学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（江苏无锡专用，苏科版九上+九下全册）

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意亭项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：苏科版九年级全部。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则snA的值() A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定 2.下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x-2=0 B.x+3y=1 C.2+2+1=0 D.x2=1 3.若⊙0的半径为3cm点A不在⊙O内，则OA的长() A.大于3cm B.不小于3cm C.大于6cm D.不小于6cm 4.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为() A.y=-2(x+1)2+1 B.y=-2(x+1)2-1 C.y=-2(x-1)2+1 D.y=-2(x-1)2-1 5.如图，在⊙O中，直径AB=6,BC是⊙O的弦，若∠B=60°，则AC的长为() B A.6π B.4π C.2π D.π 6.下列说法中，正确的是（) A.长度相等的弧是等弧 1/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B.在同圆或等圆中，等弦对等弧 C.优弧一定比劣弧长 D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 7.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为() A日 B.4 C.3 1 D.2 8.运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：92=[23-习2+24-刀2+3(2-习1，根据该信 息，下列说法错误的是() A.样本的容量是3 B.样本的中位数是3 C.样本的众数是2 D.样本的平均数是 0 9.已知关于x的二次函数y=-x2+2x+n(m,n为常数)，则下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴在y轴的左侧 C.若+n=1,该函数图象与x轴没有交点 D.当-1≤x≤叶2时，该函数的最大值与最小值的差为4 .BD 1 AM 10.如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕，若D =2AW 的值 为() A B D A月 R a.g D月 第二部分（非选择题共120分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 2/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 12.两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为一· 13.某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x,则可列方程 为 14.有一斜坡的坡度i=12:5,斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为米. 15.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB与CD相交于 点P,则sin∠APC的值为_ D 16.方程x2-2024r-2025=0的两个根分别是m、2,则(m2-2023-2026)(2-2023n-2026)=一 17.若二次函数y=2-bx+2有最大值8，则y=-a(x-3)2+b(x-3)+2的最小值为 18.如图，在口ABCD中，AB=25,AD=40,∠B是锐角且c0sB=石B是BC边上的动点，连接DE, 作∠DEF=∠B,EF与AD边交于点F则过点D,E,F的⊙O的半径最小值为一， AF 三、解答题（本大题共10小题，满分96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(每小题4分，共8分)计算： 1）sm30°-号cos45+号tamn260 (2)解方程：x2-4x-5=0. 3/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+x+m-1=0. (I)当=0时，求方程的实数根 (Ⅱ)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 21.(10分)小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每 次各出一张牌，规定A胜B,B胜C,C胜D,D胜A,其他情况均无法分出胜负， (1)若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为一： (2)求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率， 4/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(10分)第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”)于2025年6月12 日-14日在北京的中国国际展览中心隆重举办.某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识知 多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀 【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8.075 8 b 72.5% 八年级 8.375 a 0 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：=，b=，c=; (2)小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平.”你认为小 科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由： (3)若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人数. 人数/名本 16 15 14 10 12 1110 口七年级 10 7 口八年级 6 6 910 成绩/分 23.(10分)如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,过E作EF⊥AB交AB于点 F (1)求证△DEC∽△EFB: (2)若BC=6,CE=2,求AF的长， F E 5/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(10分)“惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点，如图， 某人站在距离摩天轮60米的点A处（即AB=60米），以30°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点， 在原地再以60°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点，（人的身高忽略不计） (1)求摩天轮的最低处到地面的距离CB的长： (2)求摩天轮圆轮直径CD的长. B 25.(10分)如图AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，连结AD,作OF⊥AD于点 E,交CD于点F,若∠ADC=∠AOF. (1)求证：CD是⊙O的切线： ②)名品专0=10，求F的长 D E B y 6/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 26.(10分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每 天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。 (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元)与销售单价x(元)之间的函数关系式. (2)若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ (3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 27.(10分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=2+bx+4(a<0)的图象与x轴交于点A(2,0) 和点B(-4,0),与y轴交于点C. (1)求二次函数的表达式： (2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点D, ①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且∠DEB=90°，求点E的坐标： ②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴于点E,若2BDP=45+DEC,求点P的坐标. W D B B A D 图1 图2 7/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 28.(10分)【问题提出】 (1)如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE,过E作EF⊥AE交边CD于点F, 若AB=4,EC=3. @&e 的值为： ②连结AF,则sin∠EAF的值为· 【类比探究】 (2)如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点.BE: EC=1:2,连接AE,作EF⊥AE交CD于点F,连接OF,求tan∠FOC的值. 【拓展应用】 (3)如图3，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6,E是边BC上的一点，O是对角线AC的中 点.BE:EC=1:2,且∠AEF-120°，则tam∠FOC的值为一· A 2 B 图1 图2 图3 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2＝0 B．x+3y＝1 C． D．x2＝1 3．若⊙O的半径为3cm，点A不在⊙O内，则OA的长（　　） A．大于3cm B．不小于3cm C．大于6cm D．不小于6cm 4．把抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x+1）2﹣1 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 5．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．π 6．下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 7．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 8．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（　　） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 9．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数），则下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴在y轴的左侧 C．若m+n＝1，该函数图象与x轴没有交点 D．当m﹣1≤x≤m+2时，该函数的最大值与最小值的差为4 10．如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕．若，的值为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．若，则的值为　　． 12．两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为　　． 13．某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为　　． 14．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　　米． 15．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　　． 16．方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝　　． 17．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为　　． 18．如图，在▱ABCD中，AB＝25，AD＝40，∠B是锐角且，E是BC边上的动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，EF与AD边交于点F，则过点D，E，F的⊙O的半径最小值为　　． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（每小题4分，共8分）计算： （1）； （2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0． （Ⅰ）当m＝0时，求方程的实数根． （Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 21．（10分）小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负． （1）若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为　　； （2）求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率． 22．（10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）于2025年6月12日﹣14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识知多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8.075 8 b 72.5% 八年级 8.375 a 9 c 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由； （3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 23．（10分）如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过E作EF⊥AB交AB于点F． （1）求证△DEC∽△EFB； （2）若BC＝6，CE＝2，求AF的长． 24．（10分）“惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点．如图，某人站在距离摩天轮60米的点A处（即AB＝60米），以30°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以60°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点．（人的身高忽略不计） （1）求摩天轮的最低处到地面的距离CB的长； （2）求摩天轮圆轮直径CD的长． 25．（10分）如图AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，连结AD，作OF⊥AD于点E，交CD于点F，若∠ADC＝∠AOF． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，BD＝10，求EF的长． 26．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣4，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D， ①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且∠DEB＝90°，求点E的坐标； ②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴于点E，若，求点P的坐标． 28．（10分）【问题提出】 （1）如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，若AB＝4，EC＝3． ①的值为　　； ②连结AF，则sin∠EAF的值为　　． 【类比探究】 （2）如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点．BE：EC＝1：2，连接AE，作EF⊥AE交CD于点F，连接OF，求tan∠FOC的值． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点．BE：EC＝1：2，且∠AEF＝120°，则tan∠FOC的值为　　． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B C C D B A D C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．﹣3 12．6 13．100（1﹣x）2＝36 14．2.6 15． 16．﹣4048 17．﹣4 18． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（每小题4分，共8分） 【解答】解：（1）原式（）2 1 ＝1； ……………………………………4分 （2）x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， ∴x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1． ＝1； ……………………………………8分 20．（8分） 【解答】解：（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0， Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2； ……………………………………4分 （Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即12﹣4×1×（m﹣1）＝1﹣4m+4＝5﹣4m＞0， ∴m． ……………………………………8分 21．（10分） 【解答】解：（1）由题意可得：若小亮出“A”牌，小明亮出的牌有4种等可能性， ∴小亮获胜的概率为， 故答案为：； ……………………………………4分 （2）画树状图如下： ……………………………………7分 共有16种等可能的结果，其中小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的结果有8种， ∴小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率为． ……………………………………10分 22．（10分） 【解答】解：（1）∵七年级数据数据8分出现15次，出现次数最多， ∴这组数据的众数是8，即b＝8， ∵八年级数据中间的两个数是8，9， ∴中位数， 优秀率， 故答案为：8.5，8，77.5%； ……………………………………3分 （2）推测小科同学可能是七年级的学生，理由如下： ∵小科的分数在年级属于中游略偏上， ∴小科的分数大于或等于所在年级的中位数， ∵七年级的中位数为8，八年级的中位数为8.5， ∴小科同学可能是七年级的学生， 故答案为：七； ……………………………………7分 （3）七年级高于8.075的同学有10+4＝14（人）， 由样本估计总体可得：（人）， ∴估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人． ………………………………10分 23．（10分） 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB， ∴∠DCE＝∠EBF， ∵DE⊥BC交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F， ∴∠DEC＝∠EFB＝90°， ∴△DEC∽△EFB； ……………………………………5分 （2）解：∵BC＝6，CE＝2， ∴AB＝CD＝BC＝6，BE＝BC+CE＝6+2＝8， ∵△DEC∽△EFB， ∴， ∴BF， ∴AF＝AB﹣BF＝6． ……………………………………10分 24．（10分） 【解答】解：由题意可得：∠BAC＝30°，∠BAD＝60°， （1）在Rt△ABC中，tan∠BAC， ∴CB＝tan∠BAC×AB＝tan30°×AB60＝20（米）， 答：摩天轮的最低处到地面的距离CB的长为20米； ………………………………5分 （2）在Rt△ABD中，tan∠BAD， ∴BD＝tan∠BAD×AB＝tan60°×AB60＝60（米）， ∴CD＝BD﹣CB＝602040（米）， 答：摩天轮圆轮直径CD的长为40米． ……………………………………10分 25．（10分） 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵OF⊥AD， ∴∠OEA＝90°， ∴∠AOF+∠OAD＝90°， ∵∠ADC＝∠AOF， ∴∠ADC+∠OAD＝90°， ……………………………………2分 ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA+∠ADC＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∴OD⊥DC， ∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； ……………………………………4分 （2）解：∵， ∴设CD＝4x，则OC＝5x， ∴OB＝OD＝3x， ∴CB＝8x， ……………………………………6分 ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°， ∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴△COF∽△CBD， ∴， ∴OFBD10， ……………………………………8分 ∵OF⊥AD， ∴AE＝DE， ∵OA＝OB， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OEBD＝5， ∴EF＝OF﹣OE． ……………………………………10分 26．（10分） 【解答】解：（1）w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝（x﹣20）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000， ∵﹣10x+500≥0， ∴x≤50， ∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（25≤x≤50）； ……………………………………4分 （2）由题意可得：﹣10x2+700x﹣10000＝2000，解得：x1＝30，x2＝40， ∴销售单价应定为30元或40元， ……………………………………7分 答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元； （3）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250， ∵﹣10＜0， ∴函数图象开口向下， ∴当x＝35时，w有最大值，wmax＝2250， 答：当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元． ……………………………………10分 27．（10分） 【解答】解：（1）把A（2，0），B（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+4得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为yx2﹣x+4； ……………………………………2分 （2）①在yx2﹣x+4中，令x＝0得y＝4， ∴C（0，4）， ∵yx2﹣x+4（x+1）2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵过点C作x轴的平行线交抛物线于点D， ∴D与C关于直线x＝﹣1对称， ∴D（﹣2，4）， ……………………………………4分 设E（﹣1，t）， ∵∠DEB＝90°， ∴BE2+DE2＝BD2， ∵B（﹣4，0）， ∴9+t2+1+（t﹣4）2＝20，解得：t＝3或t＝1， ∴E的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，1）； ……………………………………6分 ②如图，设DP交x轴于T，延长CD到K， ∵∠KDP＝∠DCE+∠DEC＝90°+∠DEC，∠BDP＝45°∠DEC， ∴∠KDB＝∠KDP﹣∠BDP＝90°+∠DEC﹣（45°∠DEC）＝45°∠DEC， ∴∠KDB＝∠BDP， ∵∠KDB＝∠DBT， ∴∠BDP＝∠DBT， ∴DT＝BT， ……………………………………8分 设T（m，0）， ∵D（﹣2，4），B（﹣4，0）， ∴（m+2）2+16＝（m+4）2，解得：m＝1， ∴T（1，0）， 由D（﹣2，4），T（1，0）得直线DP的解析式为yx， 联立，解得或， ∴P的坐标为（，）． ……………………………………10分 28．（10分） 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠BEA＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠CEF+∠BEA＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△BAE∽△CEF， ∴， 故答案为：； ……………………………………2分 ②设EF＝3a，则AE＝4a， ∴由勾股定理可得：AF＝5a， ∴， 故答案为：； ……………………………………4分 （2）∵四边形ABCD是边长为9的正方形，且BE：EC＝1：2， ∴AB＝BC＝9，BE＝3，EC＝6，∠ACD＝45°， ∵O是对角线AC的中点， ∴， 由（1）可知：△BAE∽△CEF， ∴，即，解得：CF＝2， 如图2，过F作FH⊥AC交AC于H， ∵∠ACD＝45°，CF＝2， ∴△CFH为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ……………………………………7分 （3）如图3，在BC上取一点M，使得CF＝CM，连接FM交AC于H，连接OB， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ABC＝120°， ∴， ∵AB＝6，BE：EC＝1：2， ∴BE＝2，CE＝4，OB＝3， 在直角三角形BOC中，由勾股定理可得：， ∵CF＝CM，∠BCD＝60°， ∴△CFM为等边三角形， ∴∠CMF＝60°，CF＝CM＝MF，则∠BMF＝120°， ∵∠AEF＝120°， ∴∠BEA+∠CEF＝60°， 又∠BEA+∠BAE＝60°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△BAE∽△MEF， ∴，即， ∵CF＝CM， ∴ME＝CE﹣CM＝4﹣CM＝4﹣MF， ∴，解得：MF＝1，即CF＝1， 在菱形ABCD中，， ∵△CFM为等边三角形， ∴∠MFC＝60°， ∴∠FHC＝90°， ∴， 在直角三角形CFH中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故答案为：． ……………………………………10分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 17.（3分）________________ 18.（3分）________________ 三、解答题（共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $■ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 ▣ 违纪标记 口 注意事项 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂■ 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[BJ[C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 11 12 13 1 15. 16. 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 人数/名本 16 15 14 10 12 10 110 口七年级 8 77 口八年级 6 6 4 6 7 8910 成绩分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 0 B E 24.(40分) D C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) D T B A 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) y D D E E B B 0 A p 图1 图2 28.(10分) B B E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2＝0 B．x+3y＝1 C． D．x2＝1 3．若⊙O的半径为3cm，点A不在⊙O内，则OA的长（　　） A．大于3cm B．不小于3cm C．大于6cm D．不小于6cm 4．把抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x+1）2﹣1 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 5．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．π 6．下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 7．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 8．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（　　） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 9．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数），则下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴在y轴的左侧 C．若m+n＝1，该函数图象与x轴没有交点 D．当m﹣1≤x≤m+2时，该函数的最大值与最小值的差为4 10．如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕．若，的值为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．若，则的值为　　． 12．两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为　　． 13．某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为　　． 14．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　　米． 15．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　　． 16．方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝　　． 17．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为　　． 18．如图，在▱ABCD中，AB＝25，AD＝40，∠B是锐角且，E是BC边上的动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，EF与AD边交于点F，则过点D，E，F的⊙O的半径最小值为　　． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（每小题4分，共8分）计算： （1）； （2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0． （Ⅰ）当m＝0时，求方程的实数根． （Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 21．（10分）小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负． （1）若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为　　； （2）求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率． 22．（10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）于2025年6月12日﹣14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识知多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8.075 8 b 72.5% 八年级 8.375 a 9 c 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由； （3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 23．（10分）如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过E作EF⊥AB交AB于点F． （1）求证△DEC∽△EFB； （2）若BC＝6，CE＝2，求AF的长． 24．（10分）“惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点．如图，某人站在距离摩天轮60米的点A处（即AB＝60米），以30°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以60°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点．（人的身高忽略不计） （1）求摩天轮的最低处到地面的距离CB的长； （2）求摩天轮圆轮直径CD的长． 25．（10分）如图AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，连结AD，作OF⊥AD于点E，交CD于点F，若∠ADC＝∠AOF． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，BD＝10，求EF的长． 26．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣4，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D， ①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且∠DEB＝90°，求点E的坐标； ②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴于点E，若，求点P的坐标． 28．（10分）【问题提出】 （1）如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，若AB＝4，EC＝3． ①的值为　　； ②连结AF，则sin∠EAF的值为　　． 【类比探究】 （2）如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点．BE：EC＝1：2，连接AE，作EF⊥AE交CD于点F，连接OF，求tan∠FOC的值． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点．BE：EC＝1：2，且∠AEF＝120°，则tan∠FOC的值为　　． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10[AN[B][G][D 3[A][B][C[D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B[G[D] 8[A][B][c][D] 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.(3分) 12.(3分) 13.(3分) 14.(3分) 15.（3分) 16.(3分) 17.(3分) 18.(3分) 三、解答题（共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 人数/名+ 16 15 14 10 12 口七年级 10 110 8 77 口八年级 6 6 4 4 42 2 0 6 > 8 9 10 成绩分 23.(10分) B C E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) D C B 25.(10分) D y 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 27.(10分) y D E B A B A 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(10分) D B E B B E E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣。■■。。■▣。。■。=。■==。■■▣。▣=。■■■■■▣▣。■■▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ✉ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A1[BJ[C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 11 12. 13, 15 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 人数/名 1 14 10 12 110 口七年级 1 8 77 口八年级 6 4 4 2 0 6 7 8 9 10 成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) F B E 24.(10分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) D E B y 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 珠 C E B A A 图1 图2 28.(10分) D F B E B E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！: 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 O (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 舒 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：苏科版九年级全部。 O 第一部分（选择题共30分） : : 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（ A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定 : 2.下列方程中，属于一元二次方程的是() O A.x-2=0 B.x+3y=1 c.2++1=0 D.x2=1 3.若⊙O的半径为3C,点A不在⊙O内，则OA的长() A.大于3cm B.不小于3cm C.大于6cm D.不小于6c : 4.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为() 拟 A.y=-2(x+1)2+1 B.y=-2(x+1)2-1 : : C.y=-2(x-1)2+1 D.y=-2(x-1)2-1 : 5.如图，在⊙O中，直径AB=6,BC是⊙O的弦，若∠B=60°，则AC的长为() : B : : K A.6π B.4π C.2π D.π : 6.下列说法中，正确的是() A.长度相等的弧是等弧 B.在同圆或等圆中，等弦对等弧 试题第1页（共6页） ©学科网·学易金卷做树费：限是鲁帮 C.优弧一定比劣弧长 D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 7.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为() B. 4 C.1 3 8.运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：s2=23-习2+2(4-列2+3(2-习1，根据该信 息，下列说法错误的是() A.样本的容量是3 B.样本的中位数是3 C.样本的众数是2 D.样本的平均数是 7 9.已知关于x的二次函数y=-x2+2x+n(m,n为常数)，则下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴在y轴的左侧 C.若m+n=1,该函数图象与x轴没有交点 D.当m-1≤x≤+2时，该函数的最大值与最小值的差为4 10.如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MW为折痕，若BD=号，4M 的值 若Dc=2AN 为() A N B D A c 5-7 D 第二部分（非选择题共120分) 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） x-y 12.两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为一· 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做赶：就限是潜 13.某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x,则可列方程 为一 14.有一斜坡的坡度=12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为米. 15.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB与CD相交于 点P,则simn∠APC的值为· B 16.方程x2-2024x-2025=0的两个根分别是n,则(m2-2023m-2026)(2-20231-2026)=, 17.若二次函数y=x2-bx+2有最大值8，则y=-a(x-3)2+b(x-3)+2的最小值为 18.如图，在口ABCD中，AB=25,AD=40,∠B是锐角且c0sB=石，B是BC边上的动点，连接DB, 作∠DEF=∠B,EF与AD边交于点F,则过点D,E,F的⊙O的半径最小值为一： AF D E 三、解答题（本大题共10小题，满分96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(每小题4分，共8分)计算： （1)sin30-号cs45+号tan26o (2)解方程：x2-4x-5=0. 20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+x+-1=0. (I)当m=0时，求方程的实数根. (Ⅱ)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 试题第3页（共6页） : 21.(10分)小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人 O 每次各出一张牌，规定A胜B,B胜C,C胜D,D胜A,其他情况均无法分出胜负. (1)若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为； (2)求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率. : : : 兵 22.(10分)第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNT2025”)于2025年6月12 日-14日在北京的中国国际展览中心隆重举办.某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识 知多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀. 【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： : 游 【数据分析】小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表： : 游 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 .: 七年级 8.075 8 6 72.5% 八年级 8.375 a 9 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a=,b=一’c=_; : (2)小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平.”你认为 E肉 小科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由： : (3)若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人 数 人数/名 O 16 15 10 10 1110 口七年级 8 77 口八年级 : 6 6 4 4 2 0 6 7 8 9 10 成绩分 : : 试题第4页（共6页） : 23.(I0分)如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,过E作EF⊥AB交AB于 点F. O O (1)求证△DEC∽△EFB; (2)若BC=6,CE=2,求AF的长. : D B O 24.(10分)“惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点.如图， : 某人站在距离摩天轮60米的点A处（即AB=60米），以30°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C 点，在原地再以60°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点.（人的身高忽略不计） (1)求摩天轮的最低处到地面的距离CB的长； : (2)求摩天轮圆轮直径CD的长. .: ·: 25.(10分)如图AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，连结AD,作OF⊥AD于 拟 点E,交CD于点F,若∠ADC=∠AOF. (1)求证：CD是⊙O的切线： 《②)名品-专sD10,求的长。 : : : : K 26.（10分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时， 每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件. (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润p（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式. 试题第5页（共6页） 可学科网·学易金卷费概：限爱是普” (2)若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ (3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 27.（10分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=m2+bx+4(a<0)的图象与x轴交于点A(2,0) 和点B(-4,0),与y轴交于点C (1)求二次函数的表达式： (2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点D, ①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且∠DEB=90°，求点E的坐标： ②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴于点B,若∠BDP=45°+3∠DEC,求点P的坐标. y y D B B 图1 图2 28.(10分)【问题提出】 (1)如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE,过E作EF⊥AE交边CD于点 F,若AB=4,EC=3. 0E的值为一： CF ②连结AF,则sn∠EAF的值为· 【类比探究】 (2)如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点.BE: EC=1:2,连接AE,作EF⊥AE交CD于点F,连接OF,求tan∠FOC的值. 【拓展应用】 (3)如图3，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6,E是边BC上的一点，O是对角线AC的 中点.BE:EC=1:2,且∠AEF=120°，则tam∠FOC的值为： D A B E 图1 图2 图3 试题第6页（共6页） 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【解答】解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形， ∴∠A的大小不变， ∴sinA的值不变． 故选：C． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2＝0 B．x+3y＝1 C． D．x2＝1 【解答】解：A、x﹣2＝0中最高次数为1，不是一元二次方程，不合题意； B、x+3y＝1中未知数有2个，不是一元二次方程，不合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； D、x2＝1是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 3．若⊙O的半径为3cm，点A不在⊙O内，则OA的长（　　） A．大于3cm B．不小于3cm C．大于6cm D．不小于6cm 【解答】解：∵点A不在⊙O内， ∴点到圆心的距离大于或等于圆的半径，即OA≥3或OA的长不小于3cm． 故选：B． 4．把抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x+1）2﹣1 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 【解答】解：由“上加下减，左加右减”的平移规律可知： 把抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后， 所得函数的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+1． 故选：C． 5．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．π 【解答】解：如图，连接OC， ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵直径AB＝6， ∴r＝3， ∴． 故选：C． 6．下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【解答】解：A、能够重合的弧是等弧，故原说法错误； B、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，故原说法错误； C、在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，故原说法错误； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，说法正确． 故选：D． 7．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵整个图形面积＝4×4＝16，阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率． 故选：B． 8．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（　　） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 【解答】解：由题意可知：这组数据为2、2、2、3、3、4、4， ∴样本容量为7，中位数为3，众数为2，平均数为． 故选：A． 9．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数），则下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴在y轴的左侧 C．若m+n＝1，该函数图象与x轴没有交点 D．当m﹣1≤x≤m+2时，该函数的最大值与最小值的差为4 【解答】解：A、∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，故A错误，不合题意； B、∵二次函数的对称轴为直线xm， ∴当m＞0时，对称轴为y轴右侧，当m＜0时，对称轴为y轴左侧，当m＝0时，对称轴为y轴； 故B错误，不合题意； C、∵m+n＝1， ∴Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）•n＝4m2+4n＝4m2+4（1﹣m）＝4m2﹣4m+4＝4（m）2+3＞0， ∴函数图象与x轴有两个交点，故C错误，不合题意； D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m， ∴二次函数的最大值为﹣m2+2m2+n＝m2+n， ∵m+2﹣m＝2＞m﹣（m﹣1）＝1， ∴当x＝m+2时，二次函数有最小值，最小值为﹣（m+2）2+2m（m+2）+n＝m2+n﹣4， ∴m2+n﹣（m2+n﹣4）＝4，故D正确，符合题意． 故选：D． 10．如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕．若，的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， 由折叠可知：△AMN与△DMN关于MN对称， ∴AM＝DM，AN＝DN，∠A＝∠MDN＝60°， ∴∠BDM+∠CDN＝120°， ∵∠BDM+∠BMD＝120°， ∴∠BMD＝∠CDN， ∵∠B＝∠C， ∴△BDM∽△CND， ∴， ∵， 设BD＝x，则CD＝2x， ∴BC＝AB＝AC＝3x， 设AM＝DM＝k， ∴BM＝3x﹣k， ∴， ∴CN，DN， ∵DN+CN＝AN+CN＝AC＝3x， ∴3x， ∴kx， ∴DNx， ∴． 故选：C． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．若，则的值为　　． 【解答】解：根据等式的性质，由可得：， ∴原式3． 故答案为：﹣3． 12．两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为　　． 【解答】解：设较大的三角形的周长为x， ∵两个相似三角形的面积的比是4：9， ∴这两个相似三角形的相似比为2：3， ∴这两个三角形的周长比为2：3， ∵较小的三角形的周长为4， ∴，解得：x＝6． 故答案为：6． 13．某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为　　． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 则第一次降价后药价为100（1﹣x）元，第二次降价后药价为100（1﹣x）2元， 由题意可得：100（1﹣x）2＝36． 故答案为：100（1﹣x）2＝36． 14．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　　米． 【解答】解：设水平距离为m米，斜边长为n米， 由题意可得：，解得：m＝1， ∴． 故答案为：2.6． 15．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　　． 【解答】解：如图，连接BM，AM，则BM∥DC， ∴∠ABM＝∠APC， 设正方形网格的边长为a， 则AM，BM，AB． ∴AM2+BM2＝AB2， ∴△ABM为直角三角形∠AMB＝90°， 在Rt△ABM中，sin∠ABM， ∴sin∠APC＝sin∠ABM． 故答案为：． 16．方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝　　． 【解答】解：∵方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n， ∴m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025， ∴m2＝2024m+2025，n2＝2024n+2025， ∴（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026） ＝（2024m+2025﹣2023m﹣2026）（2024n+2025﹣2023n﹣2026） ＝（m﹣1）（n﹣1） ＝mn﹣（m+n）+1 ＝﹣2025﹣2024+1 ＝﹣4048． 故答案为：﹣4048． 17．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8，则y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为　　． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值8， ∴二次函数y＝﹣ax2+bx﹣2有最小值﹣8， ∴二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最小值﹣4， ∴当x时，y＝﹣ax2+bx+2有最小值﹣4， ∴当x﹣3时，函数y＝﹣a（x﹣3）2+b（x﹣3）+2的最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 18．如图，在▱ABCD中，AB＝25，AD＝40，∠B是锐角且，E是BC边上的动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，EF与AD边交于点F，则过点D，E，F的⊙O的半径最小值为　　． 【解答】解：如图，作△DEF的外接圆⊙O，连接OE、OF、OD，过O作OH⊥AD于点H， 设∠DEF＝∠B＝α， ∴∠FOD＝2∠DEF＝2α， ∴∠FOH＝α＝∠B， 过E作EI⊥AD于点I，过A作AG⊥BC于点G， ∵AB＝25，， ∴BG＝AB•cosB＝7， ∴， ∵∠FOH＝∠B，∠AGB＝∠OHF＝90°， ∴△ABG∽△FOH， ∴，即， ∴， ∵OH+OE≥EI， ∴，解得：， ∴⊙O的半径最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（每小题4分，共8分）计算： （1）； （2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 【解答】解：（1）原式（）2 1 ＝1； ……………………………………4分 （2）x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， ∴x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1． ＝1； ……………………………………8分 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0． （Ⅰ）当m＝0时，求方程的实数根． （Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0， Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2； ……………………………………4分 （Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即12﹣4×1×（m﹣1）＝1﹣4m+4＝5﹣4m＞0， ∴m． ……………………………………8分 21．（10分）小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负． （1）若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为　　； （2）求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率． 【解答】解：（1）由题意可得：若小亮出“A”牌，小明亮出的牌有4种等可能性， ∴小亮获胜的概率为， 故答案为：； ……………………………………4分 （2）画树状图如下： ……………………………………7分 共有16种等可能的结果，其中小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的结果有8种， ∴小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率为． ……………………………………10分 22．（10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）于2025年6月12日﹣14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识知多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8.075 8 b 72.5% 八年级 8.375 a 9 c 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由； （3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 【解答】解：（1）∵七年级数据数据8分出现15次，出现次数最多， ∴这组数据的众数是8，即b＝8， ∵八年级数据中间的两个数是8，9， ∴中位数， 优秀率， 故答案为：8.5，8，77.5%； ……………………………………3分 （2）推测小科同学可能是七年级的学生，理由如下： ∵小科的分数在年级属于中游略偏上， ∴小科的分数大于或等于所在年级的中位数， ∵七年级的中位数为8，八年级的中位数为8.5， ∴小科同学可能是七年级的学生， 故答案为：七； ……………………………………7分 （3）七年级高于8.075的同学有10+4＝14（人）， 由样本估计总体可得：（人）， ∴估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人． ………………………………10分 23．（10分）如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过E作EF⊥AB交AB于点F． （1）求证△DEC∽△EFB； （2）若BC＝6，CE＝2，求AF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB， ∴∠DCE＝∠EBF， ∵DE⊥BC交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F， ∴∠DEC＝∠EFB＝90°， ∴△DEC∽△EFB； ……………………………………5分 （2）解：∵BC＝6，CE＝2， ∴AB＝CD＝BC＝6，BE＝BC+CE＝6+2＝8， ∵△DEC∽△EFB， ∴， ∴BF， ∴AF＝AB﹣BF＝6． ……………………………………10分 24．（10分）“惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点．如图，某人站在距离摩天轮60米的点A处（即AB＝60米），以30°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以60°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点．（人的身高忽略不计） （1）求摩天轮的最低处到地面的距离CB的长； （2）求摩天轮圆轮直径CD的长． 【解答】解：由题意可得：∠BAC＝30°，∠BAD＝60°， （1）在Rt△ABC中，tan∠BAC， ∴CB＝tan∠BAC×AB＝tan30°×AB60＝20（米）， 答：摩天轮的最低处到地面的距离CB的长为20米； ………………………………5分 （2）在Rt△ABD中，tan∠BAD， ∴BD＝tan∠BAD×AB＝tan60°×AB60＝60（米）， ∴CD＝BD﹣CB＝602040（米）， 答：摩天轮圆轮直径CD的长为40米． ……………………………………10分 25．（10分）如图AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，连结AD，作OF⊥AD于点E，交CD于点F，若∠ADC＝∠AOF． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，BD＝10，求EF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵OF⊥AD， ∴∠OEA＝90°， ∴∠AOF+∠OAD＝90°， ∵∠ADC＝∠AOF， ∴∠ADC+∠OAD＝90°， ……………………………………2分 ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA+∠ADC＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∴OD⊥DC， ∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； ……………………………………4分 （2）解：∵， ∴设CD＝4x，则OC＝5x， ∴OB＝OD＝3x， ∴CB＝8x， ……………………………………6分 ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°， ∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴△COF∽△CBD， ∴， ∴OFBD10， ……………………………………8分 ∵OF⊥AD， ∴AE＝DE， ∵OA＝OB， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OEBD＝5， ∴EF＝OF﹣OE． ……………………………………10分 26．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝（x﹣20）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000， ∵﹣10x+500≥0， ∴x≤50， ∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（25≤x≤50）； ……………………………………4分 （2）由题意可得：﹣10x2+700x﹣10000＝2000，解得：x1＝30，x2＝40， ∴销售单价应定为30元或40元， ……………………………………7分 答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元； （3）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250， ∵﹣10＜0， ∴函数图象开口向下， ∴当x＝35时，w有最大值，wmax＝2250， 答：当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元． ……………………………………10分 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣4，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D， ①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且∠DEB＝90°，求点E的坐标； ②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴于点E，若，求点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（2，0），B（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+4得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为yx2﹣x+4； ……………………………………2分 （2）①在yx2﹣x+4中，令x＝0得y＝4， ∴C（0，4）， ∵yx2﹣x+4（x+1）2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵过点C作x轴的平行线交抛物线于点D， ∴D与C关于直线x＝﹣1对称， ∴D（﹣2，4）， ……………………………………4分 设E（﹣1，t）， ∵∠DEB＝90°， ∴BE2+DE2＝BD2， ∵B（﹣4，0）， ∴9+t2+1+（t﹣4）2＝20，解得：t＝3或t＝1， ∴E的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，1）； ……………………………………6分 ②如图，设DP交x轴于T，延长CD到K， ∵∠KDP＝∠DCE+∠DEC＝90°+∠DEC，∠BDP＝45°∠DEC， ∴∠KDB＝∠KDP﹣∠BDP＝90°+∠DEC﹣（45°∠DEC）＝45°∠DEC， ∴∠KDB＝∠BDP， ∵∠KDB＝∠DBT， ∴∠BDP＝∠DBT， ∴DT＝BT， ……………………………………8分 设T（m，0）， ∵D（﹣2，4），B（﹣4，0）， ∴（m+2）2+16＝（m+4）2，解得：m＝1， ∴T（1，0）， 由D（﹣2，4），T（1，0）得直线DP的解析式为yx， 联立，解得或， ∴P的坐标为（，）． ……………………………………10分 28．（10分）【问题提出】 （1）如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，若AB＝4，EC＝3． ①的值为　　； ②连结AF，则sin∠EAF的值为　　． 【类比探究】 （2）如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点．BE：EC＝1：2，连接AE，作EF⊥AE交CD于点F，连接OF，求tan∠FOC的值． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点．BE：EC＝1：2，且∠AEF＝120°，则tan∠FOC的值为　　． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠BEA＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠CEF+∠BEA＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△BAE∽△CEF， ∴， 故答案为：； ……………………………………2分 ②设EF＝3a，则AE＝4a， ∴由勾股定理可得：AF＝5a， ∴， 故答案为：； ……………………………………4分 （2）∵四边形ABCD是边长为9的正方形，且BE：EC＝1：2， ∴AB＝BC＝9，BE＝3，EC＝6，∠ACD＝45°， ∵O是对角线AC的中点， ∴， 由（1）可知：△BAE∽△CEF， ∴，即，解得：CF＝2， 如图2，过F作FH⊥AC交AC于H， ∵∠ACD＝45°，CF＝2， ∴△CFH为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ……………………………………7分 （3）如图3，在BC上取一点M，使得CF＝CM，连接FM交AC于H，连接OB， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ABC＝120°， ∴， ∵AB＝6，BE：EC＝1：2， ∴BE＝2，CE＝4，OB＝3， 在直角三角形BOC中，由勾股定理可得：， ∵CF＝CM，∠BCD＝60°， ∴△CFM为等边三角形， ∴∠CMF＝60°，CF＝CM＝MF，则∠BMF＝120°， ∵∠AEF＝120°， ∴∠BEA+∠CEF＝60°， 又∠BEA+∠BAE＝60°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△BAE∽△MEF， ∴，即， ∵CF＝CM， ∴ME＝CE﹣CM＝4﹣CM＝4﹣MF， ∴，解得：MF＝1，即CF＝1， 在菱形ABCD中，， ∵△CFM为等边三角形， ∴∠MFC＝60°， ∴∠FHC＝90°， ∴， 在直角三角形CFH中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故答案为：． ……………………………………10分 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $