专题10 期末真题通关之中等易错题（期末复习专项训练，10大题型70题）八年级数学上学期新教材苏科版

专题10 期末真题通关之中等易错题（70题） 中等易错题 题型1 估算无理数（选、填） 题型6 垂直平分线与角平分线的性质（选、填、解） 题型2 赵爽弦图（选、填） 题型7 勾股定理与逆定理的应用（选、填、解） 题型3 正比例、一次函数的增减性（选、填） 题型8 一次函数的解析式与不等式（选、填、解） 题型4 一次函数与二元一次方程组（选、填） 题型9 一次函数的实际应用（选、填、解） 题型5 一次函数的图象与图象信息（选、填） 题型10无刻度尺作图（解） 题型一 估算无理数（选、填） 1．估算的结果在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 即估算的结果在8和9之间． 故选：D． 2．估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算的范围，再估算的范围即可得解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．估算的值（    ） A．8到9之间 B．9到10之间 C．10到11之间 D．11到12之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键．利用“夹逼法”估算出的范围，即可得出的范围． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 4．估算的值 ． 【答案】7.9 【分析】本题考查了无理数的估算，根据“夹逼法”求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7.9． 5． 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数的估算；通过估算的取值范围，确定的值所在区间，从而得到整数即可． 【详解】解：因为，所以， 因此， 于是，即， 故的值在整数2和3之间， 所以． 故答案为：2． 6．公元3世纪，我国数学家刘徽就能利用公式得到二次根式的近似值．其中，a取最大的正整数，r取正整数，则利用公式估算 ． 【答案】 【分析】先把17写成，然后求出公式中的a和r，再根据公式求出答案即可 本题主要考查了无理数的估算，解题关键是理解已知条件中的方法估算无理数的大小． 【详解】解：， ，， ， 故答案为： 题型二 赵爽弦图（选、填） 1．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．24 B．25 C．50 D．75 【答案】A 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得 ， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 故选：A． 3．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 【详解】解：如图2，，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 4．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是，，9，，则最大的正方形E的边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先根据勾股定理可得，即可求出，同理可得，接下来求出，则此题可解． 【详解】解：由题可得，如图所示： 由勾股定理可得：， ，B，F都是正方形， ， ， 同理可得， ， 最大正方形E的边长为 故答案为： 5．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后随手做起拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，喜欢思考的他借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，点C、D、E在同一条直线上，设，，则正方形的面积是 ．（用含a，b的式子表示并化为最简形式） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键． 设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，在中，利用勾股定理表示出，从而得解． 【详解】解：设，则， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ，， ， 的值是：． 故答案为：． 题型三 正比例、一次函数的增减性（选、填） 1．对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数的图象平行 D．点，都在直线上，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，根据，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：对于一次函数，， ∴随的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，图象与正比例函数的图象平行 ∵ ∴ 故选：B． 2．已知一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，函数值随自变量增大而减小，得，图像不经过第一象限，得，据此求解即可． 本题考查了一次函数的性质． 【详解】解：∵函数y随x增大而减小， ∴， 解得； ∵图像不经过第一象限， ∴， 解得； ∴m的取值范围为， 故选：D． 3．若点在一次函数（是常数）的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据题意可得，y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴ y 随 x 的增大而减小， ∵点在一次函数（是常数）的图象上，且， ∴． 故选：C 4．已知点和点均在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握其性质是关键；根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，结合点和点的横坐标大小关系即可判断． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵点和点在该函数图象上，且， ∴． 故答案：． 5．已知一次函数的图象经过点和，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】< 【分析】本题考查了一次函数的性质，比较一次函数值的大小，根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵一次函数解析式， 得， 即y随x的增大而减小， ∵点和中，， ∴， 故答案为：<． 6．已知一次函数的图象经过，两点，若，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，当一次项系数小于0时，函数值随自变量增大而减小，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，一次函数， 由于， 则该函数图象经过二、四象限，函数值y随x的增大而减小， 已知，则， 故答案为：． 题型四 一次函数与二元一次方程组（选、填） 1．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点与二元一次方程组的解的关系是解题关键．先将点代入函数可得，再根据一次函数的交点与二元一次方程组的解的关系求解即可得． 【详解】解：∵一次函数和的图象相交于点， ∴， ∴， ∵关于，的二元一次方程组的解可以看作是一次函数和的交点的坐标， ∴关于，的二元一次方程组的解是， 故选：B． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数和相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B． 3．如图，一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点的坐标，即可解题． 【详解】解：由图知，二元一次方程组的解是， 故选：B． 4．已知两条直线与的图像的交点坐标为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握“两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，直线交点坐标对应方程组的解． 【详解】解：∵两条直线（）与（）的图像的交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 5．如图，直线与交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数交点的性质和二元一次方程组的解，明白一次函数的交点即为对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 首先根据交点在已知直线上，代入解得交点的坐标，即可得到交点坐标对应的x，y的值就是关于x，y的二元一次方程组的解． 【详解】解：由图可知，直线与交于点， ∴点在直线上， ∴解得：， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 6．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 题型五 一次函数的图象与图象信息（选、填） 1．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象判断和的取值范围，看是否一致，逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； B、由图象可得：直线经过第一、二、三象限，故，；直线经过第一、二、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； C、由图象可得：直线经过第一、三、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，故符合题意； D、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第一、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 2．王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：∵王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园， ∴图形第一段应是和连线的线段， ∵与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中， ∴图形第二段是水平线段经过分钟， ， ∴第三段是第二段末尾和连线的线段， ∴图形表示符合的是D， 故选：D． 3．周六下午，小明从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，小明以同样速度原路返回，如图正确描述这一过程的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运动的图象，小明从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离不变，故排除C选项，课程结束后，小明回家，离家的距离越来越小，可排除D选项，由于小明是以相同的速度返回，故B选项符合题意． 【详解】解：小明从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离不变，小明回家时离家的距离越来越小，且小明是以相同的速度返回，所以B选项的图象能正确描述这一过程． 故选：B． 4．如图，在直角梯形中，，动点从点出发，沿，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象， 根据题意分析的运动路线，分个阶段分别讨论，可得与的值，进而利用三角形的面积可得答案，读懂题意，从函数图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵动点从直角梯形的直角顶点出发，沿，的顺序运动， ∴面积在段随的增大而增大；在段，的底边不变，高不变，因而面积不变化， 由图可以得到：，， ∴的面积是， 故答案为：． 5．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的是 ． ①每分钟的进水量为5升； ②每分钟的出水量为1.25升； ③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升； ④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，正确地从图象中获取信息．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 每分钟的进水量为（升），故①正确； 每分钟的出水量为（升），故②错误； 从计时开始8分钟时，容器内的水量为：（升），故③正确； 容器从进水开始到水全部放完的时间是：（分钟），故④正确． 故答案为：①③④． 6．如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，三角形的面积求解，通过看图获取信息，理清图象的含义是解题的关键．由题意可知，时，点运动到，借助三角形面积可求得，当时，可知，在上或者上，然后借助三角形面积分类讨论即可得出答案． 【详解】解：由图可知，当时，此时点运动到点，即，此时， 即， 解得：， ∵四边形是长方形， ∴，； 由图可知，当时，点在或上， 当点在时，则 此时， 解得：； 当点在时，则， 此时， 解得：； 故答案为：或． 题型六 垂直平分线与角平分线的性质（选、填、解） 1．如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（   ） A．18 B．20 C．32 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 作于点，根据角平分线的性质定理得到，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ∵为的平分线，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴的面积为18． 故选：A． 2．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 即． 故选：D． 3．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 【答案】 【分析】考查角平分线的性质以及三角形的面积公式，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过D作于F，根据角平分线性质得到，由， ，，代入即可求解． 【详解】解：过D作于F， ∵是中的角平分线，， ∴， ∵ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．连接并延长交于点，若，，则点到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质定理；过作交于，由作图得平分，由角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：过作交于， 由作图得平分， ， ， 故答案为：． 5．如图，中，，平分，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据角平分线的性质可得，进而证明得出，证明得出，根据线段关系，即可求解． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，进而得，再根据周长，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴周长． 题型七 勾股定理与逆定理的应用（选、填、解） 1．如图为一座钟，当它静止时，摆球底部距离地面的垂直高度，将摆球向一侧推动，使摆球水平移动的距离，此时摆球底部距离地面的垂直高度，钟摆的摆绳始终保持绷直状态，则钟摆摆绳的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴是直角三角形，四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选：C． 2．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， 在中，． 故选B． 3．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 4．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解题关键． 秋千在运动过程中，长度固定不变，可得．两次的高度分别为和，因此．设，则，直角三角形的三边满足勾股定理，解出即可． 【详解】解：设， ∵绳索长度不变， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在直角三角形中，，代入得， ， 解得，， 故答案为：． 5．某科技馆拟展出恐龙互动模型，为规避互动过程中模型关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，为节省材料成本，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图所示，实际测得数据如下：，，，，，请通过计算，判断该支架是否符合要求． 【答案】该支架符合要求 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先根据勾股定理可得的值，则可得，再根据勾股定理的逆定理求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 答：该支架符合要求． 6．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是从村庄C到河边的最近路，说明见解析 (2)原来的路线的长为千米 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； （2）解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米． 题型八 一次函数的解析式与不等式（选、填、解） 1．如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 2．若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，以及利用函数图象来求解不等式的解集，解决本题的关键在于利用函数图象的交点坐标来确定不等式的解集． 先根据点A在函数上求解出x的值，再结合图象求解不等式即可． 【详解】解：已知交点在函数的图象上， ∴，可得， 即交点的坐标为． 由图象可知，关于的不等式的解集为函数在函数上方的部分包含交点， 即， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 3．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用图象法解不等式是解题的关键． 观察一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由图象得，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 4．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，数形结合的思想是解题的关键． 依据题意，结合图象可得其解集为满足不等式组的部分在图象下方图象上方且在轴上方部分且对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意得，满足不等式组的部分在图象下方图象上方且在轴上方部分且对应的自变量取值， ， 故答案为：． 5．如图所示，直线经过点，与x轴交于点B，且与直线平行，且直线与直线的交点为点C． (1)求直线的函数表达式，并求出点C的坐标； (2)根据图象，写出关于x的不等式组的解集； (3)若点P是直线上一点，过点P作轴交直线于点Q，当，求P点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查用待定系数求一次函数解析式，求两条直线交点坐标，一次函数与一元一次不等式，一次函数与几何综合； （1）由直线与直线平行可得，再将点代入即可求出； （2）不等式组的解集是直线在x轴及上方，且在直线的下方的部分，结合图象即可得出结果； （3）由轴，可得点P与点Q的横坐标相同，且点P在直线上，点Q在直线上，可设P点坐标为，则点Q坐标为，分类讨论：当在C点左侧，；当在C点右侧，，即可求解. 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， ∴直线对应的函数表达式为， 解方程组得 ∴点C的坐标为. （2）解：∵直线，令，得，解得：， ∴与x轴的交点坐标是， 由图象可知：可得当，直线在x轴及上方即， 当时，直线在直线的下方，即， ∴当时，， 即关于x的不等式组的解集为. （3）解：∵轴， ∴点P与点Q的横坐标相同，且点P在直线上，点Q在直线上， 设P点坐标为，则点Q坐标为， 当在C点左侧，则，解得，此时P点坐标为， 当在C点右侧，则，解得，此时P点坐标为， ∴P点的坐标为或. 6．如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可； （3）先求出，根据的面积是面积的，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C在一次函数的图象上， ∴， 解得； ∴， ∵点、在直线上， ∴， 解得：； （2）解：由图像可得，不等式的解集为； （3）解：对于，当时，， 解得，， ∴, 由（1）知，，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 假设存在点P，使的面积是面积的， ∴, 设点的坐标为， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型九 一次函数的实际应用（选、填、解） 1．如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【详解】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 3．如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 4．某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 【答案】12 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键． 根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为， 款新能源电动汽车每千米的耗电量为， ∴图象的函数关系式为， 图象的函数关系式为， 当时，， ， ∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：12． 5．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件． ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【答案】(1)A礼品每件的进价是15元，B礼品每件的进价是25元 (2)①；②，该店获利最大为1900元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用． （1）根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）①根据进价和为5000元列关系式即可； ②根据题意列出W与m之间的关系式，再结合一次函数的性质求出该店所获利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设A礼品每件的进价是x元，B礼品每件的进价是y元， 依题意可得：， 解得：， 礼品每件的进价是15元，B礼品每件的进价是25元； （2）①解：设购进A礼品件，购进B礼品n件， 依题意可得：， ∴； ②解：表示所获得的利润， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵，，且为5的倍数， ∴，且为5的倍数， ∴当时，W取得最大值，即：A礼品进货100件时，该店获利最大， 最大利润为：（元）． 6．三晋大地，山川形胜，物产丰饶，独特的地理环境与人文滋养孕育出无数令人垂涎的特色美食与特产．某特产专营店欲购进一批“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”．已知购进3袋“黄米凉糕”和2袋“80克的某品牌牛肉”，共需38元；购进5袋“黄米凉糕”和3袋“80克的某品牌牛肉”，共需60元． (1)求“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”的进价各是多少元？ (2)已知该特产专营店“黄米凉糕”每袋的零售价是8元，“80克的某品牌牛肉”每袋的零售价是15元，商户准备用1200元购进上述两种商品进行销售，因市场需求，“黄米凉糕”的购进数量不能少于120袋．设购进“黄米凉糕”袋，两种商品全部卖出利润为元，求出与之间的函数关系式，并求出如何进货利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)黄米凉糕的进价是6元/袋，80克的某品牌牛肉的进价是10元/袋 (2)w与a的函数关系式为（且a为5的倍数），购进黄米凉糕120袋和80克的某品牌牛肉48袋时利润最大，最大利润为480元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的销售盈利，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”的进价分别是元，元，再建立二元一次方程组，然后解方程，即可作答． （2）理解题意，故，则“80克的某品牌牛肉”的袋数为，即a为5的倍数，然后结合利润公式进行列式化简，得w与a的函数关系式为（且a为5的倍数），运用一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”的进价分别是元，元， 依题意，得， 解得， ∴黄米凉糕的进价是6元/袋，80克的某品牌牛肉的进价是10元/袋； （2）解：由（1）得黄米凉糕的进价是6元/袋，80克的某品牌牛肉的进价是10元/袋； ∵商户准备用1200元购进上述两种商品进行销售， ∴， ∵“黄米凉糕”的购进数量不能少于120袋．设购进“黄米凉糕”袋， ∴， 则“80克的某品牌牛肉”的袋数为， ∵为非负整数， ∴a为5的倍数， ∵“黄米凉糕”每袋的零售价是8元，“80克的某品牌牛肉”每袋的零售价是15元， ∴ ； 即w与a的函数关系式为（且a为5的倍数）， ∵的， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最大值，且为．此时， ∴购进黄米凉糕120袋和80克的某品牌牛肉48袋时利润最大，最大利润为480元 题型十 无刻度尺作图（解） 1．秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图①，可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的质量，称重时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米），秤钩所挂物体质量为（千克）．下表为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 7           （千克）                               (1)在图②中，描出表中（x，y）对应的点； (2)根据表格和描点发现： ①当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离（厘米）每增加1厘米时，秤钩所挂物体质量（千克）的具体变化是___________； ②当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物体质量是___________千克； ③直接写出与之间的关系式：___________； (3)当秤钩所挂物体质量为千克时，求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少厘米？ 【答案】(1)见解析 (2)①增加千克；②；③ (3)厘米 【分析】本题考查一次函数的应用，描点画图象，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）利用描点法画出图象即可； （2）①根据所画的图象即可求得结果； ②由表格知，当时，,根据①找出的规律，当时，即可求出所挂物体的重量； ③设函数关系式为，利用待定系数法解决问题即可； （3）把代入（2）中解析式求值即可． 【详解】（1）解：图象如下图： （2）解：①根据所画的图象，当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离每增加1厘米时，秤钩所挂物重的具体变化是增加千克； ②当时，， 秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是千克； ③由（1）的图象可知，与的关系满足一次函数， 设与的函数解析式为， 把，，，代入可得： ， 解得， 与之间的函数关系式是； 故答案为：①增加千克；②；③； （3）解：当时，， 解得， 当秤钩所挂物重为千克时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是厘米． 2．综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】(1)图见解析，； (2)； (3)此时双层部分的长度为． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． （1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值； （2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； （3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得， 解得， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是； （2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； （3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，． 背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为， 手到地面的距离为，即． 设小明爸爸的身高为 ． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ，解得， 根据任务2，得，解得， 此时双层部分的长度为． 3．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为．整个过程中，弹簧测力计读数F（N）与圆柱体下降高度h（）的关系图象如图2所示． (1)分析题意，图2中的______，______； (2)求段与之间的函数表达式； (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)14；8 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，利用待定系数法求得函数表达式是解题的关键． （1）根据“当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为”直接可得； （2）利用待定系数法即可得出段与之间的函数表达式； （3）根据（2）中的表达式，令时，求出h的值即可得出答案，注意要减去5． 【详解】（1）解：根据题意和图2可知，，， 故答案为：14；8． （2）解：设段与之间的函数表达式， 代入，， 得， 解得， ∴段与之间的函数表达式为． （3）解：由（2）可知，， 令，即， 解得， ∴圆柱体浸入水中的高度为． 4．综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ (3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？ 【答案】(1)函数解析式为，这些点在同一条直线上； (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 (3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围为 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将y代入函数解析式，解方程即可． （3）依据题意，当时，即，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设函数解析式为， ∵当，，，， ∴． ∴． ∴函数解析式为，经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入 得，， ∴． ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． （3）解：由题意，当时，即， ∴． 当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围为． 5．（1）如图①是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺作的中线． （2）如图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺作，使其面积为； （3）如图③是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，、是格点，是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点，再将平移到，使点的对应点为点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【分析】本题主要考查了借助网格作图，解决本题的关键是借助网格找线段之间的相等关系． 借助网格线找到的中点，连接线段，即为所求； 构造底边长为，高为的三角形即可； 借助网格找到的中点，再借助网格构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等确定的位置． 【详解】解：如下图所示，借助网格线找到的中点，连接线段， 线段即为的中点； 解：如下图所示，借助网格作，使，边上的高为， 则的面积为； 解：如下图所示，借助网格构造， 过的中点作交于点， 点即为中点， 连接并延长，交网格线于点， 则， 在和中，， ， ． 6．如图，在的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点都是格点．请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出的中线． (2)在图2中，是线段上一点（不在格点上），在线段上作一点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查作三角形的中线，三线合一，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）取的中点，连接即可； （2）在上取格点，得到等腰三角形，取的中点，连接交于一点，连接点与该交点并延长，交于点，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 由作图可得， ∴， ∴． 1．如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】先证明 是等边三角形，再证明，再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和，再利用勾股定理求出，从进而即可求解． 【详解】解：如下图所示，设与交于点O，连接和， ∵点D为的中点，， ∴,，是的角平分线，是， ∴， ∴ ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∵， ∴ ∴, ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本题的关键． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)画线段，使得且； (2)作出的高； (3)若．作； (4)若是边上任意两点，在边上找一点．使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定和勾股定理画出图形即可； （2）取格点J，连接交于E，则线段为的高； （3）取格点，连接，延长交于F，连接，根据平行线的性质和线段垂直平分线，结合等腰三角形的性质可推导出即为所求； （4）连接交于H，连接并延长交于，根据轴对称性质，点P与点关于对称，连接交于G，此时值最小，故点G即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： 作图依据：取格点D和K，连接， 根据网格特点，，，， ∴，； （2）解：如图，线段即为所求； 作图依据：取格点J，连接交于E， 根据网格特点，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴，即， 故线段为的高； （3）解：如图，即为所求作： 作图依据：取格点，连接，延长交于F，连接， 根据网格特点，， ∴，又， ∴，又， ∴是的垂直平分线， ∴，则， ∴； （4）解：如图，点G即为所求作： 作图依据：由（3）知，是的角平分线， 连接交于H，连接并延长交于， 根据轴对称性质，点P与点关于对称， 连接交于G，此时值最小， 故点G即为所求． 【点睛】本题考查网格作图，涉及平行线的判定、轴对称性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解答的关键是熟知相关知识解决问题． 4．（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． ①的长度为 ___________；的面积=___________； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； ③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出的值最小时点P的位置．（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在的正方形网格中，点A，B在格点上． ①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点C有___________个． 【答案】（1）①，5；②见解析；③见解析 （2）①见解析；②4 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，算术平方根的应用，作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （）①利用算术平方根的定义求解，利用割补法计算面积即可；②根据轴对称图形的性质作图即可；③连接，与直线相交于点，点即为所求； （）①根据轴对称图形的性质画图即可；②根据①所画图形即可求解； 【详解】（1）解：①：以为边作正方形， 则 ∴（舍负）， 的面积， 故答案为：，； ②如图所示，即为所求； ③如上图，点即为所求； （2）解：①如图所示，即为所求； ②由图可知，符合条件的格点有个， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出点A关于y轴对称的点； (2)在图2中，作一条直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、两直线的交点问题、坐标与图形性质等知识，将问题转化为求一次函数解析式是解答的关键． （1）连接，连接并延长交于，则点即为所求； （2）连接交x轴于点D，连接，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 作图依据： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴轴，即轴， 设直线的解析式为， 将点C的坐标代入，得，则， ∴直线的解析式为， 当时，，则, ∴点A关于y轴对称的点为点； （2）解：如图，直线即为所求： 作图依据： ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴轴， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为． 6．【问题探究】 数学中的“构图法”是一种通过图形或图像来辅助理解、分析和解决数学问题的策略．通过学习，同学们会发现在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），利用格点构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 如图1，构造，．根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可得，所以． 【直接应用】 （1）仅用无刻度的直尺构造图形（画出图形，无需说明理由）： ①在图2中，，作； ②在图3中，说明：． 【迁移运用】 （2）在图4中，构造图形，解决以下问题：在中，，求边上的高的长． 【拓展提升】 （3）已知，点是一次函数图像上一点，则的最小值为__________． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）6 【分析】本题考查网格作图、勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定与性质、一次函数的几何应用、三角形的三边关系、两点之间线段最短等知识，掌握网格特点是解答的关键． （1）①根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰直角三角形的判定与性质画图即可；②如图2，，，，由三角形的任意边之差小于第三边可得结论； （2）如图2，由网格特点和割补法求得，在利用三角形的面积公式求得高的长即可； （3）根据一次函数图象上的点的坐标特征得到，则，则，当A在线段上时，取等号，此时最小值为的长，利用两点坐标距离公式求得即可求解． 【详解】解：（1）①如图，即为所求作： 理由：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②如图， 则，，， ∵， ∴； （2）如图所示，为的高， 由网格得， ∴， 即边上的高的长为； （3）∵点是一次函数图像上一点， ∴，则， ∴ ， ∴可以看作到点的距离，可以看作到点的距离， 如图： 则， 当A在线段上时，取等号，此时最小值为的长， ∵， ∴的最小值为6． 7．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 8．如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 9．新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可． 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 10．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为， 根据题意可得：， 解得， ， ， ， 该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期末真题通关之中等易错题（70题） 中等易错题 题型1 估算无理数（选、填） 题型6 垂直平分线与角平分线的性质（选、填、解） 题型2 赵爽弦图（选、填） 题型7 勾股定理与逆定理的应用（选、填、解） 题型3 正比例、一次函数的增减性（选、填） 题型8 一次函数的解析式与不等式（选、填、解） 题型4 一次函数与二元一次方程组（选、填） 题型9 一次函数的实际应用（选、填、解） 题型5 一次函数的图象与图象信息（选、填） 题型10无刻度尺作图（解） 题型一 估算无理数（选、填） 1．估算的结果在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 2．估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．估算的值（    ） A．8到9之间 B．9到10之间 C．10到11之间 D．11到12之间 4．估算的值 ． 5． 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则 ． 6．公元3世纪，我国数学家刘徽就能利用公式得到二次根式的近似值．其中，a取最大的正整数，r取正整数，则利用公式估算 ． 题型二 赵爽弦图（选、填） 1．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．24 B．25 C．50 D．75 3．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 4．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是，，9，，则最大的正方形E的边长是 ． 5．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后随手做起拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，喜欢思考的他借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，点C、D、E在同一条直线上，设，，则正方形的面积是 ．（用含a，b的式子表示并化为最简形式） 6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 题型三 正比例、一次函数的增减性（选、填） 1．对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数的图象平行 D．点，都在直线上，则 2．已知一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若点在一次函数（是常数）的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．已知点和点均在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 5．已知一次函数的图象经过点和，则 ．（填“”、“”或“”） 6．已知一次函数的图象经过，两点，若，则 （填“>”“<”或“=”）． 题型四 一次函数与二元一次方程组（选、填） 1．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．已知两条直线与的图像的交点坐标为，则方程组的解为 ． 5．如图，直线与交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 6．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 题型五 一次函数的图象与图象信息（选、填） 1．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（    ） A． B． C． D． 3．周六下午，小明从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，小明以同样速度原路返回，如图正确描述这一过程的图象是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在直角梯形中，，动点从点出发，沿，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则的面积是 ． 5．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的是 ． ①每分钟的进水量为5升； ②每分钟的出水量为1.25升； ③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升； ④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟． 6．如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是 ． 题型六 垂直平分线与角平分线的性质（选、填、解） 1．如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（   ） A．18 B．20 C．32 D．36 2．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．连接并延长交于点，若，，则点到直线的距离是 ． 5．如图，中，，平分，． 求证：． 6．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 题型七 勾股定理与逆定理的应用（选、填、解） 1．如图为一座钟，当它静止时，摆球底部距离地面的垂直高度，将摆球向一侧推动，使摆球水平移动的距离，此时摆球底部距离地面的垂直高度，钟摆的摆绳始终保持绷直状态，则钟摆摆绳的长度是（   ） A． B． C． D． 2．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 4．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为 ． 5．某科技馆拟展出恐龙互动模型，为规避互动过程中模型关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，为节省材料成本，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图所示，实际测得数据如下：，，，，，请通过计算，判断该支架是否符合要求． 6．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 题型八 一次函数的解析式与不等式（选、填、解） 1．如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 2．若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 4．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 5．如图所示，直线经过点，与x轴交于点B，且与直线平行，且直线与直线的交点为点C． (1)求直线的函数表达式，并求出点C的坐标； (2)根据图象，写出关于x的不等式组的解集； (3)若点P是直线上一点，过点P作轴交直线于点Q，当，求P点坐标． 6．如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型九 一次函数的实际应用（选、填、解） 1．如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 4．某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 5．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件． ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 6．三晋大地，山川形胜，物产丰饶，独特的地理环境与人文滋养孕育出无数令人垂涎的特色美食与特产．某特产专营店欲购进一批“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”．已知购进3袋“黄米凉糕”和2袋“80克的某品牌牛肉”，共需38元；购进5袋“黄米凉糕”和3袋“80克的某品牌牛肉”，共需60元． (1)求“黄米凉糕”和“80克的某品牌牛肉”的进价各是多少元？ (2)已知该特产专营店“黄米凉糕”每袋的零售价是8元，“80克的某品牌牛肉”每袋的零售价是15元，商户准备用1200元购进上述两种商品进行销售，因市场需求，“黄米凉糕”的购进数量不能少于120袋．设购进“黄米凉糕”袋，两种商品全部卖出利润为元，求出与之间的函数关系式，并求出如何进货利润最大，最大利润是多少元？ 题型十 无刻度尺作图（解） 1．秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图①，可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的质量，称重时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米），秤钩所挂物体质量为（千克）．下表为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 7           （千克）                               (1)在图②中，描出表中（x，y）对应的点； (2)根据表格和描点发现： ①当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离（厘米）每增加1厘米时，秤钩所挂物体质量（千克）的具体变化是___________； ②当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物体质量是___________千克； ③直接写出与之间的关系式：___________； (3)当秤钩所挂物体质量为千克时，求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少厘米？ 2．综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 3．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为．整个过程中，弹簧测力计读数F（N）与圆柱体下降高度h（）的关系图象如图2所示． (1)分析题意，图2中的______，______； (2)求段与之间的函数表达式； (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 4．综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ (3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？ 5．（1）如图①是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺作的中线． （2）如图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺作，使其面积为； （3）如图③是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，、是格点，是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点，再将平移到，使点的对应点为点． 6．如图，在的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点都是格点．请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出的中线． (2)在图2中，是线段上一点（不在格点上），在线段上作一点，使得． 1．如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是 ． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)画线段，使得且； (2)作出的高； (3)若．作； (4)若是边上任意两点，在边上找一点．使的值最小． 4．（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． ①的长度为 ___________；的面积=___________； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； ③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出的值最小时点P的位置．（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在的正方形网格中，点A，B在格点上． ①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点C有___________个． 5．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出点A关于y轴对称的点； (2)在图2中，作一条直线． 6．【问题探究】 数学中的“构图法”是一种通过图形或图像来辅助理解、分析和解决数学问题的策略．通过学习，同学们会发现在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），利用格点构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 如图1，构造，．根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可得，所以． 【直接应用】 （1）仅用无刻度的直尺构造图形（画出图形，无需说明理由）： ①在图2中，，作； ②在图3中，说明：． 【迁移运用】 （2）在图4中，构造图形，解决以下问题：在中，，求边上的高的长． 【拓展提升】 （3）已知，点是一次函数图像上一点，则的最小值为__________． 7．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 8．如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 9．新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 10．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $