专题07 期末真题百练通关（期末专项训练，72题9大题型）九年级数学上学期北京版

专题07 期末真题百练通关（72题9大题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 二次函数 题型5 圆综合 题型2 圆 题型6 函数实际问题 题型3 相似 题型7 二次函数综合 题型4 逻辑推理 题型8 几何综合 题型9 新定义 题型一 二次函数（共9小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数图象与y轴正半轴相交， ∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为， ∵二次函数图象过点， ∴函数的大致图象为： ∴二次函数图象开口向下， ∴， 故结论①错误，不符合题意； ∵二次函数图象过点，开口向下， ∴当时，， ∴， 故结论②正确，符合题意； ∵二次函数的对称轴为，函数图象过点， ∴二次函数过x轴的另一个交点为， ∴的两个根分别为， 故结论③正确，符合题意， ∴正确的结论为②③， 故选：C． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有个实数根．其中正确的结论有 （填序号）．    【答案】①④/④① 【分析】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断． 【详解】解：画出函数图象如图：    ①如图所示，函数图象关于y轴对称，故①符合题意； ②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意； ③如图所示，当时，y随x的增大而减小，故③不符合题意； ④如图所示，当时，关于x的方程有4个实数根，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确． ∵当时，， ∴，故②错误． ∵抛物线与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ， ， ∴， ∴，故③正确； 设，，如图：    由图得，时，，故④正确． 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定表示的意思是一次函数在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可． 【详解】解：抛物线和直线交于点O和点A，且点的横坐标是3， ∴由函数图象可得的解集为， 故答案为：． 5．已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，若无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，依据题意，由直线（k是常数，）过点，抛物线开口向下，对称轴为直线，则时，满足题意． 【详解】解：∵直线， ∴直线过定点， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵无论k为何值时，直线与抛物线总有公共点， ∴时，，即， ∴无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 7．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．除点A外，请再写出此函数图象经过的一个点坐标 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数解析式特点，可可求出其与y轴的交点坐标，即可求解． 【详解】解：对于二次函数， 当时，则， ∴此函数图象与y轴的交点是， 即此函数图象经过的一个点坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（    ） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点，，， 则， 解得：， ， 最佳加工时间为3.75分钟， 故选：B． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，且． ① ； ②当时，函数值y的取值范围是，则m的取值范围 ． 【答案】 2 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． ①令，求出的值即可． ②由抛物线解析式可得，当时，取得最小值．当令，得，求出的值，再结合图象可得答案． 【详解】解：①令， 解得． 故答案为：2． ②∵， ∴当时，取得最小值． 令，得， 解得． ∵当时，函数值的取值范围是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 题型二 圆（共7小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为 ； （2）当弦CD的长最小时，的值为 ． 【答案】 /0.25 【分析】本题考查了切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，当点P与点A重合时，，根据三角函数的定义即可求出的值； （2）连接，根据切线的性质可得，根据三角函数的定义和勾股定理分析可得当弦CD的长最小时，最小；由垂线段最短性质得，当时，有最小值，求出此时的长，即可求出的值． 【详解】解：（1）连接， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当点P与点A重合时，， ． 故答案为：． （2）连接， ，，， ， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当弦CD的长最小时，圆心角也最小， ， 当最小时，最小，即最小， 又在中，， 当最小时，最小， 当弦CD的长最小时，最小， 由垂线段最短性质得，当时，有最小值， 此时， ， 当弦CD的长最小时，的值为． 故答案为：． 2．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 【答案】C 【分析】由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误． 【详解】 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，因此点A是的中点， 故①正确； ∵是的直径， ， ，， ∴直线，都是的切线， 故②正确； 直线，都是的切线，根据切线长定理，可知 ， 故③正确； ，，， ， ∴， ∴． ∵点A是的中点， ， 故④错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，的半径为为直径，过中点作交于点，连接，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点．有如下描述 ①； ②当点由点向点运动时，的长增大； ③； ④最长时为6． 以上描述正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角、圆内接四边形、相似三角形的性质与判定以及由特殊角三角函数值，求特殊角等知识． 根据连，根据直径所对的圆周角得到，故①正确，再由 ，半径长为，利用锐角三角函数求，再由圆周角定理求出，由圆内接四边形的知识证明得到，推出，，故③正确，进而推出判断②④错误，则问题可解． 【详解】解：连， ∵为直径， ∴，故①正确， ∵ ，半径长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，故③正确， ∴， ∴当点由点向点运动时，当过圆心O时，的长最大， 此时，，故④错误， 随着点继续向运动，的长度逐渐减小，故②错误， 故选：C 4．如图，A，B是平面内两定点，C，D是平面内两动点，且满足，．下列说法中，①A，B，C，D四点一定在同一个圆上；②若，则A，B，C，D四点一定在同一个圆上；③若，则四边形的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形既有外接圆，又有内切圆．所有正确说法的序号是（   ）    A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由，证明四边形是平行四边形，可知四点不一定在同一个圆上，可判断①错误；由四边形是平行四边形，，证明四边形是矩形，则四点都在为直径的同一个圆上，可判断②正确；由四边形是平行四边形，，证明四边形是菱形，设交于点，过点分别作各边的垂线，垂足分别为点，可证明，则，同理，可知以点为圆心，以长为半径的圆与菱形的各边都相切，可判断③正确；当四边形是正方形时，该四边形既有外接圆，又有内切圆，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形的对角不一定互补， ∴四点不一定在同一个圆上，故①错误； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴四点都在为直径的同一个圆上，故②正确； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，设交于点，过点分别作各边的垂线，垂足分别为点，     ， ， ， 同理， ， ∴以点为圆心，以长为半径的圆与菱形的各边都相切， ∴四边形的各边一定都与某一个圆相切，故③正确； ∵是平面内两定点，是平面内两动点，且四边形是平行四边形， ∴四边形可能是正方形， ∵正方形既有外接圆，又有内切圆， ∴存在四边形既有外接圆，又有内切圆，故④正确， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定与性质，与圆有关的位置关系等知识，正确理解平行四边形与特殊平行四边形的区别与联系是解题的关键． 5．在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．作辅助线如图，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，，所以点E在以O点为圆心，4为半径的圆上；点F在以O点为圆心，3为半径的圆上，然后求出两圆上两点之间的最小距离和最大距离即可． 【详解】解：过点O作于E，于F，连接，如图，，， 则，， 在中，， 在中，， 点E在以O点为圆心，4为半径的圆上；点F在以O点为圆心，3为半径的圆上， 两圆上两点之间的最小距离为；两圆上两点之间的最大距离为， 的取值范围为 故答案为： 6．勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解． 【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为， 图2所示的矩形面积为：，而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍 ∴， ∴ 故选：A． 7．如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（   ） ①垂直平分； ②四边形是平行四边形； ③． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】①根据线段垂直平分线的性质可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；②根据题意易证平行四边形是菱形，即可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；③分类讨论：当点A在优弧上时，由圆周角定理可直接得出；当点A在劣弧上时，在优弧取点D，连接，，由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质得出，即说明原命题为假命题． 【详解】解：①题设：垂直平分；结论：． 如图，连接，， ∵垂直平分，， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴，即此时为真命题； ②题设：四边形是平行四边形；结论：． 如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴． ∵， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴，即此时为真命题； ③题设：；结论：． 分类讨论：当点A在优弧上时，如图， ∴； 当点A在劣弧上时，如图，在优弧取点D，连接，， ∴， ∴． 综上可知当时，或，故原命题为假命题． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，判断真假命题等知识．熟练掌握上述知识是解题关键． 题型三 相似（共7小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 2．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，甲、乙两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，在甲建筑物的顶端处测得乙建筑物的顶端的仰角为，则乙建筑物的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， 乙建筑物的高为， 故答案为：55． 3．(24-25九上·北京通州区·期末)为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键． 根据的正切可得，而，进而即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ， 根据题意可得：， ， 故选：A． 4．物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，设与交于点，过作于点，延长，交于点，由题意得，，，，则，，然后由相似三角形的性质即可求解，解题的关键掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】解：如图，设与交于点，过作于点，延长，交于点， 由题意得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴小孔到火焰的像的距离为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的面积之比等于相似比的平方的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要分别求出线段和线段的长度，进而求出相似比，得到两个三角形的面积之比，根据的面积为1，即可求解的面积； 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵，, ∴， ∵的面积为1， ∴的面积为5； 故选：D； 6．某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为 ，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为 m．（结果精确到）       【答案】 60 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据图1得到观测视线与水平线的夹角为，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由图1知，观测视线与水平线的夹角为， 在中，，，， ， 答：长约为， 故答案为：60；． 7．如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　）    A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据、是等边三角形，得出， ，证明，根据全等三角形的性质即可判断①；根据当时，，但是是变化的，得出不一定相似，即可判断②；根据题意得出当点重合时，最大，此时 ，当时， 最小，证明，根据相似三角形的性质得出，结合点D是边上一点（不与点B、点C重合），即可判断③； 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ，故①正确； ∵ 故当时，， ∵是变化的， ∴不一定相似，故②错误； 当点重合时，最大，此时 ， 当时， 最小， 此时， ∵， ， ∴， ∴， ∵点D是边上一点（不与点B、点C重合）， ∴，故③正确； 故选：B． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型四 逻辑推理（共5小题） 1．(24-25九上·北京门头沟区·期末)某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示： 商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件） A 15 6 B 10 5 C 8 5 D 4 7 E 13 4 （1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）； （2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 （写商场编号）． 【答案】 A、B、C或A、B、E或A、C、E或A、D、E，（一种即可）； A、B、E 【分析】本题考查了数据分析，逻辑推理和方案选择能力，理解题目要求计算出每个组合，并计算出收益，然后选择最优方案是解题的关键； （1）根据三个商场送甲种货物，送乙种货物，分组列举求解即可； （2）分别计算出每组满足方案的收益，再比较，选择收益最多的，即可． 【详解】已知有A、B、C、D、E五个商场，送货员一个上午最多前往三个商场，要满足最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，列出所有满足条件的组合， 组合一：A、B、C 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，满足乙种货物数量要求． 组合二：A、B、D 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 组合三：A、B、E 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，满足乙种货物数量要求． 组合四：A、C、D 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 组合五：A、C、E 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，满足乙种货物数量要求． 组合六：A、D、E 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，满足乙种货物数量要求． 组合七：B、C、D 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 组合八：B、C、E 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，不满足乙种货物数量要求，舍去． 组合九：B、D、E 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 组合十：C、D、E 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 综上，满足条件的组合有A、B、C；A、B、E；A、C、E；A、D、E 故答案为：A、B、C或A、B、E或A、C、E或A、D、E，（一种即可）； （2）由（1）得满足条件的组合有A、B、C；A、B、E；A、C、E；A、D、E，四种，收益为： 组合：A、B、C 收益：甲种货物收益为元，乙种货物收益为元，总收益为元． 组合： A、B、E 收益：甲种货物收益为元，乙种货物收益为元，总收益为元． 组合：A、C、E 收益：甲种货物收益为元，乙种货物收益为元，总收益为元． 组合：A、D、E 收益：甲种货物收益为元，乙种货物收益为元，总收益为元． 综上，满足条件的组合A、B、C；A、B、E；A、C、E；A、D、E，其收益分别为65元、68元、66元、66元．其中收益最大的组合是A、B、E． ∴他的最优方案是前往A、B、E商场收益最大， 故答案为∶A，B，E． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)某区域的快递网点位于处，负责区域内五个小区的配送业务，小区间有道路相连，道路长度如图所示．快递员每次配送任务都是从处出发，所有快件配送完毕即完成任务，不用返回网点处，此过程希望快递员的总路程尽可能短．若某次配送任务只包含小区，则配送的最短路程为 ．若某次配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意正确列出算式并正确计算是解题的关键． ①根据题意，正确列出算式，再根据有理数加法法则计算即可得到答案 ②根据题意，正确列出算式，再根据有理数加法法则计算即可得到答案． 【详解】解：①配送任务只包含小区，则配送的最短路程为：； ②配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为：； 故答案为：①；②． 3．(24-25九上·北京平谷区·期末)周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆； （2）若展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了时间的计算，有理数的运算； （1）根据题意明明有3个小时即180分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答． （2）根据题意结合时间表，因为的时间和为90分钟，所以既不浪费时间又必须参加展馆只能是． 【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为D（15分钟）、B（30分钟）、C（45分钟）、A（60分钟）、E（60分钟），F（90分钟）最多可以参观完四个展馆． （2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观F展馆90分钟，正好去参观B展馆30分钟，正好去参观E展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 故答案为：4，． 4．古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式表示数字，如图所示. 据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如，算筹表示的四位数是6613. （1）用3根算筹表示的两位数可以是 （写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）； （2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为 （算筹不剩余且个位不为0）. 【答案】 21（答案不唯一） 【分析】本题考查了求概率，求出所有可能的结果数及事件发生时可能的结果数，利用概率公式即可求解． （1）由题意，三根算筹可以是1与2的组合，也可以是6与1的组合，由此即可任写一个即可； （2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，62，26，71，17共7个数，其中大于60的数有4个，则可求得概率． 【详解】解：（1）三根算筹可以是1与2的组合，即12或21；也可以是6与1的组合，即16或61；4个数中任写一个； 故答案为：21（答案不唯一）； （2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，26，62,66，71，17共8个数，其中大于60的数有3个，则抽取一个数大于60的概率为； 故答案为：． 5．学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 【答案】 （或或） 2 【分析】本题考查事件的可能性，列举法的应用： （1）三项活动的时间不能有冲突，由此可解； （2）根据各项活动的积分可得，要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，再判断时间是否冲突，即可求解． 【详解】解：（1）由表格可知，活动G，H的开始时间比F（人工智能展）的结束时间早，不能参加， 活动E的结束时间比F（人工智能展）的开始时间晚，不能参加， 所以需要从活动A，B，C，D中选两项，其中A与B时间冲突，B与C时间冲突，C与D时间冲突， 可选A和C，或A 和D，B和D， 故他参加活动的方案可以为：（或或）； （2）参加活动最高可得积分：，第二可得， 所以要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，即或， 又因为H与F时间冲突， 所以他参加活动的方案只能是，共1种； 参加四个活动有一种方案获得29积分； 故答案为：2 故答案为：（或或）；2． 题型五 圆综合（共9小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，P为外一点，过点P作的切线，切点为A，连接交于点B，C为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得到．根据得到．由等边对等角得到．则．即可证明结论； （2）过点O作于点E，，得到．由切线的性质得到．由，得到．则．得到．则，，由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵点A，B，C在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：过点O作于点E，，    ∴． ∵过点P作的切线，切点为A， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴在中， ． 【点睛】此题考查了切线的性质定理、勾股定理、解直角三角形、垂径垂径定理、等边对等角、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的性质定理和垂径定理是解题的关键． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图，在中，，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，与AC的另一个交点为E． （1）求证：BO平分； （2）若，，求BO的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）连接OD，由与AB相切得，由HL定理证明由全等三角形的性质得，即可得证； （2）设的半径为，则，在中，得出关系式求出，可得出的长，在中，由正切值求出，在中，由勾股定理求出即可． 【详解】（1） 如图，连接OD， ∵与AB相切， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）设的半径为，则， 在中，，， ∴， 解得：， ∴， 在中，，即， 在中，． 【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 4．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）连结，求出直径的长，即得半径，求出，由（1）知，再求出，利用勾股定理求出，根据垂径定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连结， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵直径， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆的基本性质、三角形全等的判定定理是解题的关键． 5．如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长的性质可证，得到，由等腰三角形的定义即可求解； （2）连接，可得，由全等三角形的性质可得，则，可得，根据同弧所对圆周角相等可得，则有，设，则，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：，是的切线， ， ∴平分， ． 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ． ， 又， ， ，平分， ， ， ， 设，则，有， 即， 解得：（负根舍去），即． 【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长的性质，直径对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，三角函数的计算，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线及切线长的性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 6．如图，直径为，点为上的两个点，，过点的直线交延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据直径所对的圆周角是直角可得出，根据等边对等角可得出，然后结合已知可得出，最后根据切线的判定即可得证； 方法二：根据等边对等角和三角形内角和定理可得出，结合已知可得出，则，根据切线的判定即可得证； （2）方法一：连接，过点作于点．根据勾股定理可求出，根据圆周角定理并结合已知可得出，根据正切的定义可求出，即可求解； 方法二：过点作的垂线段，连接．判断，根据正切的定义可求出．证明．得出．最后在中，根据勾股定理求解即可； 方法三：连接交于点，连接．根据正切的定义可求出，根据圆周角定理，根据等边对等角可求，进而求出，根据勾股定理可求和，即可求解． 【详解】（1）证明∶方法一： 连接． 是直径， ． ． ， ． ， ． ． 是的切线． 方法二： ， ． ， ． ． ． 是的切线． （2）解：方法一： 连接，过点作于点． ． 在中，． ． ， ． ． ． 方法二： 过点作的垂线段，连接． ， ． ． 在和中， ． ． 在中，． 方法三： 连接交于点，连接． ， 又， ． ， ， 又， ，， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及推论，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 7．如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由为的直径得，由等边对等角和等量代换得，结合可证，进而可证为的切线； （2）证明得，求出，由勾股定理得求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为的切线 （2）∵为的切线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由勾股定理得， ∵ ∴ 由勾股定理得， 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，解直角三角形，以及勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 8．如图，是的直径，是的弦，延长至，，过作交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设交于，连接，根据三角形的内角和定理得到，根据圆周角定理得到，推出是等边三角形，得到，，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ，， 是的中位线 ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设交于，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ． 9．如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接. (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长. 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由“直径所对的圆周角等于”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得．又由可得，进而可得，则可得，即可得证． （2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据三角函数的定义即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ． 在中, 点P为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线． （2）解：，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质：直径所对的圆周角等于，直角三角形的性质以及解直角三角形．熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型六 函数实际问题（共7小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． (1)苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 【答案】(1)； (2)不能达到；理由见解析 【来源】 北京市石景山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数的实际应用及求二次函数的最值． （1）过点D作于E，求得，，利用梯形的面积公式列式计算即可求解； （2）利用二次函数的性质求得当时，，苗圃的面积不能达到． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴ 过点D作于E， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∴，， ∴ ， 由题意，，且， ∴， 解得， ∴； （2）解：判断：苗圃的面积不能达到． 理由如下： ， ∵，且， ∴当时，， ∵， ∴苗圃的面积不能达到． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)小明遇到这样一个问题：如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度米，最高处到地面的垂直距离米，两侧的墙高米．今有宽为米的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点到隧道顶面对应的点的距离应不小于米，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 小明为了解决这个问题，以的中点为原点，米长为一个单位长度，建立平面直角坐标系，并设隧道顶的抛物线表达式为． 请帮助小明解决以下问题： (1)写出点、、的坐标； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 【答案】(1)，， (2) (3)米 【来源】北京市门头沟区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，合理分析图象信息是解题的关键． （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． 【详解】（1）解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； （2）解：设抛物线的解析式为：，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵卡车宽为米， ∴米时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 3．(24-25九上·北京顺义区·期末)篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②；③能，理由见解析 (2) 【来源】 北京市顺义区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； （2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 4．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【来源】 北京市昌平区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积； （2）描点、连线即可； （3）①观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可： ②)结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时， 【详解】（1）解:(1)当时，， ∴. 故答案为：； （2） （3）（3）①观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7 故答案为：4.7； ②结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.1m时，， 故答案为：； 5．(24-25九上·北京平谷区·期末)某客运站为了了解早高峰时间段运营情况，有效的缓解该时段乘客的等待时间，对早上时间段内，客运站累计候车人数和累计承载人数进行统计，为了便于记录，将早上开始每10分钟记作一个单位时间，记为时间x（），累计候车人数记为，累计承载人数记为． 下面是他们的调查过程，请补充完整： (1)他们调取了客运站该时段内累计候车人数与累计承载人数随x的变化而变化的有关数据∶ 时间段 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 累计候车人数 （万人） 0.5 1.1 1.6 2.2 2.9 3.6 4.2 5.1 5.7 6.0 6.3 6.5 6.6 累计承载人数 （万人） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 m 6.5 （1）补全表格，m的值为_______； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全表中各对对应值为坐标的点，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①大约______点______分时，客运站滞留人数最多； ②客运站将在滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间段增派车次缓解供需压力，公司约在______点______分至______点______分时间段增派车次更合理． 【答案】(1)6 (2)图见解析 (3)①7，20；②6，45；7，45 【分析】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系： （1）观察表格可知，每增加1，增加0.5，进行求解即可； （2）根据表格数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）①求出的最大值，即可得出结果；②确定滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间范围，作答即可． 【详解】（1）解：观察表格可知，每增加1，增加0.5， ∴当时，； （2）描点，连线，画出函数图象如图： （3）①由图象可知，当时，滞留旅客最多为：（万人），分钟， ∴6点，经过80分钟，得到现在时间为：点分； 故答案为：7，20； ②观察图象可知：从时，（万人）到时，（万人）， 滞留旅客人数均超过0.5万人， 即：从6点50一直到7点50之间滞留旅客人数均超过0.5万人， ∴公司约在6点45分至7点45分时间段增派车次更合理． 6．如图，线段，点C是线段上一点（不与A，B重合）．将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段．设，的面积为． (1)关于的函数表达式为 ，自变量的取值范围是 ； (2)在平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当 时，的面积取得最大值是 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了旋转的性质，二次函数的应用，等腰直角三角形的性质： （1）由旋转的性质得到，则，根据的面积为即可解答； （2）根据（1）所求列表，描点，连线画出对应的函数图象即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到， ∵， ∴， ∴的面积为，自变量的取值范围是； （2）解：∵， 列表得： 3 4 5 6 7 ∴（1）中函数的图象为：    （3）解：∵， ， ∴当时，的面积取得最大值是． 7．如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． (1)求该抛物线的解析式； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解解析式即可； （2）先将代入（1）中解析式求得y值，结合与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，， 当时，， ∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米， ∴通过隧道的车辆的限制高度为米 题型七 二次函数综合（共9小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴； （1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，可得，再分与分析求解即可. 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：． （2）解：点，在抛物线上． 设点关于对称轴的对称点为， 则． ∴．   ∴． ①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴，不符合题意． （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴． ②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴． ∴； （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴．不符合题意舍去； 综上所述，a的取值范围是或． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ① 求该抛物线的对称轴； ② 点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)的取值范围为或． 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为； ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ； ∴当时，； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）依据题意，将，，代入解析式得，从而，进而可以得解； （2）依据题意， 对于，，都有，可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离；分两种情况，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：，是抛物线（）上任意两点， 对于，，都有， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离； ， ， ， ， ①当时， ， ， ，， ， ； ②当时， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，或． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键． （1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得； （2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴是直线． （2）解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．已知抛物线，若点，在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴（用含的字母表示）； (2)若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的解析式，得到对称轴为； （2）根据题意，得到，变形为，结合m的范围，得到． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为：直线, 即； （2）解：，， ， ， ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于抛物线上的两个点，都有．求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握待定系数，二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． （1）把代入，得，得即得对称轴为直线； （2）代数法：根据拋物线过点， ．根据， ．得．当时，有或解得：．当时，有或解得：．几何法：抛物线的对称轴为，当时， ，则点在点左边，当两点都在对称轴左侧时，，舍；当两点都在对称轴右侧时，由，有解得：，当两点在对称轴两侧时，点的对称点为，由，有解得：．得当时，．当时，，点在抛物线对称轴的左侧，点在对称轴左侧时，有解得：．点在对称轴右侧时，点的对称点为，由，有，无解，得当时，． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； （2）代数法： 拋物线过点， 由（1）知，，拋物线的对称轴为， ． ， ． ． ． ． ． ． 当时，有或 解得：． 当时，有或 解得：． 综上所述，的取值范围是：或． 几何法： 抛物线的对称轴为， 当时，有时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ，即， 则点在点左边， ①当两点都在对称轴左侧时， ，舍； ②当两点都在对称轴右侧时， 由，有， 解得：；　 ③当两点在对称轴两侧时， 点关于抛物线对称轴的对称点为， 由，有 解得：． 当时，． 当时，， 点在抛物线对称轴的左侧 ①点在对称轴左侧时， 有 解得：． ②点在对称轴右侧时， 点关于抛物线对称轴的对称点为， 由， 有， 此不等式组无解， 当时，． 综上所述，的取值范围是：或． 7．在平面直角坐标系中，已知二次函数．    (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为，若点，是函数图象上的两点，若对于任意的，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线与轴的两个交点和 (2) 或 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解一元二次方程，抛物线的图象和性质，解不等式等；熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，令，列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）先将抛物线整理为顶点坐标式，求出顶点坐标和对称轴，令，列出一元二次方程，解方程求出抛物线与轴的交点坐标， 结合抛物线的性质和题意，画图，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 令，得， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点和； （2）解：由， 得出抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为， 令，得， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点和； 由题意，图象G如图所示，分以下两种情况： 当时，如图：    此时，满足，则 ，                                       解得，， 当时，如图：    此时，满足，则，且抛物线的对称轴， 即， ∴ 或． 8．已知抛物线，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线． (1)当时． ①直接写出b与a满足的等量关系 ； ②若，则 ． (2)已知，，点在抛物线上．当时，总有，求t的取值范围． 【答案】(1)①；②4 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的对称性即可求解； （2）由题意可知在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，据此即可得到关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①∵， ． 故答案为：； ②∵是抛物线上两点，， ∴关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 故答案为：4； （2）解：由题意可知，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧， ∵点在抛物线上，， ∴点关于对称轴的对称点为， ， 当点在对称轴的左侧时， ∵当时，总有， ∴，解得； 当点在对称轴的右侧时， ∵当时，总有， ∴，解得：； ∴的取值范围是或． 9．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，结合已知求解即可； （2）先根据已知求得，进而求得，然后根据抛物线的开口向上，得到离对称轴越远，函数值越大求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，解得， 由得抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵，， ∴，则或， ∴， ∵， ∴， ∵，，又抛物线的开口向上， ∴． 题型八 几何综合（共9小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，等边中，D是边上一点，且，点D关于直线的对称点为E，连接，，在直线上取一点F，使得，直线与直线交于点G． (1)若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形性质得，则，再根据可得出的度数； （2）连接，延长交于点，根据对称性得，进而得，则，由此可证，进而可依据“”判定和全等，则，由此得，则，据此可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：线段与的数量关系是：， 证明如下： 连接，延长交于点，如图所示： ∵点关于直线的对称点为， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又∵， ∴， ∴ ， ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，理解等边三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)已知，如图，是等边三角形． (1)如图1，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，的平分线交于点E，连接． ① 依题意补全图1； ② 求的度数； ③ 求证：； (2)如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到，连接，的平分线交的延长线于点E，连接，直接用等式表示线段间的数量关系．（不用证明） 【答案】(1)①见解析；②；③见解析 (2) 【分析】（1）①根据要求画出图形即可； ②证明，，再利用三角形的外角的性质即可解决问题； ③结论：．作交于K，连接．证明，即可解决问题； （2）结论：．过点A作，交的延长线于点F（如图3），利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②如图1中， ∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，． ∴，， ∴， ∴； ③结论：． 理由：作交于K，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论：． 理由：过点A作，交的延长线于点F（如图3）． ∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，在等边△中，点是边上一点（点不与，重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接交于点．在上取一点，使，延长交于点． (1)若，求的度数（用含α的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合即可求解； （2）在上截取，连接，，交于点，连接，，再证明四边形是平行四边形，可得，记 与的交点为点，则由轴对称可知：，，再解△即可． 【详解】（1）解：如图1， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； （2）．理由如下： 如图2中，在上截取，连接，，，交于点， △为等边三角形， ，， △△， ， ， ， ， ， ， 点关于直线的对称点为点， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，记与的交点为点，则由轴对称可知：，， 在△中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键 4．在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，如果点E在线段上，求证：； (2)如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即可． （1）由旋转可知：，，进而得；根据，，可得；结合在中， ，即可求证； （2）延长到点N，使，连接可推出，，证 ，即可求证； 【详解】（1）证明：∵线段绕点D顺时针旋转得到线段． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，延长到点N，使，连接 ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)（或或） 【分析】（1）①正确画图即可； ②根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可解答； （2）如图2，过点F作于H，证明是等腰直角三角形，证明，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的倍即可解答． 【详解】（1）解：①如图1所示， ②∵点D关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点F作于H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由②知：， ∴， ∵， ∴， ∵点D关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题是解题的关键． 6．已知，在中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点是． (1)如图1，若，且点恰好在线段上，求； (2)①如图2，当时，依题意补全图形； ②连接，恰好，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得．再由三角形中位线的性质得出．得出．再证明．再得．最后解直角三角形即可得出答案； （2）①按题意补全图形即可； ②先证明垂直平分．可得，从而得出，再证明，可得且，再证明平行四边形是菱形，得出，最后可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接； ， 是等边三角形． ． 点分别是的中点， 是的中位线，． ． ． ． 点关于的对称点是， ． ． ． ． 在中，． ； （2）解：①补全图形如下； ②，证明如下： 连接，设交于点M，如图； ，点是的中点， ． 又是中点， 在中，． 又， 垂直平分． 即， ∵． ， ， 点关于的对称点是， ， ∵， ， ， ∵， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是菱形， ， 又， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，解直角三角形，三角形中位线的性质，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质，表示出的关系是解决问题的关键． 7． 中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、． (1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______， ______； (2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转可得：，，得到是等边三角形，推出，，根据三角形的外角性质可推出，进而得到，，得到，推出垂直平分，得到，推出，可求出，最后根据勾股定理即可求解； （2）连接，由直角三角形的斜边中线定理可得：，推出，得到，由旋转可得：，， 推出，可得，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：由旋转可得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ，， ， 点是边中点， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），证明如下： 选择图2，连接， ，点是边中点， ， ， ， 由旋转可得：，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 即； 选择图3，连接， ，点是边中点， ， ， ， 由旋转可得：，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识． 8．已知中，，，点D在射线上（不与B，C重合），过点D作交直线于点E，连接，． (1)如图1，，设，求，长（用含m的代数式表示）． (2)如图2，点D在延长线上，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)长分别为 (2)，证明见解答 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质，勾股定得等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作于点，因为，所以，因为交于点，所以，则，所以，由，得，则，所以，求得； （2）作于点，则，所以，设，则，求得，则． 【详解】（1）解：如图1，作于点，则， ， ， ∵交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长分别为． （2）解：， 证明：如图2，作于点， 则，， ∵交的延长线于点， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 9．如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H； ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九 新定义（共10小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦给出如下定义：若弦上存在点P，使得，且，则称点是弦的“倍及点”． (1)如图，点，． ①在点中，弦AB的“倍及点”是 ； ②若点是弦的“倍及点”，则的最大值为 ； (2)弦，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上存在点，使得点是弦的“倍及点”．请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，      ② (2)或 【分析】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、一次函数综合、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握上述知识点并能分类讨论对应情况是解题的关键． （1）①根据“倍及点”的定义验证即可； ②根据题意作出两个正方形，在满足条件的点中找到离原点最远的点； （2）分两种情况讨论，作出对应矩形，可证明满足条件的点的轨迹为一个圆，找出直线的临界位置，即可求出的最值． 【详解】（1）①由题意知，， 设交轴于点，连接，可知， ，， 且，， 则有，， ∴、是弦的“倍及点”． ②如图：以为边分别向左和向右作正方形和正方形，可知正方形边长为， 由题意知，线段和线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 其中点和点距离点最远，且， ∴的最大值为． （2）①当线段在如下图所示位置时， 以为边向上作矩形，其中， 连接、， ∵，，， 易得且，为等边三角形， 同理， ∴点、的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 当直线与该圆相切时，有最大值， 设该切线与圆相切于点，与轴交于， 则有，， ∴， ∴； ②当线段在如下图所示位置时， 同理可得点、的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 线段上的所有点均为弦的“倍及点”， 过点作延长线于点，则有 ，， 又∵， ∴， 当直线与该圆相切时，有最大值， 设该切线与圆相切于点，与轴交于， 则有，， ∴， ∴； 当线段与轴垂直于点时，为临界位置， 直线经过点时，有最小值， 此时， ∴； 则有：； 综上所述，或． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”． (1)如图2，已知点，． ① 在点，，中，是线段的“优关联点”的是 ； ② 如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出b的取值范围． (2)如图 3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①② (2)， 【分析】（1）根据定义得出所对的弧为优弧，，进而得出结果； （2）以为直径作，求出直线与相切时的b的值，进而得出结果； （3）求出以为直径的与相切时a的值，与相切时a的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①如图1， 所对的弧为优弧， ， ，，， 是线段的“优关联点”， 故答案为：； ②如图2， 以为直径作， 当切于点A或点B时，设其分别交y轴于点D，交x轴于E， 则直线， ∵直线，当时，； 当时，； ∴直线与x轴所成的锐角是， ∴， ∴， ∴直线交y轴于点， 可得， ， ， 同理得出：， ， 此时直线与y轴交于， ； （2）解：如图3， 当以为直径的与直线相切于点A或点B时， 连接， 则， 当在左侧时（除去A点），， ， ， ， 当在的右侧时（除去切点）， 此时：， ， 如图4， 当与相切时，或， 此时或， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系等知识，解决问题的关键是将题意转化为直线和圆的位置关系． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． (1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ； (2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】（1）解：二次函数和都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ， 整理得：， ． ②∵与轴有两个不同的交点， 由①得：函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为， 当时， 解得：， 抛物线与x轴交两个点， ∵顶点坐标为：， 故当时，的顶点在轴上方，则与轴没有交点， 当时，抛物线与轴有两个交点，， 当时，∵的顶点也在上， ∴． 综上所述，或． 4．在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． (1)如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； (2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（1）①作直线，根据垂径定理可知，则可得点在以为圆心，1为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心，由题意可知直线与圆相切，过点作垂直直线交于点，先证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由（1）可知，点在以为直径的圆弧上，由题意可得直线与圆弧相交或相切，分两种情况求出的值，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：①作直线， ∵点是弦的中点， ， ， ∴点在以为直径的圆上， ， ∴点在以为圆心，1为半径的圆上， ∵点在该圆上， ∴点是关于的“弦中点”， 故答案为：； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心， ∵直线上只存在一个关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切， 过点作垂直直线交于点， 当直线与轴交于正半轴时， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当直线与轴交于负半轴时，同理可得， 综上所述，的值为或； （2）解： 由（1）可知，点在以为直径的圆弧上， ∵直线上存在关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切或相交， 过点作垂直直线交于点，当直线经过点时，m取得最大值， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ∴圆的半径为3， ，， ， ， ； 当直线经过点时，m取得最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点作 ， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：． ∴的取值范围． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，勾股定理等，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点的运动轨迹是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点” (1)①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______； ②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______； (2)直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点． ①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围； ②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；②或 【分析】本题主要考查了坐标与图形-轴对称和平移变换、一次函数的性质、解一元一次不等式，理解题中新定义，正确求出变换后的点的坐标是解答的关键． （1）①根据题中定义，先确定翻折后的横坐标，再确定平移后的纵坐标即可； ②根据定义求解即可； （2）①先求出点，，设点，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，由点在直线上得到，利用一次函数性质求解即可； ②设点，点为圆上任意一点，则，，，，，根据题中定义得到点关于点的“关联点”的坐标为，分图形G与x轴有公共点和图形G与轴有公共点，则两种情况求解即可． 【详解】（1）解：①∵点，，点关于点A的“关联点”， ∴点关于直线翻折，横坐标变为，纵坐标不变，即， 再向上平移1个单位，横坐标不变，纵坐标变为， ∴点关于点A的“关联点”的坐标是； 故答案为: ； ②∵点关于直线翻折后的横坐标为4，纵坐标不变为，再向上平移1个单位长度后坐标为， 所以点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：①对于，当时，，当时，由得， ∴直线与x轴交点，与y轴的交点为． 设点， ∵， ∴点P关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上或向下平移个单位后，得到点关于点的“关联点”的坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， ∵是线段上的点， ∴， ∴； ②设点，点为圆上任意一点， 则，，，， ∴， 点关于直线翻折后横坐标为，纵坐标为，再向上平移个单位，得到点关于点的“关联点”的坐标为，这些点组成图形． 若图形G与x轴有公共点，则有解，即， 因为，所以，解得， 又，所以； 若图形G与轴有公共点，则有解，，因为，所以，又，所以． 综上所述，或． 6．在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上的点和给出如下定义：若在上能找到一点，使得（为常数），且，则称点是关于点的关联点． (1)已知点． 点中，是关于点关联点的是______； 若点是关于点的关联点，则的取值范围是______； (2)点是直线上一点，点是关于点的关联点，若存在点在直线上，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)和；，； (2)或． 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，一元二次方程，圆的基本性质，正确理解题意，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“关联点”的定义逐一判断即可； 由点是关于点的关联点，即，且，则关于点的关联点在以与为圆心，半径为的圆上，从而求出范围； （）先任取一点，作等腰与等腰，由定义可得点在以为圆心，半径为的上，或以为圆心，半径为的上，若存在点在直线上，则或，从而求出范围； 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， 设上的点，则， ∵点是上的点，的半径为1， ∴， 根据新定义知：当时，则， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简整理，得， ， ∴方程无解， ∴点不是关于点关联点； 根据新定义知：当时，则， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简整理，得， 解得：，， ∴或， ∴点是关于点关联点； 同理点是关于点关联点； 故答案为：关于点关联点的是点、点点； ∵点是关于点的关联点，即，且， ∴将绕点顺时针旋转，并延长使得，同理将绕点逆时针旋转，并延长使得， 则关于点的关联点在以与为圆心，半径为的圆上， 如图， ∴或； （2）解：∵点是直线上一点， ∴先任取一点， ∵点是关于点的关联点， ∴，且， ∴作等腰与等腰， ∵点是关于点的关联点， ∴点在以为圆心，半径为的上，或以为圆心，半径为的上， 如图， 若存在点在直线上，则或， 解得或， 即或． 7．我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G，点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离．       (1)平面直角坐标系下，已知点，以O为圆心，1为半径画圆，则点P到的距离为_____； (2)平面直角坐标系下，已知点，在平面内有一个矩形，． ①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为______． ②若M为矩形上一点，连接，以为直径画圆，记作圆G，则点P到圆G的距离d的取值范围为______． 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】（1）根据点到圆上距离即可解答； （2）①根据题意分别求出当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，即可求解．由题意可得，点O为矩形的对称中心，连接，求出； ②根据题意：点是的中点，点在长为，宽为的矩形边上运动，当点M为中点时，连接，点P到圆G的距离有最大值，当点M与点重合，点P到圆G的距离有最小值，据此即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，与y轴正半轴的交点为， 则点P到的距离为； （2）解：如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，， 矩形，中心为O， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为； ②根据题意：点是的中点， ∴点在长为，宽为的矩形边上运动， 如图，当点M为中点时，连接，点P到圆G的距离有最大值， 此时，， ∴， ∴； 当点M与点重合，点P到圆G的距离有最小值， 此时，，， ∴， ∴； 综上，点P到圆G的距离d的取值范围为． 【点睛】本题考查了点到圆上的距离，坐标与图形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，正确画出示意图，利用数形结合的思想是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，半径长为1，为的一条弦，若，则称点P为的弦的度相关点． (1)如图，直线与交于A，B两点，在点，，中，是弦的相关点的有 ． (2)已知的弦的长为，点P是弦的相关点，T是中点，则面积的最大值为，当面积取得最大值时长为 ． (3)已知点Q是直线上的一个动点，且存在的弦，，点Q为的弦的相关点，直接写出点Q横坐标t的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意可判断出仅和在上，再由圆周角定理推论可得，从而可判断和是弦的相关点； （2）如图2所示，为弦中点，当时，最大，由垂径定理可知，，得到为等边三角形，，进而面积的最大值为； （3）由题知为的直径，由题意及定弦定角原理，先判断出当两点在轴上固定不变时，点在分别以为圆心，为半径的，弦所对的优弧上运动（不含两点），如图3所示．再判断得出当旋转起来后，点在以原点为圆心，以为半径的圆上运动，综合可得点的运动区域为以原点为圆心，1和为半径的两个一小一大的圆所形成的圆环区域（不含内圆边界），又点必须在直线上运动，从而可得到点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴点和在上， ∵为直径， 由圆周角定理推论可得， ∴和是弦的相关点， 故答案为：和． （2）解：如图2所示，为弦中点， ∵弦的长为，点是弦的相关点， 故点在弦所对优弧上， 当时，最大，由垂径定理可知，， ∴为等边三角形，，， ∴面积的最大值为． 故答案为：． （3）解：∵半径长为1，故直径为2， ∵的弦，故为的直径． 由于点为的弦的相关点，及定弦定角原理， 则， 则当两点在轴上固定不变时，点在分别以为圆心，为半径的，弦所对的优弧上运动（不含两点），如图3所示： 此时； 当旋转起来后，点在以原点为圆心，以为半径的圆上运动， 此圆交直线于和两点， 由题意可设点， 则由勾股定理可得，解得：（舍去正值）， 则， 同理可得的横坐标为， 综上，点的运动区域为以原点为圆心，1和为半径的两个一小一大的圆所形成的圆环区域（不含内圆边界）， 又∵点必须在直线上运动， 综上可得点横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题以是一道圆的新定义综合题，主要考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理，一次函数，定弦定角，（3）问难度较大，根据定弦定角找出点的运动轨迹是解题关键． 9．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”.    (1)已知点，. ①在点，，中，点 是弦的关联点，其中 °； ②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是 ； (2)若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值. 【答案】(1)①，60； (2)最大值和最小值分别为和1 【分析】（1）①反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意，先根据中点坐标公式求出M，再求出，根据点与圆的位置关系即可求解； ②同上作出关于点M的对称圆，连接，可求，，则，故的“关联点”在优弧上（不包括端点），若直线上存在的“关联点”，则直线与优弧上（不包括端点）有交点，当直线经过点A时，把代入，求出，当直线与相切时，记切点为H，连接，记直线与轴交于点，可求，则，过作轴交直线于点，求出点，代入，求得：，那么时，直线上存在的“关联点”； （2）先确定点C在以O为圆心为半径的圆上，对于弦，我们固定点，调整点A位置即可，同上作出关于点M对称的，则根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B），以为底边，作顶角为的等腰，由圆周角定理可得，故点C又得在以为圆心，为半径的优弧上，那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意，当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，由圆的对称性可知共线，，设，则同上可得，由，得到，解得：，则，当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，则，求得，那么，综上，弦的最大值为，最小值为1． 【详解】（1）解：①∵点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”， ∴反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∴点在上， 同理经过计算，到的距离为均大于半径，故不符合题意， ∴点是弦的关联点， 连接， ∴，同理可求，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，60； ②同上作出关于点M的对称圆，连接，    ∵，，，， 同理可求，，， ∴同理可求， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的“关联点”在优弧上（不包括端点）， ∴若直线上存在的“关联点”， 则直线与优弧上（不包括端点）有交点， 当直线经过点A时，如图：    ∴把代入得：， 解得：， ∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点， 当直线与相切时，如图：    记切点为H，连接，记直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ∴， 当，， ∴， 则， ∴， 过作轴交直线于点， 则， ∵由切线得性质得到： ∴， ∴点， 代入， 求得：， ∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点， 综上所述：时，直线上存在的“关联点”， 故答案为：； （2）解：∵， ∴点C在以O为圆心为半径的圆上， 对于弦，我们固定点，调整点A位置即可， 同上作出关于点M对称的， ∵点C是的“关联点”， ∴根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B）， ∵点C是的“关联点”， ∴以为底边，作顶角为的等腰， ∴由圆周角定理可得：， ∴点C又得在以为圆心，为半径的优弧上， 那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意， ∴当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，如图：    由圆的对称性可知共线，， 设，则同上可得， ∴在中，， ∵， ∴， 解得：或（舍） ∴， 当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，如图：    ∴， ∴， ∴， 综上，弦的最大值为，最小值为1． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，涉及圆周角定理，解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性很强，解题的关键在于反向思考和固定变量解决问题． 10．给定圆和直线，过圆上一点作直线于点，直线与圆的另一个交点记为，将称为点关于直线的特征值．特别地，当点与点或重合时，点关于直线的特征值为；当点和重合时，点关于直线的特征值为． 在平面直角坐标系中， (1)圆是以点为圆心，为半径的圆， 若点的坐标是，则它关于轴的特征值是：_______； 点是圆上一动点，将点关于轴的特征值记为，则的取值范围是__________； (2)已知圆的半径为，直线，若圆上存在关于直线的特征值是的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；； (2)或． 【分析】（）由题意得，，再根据新定义即可求解； 过作于点，直线与圆的另一个交点记为，过作于点，根据新定义即可求解； （）分当直线在圆的外部时当直线在圆的内部时两种情况分析即可； 本题考查了垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，一次函数的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作于点，直线与圆的另一个交点记为， ∴，， ∴点关于轴的特征值为， 故答案为； 如图，过作于点，直线与圆的另一个交点记为，过作于点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴关于轴的特征值记为， 由题意可得：， ∴当时，；当时，； ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：如图，当直线在圆的外部时，过作于点，直线与圆的另一个交点记为，过作于点，过作于点，易得四边形为矩形， ∴， 同理可得：关于直线的特征值是的点，， ∵， ∴， ∴，即， 当时， 由勾股定理得：， ∴，即， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，解得：； 当时， 由勾股定理得：， ∴，即， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，解得：； ∴的取值范围为； 如图，当直线在圆的内部时， 同理可得：关于直线的特征值是的点，， ∴， ∵， ∴ ∴当时，最大值为， ∴， 同理求得：点， ∴，解得：， ∴的取值范围为， 综上可知：的取值范围为或． 2 / 129 1 / 129 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末真题百练通关（72题9大题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 二次函数 题型5 圆综合 题型2 圆 题型6 函数实际问题 题型3 相似 题型7 二次函数综合 题型4 逻辑推理 题型8 几何综合 题型9 新定义 题型一 二次函数（共9小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而增大；④当时，关于的方程有个实数根．其中正确的结论有 （填序号）．    3．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为 ． 5．已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是 ． 6．在平面直角坐标系中，若无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ． 7．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．除点A外，请再写出此函数图象经过的一个点坐标 ． 8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（    ） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，且． ① ； ②当时，函数值y的取值范围是，则m的取值范围 ． 题型二 圆（共7小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为 ； （2）当弦CD的长最小时，的值为 ． 2．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，的半径为为直径，过中点作交于点，连接，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点．有如下描述 ①； ②当点由点向点运动时，的长增大； ③； ④最长时为6． 以上描述正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 4．如图，A，B是平面内两定点，C，D是平面内两动点，且满足，．下列说法中，①A，B，C，D四点一定在同一个圆上；②若，则A，B，C，D四点一定在同一个圆上；③若，则四边形的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形既有外接圆，又有内切圆．所有正确说法的序号是（   ）    A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 5．在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是 . 6．勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（   ） ①垂直平分； ②四边形是平行四边形； ③． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型三 相似（共7小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里． 2．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，甲、乙两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，在甲建筑物的顶端处测得乙建筑物的顶端的仰角为，则乙建筑物的高为 ． 3．(24-25九上·北京通州区·期末)为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（    ） A． B． C． D． 4．物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B．3 C． D．5 6．某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为 ，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为 m．（结果精确到）       7．如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　）    A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 题型四 逻辑推理（共5小题） 1．(24-25九上·北京门头沟区·期末)某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示： 商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件） A 15 6 B 10 5 C 8 5 D 4 7 E 13 4 （1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）； （2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 （写商场编号）． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)某区域的快递网点位于处，负责区域内五个小区的配送业务，小区间有道路相连，道路长度如图所示．快递员每次配送任务都是从处出发，所有快件配送完毕即完成任务，不用返回网点处，此过程希望快递员的总路程尽可能短．若某次配送任务只包含小区，则配送的最短路程为 ．若某次配送任务包含所有五个小区，则最短总路程为 ． 3．(24-25九上·北京平谷区·期末)周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆； （2）若展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ． 4．古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式表示数字，如图所示. 据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如，算筹表示的四位数是6613. （1）用3根算筹表示的两位数可以是 （写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）； （2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为 （算筹不剩余且个位不为0）. 5．学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 题型五 圆综合（共9小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，P为外一点，过点P作的切线，切点为A，连接交于点B，C为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图，在中，，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，与AC的另一个交点为E． （1）求证：BO平分； （2）若，，求BO的长． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 4．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 5．如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 6．如图，直径为，点为上的两个点，，过点的直线交延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 7．如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．如图，是的直径，是的弦，延长至，，过作交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求长． 9．如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接. (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长. 题型六 函数实际问题（共7小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． (1)苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)小明遇到这样一个问题：如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度米，最高处到地面的垂直距离米，两侧的墙高米．今有宽为米的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点到隧道顶面对应的点的距离应不小于米，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 小明为了解决这个问题，以的中点为原点，米长为一个单位长度，建立平面直角坐标系，并设隧道顶的抛物线表达式为． 请帮助小明解决以下问题： (1)写出点、、的坐标； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少米？（精确到米） 3．(24-25九上·北京顺义区·期末)篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 4．如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 5．某客运站为了了解早高峰时间段运营情况，有效的缓解该时段乘客的等待时间，对早上时间段内，客运站累计候车人数和累计承载人数进行统计，为了便于记录，将早上开始每10分钟记作一个单位时间，记为时间x（），累计候车人数记为，累计承载人数记为． 下面是他们的调查过程，请补充完整： (1)他们调取了客运站该时段内累计候车人数与累计承载人数随x的变化而变化的有关数据∶ 时间段 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 累计候车人数 （万人） 0.5 1.1 1.6 2.2 2.9 3.6 4.2 5.1 5.7 6.0 6.3 6.5 6.6 累计承载人数 （万人） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 m 6.5 （1）补全表格，m的值为_______； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全表中各对对应值为坐标的点，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①大约______点______分时，客运站滞留人数最多； ②客运站将在滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间段增派车次缓解供需压力，公司约在______点______分至______点______分时间段增派车次更合理． 6．如图，线段，点C是线段上一点（不与A，B重合）．将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段．设，的面积为． (1)关于的函数表达式为 ，自变量的取值范围是 ； (2)在平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当 时，的面积取得最大值是 ． 3 4 5 6 7 7．如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． (1)求该抛物线的解析式； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 题型七 二次函数综合（共9小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ① 求该抛物线的对称轴； ② 点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 5．已知抛物线，若点，在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴（用含的字母表示）； (2)若对于时，都有，求的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于抛物线上的两个点，都有．求的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，已知二次函数．    (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为，若点，是函数图象上的两点，若对于任意的，，都有，求的取值范围． 8．已知抛物线，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线． (1)当时． ①直接写出b与a满足的等量关系 ； ②若，则 ． (2)已知，，点在抛物线上．当时，总有，求t的取值范围． 9．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 题型八 几何综合（共9小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，等边中，D是边上一点，且，点D关于直线的对称点为E，连接，，在直线上取一点F，使得，直线与直线交于点G． (1)若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)已知，如图，是等边三角形． (1)如图1，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，的平分线交于点E，连接． ① 依题意补全图1； ② 求的度数； ③ 求证：； (2)如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到，连接，的平分线交的延长线于点E，连接，直接用等式表示线段间的数量关系．（不用证明） 3．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，在等边△中，点是边上一点（点不与，重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接交于点．在上取一点，使，延长交于点． (1)若，求的度数（用含α的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 4．在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，如果点E在线段上，求证：； (2)如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 5．如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 6．已知，在中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，连接，点关于的对称点是． (1)如图1，若，且点恰好在线段上，求； (2)①如图2，当时，依题意补全图形； ②连接，恰好，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 7． 中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、． (1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______， ______； (2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明． 8．已知中，，，点D在射线上（不与B，C重合），过点D作交直线于点E，连接，． (1)如图1，，设，求，长（用含m的代数式表示）． (2)如图2，点D在延长线上，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 9．如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 题型九 新定义（共10小题） 1．(24-25九上·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦给出如下定义：若弦上存在点P，使得，且，则称点是弦的“倍及点”． (1)如图，点，． ①在点中，弦AB的“倍及点”是 ； ②若点是弦的“倍及点”，则的最大值为 ； (2)弦，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上存在点，使得点是弦的“倍及点”．请直接写出的取值范围． 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”． (1)如图2，已知点，． ① 在点，，中，是线段的“优关联点”的是 ； ② 如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出b的取值范围． (2)如图 3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围． 3．(24-25九上·北京房山区·期末)记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线． (1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ； (2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ①求p，q的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． (1)如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； (2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫做关于点的“关联点” (1)①点，，点关于点A的“关联点”的坐标是______； ②若点关于点的“关联点”的坐标是，则点的坐标是______； (2)直线分别与轴，轴相交于点，，是线段上的点． ①点，若直线上存在着点关于点的“关联点”，直接写出的取值范围； ②点是以为圆心，1为半径的圆上的点，点关于点的所有“关联点”组成图形．若图形与坐标轴有公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上的点和给出如下定义：若在上能找到一点，使得（为常数），且，则称点是关于点的关联点． (1)已知点． 点中，是关于点关联点的是______； 若点是关于点的关联点，则的取值范围是______； (2)点是直线上一点，点是关于点的关联点，若存在点在直线上，求点横坐标的取值范围． 7．我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G，点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离．       (1)平面直角坐标系下，已知点，以O为圆心，1为半径画圆，则点P到的距离为_____； (2)平面直角坐标系下，已知点，在平面内有一个矩形，． ①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为______． ②若M为矩形上一点，连接，以为直径画圆，记作圆G，则点P到圆G的距离d的取值范围为______． 8．在平面直角坐标系中，半径长为1，为的一条弦，若，则称点P为的弦的度相关点． (1)如图，直线与交于A，B两点，在点，，中，是弦的相关点的有 ． (2)已知的弦的长为，点P是弦的相关点，T是中点，则面积的最大值为，当面积取得最大值时长为 ． (3)已知点Q是直线上的一个动点，且存在的弦，，点Q为的弦的相关点，直接写出点Q横坐标t的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”.    (1)已知点，. ①在点，，中，点 是弦的关联点，其中 °； ②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是 ； (2)若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值. 10．给定圆和直线，过圆上一点作直线于点，直线与圆的另一个交点记为，将称为点关于直线的特征值．特别地，当点与点或重合时，点关于直线的特征值为；当点和重合时，点关于直线的特征值为． 在平面直角坐标系中， (1)圆是以点为圆心，为半径的圆， 若点的坐标是，则它关于轴的特征值是：_______； 点是圆上一动点，将点关于轴的特征值记为，则的取值范围是__________； (2)已知圆的半径为，直线，若圆上存在关于直线的特征值是的点，直接写出的取值范围． 1 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $