齐次化巧解圆锥曲线相关问题 导学案-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习学案聚焦齐次化解决圆锥曲线问题专题，系统整合斜率之和、斜率之积及定点问题等核心考点，按平移齐次化原理、适用范围、真题应用的逻辑层次构建知识网络，通过预习案问题链和探究任务驱动，引导学生自主梳理方法规律，形成完整解题认知框架。 亮点在于诊断性预习设计和分层探究活动，如开篇设置二模压轴题让学生记录困惑实现自主诊断，小组合作解决椭圆斜率运算变式题培养数学抽象与数学运算素养。每个模块配有真题演练和反思空间，助力学生个性化提升，教师可依学情精准指导，有效落实因材施教。

河北衡水重点中学 备课组长： 审核人： 班级： 学生姓名： 组内评价： 教师评价： 二轮专题07 齐次化解决圆锥曲线相关问题 【学习目标】 1. 理解齐次化思想，掌握构造齐次式的方法，培养学生的数学抽象的核心素养； 2. 通过小组探究，能够运用齐次化解决圆锥曲线中斜率之和、积及定点问题。 3. 提升运算效率，增强学生的数学运算的核心素养，体会数学建模的简化思想。 4.增强学生用数学的眼光发现问题的能力，等价转化思想的提升。 【学习重点、难点】 重点：理解齐次化思想，运用齐次化解决圆锥曲线中斜率之和、积及定点问题． 难点：齐次化，体会数学建模的简化思想. 方法点拨： 1.平移齐次化原理 如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 设平移后的直线为，与平移后的圆锥曲线方程联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以 (前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根与系数的关系得出斜率之和或斜率之积，即可得出答案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去. 2．齐次化适用范围 由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如： ，，，，，， 前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下： ，，． 这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的． 预习案 1． 二模压轴题再现 例1（24-25高三下·山东聊城·二模）已知平行四边形（O为坐标原点）的面积，其中所在直线为，所在直线为，动点的轨迹为双曲线，且双曲线与轴没有交点. (1)求双曲线的方程； (2)设点，，，直线，与双曲线分别交于点（其中不与点重合），为直线上一点，且，求的最大值. 这题你的想法及存在的困惑： 探究案 1. 质疑解疑、合作探究 发散探究： 探究2：在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于A、B，求及的值。 变式：在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于A、B，已知点，求及的值。 例 2（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 课堂训练： 变式2.已知椭圆E：的左顶点为A，设直线l交椭圆E于M、N两点，且以为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并且求出此定点的坐标. 课后强化训练：如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方)，设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.    。 二轮专题07齐次化解决圆锥曲线相关问题答案 例1.【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，计算点到直线的距离，表示，结合平行四边形的面积可得结果. （2）设直线：，，，根据得到的关系可得点在圆上，由此可求得的最大值. 【详解】（1）设点，则点到直线的距离， 由得，，∴直线的方程为，整理得. 由得，， ∴， ∴平行四边形的面积，整理得. ∵动点的轨迹为双曲线，且双曲线与轴没有交点， ∴双曲线的焦点在轴上，即双曲线的方程为. （2） 由（1）得，点为双曲线的右焦点，双曲线渐近线方程为. 当直线斜率不存在时，可得直线关于轴对称，即直线关于轴对称， 不妨设点在点上方，此时，，直线与双曲线的一条渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，故直线的斜率存在. 设直线：，，， 由方程组得， 则①，，②. ∵，∴直线方程为：， 令，得，同理得，故， 将，代入上式，整理得：， 将②代入得，整理得， 若，则直线：，恒过点，不合题意； 若，则，故直线：，恒过点. ∵直线恒过点，且与双曲线始终有两个交点， ∴，解得且. ∵，，垂足为，∴点在以为直径的圆上， 设的中点为，则圆心，半径为1，圆方程为， ∴，当且仅当点在线段的延长线上时，等号成立， 由得直线方程为，与圆方程联立得或， ∴，故， ∴直线的斜率，满足题意， ∴的最大值为. 例2.【答案】（1）；（2）详见解析. 【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程. （2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置. 【详解】（1）由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：. (2)［方法一］：通性通法 设点， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据,代入整理可得： ，         所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）. 此时直线过点. 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即． 设，因为则，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点． 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立． 故存在，使得． ［方法三］：建立曲线系 A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得． 则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）． 用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）． 即． 对比项、x项及y项系数得 将①代入②③，消去并化简得，即． 故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q． 经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． ［方法四］： 设． 若直线的斜率不存在，则． 因为，则，即． 由，解得或（舍）． 所以直线的方程为． 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则． 令，则． 又，令，则． 因为，所以， 即或． 当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线恒过． 综上，直线恒过，所以． 又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动． 取线段的中点为，则． 所以存在定点Q，使得为定值． 【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法； 方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线的方程为，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解； 方法三：设直线，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点； 方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算． 变式2.【答案】证明见解析， 【分析】由直线与椭圆相交，联立方程根据韦达定理，结合以为直径的圆恒过点A满足，化简可得结果. 【详解】设，，，设直线l：， 椭圆的方程化为 将直线l的方程代入椭圆并且齐次化可得 两边同时除以，得， 因为 由根与系数的关系可得， 解得，所以直线l：，令，解得． 即直线l恒过定点． 课后强化训练：【答案】是定值，理由见解析 【详解】由题意将代入椭圆方程得，从而， 因为直线不过点，所以设直线的方程为， 椭圆的方程即：， 联立直线与椭圆方程，得 ， 整理得， 即，（*） 而（*）式中的指的是点或点的横纵坐标， 令，则关于的方程有两个解， 由得， 即：， 直线的斜率为，是定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北衡水重点中学 备课组长： 审核人： 班级： 学生姓名： 组内评价： 教师评价： 二轮专题07 齐次化解决圆锥曲线相关问题 【学习目标】 1. 理解齐次化思想，掌握构造齐次式的方法，培养学生的数学抽象的核心素养； 2. 通过小组探究，能够运用齐次化解决圆锥曲线中斜率之和、积及定点问题。 3. 提升运算效率，增强学生的数学运算的核心素养，体会数学建模的简化思想。 4.增强学生用数学的眼光发现问题的能力，等价转化思想的提升。 【学习重点、难点】 重点：理解齐次化思想，运用齐次化解决圆锥曲线中斜率之和、积及定点问题． 难点：齐次化，体会数学建模的简化思想. 方法点拨： 1.平移齐次化原理 如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 设平移后的直线为，与平移后的圆锥曲线方程联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以 (前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根与系数的关系得出斜率之和或斜率之积，即可得出答案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去. 2．齐次化适用范围 由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如： ，，，，，， 前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下： ，，． 这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的． 预习案 1． 二模压轴题再现 例1（24-25高三下·山东聊城·二模）已知平行四边形（O为坐标原点）的面积，其中所在直线为，所在直线为，动点的轨迹为双曲线，且双曲线与轴没有交点. (1)求双曲线的方程； (2)设点，，，直线，与双曲线分别交于点（其中不与点重合），为直线上一点，且，求的最大值. 这题你的想法及存在的困惑： 探究案 1. 质疑解疑、合作探究 发散探究： 探究2：在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于A、B，求及的值。 变式：在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于A、B，已知点，求及的值。 例 2（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 课堂训练： 变式2.已知椭圆E：的左顶点为A，设直线l交椭圆E于M、N两点，且以为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并且求出此定点的坐标. 课后强化训练：如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方)，设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.    。 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $