7.6 用锐角三角函数解决问题 同步练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

用锐角三角函数解决问你题 一、单选题 1．如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高8米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3，则坝底宽BC为（　　） A．36米 B．72米 C．78米 D．38米 2．2025年4月24日17时17分，搭载“神舟二十号”载人宇宙飞船的长征二号F遥运载火箭在酒泉卫星中心点火发射．如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点C的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（    ）m A． B． C． D． 4．如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 5．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 6．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　）    A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里 7．某校开展冰雪项目学习．某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了，则该同学在竖直方向上下降的高度为（  ） A． B． C． D． 8．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是(    )． A． B． C． D． 9．如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为500米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即线段的长）为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 11．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD＝ ． 12．哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶 P约146米，一名同学站在C处观察 A点的仰角为，观察P点的仰角为，则龙塔 的高度为 ．（已知：）（精确到1米） 13．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为．则大树的高度约为 米．（结果保留整数，参考数据：）． 14．如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则观测站O距港口A的距离为 ． 15．如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 16．河堤的横断面如图，堤高是，迎水斜坡的长是，那么斜坡的坡度是 ． 三、解答题 17．如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 18．如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 19．某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据：，，） 20．如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C A B A D A B 1．D 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，得到两个直角三角形和一个矩形，根据斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3求解即可． 【详解】解：如下图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F， ∴四边形AEFD是矩形， ∴AD=EF=6，AE=DF=8． ∵斜坡AB的坡角为45°， ∴BE =AE=8． ∵斜坡CD的坡度为1：3， ∴FC=24， ∴BC=BE+EF+FC=38． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构造合适的矩形和直角三角形、掌握坡角和坡度的概念是解题的关键． 2．B 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，，千米， 由得千米， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意，在中，米，为，利用三角函数求解． 【详解】解：在中， 米，为， （米）． 故选C． 4．C 【分析】根据题意，求得，再结合勾股定理，根据追及问题求法计算即可； 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识相结合是解题的关键． 【详解】∵走私船在处的南偏东方向上， ， 走私船在处沿南偏西方向行驶， ， 设追上走私船所需时间是小时， 则 解得 (不合题意，舍去)或 故选：C． 5．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，首先由方向角的定义及已知条件得出，，海里，，解，得出海里． 【详解】解：如图，由题意可知，， 在中， ，，海里， ∴海里． 海里． 故选：A． 6．B 【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作，    由题意，得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 7．A 【分析】本题主要考查了三角函数定义，熟练掌握正弦函数的定义，是解题的关键． 根据三角函数定义进行解答即可． 【详解】解：∵滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了， ∴该同学在竖直方向上下降的高度为． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高， ， 解得：， 则． 故选：D． 9．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可得，则米． 【详解】解：在中，， ∴米， 故选：A． 10．B 【分析】此题考查解直角三角形应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．在中，，斜边是已知边，是已知角，而要求的是的对边的长，所以选择的正弦，即可求出结果． 【详解】解：如图，在中，，， ， ， （米）， （米）． 故选∶B． 11． 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案． 【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10， ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5， CM＝BC×cos30°＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5． 故答案是：15﹣5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 12．336米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数，是解题的关键，设，分别解，求出的长，根据线段的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，设， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 故答案为：336 13．8 【分析】本题考查了勾股定理，仰俯角解直角三角形，坡比解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 根据题意得到是等腰直角三角形，如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，由坡比得到米，则米，米，在中，由列式求解即可． 【详解】解：点测得大树顶端的仰角是，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡比为，米， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，负值舍去， ∴米， ∴米，则米， 设米，则米， ∴米， ∵， 在中，， ∴， 解得，， ∴的高度约为米， 故答案为：8 ． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题以及勾股定理的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点D，先证明是等腰直角三角形，得，再由勾股定理得，进而求出，然后由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题 【详解】解∶如图，过点A作于点D， 则． 由题意可知， 是等腰直角三角形，． ． ． 在中，． ． ． 则观测站O距港口A的距离为． 故答案为 ∶ ． 15．/595千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形． 过点作于点，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及的长，再放在中求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 地位于地北偏东方向，距离地， ， ， 在，，， 地位于地南偏东方向， ， 在，， ． 答：地到地之间高铁线路的长为， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了勾股定理，坡度的求解等，解题的关键是熟练掌握勾股定理和坡度的定义． 利用勾股定理求出的长度，然后利用坡度的定义进行求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， ， ∴斜坡的坡度是， 故答案为：． 17．10.5 【分析】作AD⊥BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据∠B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值． 【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在RtΔACD中，， AC＝5， ∴CD=ACcosC＝5=4． ∴由勾股定理得：AD＝＝3． ∵sinB＝， ∴∠B＝45°． ∴∠BAD＝∠B＝45°． ∴BD＝AD＝3． ∴S△ABC＝BC•AD＝（3+4）×3＝10.5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目条件构造直角三角形． 18．(1) (2)点M与点N的高度差为 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 19．该车从点到点的平均速度为，该车超速 【分析】本题考查了解直角三角形，利用了锐角三角函数，直角三角形的性质，画出直角三角形得出的长是解题关键．过作于点，根据等腰直角三角形得出，进而利用三角函数解答即可． 【详解】解：如图，过作于点， 由题意得：， 在中，， ， （）， 在中，， （m）， （）， （）， ， 超速了． 答：该车从点到点的平均速度为，该车超速． 20．(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $用锐角三角函数解决问你题 一、单选题 1.如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高8米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡 CD的坡度为1：3，则坝底宽BC为() A D A.36米 B.72米 C.78米 D.38米 2.2025年4月24日17时17分，搭载“神舟二十号”载人宇宙飞船的长征二号F遥运载火 箭在酒泉卫星中心点火发射.如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号” 测量船测得点B到点C的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度AC为() B A.、 一千米 B.m tan a千米 C.m cosa千米 D.m 一千米 si 3.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端50m的B处，测得树顶A 的仰角∠AB0为c,则树OA的高度为()m A. 50 B.50sina C.50tana D.50cosa tana 4.如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A处12海里的B 答案第1页，共2页 处，并以每小时20海里的速度沿南偏西30°方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追 赶走私船，则追上走私船所需时间是() 北 》东 60° D B 30 C 南 A.0.5小时 B.0.75小时 C.0.8小时 D.1.25小时 5.如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A 相距3海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向， 则AB的距离可表示为() 北 B →东 A.13cos40°海里B.13sin40°海里 C.、1 一海里 13 D. sin 50 cos50 一海里 6.如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C 在北偏东60°的方向，该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上. 则货船在航行中离小岛C的最短距离是() 北 309 60° 7 BD A.12海里 B.6√5海里 C.125海里 D.245海里 7.某校开展冰雪项目学习.某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了 答案第1页，共2页 100m,则该同学在竖直方向上下降的高度为() 100 A.100sin 28 B.100cos28 C. D.、100 sin28° cos28 8.如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=12m,则迎水 坡AB的长度是()m, B A.24 B.24√2 C.36 D.12V10 9.如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离4B=6米，则这两棵树 的竖直距离BC可表示为() A.6sina米 B. 6 米 C.6cosa米 D.6米 sina cosa 10.如图所示的是一段索道的示意图.已知A、B两点间的距离为500米，∠BAC=a,则 缆车从A点到B点上升的高度（即线段BC的长）为() B a A. 500米 B.500sina米 C. 500米 D.500cosa米 sina cosa 二、填空题 答案第1页，共2页 11.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上， $$A B \parallel C F ， \angle F = \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， \angle E$$ $$= 4 5 ^ { \circ } ， \angle A = 6 0 ^ { \circ } ， A C = 1 0 ，$$ ，则 CD= . $$E _ { 1 }$$ B A F D C 12.哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有 一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶P约 146米，一名同学站在C处观察A点的仰角为 $$4 5 ^ { \circ } ，$$ ，观察P点的仰角为 $$6 0 . 5 ^ { \circ } ，$$ ，则龙塔PB的 高度为.(已知： $${ \tan 6 0 . 5 ^ { \circ } \approx 1 . 7 7 ， \cos 6 0 . 5 ^ { \circ } \approx 0 . 4 9 2 ， \sin { 6 0 . 5 ^ { \circ } } \approx 0 . 8 7 0 } \right)$$ (精确到1米) P C B 13.如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是 $$4 5 ^ { \circ } ，$$ 沿斜坡走 $$\frac { 3 } { 2 } \sqrt 5$$ 米到达斜坡上点 D， ，在此处测得树顶端点B的仰角为 $$3 1 ^ { \circ } ，$$ 且斜坡 AF 的坡比 为1：2.则大树BC的高度约为米.(结果保留整数，参考数据： $${ \sin 3 1 ^ { \circ } \approx 0 . 5 2 ， \cos 3 1 ^ { \circ } \approx 0 . 8 6 ， \tan 3 1 ^ { \circ } \approx 0 . 6 0 } \right) .$$ B F D 310 $$4 5 ^ { \circ }$$ E A C 14.如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东 $$1 5 ^ { \circ }$$ 方向航行 15km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东 $$4 5 ^ { \circ }$$ 的方向，则观测站O距港口4 的距离为km. 答案第1页，共2页 B 45 15.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，己知B位 于A地北偏东67°方向，距离A地520km,C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道， 建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长」 ·(结果保留整数)（参考数据： sin67°≈12 :cos670≈5 ：m6号513) 北 个 →东 B 67° 30° A l6.河堤的横断面如图，堤高BC是5m,迎水斜坡AB的长是10m,那么斜坡AB的坡度 是 B 三、解答题 I7.如图，在△ABC中，sinB三，cosC=5,AC=5,则△ABC的面积为多少？ 答案第1页，共2页 18.如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡1的坡底点A的俯角为60°，乙在楼房顶端点M处 测得斜坡1上的点B处的俯角为45°，AP=10m,AB=8m,点B到地面的距离为4m, 45 609 B P m (1)求斜坡1的坡角∠BAC的度数； (2)求点M与点N的高度差. 答案第1页，共2页 19.某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过40km/h,如图，一辆汽车在该段道路上由 西向东行驶，距离路边9m处有一车速检测仪0，测得该车从北偏西45°的A点行驶到北偏 东53°的B点（点0，A,B在同一水平面内）所用时间为1.5s.试求该车从A点到B点的 4 3 4 平均速度，并说明该车是否超速.（参考数据：sin53°5，cos53°亏，an53°写） 北 东 南 45°53 20.如图，已知山坡AB的坡度为i=1:2.4,山坡BC的坡度为，=1：0.75，山坡CD的坡角 ∠D=30°，已知点B到水平面AD的距离为100m,山坡CD的长为1000m.某登山队沿山 坡AB-BC上山后，再沿山坡CD下山. 答案第1页，共2页 ⊙ D (I)求山顶点C到水平面AD的距离： (2)求山坡AB-BC的长. 答案第1页，共2页