专题05 相交线和平行线（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材华东师大版

专题05 相交线和平行线 题型1 对顶角相等（重点） 题型11 内错角相等，两直线平行（重难点） 题型2 利用邻补角互补计算角度 题型12 同旁内角互补，两直线平行（重难点） 题型3 垂线的定义 题型13 同一平面内垂直同一直线的两直线平行 题型4 垂线段最短（重点） 题型14 两直线平行，同位角相等（重难点） 题型5 点到直线距离（重难点） 题型15 两直线平行，内错角相等（重难点） 题型6 同位角、内错角与同旁内角的识别 题型16 两直线平行，同旁内角互补（重难点） 题型7 平面内两直线的位置关系 题型17 平行线中角的关系和度数探究（常考点） 题型8 用直尺三角板画平行线 题型18 平行线的应用（常考点） 题型9 平行公理及其推论的应用（重点） 题型19 根据平行线判定与性质证明（常考点） 题型10 同位角相等，两直线平行（重难点） 题型20 利用平行线间距离解决问题 题型1 对顶角相等（共3小题） 1．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）下列各图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是___________． 题型2 利用邻补角互补计算角度（共3小题） 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是直线上的一点，平分，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D．随位置的变化而变化 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点在直线上，与互补，平分． (1)若，则的度数为_________； (2)若，求的度数． 6．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若比小，求的度数． 题型3 垂线的定义（共3小题） 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为________． 8．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_____． 9．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 题型4 垂线段最短（共3小题） 10．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在________处，其中的道理是________． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差_____m． 题型5 点到直线距离（共3小题） 13．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 15．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型6 同位角、内错角与同旁内角的识别（共3小题） 16．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·全国·期末）下列四个图形中，与互为内错角的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，与的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 题型7 平面内两直线的位置关系（共3小题） 19．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在同一平面内，如果直线与相交，且直线与平行，则这三条直线中所有交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（24-25七年级下·山东日照·期末）以下四个说法中：在同一直线上的点、、、只能表示出条不同的线段；若，则点是的中点；两条直线相交所成的四个角中，如果其中有一个角是直角，那么其余三个角也一定相等；在同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有相交和平行；经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 题型8 用直尺三角板画平行线（共3小题） 22．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）如图，方格纸中的所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，，垂足为D． (1)画线段AB； (2)过点C画直线； (3)过点A画，垂足为A，交于点E； (4)线段______的长度可以表示点B到直线的距离． 23．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 24．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 题型9 平行公理及其推论的应用（共3小题） 25．（25-26七年级上·湖北十堰·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则点是的中点 26．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 27．（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 题型10 同位角相等，两直线平行（共3小题） 28．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 29．（2025七年级上·全国·专题练习）羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 题型11 内错角相等，两直线平行（共3小题） 31．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 32．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（24-25七年级下·青海海西·期中）如图，，，，，填空： 已知 __________ （     ） 已知 ____________ 已知 ___________ 已知 ___________． 题型12 同旁内角互补，两直线平行（共3小题） 34．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是________．（添加一个即可） 35．（24-25七年级下·全国·期中）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为_________（写出一种情况即可）． 36．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 题型13 同一平面内垂直同一直线的两直线平行（共3小题） 37．（24-25七年级下·辽宁朝阳·月考）下列各图中，能画出的是（   ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④ 38．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 39．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）下列说法，正确的个数有（ ） 垂直于同一条直线的条直线相互平行； 过直线外一点作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫点到直线的距离； 两条直线被第三条直线所截，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 题型14 两直线平行，同位角相等（共3小题） 40．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 题型15 两直线平行，内错角相等（共3小题） 43．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·云南丽江·期末）动手操作可提升思维能力．如图，将含30°的直角三角板和含45°的直角三角板按不同的方式摆放，可解决下列几何问题． (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若，求的度数． (2)如图2，含45°角的三角板的顶点B放在三角板的边上，若，求证：平分． 45．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 题型16 两直线平行，同旁内角互补（共3小题） 46．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型17 平行线中角的关系和度数探究（共3小题） 49．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 50．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 51．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则_ ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． _两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 题型18 平行线的应用（共3小题） 52．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 53．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 54．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 题型19 根据平行线判定与性质证明（共3小题） 55．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，，其中A、B、E三点在一条直线上．求证：． 56．（25-26七年级上·吉林长春·期末）阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点，直线上有一点，点三点共线，点在直线和直线之间，连接、，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴________（____________________）， ∴________（____________________）， ∴（已知）， ∴________（____________________）， ∴（__________）． 57．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 题型20 利用平行线间距离解决问题（共3小题） 58．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，，与相交于点，若的面积等于8，则的面积等于_____． 59．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，A、B是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的有_____________．（填序号） 60．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相交线和平行线 题型1 对顶角相等（重点） 题型11 内错角相等，两直线平行（重难点） 题型2 利用邻补角互补计算角度 题型12 同旁内角互补，两直线平行（重难点） 题型3 垂线的定义 题型13 同一平面内垂直同一直线的两直线平行 题型4 垂线段最短（重点） 题型14 两直线平行，同位角相等（重难点） 题型5 点到直线距离（重难点） 题型15 两直线平行，内错角相等（重难点） 题型6 同位角、内错角与同旁内角的识别 题型16 两直线平行，同旁内角互补（重难点） 题型7 平面内两直线的位置关系 题型17 平行线中角的关系和度数探究（常考点） 题型8 用直尺三角板画平行线 题型18 平行线的应用（常考点） 题型9 平行公理及其推论的应用（重点） 题型19 根据平行线判定与性质证明（常考点） 题型10 同位角相等，两直线平行（重难点） 题型20 利用平行线间距离解决问题 题型1 对顶角相等（共3小题） 1．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）下列各图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角，掌握“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”是正确解答的关键． 根据对顶角的定义即可解答． 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项C中的与是对顶角， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的定义以及画一条线段等于已知线段进行判断即可． 【详解】解：选项A，选项B，选项C中的工具，利用了对顶角相等， 而选项D利用的是“画一条线段等于已知线段”， 故选：D． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是___________． 【答案】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等．根据对顶角相等解答即可求解． 【详解】解：根据题意得：与是对顶角， ∴（对顶角相等）， 即这个方案的依据是对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 题型2 利用邻补角互补计算角度（共3小题） 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是直线上的一点，平分，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D．随位置的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义． 根据角平分线的定义得到，，根据计算即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 故选：C． 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点在直线上，与互补，平分． (1)若，则的度数为_________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线和邻补角、补角问题，关键是根据互补的关系和邻补角以及角平分线的定义解答． （1）根据互补的关系和邻补角以及角平分线的定义解答即可； （2）根据互补的关系和角平分线的定义列出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上，， ∴， ∵与互补， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵点在直线上， ∴与互补， ∵与互补， ∴， ∵平分， ∴， 设为，可得：， 解得：， ∴． 6．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若比小，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差运算、角平分线的定义，利用“平角、直角的度数关系”结合角平分线的定义进行角度计算是解题关键． （1）先由平角求出，再用角平分线得，最后结合直角，通过角的和差求出． （2）设未知数表示和，利用平角关系列方程求解，再通过平角、角平分线求出． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ． 答：． （2）解：设， 比小， ， ， ， ，解得：， ， ， 平分， ． 答：． 题型3 垂线的定义（共3小题） 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为________． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 8．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据对顶角相等得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型4 垂线段最短（共3小题） 10．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点C作于点，    ∵，， ∴，即， ∴， ∵D为边上一动点，， ∴的最小值为的长4， ∴正方形的面积的最小值为 故选：． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在________处，其中的道理是________． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为垂线段最短． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差_____m． 【答案】5 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 题型5 点到直线距离（共3小题） 13．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到直线的距离，根据跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离求解即可． 【详解】解：∵跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离， ∴过沙坑中留下最近着地点A向起跳线作垂线，则的长就是跳远成绩， 由图可得， ∴他的成绩是． 故选：A 14．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】本题考查点到直线的距离，即从直线外一点到这条线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这个点到直线的距离．根据点到直线的距离的概念即可得解． 【详解】解：∵， ∴根据点到直线的距离的概念可得：点O到直线的距离是线段的长度； 故选：B． 15．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查对顶角性质、平行公理、垂线段最短性质和中点定义，根据以上知识点逐项判断正误即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两直线相交，对顶角相等，原说法正确； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确； ④当点在线段上时，才表示M是的中点，否则不一定，故原说法错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：C． 题型6 同位角、内错角与同旁内角的识别（共3小题） 16．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【详解】解：的内错角是 故选：D． 17．（24-25七年级下·全国·期末）下列四个图形中，与互为内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内错角，能根据内错角的概念正确判断是解题关键． 根据内错角的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．与不是内错角，故此选项不符合题意； B．与不是内错角，故此选项不符合题意； C．与是内错角，故此选项符合题意； D．与不是内错角，故此选项不符合题意； 故选：C． 18．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，与的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：与的位置关系是同位角． 故选：D 题型7 平面内两直线的位置关系（共3小题） 19．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在同一平面内，如果直线与相交，且直线与平行，则这三条直线中所有交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相交线，平行线．根据题意画图即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴这三条直线中所有交点的个数为个． 故选：C． 20．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，平行线的性质，平行公理，平面内两直线的位置关系，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：同位角不一定相等，故①错误； 对顶角相等，故②正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；故④正确； 故选B． 21．（24-25七年级下·山东日照·期末）以下四个说法中：在同一直线上的点、、、只能表示出条不同的线段；若，则点是的中点；两条直线相交所成的四个角中，如果其中有一个角是直角，那么其余三个角也一定相等；在同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有相交和平行；经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的定义，线段中点的定义，两直线的位置关系，垂线的性质，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．逐一分析各说法的正确性． 【详解】解：①：同一直线上4点可组成线段数为组合数条，而非5条，故①错误； ②：仅说明B到A、C距离相等，但B未必在线段上，故②错误； ③：两直线相交成直角，根据邻补角和对顶角性质，其余三角均为直角，故③正确； ④：平面内不重合直线仅相交或平行，故④正确； ⑤：严格来说，若未限定平面，空间中则过该点有无数条直线与已知直线垂直；故⑤错误； 综上，错误的说法为①②⑤． 故选：D． 题型8 用直尺三角板画平行线（共3小题） 22．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）如图，方格纸中的所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，，垂足为D． (1)画线段AB； (2)过点C画直线； (3)过点A画，垂足为A，交于点E； (4)线段______的长度可以表示点B到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)AB 【分析】此题考查了基本作图，平行线的判定，点到直线的距离等知识，利用网格的特征是解题的关键． （1）根据线段的定义，连接即可； （2）根据平行线的判定作图即可； （3）根据网格的特征构造垂直即可； （4）根据点到直线的距离进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：直线即为所求； （3）如图所示：即为所求； （4）线段的长度可以表示点到直线的距离． 故答案为：． 23．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题考查的是作图-复杂作图，熟知垂线段及平行线的作法是解答此题的关键． （1）过点P作，交于点C即可； （2）根据点到直线距离的定义即可得出结论； （3）依据平行线的判定，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点C即为所求； （2）∵， ∴线段的长度是点O到的距离． 故答案为：； （3）如图，． 24．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)直线 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据推尺子的方法，作图即可； （2）根据垂直定义作图即可； （3）根据点到直线的距离是垂线段的长度可求． 【详解】（1）解：直线即为所求： （2）解：直线即为所求： （3）解：根据点到直线的距离是垂线段的长度， ∴线段的长度是点H到直线的距离， 故答案为：直线． 题型9 平行公理及其推论的应用（共3小题） 25．（25-26七年级上·湖北十堰·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则点是的中点 【答案】C 【分析】本题考查线段的概念以及所学的基本事实．解题的关键是熟练运用这些概念． 根据线段的概念，以及所学的基本事实，对选项一一分析，选择正确答案． 【详解】解：A、两点之间线段最短，选项错误，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，选项错误，不符合题意； C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直，正确，符合题意； D、，但点A、B、C不一定共线，或B不一定在线段上，选项错误，不符合题意； 故选：C 26．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 27．（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 题型10 同位角相等，两直线平行（共3小题） 28．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 29．（2025七年级上·全国·专题练习）羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：A．，无法判定，不符合题意； B．，则，符合题意； C．，则，不符合题意； D．，则，不符合题意； 故选：B． 30．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判定即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴，由同位角相等，两直线平行，能判定，该选项不合题意； 、，由内错角相等，两直线平行，能判定，该选项不合题意； 、，由同旁内角互补，两直线平行，能判定，该选项不合题意； 、，由对顶角相等，不能判定，该选项符合题意； 故选：． 题型11 内错角相等，两直线平行（共3小题） 31．（2025·山东德州·中考真题）如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 32．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴， ∴能判断的条件有①④，共2个 故选：B． 33．（24-25七年级下·青海海西·期中）如图，，，，，填空： 已知 __________ （     ） 已知 ____________ 已知 ___________ 已知 ___________． 【答案】见解析 【分析】根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同位角相等，两直线平行由可判断；根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同旁内角互补，两直线平行由可判断 ． 本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【详解】解：已知， 内错角相等，两直线平行， 已知， 同位角相等，两直线平行， 已知 ， 已知 ． 故答案为，，内错角相等，两直线平行；，；，；，． 题型12 同旁内角互补，两直线平行（共3小题） 34．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 35．（24-25七年级下·全国·期中）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为_________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理添加条件，即可求解． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为：或或或．（答案不唯一） 36．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有． 故答案为：． 题型13 同一平面内垂直同一直线的两直线平行（共3小题） 37．（24-25七年级下·辽宁朝阳·月考）下列各图中，能画出的是（   ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：根据同旁内角互补，两直线平行，可得①正确； 根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得②③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 综上所述，能画出的是①②③④， 故选：D． 38．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、平行线的判定与性质、对顶角等概念，需根据各个概念逐项判断正误即可． 【详解】①∵当时，，∴①错误； ②∵垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（需在同一平面内），∴②错误； ③∵若，，则（平行线的传递性），当b、c不重合时成立，∴③正确； ④∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴④错误； ⑤∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但“过一点”未指定点是否在直线上，∴⑤错误； ⑥∵两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，∴⑥错误； 综上，只有③正确，共1个； 故选A． 39．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）下列说法，正确的个数有（ ） 垂直于同一条直线的条直线相互平行； 过直线外一点作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫点到直线的距离； 两条直线被第三条直线所截，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质、平行公理及推论以及点到直线的距离，掌握相关知识的应用是解题的关键． 根据在同一个平面内垂直于同一条直线的条直线一定互相平行可对进行判断；利用点到直线的距离的定义对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；根据平行公理对进行判断． 【详解】解：在同一个平面内，垂直于同一条直线的条直线一定互相平行，所以错误； 从直线外一点作这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段的长叫点到直线的距离，所以错误； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，所以错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以错误． 故选：． 题型14 两直线平行，同位角相等（共3小题） 40．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【详解】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 41．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 42．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用垂线的定义得，进而求得，利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ． 题型15 两直线平行，内错角相等（共3小题） 43．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角． 由，可得，结合已知可得，由，可得，从而可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 44．（24-25七年级下·云南丽江·期末）动手操作可提升思维能力．如图，将含30°的直角三角板和含45°的直角三角板按不同的方式摆放，可解决下列几何问题． (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若，求的度数． (2)如图2，含45°角的三角板的顶点B放在三角板的边上，若，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补，两种直角三角板的特殊度数，角平分线定义； （1）由得出，再利用，，即可得出的度数； （2）由得，又因为，所以，再利用得出，所以平分. 【详解】（1）解：∵是含有的直角三角板，是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 45．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2)； (3)的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题． （1）由平行线的性质，可得，，等量代换，即可证得结论；作，由平行线的性质，可得，，结合已知，等量代换，即可得； （2）延长，交于点，由平行线的性质，可得，，由邻补角，结合已知，等量代换可得，，即可得； （3）由（1）得，由（2）得，结合已知可得，由角平分线的定义可得，，设，，则，，可得，作，由平行线的性质可得，，可得，结合已知，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴． 解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 题型16 两直线平行，同旁内角互补（共3小题） 46．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 47．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 48．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 题型17 平行线中角的关系和度数探究（共3小题） 49．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，即得，，由（）得，再根据已知得，即得到，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，可得，即得，，又根据角平分线的定义得，根据已知得，即得，进而得到，解之即可求解； 本题考查了平行公理的推理，平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图②，过点作， ∵， ∴， ∴，， 由（）知，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 50．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则_ ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． _两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等，， (2)的度数为 (3)的度数为或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．熟练掌握“作平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补”的辅助线方法，以及分类讨论点的位置情况，是解题的关键． （1）通过作平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合已知角度计算． （2）先利用角平分线得到半角，再作平行线，结合平行线的性质（内错角相等），通过角度差计算． （3）分点的位置情况，作平行线，利用平行线的性质和角平分线的定义，推导与、β的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 则（两直线平行，内错角相等） ∵已知， ∴平行于同一直线的两条直线平行． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，； （2）解：是的平分线，是的平分线， ， 如图，过点作 ， ， 的度数为 （3）解：的度数为或或或 分以下情况： ①如图，当点在上方时，直线交于点，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在下方时，同理可得 ②如图，当点在和之间且点在右侧时，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在和之间且点在左侧时，同理可得 综上，的度数为或或或 题型18 平行线的应用（共3小题） 52．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质．由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 53．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 54．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 题型19 根据平行线判定与性质证明（共3小题） 55．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，，其中A、B、E三点在一条直线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 根据得到，进而得到，则，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 56．（25-26七年级上·吉林长春·期末）阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点，直线上有一点，点三点共线，点在直线和直线之间，连接、，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴________（____________________）， ∴________（____________________）， ∴（已知）， ∴________（____________________）， ∴（__________）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质证明即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 57．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证； （2）由，求得的度数，再由，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：和是对顶角， ， ， ， ∴； （2）解：已知，则， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型20 利用平行线间距离解决问题（共3小题） 58．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，，与相交于点，若的面积等于8，则的面积等于_____． 【答案】8 【分析】题目主要考查平行线间的距离及三角形面积计算，理解平行线间的距离相等是解题关键． 过点D作的延长线于点F，过点C作，根据平行线间的距离相等得出，结合三角形等底，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点D作的延长线于点F，过点C作， ∵， ∴， ∵的面积等于8， ∴， ∴， ∴的面积等于8． 故答案为：8． 59．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，A、B是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的有_____________．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：∵、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的；故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变；故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的；故③错误； ∵两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变；故④正确； 综上，正确的有②④； 故答案为：②④． 60．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． （1）连接交于O，连接，根据和等高（分别以为底），得到； （2）同理可得，再根据题意证明，得到，进而证明，则； （3）如图所示，连接，先求出，，即，则，同理可证，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴； （2）解：同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $