 与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 解得， 故， 当圆柱体容器液面高度达到厘米时是． 故答案为：，． 32．（24-25八年级下·广东广州·期末）浮箭漏（如图①）是西汉时期的一种计时仪器，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，经过实验探究发现，箭尺读数与供水时间成一次函数关系．某次实验中，研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 箭尺读数 6 18 30 42 (1)建立平面直角坐标系如图②，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请画出该一次函数的图象； (2)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 【答案】(1)见解析 (2)下午 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）描点，连线即可； （2）根据待定系数法求出与之间的函数关系式，当时，求出对应的值，从而根据本次实验记录的开始时间求出当箭尺读数为时是几点即可． 【详解】（1）解：描点，连线如图所示： （2）解：设与之间的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， 本次实验记录的开始时间是上午， 当箭尺读数为时是晚上． 33．（2022·四川德阳·中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元 (2)有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【分析】（1）设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，”列出方程，即可求解； （2）设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得： ， 解得：， ∴1.25x=5， 答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元； （2）解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴a取20，21，22，23，24，25， ∴有6种购买方案， 设总费用为w元， ∴， ∵-1＜0， ∴w随a的增大而减小， ∴当a=25时，w最小，最小值为475， 此时100-a=75， 答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 题型十二 行程问题 34．（24-25七年级下·陕西西安·期末）小丽星期天从家里出发沿一条笔直的公路骑车去外婆家玩，当她骑了一段路后，想起要买个礼物送给外婆，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去外婆家，设小丽出发的时间为分钟，离家的距离为米，图中的折线表示与之间的关系． (1)小丽家到外婆家的距离是______米，她在商店停留了______分钟； (2)求小丽家到商店的距离； (3)求小丽买好礼物后骑车去外婆家这一段中与之间的关系式； (4)当米时，求的值． 【答案】(1)， (2)米 (3) (4)或 【分析】本题主要涉及函数图象的理解与应用。通过观察图象中距离与时间的关系，来求解不同的问题，如确定距离、停留时间、函数关系式以及特定距离对应的时间． （1）观察图象进行分析即可． （2）观察图象进行分析即可． （3）设y与x之间的关系式为，根据题目中所给关系进行求解即可． （4）根据图象可分为两种情况求解，分别进行求解即可． 【详解】（1）观察图象可得，小丽家到外婆家的距离是米， 她在商店停留了分钟． （2）观察图象知，小丽家到商店的距离为米； （3）小丽买好礼物后骑车去外婆家这一段中的速度为米分钟， 小丽买好礼物后骑车去外婆家这一段中与之间的关系式为， 即； （4）由图知，当分钟时，米， 在时，将代入得， 解得， 综上所述，当或时米． 35．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，A地与C地的距离为320千米．乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后按原路原速返回B地并立即驶往C地，结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，图是两车距A地的距离y（单位：千米）与出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象（甲车的函数图象不完整）． (1)求乙车从B地到C地的行驶过程中y关于x的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)甲车的速度为______________千米/小时；当______________时，甲车刚好到达C地；在图中补充甲车从A地到C地行驶过程中，y关于x的函数图象； (3)当两车从B地出发后，第一次相遇时，求相遇点与A地的距离； (4)乙车到达C地前，直接写出当两车之间相距100千米时x的值． 【答案】(1) (2)80，6 (3)224千米 (4)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键． （1）由题意可知图中段图象是乙车从地到地的行驶过程，由图象可知，，再利用待定系数法即可求解； （2）结合题意，根据速度路程时间即可求解； （3）由题意可知，甲车从地出发时，乙车已经出发了2小时，若距离出发小时，两车第一次相遇，列出方程即可求解； （4）分四种种情况：当甲还没到时，两车之间相距100千米；当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100千米；当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达地时，两车之间相距100千米；当甲车到达地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米；分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知图中段图象是乙车从地到地的行驶过程， 由图象可知，， 可设，代入，，得，解得， ∴乙车从地到地的行驶过程中关于的表达式为：； （2）由图象可知，甲车的速度为千米/小时， 甲车从地出发达到地所需时间为， ∴， 则补全函数图象如图所示， 故答案为：80，6； （3）由题意可知，甲车从地出发时，乙车已经出发了2小时， 若距离出发小时，两车第一次相遇， 可得：，解得：， 此时，相遇点与地的距离为千米； （4）当甲还没到时，两车之间相距100千米，可得，解得：； 当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100千米，可得：，解得：； 当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达地时，两车之间相距100千米，可得：，解得：（不符合题意，舍去）； 当甲车到达地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米，可得：，解得：（不符合题意，舍去）； 综上，当两车之间相距100千米时，或． 题型十三 三角形的新定义 36．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识点，并理解题意是解此题的关键． （1）利用三角形面积公式计算即可得解； （2）①根据三角形的高，中线的定义画出图形即可；②取点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求； （3）取点，连接，连接交于点，连接并延长交于，连接并延长交于点，则即为所作． 【详解】（1）解：三角形的面积为：； （2）解：①如图，线段，即为所求； ②如图，点即为所求； ； （3）解：如图，线段即为所求， ， 由作图可得，点、关于直线对称， ∴，， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 37．（23-24八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为．请仅用无刻度的直尺，分别在图1，图2中画出满足条件的直线（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，画直线； (2)在图2中，画直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握点的坐标特点是解题的关键． （1）连接，由得到的中点坐标为，根据直线经过，连接点A与的中点坐标为即可； （2）设直线与x轴交于点D，连接交y轴于点E，连接并延长交x轴于点F，连接，直线即为直线． 【详解】（1）解：连接，由得到的中点坐标为， 直线经过，连接并延长， 直线即为直线， 如图1，直线为所求；    （2）解：设直线与x轴交于点D， 连接交y轴于点E， 连接并延长交x轴于点F， 连接，直线即为直线， 如图2，直线为所求．    题型十四 无刻度尺作图 38．（24-25八年级上·河南郑州·期末）加菲尔德利用图①验证了勾股定理，过等腰直角的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点 E，研究图形，不难发现． (1)如图②，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A 的坐标为，求点B 的坐标． (2)如图③，直线分别交x轴，y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，求直线的表达式． (3)在(2)的条件下，若点Q 是直线上且位于第三象限的一个动点，点M 是y轴上的一个动点，当以点B，M，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点 Q 的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为 (2)直线的表达式为 (3)点Q的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形性质和判定、坐标与图形性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）如图∶过A作轴于E，过B作轴于F，则，进一步得到，即可证明可得，结合点A的坐标即可求得点B的坐标； （2）根据题意得点，结合等腰三角形的性质得，则点，然后利用待定系数法即可求得直线的表达式即可； （3）设点，点，再分、和三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过A作轴于E，过B作轴于F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∵点A 的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． （2）解：∵直线分别交x轴，y轴于点A，C， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得： ，解得， ∴直线BC的表达式为． （3）解∶设点，点，存在以下3种情况： ①如图1，当时，点M在x轴上方，分别过点Q，B作y轴的平行线，过点 M 作x轴的平行线分别交 于点 G，H， 同（1）可得， ∴， ∴，解得 ； ②如图2，当时，作轴，轴， 同（1）可得：， ∴， ∴，解得， ∴； ③如图3，当时，作轴， 同理可得，解得：， ∴． 综上，点Q 的坐标为 或． 39．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接． ①若，则点的坐标为 ； ②若的面积为，则点的坐标为 ； ③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或；③点F的坐标 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式； （2）①设点，则点)，则，由，，则，，，再由勾股定理得，，则，由此求解即可； ②设点， ，点在直线上，，，，进行求解即可； ③过点作交于，过点作轴于，根据，是等腰直角三角形，再证，得出，，根据点为线段的中点，，求出，设，则， 待定系数法求直线的解析式为，点在上，，代入得方程解方程即可． 【详解】（1）解：对于，令，， ， 令， ， ， ， 点与点A关于轴对称， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； （2）解：①设点， ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：； ②设点， 点在直线上， ， 点在直线上， ， ， 的面积为， ， ， 或； ③过点作交于，过点作轴于， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 点为线段的中点，， ，， 设，则，，则， ，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在上，， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． 题型十五 一次函数与角度问题 40．（23-24八年级上·江西赣州·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 【答案】（1）③ ；（2），证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究． 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)相等 (3) 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到，进而得到，再证明即可得到答案； （2）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的对应高相等得到，根据角平分线的判定定理证明结论． （3）证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可知，最后依据可得到、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：，理由如下： 如图，过点A作于G，于H， ∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴平分，即； （3）解：， 同理得，， ∴， 在等腰中，， ∴N为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键． 题型十六 一次函数与特殊三角形结合 42．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求，两点坐标； (2)求的坐标； (3)在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理与折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或或． 43．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标交点的计算方法，待定系数求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据题意可求出的面积，由此可确定的面积，如图所示，过点作轴于点，根据三角形面积的计算方法即可求解； （3）根据题意，先求出所在直线的解析式，设，则，图形结合，分类讨论：①，；②，；③，；根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴直线的表达式为。 （2）解：解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴，即， 解得，，即点的纵坐标为6， ∵点是一次函数的图象在轴上方的一点， ∴，解得， ∴点的坐标为． （3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下， 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得 ，解得：， ∴， ∴。 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 题型十七 一次函数与k型结合 44．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图4，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②，；（2）或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2， 过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则，， 同理可得， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 当在点的位置时，， 综上所述，或． 45．（25-26八年级上·福建三明·期中）已知，在中，， (1)如图1，若的两个顶点、分别为直线与坐标轴的交点． ①求出、的坐标； ②求出点的坐标； (2)如图2，，分别是坐标轴上两点，若的顶点是轴正半轴上的动点，顶点在第一象限内，过，两点作直线，交轴于点．在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是； ； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、全等三角形的性质与判定． 根据直线的解析式求出点、的坐标； 过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可以求出，，根据线段之间的关系求出的长度，即可求出点的坐标； 过点作轴，可证，设点的坐标是，即可求出点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，即可得到的长度． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； 解：如下图所示，过点作轴， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ，， ， 点的坐标是； （2）解：， 理由如下： 如下图所示，过点作轴， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 设点的坐标是， 则， ， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， ， 点的坐标是， . 题型十八 一次函数中的定值问题 46．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，的度数为 【分析】（1）在中，令得，得，而，得，用待定系数法可得； （2）设，，由，，知，又，故，可解得； （3）延长到G，使，连接，，设，，根据，有，，从而，，再证，可得，，故，即得． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解， ∴直线BC的函数表达式为； （2）解：设，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，       ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴； （3）是定值，的度数为，理由如下： 延长到G，使，连接，，如图：    设，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴，        ∵，， ∴， ∵， ∴，      ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及的待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 47．（21-22八年级上·江苏淮安·期末）如图1，直线与轴、轴分别交于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点在轴的正半轴，连接．将沿直线折叠，点的对应点恰好落在直线上，求线段的长度； (3)点是轴上一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． ①直线与直线的交点为，在点的运动过程中，存在某些位置，使得为等腰三角形．求出当点在轴负半轴上时，点的坐标； ②点到轴的距离是否为一个定值，如果是，请直接写出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)y=-x+1； (2) (3)①点P的坐标为（0，1-）或（0，-1）；②是定值，为1，理由见解析 【分析】（1）设直线的函数表达式为y=kx+b，将点和代入，利用待定系数法求解； （2）利用勾股定理求出AB的长，由折叠得，即可求出结果； （3）①分三种情况：当PD=AD时，当PA=PD时，当AD=AP时，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出OP的长即可得到点P的坐标； ②分点C在y轴正半轴及负半轴两种情况，利用全等三角形证明点到轴的距离等于OA即可得到答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为y=kx+b，将点和代入，得 ，解得， ∴直线的函数表达式为y=-x+1； （2）解：∵点、． ∴OA=1，OB=1， ∴， 由折叠得， ∴； （3）解：①由旋转可得AP=AC，∠PAC=90°， ∴∠APC=∠C=45°， 当PD=AD时，∠PAD=∠APC=45°， ∵OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠ABO=∠BAO=45°， ∴∠BAO=∠PAD， ∴点P与点O重合； 当PA=PD时，过点D作DE⊥PB于E，过点P作PF⊥AD于F， ∵PA=PD，∠APD=45°， ∴∠DPF=∠APF=22.5°，∠ADP=∠DAP=67.5°， ∵DE⊥PB，∠ABO=45°， ∴∠BDE=45°， ∴∠PDE=67.5°， ∵∠EPD=90°-∠PDE=22.5°，∠OAP=∠PAD-∠BAO=22.5°， ∴∠EPD=∠OAP， ∵∠PED=∠POA=90°，PA=PD， ∴△PDE≌△APO， ∴PE=AO=1，DE=PO， 设OP=a，则BE=DE=a， ∴OE=1-a，PE=1， ∵∠EPD=∠FPD，∠PED=∠PFD=90°，PD=PD， ∴△PDE≌△PDF， ∴PF=PE=1， ∵∠BPF=∠ABO=45°， ∴BF=PF=1， ∴BP=BF=， ∴1+a=， 解得a=-1    ， ∴P（0，1-）； 当AD=AP时，∠ADP=∠APD=45°， ∴∠PAD=90°， ∵∠BAO=45°， ∴∠PAO=∠APO=45°， ∴OP=OA=1， ∴P（0，-1）； 综上，点P的坐标为（0，1-）或（0，-1）； ②点到轴的距离是一个定值， 由旋转可得AP=AC，∠PAC=90°， 当点P在y轴正半轴上时，过点C作CG⊥x轴于G，则∠POA=∠CGA=90°， ∵∠PAO+∠CAG=90°，∠ACG+∠CAG=90°， ∴∠PAO=∠ACG， ∴△PAO≌△ACG， ∴CG=AO=1； 当点P在y轴负半轴上时，过点C作CH⊥x轴于H，则∠POA=∠CHA=90°， ∵∠PAO+∠CAH=90°，∠ACH+∠CAH=90°， ∴∠PAO=∠ACH， ∴△PAO≌△ACH， ∴CH=AO=1； 综上，点到轴的距离是一个定值，距离为1． 【点睛】此题是一次函数及图形问题的综合，考查了利用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 题型十九 一次函数中的新定义 48．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点， (1)求直线l：的不动点坐标； (2)已知直线：与x、y轴分别交于点A、B． ①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标； ②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标 【分析】（1）由直线l：，令，即可解答； （2）①先求出，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为，由题意得，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，由（1）知，则，进而求出，求出，得到，再利用待定系数法即可求出直线l，即可求出点Q的坐标；②设直线的解析式为，点，代入直线得到直线的解析式为，联立，求出，再根据，代入数据即可解答． 【详解】（1）解：∵直线l：， 令，则， ∴直线l：的不动点坐标为； （2）①解：令，解得：； ∴， 如图1，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入直线l：，则， 解得：， ∴直线l的解析式为：， 将代入，则， ∴； ②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标， 设直线的解析式为，点， 将点代入直线得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定与性质，两点距离公式，等腰直角形的性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 49．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．） (1)点的关联点的坐标为 ； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)为等腰直角三角形，详见解析 (4) 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证，进而根据三角形的性质即可得出结论； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． 【详解】（1）解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； （2）解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形； （4）解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， ∴取值范围为． ∴最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 50．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知直线的平行线，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理可知点P在的垂直平分线上，先作出的垂直平分线，再过点C作，则两条直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 51．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 52．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 53．（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 54．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 55．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $