精品解析：辽宁省铁岭市调兵山市2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期随堂练习 九年数学（四）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 月壤砖是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种月壤砖的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了俯视图，通过从物体上面看到的图形依次判断即可． 【详解】解：A、俯视图，符合题意； B、不是俯视图，不符合题意； C、不是俯视图，不符合题意； D、是左视图，不符合题意； 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式  的顶点坐标为  是解题关键． 根据二次函数的顶点式  的顶点坐标为 ，直接读取函数中的  和  值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式  对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 3. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 4. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上， ∴将，代入，得： 解得：， 故选：B． 5. 如图，矩形中，点是边的中点，交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及相似三角形，先证明，根据矩形的性质得到，利用相似三角形的比例关系即可． 【详解】解：是矩形， 平行于，， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， 设，则， ， ， 即． 故选：C． 6. 如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象与轴的交点问题，根据开口方向，对称轴的位置，与轴的交点位置判断①，对称性求出对称轴，判断②，与轴的交点个数判断③，特殊点判断④． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴， ∴， ∴；故①错误； ∵抛物线与x轴交于点，点， ∴对称轴为直线，，故③正确； ∴， ∴，故②正确； 由图象可知，当时，；故④正确， 故正确的个数为3， 故选：C． 7. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 8. 有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点恰好在图像上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合条件事件的结果数目，则事件发生的概率为，注意此题是放回试验还是不放回试验是解题关键．先画树状图表示出所有可能的点，再确定哪些点满足，从而计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，分别是：，，，，，， 其中满足的点有，其他点均不成立， 只有个点满足条件， 点恰好在图像上的概率是． 故选：A． 9. 如图，已知点在反比例函数图象上，轴，垂足为点，轴，垂足为点，若矩形ABOC的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义．过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．设点的坐标为，用，表示、的长，根据矩形的面积为，列出算式求出的值． 【详解】解：设点的坐标为，则，． ∵矩形的面积为， ∴． ∴． 故选：B． 10. 抛物线与轴交于点、两点，则线段长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与轴的交点坐标的纵坐标为．先求出抛物线与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点、两点， 令，即， ，解得，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知：，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；根据已知比例关系，设参数表示a和b，再代入所求分式化简即可． 【详解】解：由，设，（其中）， 则； 故答案为． 12. 若点，都在反比例函数的图象上，则________．（填或） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键．将两点坐标代入反比例函数解析式求出函数值比较大小即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，；当时，． ∴． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； 方程有实数根， ∴， 化简得； 解得； 综上，实数的取值范围为且． 14. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 15. 如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接BF，分别交，DE于点P，Q，R．有下列结论①，②，③，其中正确的有________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及全等三角形、等腰三角形的性质运用，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据是三个全等的等腰三角形，即可得到根据平行线等分线段定理即可判断． 【详解】解：依题意，得， 和有一个公共角，， ， 故①是正确的. ， ， 故②正确： ， ， ， ， 故③正确： ， 故④错误. 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算以及解一元二次方程： （1）先算绝对值、二次根式、负整数指数幂以及特殊角的三角函数，再从左往右依次计算； （2）先配方，再计算． 【详解】解：（1） ； （2） 解得：，． 17. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，过点作交于点，延长到，使得，连接交于点，连接，在上取点，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长，，则________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形判定与性质以及勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理得到，通过角之间的关系得，证明后得到比例关系即可求． 【小问1详解】 证明：平行于，平行于， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 是矩形； 【小问2详解】 解：菱形的周长，， ，， ， ， 四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 某商场销售一种商品，每件进价为6元．调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售200件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少10件，且物价部门规定：销售单价大于8元且不能超过12元． （1）商场要想每天获得720元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）10元 （2）销售单价为12元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是960元 【解析】 【分析】（1）根据单件利润销售量总利润，列出一元二次方程，解方程求解； （2）设每天销售利润为元，由题意得出关于的关系式，结合二次函数的性质即可求解． 本题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用，利用二次函数的性质求最大值是解题关键． 【小问1详解】 解：设该商品的销售单价为x元（）， 由题意可得，， 整理可得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 故销售单价应定为10元． 【小问2详解】 解：设商场每天销售利润为元， 由题意可得：， ， 抛物线开口向下，当时，w随着x的增大而增大， ， 当时，w最大，此时， 故销售单价为12元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是960元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图象与反比例函数（，）图象交于点，点，与x轴交于点C，将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点D． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）当面积为6，直接写出m的值． 【答案】（1）； （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数与面积几何，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先把代入，求出，再求出，运用待定系数法进行求解出，即可作答． （2）运用数形结合思想进行分析，即可作答． （3）先得出平移后的函数解析式为，然后表达出，，即，过B点作轴，垂足为E，由（1）得，则，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：反比例函数图象经过和点， 把坐标代入得：， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把坐标代入得：， ， 一次函数图象经过和两点 把和分别代入中， 得，解得：， 一次函数的表达式； 【小问2详解】 解：∵一次函数图象与反比例函数图象交于点，点 ∴观察图象，当时，自变量x的取值范围为． 【小问3详解】 解：将一次函数的图象向下平移m个单位长度，所得的一次函数表达式为 令，则， ， ， ∴， 对于一次函数，令，则， 解得， ， ∴ ， 过B点作轴，垂足为E， 由（1）得， 则， ， 解得． 20. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作，垂足为点E，则四边形为矩形，可得，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点A作，垂足为点E． ∵线段和都与地面垂直， ∴四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ． 答：的长为． 21. 已知二次函数图象经过点． （1）求的值； （2）若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． （3）在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像及性质： （1）用待定系数法； （2）根据对称轴公式以及函数的单调性确定的取值范围； （3）将函数化为顶点式，得到最小值相等的等式，求出，代入得表达式． 【小问1详解】 解：把代入， 得． 【小问2详解】 解：， 抛物线的开口向上， 二次函数对称轴为直线， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大， ， ． 【小问3详解】 解： 二次函数的最小值为， 解得：，（舍）； ， 二次函数的表达式为． 22. 【初步探究】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，，延长交的延长线于点G，，， ①求证：； ②求菱形的周长； 【拓展提高】 （3）如图3，在等腰直角中，，点E为边上一点，点D是内一点，，，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可完成； （2）①根据四边形是菱形，推出四边形是平行四边形，则，即可求证；②证明，利用相似三角形的性质得，设，则，代入即可求解； （3）过D作，垂足为H，设，， ，再证明，在中，，，代入即可求解. 【详解】（1）证明：，， ， ， ． （2）①证明：四边形是菱形， ，即 ， 四边形是平行四边形， ， ②解：， ， 又， ， ， 设，则 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ，解得： 菱形的周长 （3） 过D作，垂足为H ，， ， ， ， 设 ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ，， 在中，， ，解得：，（舍去）； ． 【点睛】本题是四边形与相似三角形的综合，考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，相似三角形的判定与性质是关键． 23. 【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的4倍，我们称这个点为“四倍值点”． 【概念理解】 （1）求反比例函数上的“四倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A、B两点（B在A的左边），交y轴于点，该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点，以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． ①求点P的坐标和二次函数的解析式； ②当线段的长度最大时，求D点的坐标； ③若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点H，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）①点P的坐标为；；②；③或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）①根据新定义，求出抛物线的顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； ②求出直线的解析式，设，则，利用两点间的距离公式，列出二次函数关系式，求最值即可； ③分为边和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数上的“四倍值点”的坐标为； 解得：， 经检验，是所列方程的解， 当时，； 当时，． 反比例函数上的“四倍值点”的坐标为或 （2）①解：设一次函数的四倍值点的坐标， ，解得：， 一次函数的四倍值点的坐标为， 该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点， 该抛物线的顶点P的坐标为 设二次函数的解析式为 该二次函数的图象交y轴于点 把代入中得：，解得： ∴，即： ②对于，令则， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， 把和分别代入得：，解得：， 直线的解析式为， ，且D点的横坐标为， ，则， ， 抛物线开口向下，二次函数有最大值 当时，有最大值，的最大值是， 当时，， ； ③或，理由如下： ∵， ∴， ∵以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H， ∴， ∴， 如图1当以为边作矩形，连接交于点T， 设，，， ，解得：， 过P作轴，垂足为，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 如图2当以为对角线作矩形， 轴，轴， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期随堂练习 九年数学（四）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 月壤砖是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种月壤砖的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，矩形中，点是边的中点，交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 8. 有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点恰好在图像上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点在反比例函数图象上，轴，垂足为点，轴，垂足为点，若矩形ABOC的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线与轴交于点、两点，则线段长是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知：，则________． 12. 若点，都在反比例函数的图象上，则________．（填或） 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 14. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 15. 如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接BF，分别交，DE于点P，Q，R．有下列结论①，②，③，其中正确的有________．（填序号） 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，过点作交于点，延长到，使得，连接交于点，连接，在上取点，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长，，则________． 18. 某商场销售一种商品，每件进价为6元．调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售200件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少10件，且物价部门规定：销售单价大于8元且不能超过12元． （1）商场要想每天获得720元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图象与反比例函数（，）图象交于点，点，与x轴交于点C，将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点D． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）当面积为6，直接写出m的值． 20. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 21. 已知二次函数图象经过点． （1）求的值； （2）若该函数在时，随增大而减小；在时，随增大而增大，请求出的取值范围． （3）在（2）的基础上，二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 22. 【初步探究】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，，延长交的延长线于点G，，， ①求证：； ②求菱形的周长； 【拓展提高】 （3）如图3，在等腰直角中，，点E为边上一点，点D是内一点，，，若，，直接写出的长． 23. 【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的4倍，我们称这个点为“四倍值点”． 【概念理解】 （1）求反比例函数上的“四倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A、B两点（B在A的左边），交y轴于点，该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点，以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． ①求点P的坐标和二次函数的解析式； ②当线段的长度最大时，求D点的坐标； ③若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点H，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $