专题05 二元一次方程组与一次函数（2大知识点+5大考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材北师大版

专题05 二元一次方程组与一次函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程ax + by = c（b≠0）可变形为一次函数y = -x +。 - 二元一次方程组的解，是对应两个一次函数图象的交点坐标。 知识点02 用方程组确定一次函数表达式（待定系数法） 已知一次函数图象上2个点的坐标，设函数表达式y = kx + b，代入坐标列方程组，求解k、b。 【考点1 二元一次方程组与一次函数交点问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·四川南充·期末）在同一平面直角坐系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握函数图象交点的坐标是对应方程组的解．将点代入直线上，求出m的值，再代入求出b的值，再利用加减消元法求出二元一次方程组的解即可． 【详解】解：直线过点， ， ，且过， ， ， 方程组为， 得：， 解得：， 将代入②，解得： 方程组的解为， 故答案为： 【变式3】（24-25八年级下·云南丽江·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，根据两个一次函数的交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与的交点坐标为， 所以关于的方程组的解是， 故答案为：． 【考点2 用二元一次方程组确定一次函数的表达式】 【例2】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴的交点为，点的坐标为，与轴的交点为． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，由正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则，求出后即可判断得解； （）依据题意，把点，代入，则，解得，进而得解； （）依据题意，把代入，则，进而可得，从而可以计算得解． 【详解】（1）解：由题意，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：把点，代入， ∴，解得， ∴； （3）解：依题意，把代入， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【变式2】（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、轴对称求最短路径以及三角形面积的相关计算，熟练掌握待定系数法、轴对称的性质和三角形面积公式是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，将已知点、的坐标代入求解． （2）根据轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，再用勾股定理计算． （3）由，得出，设，分两种情况讨论：当点在左侧时，当点在左侧时，结合图形讨论即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 ∵直线过点， ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为； （3）解：存在， ，， ， ， ， 设， 当点在左侧时，如图1所示： ， 解得：，或（舍去）， ， ； 当点在右侧时，如图2所示： ， 解得：或（舍去）， ， ， 综上可得：或； 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)①点的纵坐标为；点的纵坐标为 ；②或 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值和待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先把点坐标代入直线解析式中求出点的坐标，再把点的坐标代入直线解析式中即可求出的值； （2）①令，分别求出即可得到答案；②根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线：上， ； 点在直线：上， ， ． 的值为，的值为； （2）解：由（1）知直线：， 又直线与直线，分别交于点，， 当时， 点的纵坐标为； 点的纵坐标为． 当 ， ， 即或， 所以或． 【考点3 利用一次函数求二元一次方程组的应用的最值】 【例3】（24-25八年级下·河南商丘·期末）洛阳牡丹文化节期间，某文创店推出特色商品组合促销活动．已知购买2盒牡丹酥和3盒八景糕共需132元，购买1盒牡丹酥和2盒八景糕共需78元． (1)购买1盒牡丹酥和1盒八景糕各需多少元？ (2)某游客准备购买牡丹酥和八景糕共20盒，且八景糕不超过12盒．设购买八景糕盒，所需总费用为元． ①求与之间的函数关系式． ②请你帮该游客设计一种能使总费用最少的方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)购买1盒牡丹酥需要30元，购买1盒八景糕需要24元 (2)①；②购买牡丹酥8盒、八景糕12盒能使总费用最少，最少总费用为528元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的建立与求解，以及一次函数的实际应用．在解题中引入恰当的未知数，判断函数增减性是关键. （1）通过题目中的购买组合信息，设立二元一次方程组，解出牡丹酥和八景糕的单价； （2）①：根据总费用=牡丹酥费用+八景糕费用，再结合两种糕点各自数量和单价，建立总费用与八景糕数量之间的函数关系式； ②：分析函数的单调性，结合变量取值范围确定最小值对应的方案． 【详解】（1）解：设购买1盒牡丹酥需要元，购买1盒八景糕需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1盒牡丹酥需要30元，购买1盒八景糕需要24元． （2）①， 与之间的函数关系式为． ②， 随的增大而减小． ， 当时，的值最小，此时． （盒）． 答：购买牡丹酥8盒、八景糕12盒能使总费用最少，最少总费用为528元． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）为助力莱西打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，某社区计划采购一批相同型号的匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元；若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整现需一次性购买匹克球拍和匹克球数量之和为，匹克球拍不少于副，那么购买匹克球拍多少副时，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元； (2)当购买匹克球拍副时，可使总费用最少，最少费用为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和函数解析式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元，根据购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元；若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于副，求出的取值范围，再根据总费用等于购买匹克球拍和匹克球费用之和列出函数解析式，最后根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元， 由题意得：，解得：． 答：匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元． （2）解：设购买匹克球拍副，则购买匹克球个，总费用为元， 由题意得：，， ， 随的增大而增大， ， 当时，最小，最小值为． 答：当购买匹克球拍副时，可使总费用最少，最少费用为元． 【变式2】（24-25八年级下·河北承德·期末）随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式．某商场抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案： 方案一：买一件运动外套送一件卫衣； 方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打八折． 运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣x件（）．方案一、二所需付款的金额分别为元、元． (1)分别写出，与x之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算； (3)当时，如果用方案一购买a件运动外套，其余用方案二购买，购买总费用为w元，则当a取何值时，所需付款的金额最少？ 【答案】(1)， (2)方案一更划算 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数解析式，一次函数的实际应用． （1）根据题意即可列出一次函数解析式； （2）将分别代入（1）中求得的一次函数解析式，比较得出的结果即可； （3）根据题意列出总费用的代数式，结合a的取值范围，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：当时， ，． ∵， ∴方案一更划算． （3）解：由题意知，， ∵， ∴当时，w的值最小，即所需付款的金额最少． 【变式3】（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元）．为吸引客源，在“十一黄金周”期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元． 普通间（元/人/天） 豪华间（元/人/天） 贵宾间（元/人/天） 三人间 50 100 500 双人间 70 150 800 单人间 100 200 1500 (1)三人间、双人间普通客房各住了多少间？ (2)设三人间共住了人，三人间与双人间一天一共花去住宿费用元表示，写出与的函数关系式； (3)如果你作为旅游团团长，你认为上面这种住宿方式是不是费用最少？为什么？ 【答案】(1)三人间、双人间普通客房各住了8间，13间； (2) (3)不是费用最少，费用最少为时，元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题关键在于能够读懂题意，解出函数解析式． （1）分别设三人间和双人间为x，y，根据人数和钱数列方程组求解； （2）根据收费列出表达式整理即可； （3）利用（2）一次函数的性质，可得到y随着x的增大而减小，x最大为48，而题中安排方式x=24，故不是费用最少． 【详解】（1）设三人间普通客房住了x间，双人间普通客房住了y间， 由题意可得， 解得， ∴三人间、双人间普通客房各住了8间，13间； （2）设三人间共住了x人，则双人间住了人， ∴一天一共花去住宿费用； （3）不是， ∵一次函数， ∴y随着x的增大而减小， ∵x应该为3的倍数， ∴x最大为48， ∴y取最小值时，题中住宿方式三人间人数为48人， ∴不是费用最少，费用最少为时，元． 【考点4 利用一次函数求二元一次方程组的应用中行程问题】 【例4】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 【答案】(1)80千米/小时 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、从函数图象获取信息、求一次函数解析式等知识，数形结合是关键． （1）根据题意结合图象即可得到答案； （2）求出A点的坐标是，B点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出图象与轴还有一个交点为，据此即可补全图象． 【详解】（1）解：∵一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时）， ∴由图象知：慢车速度为80千米/小时； （2）解：两车相遇时是A点，快车行驶的时间为6小时 ∴由图象可知，A点的坐标是，快车到达乙站时是B点， ∴慢车行驶的路程为，快车出发6小时行驶的路程为， ∴B点的纵坐标是， ∴B点坐标为， 设， 得 解得， ∴ （3）解：由（2）可知，快车到达乙站时，慢车还需行驶小时到达乙站， ∴图象与轴还有一个交点为， ∴连接B和点的线段即可补全图象， 如图： 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 【答案】(1)4；9 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息． （1）根据函数图象可知甲5小时匀速行驶了20千米，得到其速度为；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为； （2）乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可； （3）根据函数图象，先求出甲离开A地的距离与时间函数关系式与乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式，然后求出它们的交点，即可求出相遇的时间． 【详解】（1）解：根据图象可知甲的运动速度为：， 乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：， 乙在至之间的速度为：； 故答案为：4；9； （2）设乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：， 由（1）可得：函数过，， ∴，解得：， ∴乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； （3）由（2）知乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； 设甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 由图象可知：函数关系式经过， ∴，解得, ∴甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 联立：，解得：， ∴时，甲、乙二人相遇． 【变式2】（24-25八年级下·广西贵港·期末）南宁、桂林两地相距400千米，甲、乙两人分别开车从南宁出发前往桂林．甲先出发1小时，下图是甲、乙行驶路程（单位：千米）随行驶时间（单位：小时）变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题： (1)分别求出甲、乙行驶路程与时间之间的函数解析式； (2)求出点的坐标（即甲、乙相遇的时间和距离）； (3)在乙的行驶过程中，当为何值时，甲、乙相距50千米？ 【答案】(1)， (2) (3)在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式，求出公共解即可； （3）分甲在乙前面和乙在甲前面讨论，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲的速度为：， 与之间的函数解析式为； 设与之间的函数解析式为， 根据题意得：，解得 ， （2）解：根据题意，得， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：甲在乙前面时，， 解得， 当乙在甲前面时，， 解得， 在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米． 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案． 【答案】(1)快车速度为千米/小时，慢车速度为千米/小时． (2)，自变量的取值范围是． (3)两车出发后经过小时或小时或小时时，相距90千米的路程． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及行程问题中的相遇和追及问题，熟练掌握一次函数的性质和行程问题的基本公式是解题的关键． （1）先求出慢车行完全程所用时间，根据时间 = 路程÷速度，求得慢车速度，从而求得快车速度． （2）先求出快车从甲地到乙地的时间，从而确定点的坐标．然后利用待定系数法求快车返回过程中与的函数关系式． （3）分三种情况讨论两车相距千米的情况：两车相向而行时，还未相遇，路程和为千米．两车相遇后，快车还未返回甲地前，路程和为千米．快车从乙地返回甲地时，两车相距千米． 【详解】（1）解：∵慢车到达甲地的时间为（小时）， ∴慢车的速度为（千米/小时）， 快车速度为（千米/小时）， 答：快车速度为千米/小时，慢车速度为千米/小时． （2）解：快车从甲地到乙地的时间为（小时）， ∴快车中途停了（小时） ∴点的坐标为即． 设快车返回过程中与的函数关系式为， 将和代入，得 解得，， ∴函数关系式为，自变量的取值范围是． （3）解：情况一：两车相向而行，还未相遇，， 解得（小时）． 情况二：两车相遇后，快车还未返回甲地前，， 解得（小时）． 情况三：快车从乙地返回甲地时，， 解得（小时）． ∴两车出发后经过小时或小时或小时时，相距90千米的路程． 【考点5 一次函数、二元一次方程组与几何图形综合问题】 【例5】（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（拓展：若平面直角坐标系内有两点和，则两点间的距离） 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】这道题考查一次函数的综合应用，涵盖求函数解析式、三角形面积计算以及直角三角形存在性问题，数形结合是解题关键． （1）利用点在直线上的坐标关系，先求出点坐标，再用待定系数法确定直线解析式； （2）通过求出直线与坐标轴交点，结合图形，用割补法（或利用三角形面积公式结合坐标差）计算面积； （3）设出点坐标，依据勾股定理，分和两种情况列方程求解，判断轴上满足条件的点是否存在并求出坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将点，代入， 得解得， 直线的解析式为． （2） 如解图1，记直线与轴的交点为点， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入，得，解得， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， ． （3）存在．理由如下： 设点的坐标为， 根据（1），得， 根据（2），得， ，， ． 分以下两种情况讨论： ①如解图2，当时， 在中，存在， 即，解得：， 点的坐标为， ②如解图3，当时， 在中，存在， 即，解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点的面积为；直线与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若直线上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，由的面积为，得到，得，即可得到答案； （2）联立，解得，即得； （3）当在上方时，在中，令得，故；当在下方时，设交轴于，由，知，设，有，即可解得，求出直线解析式为，联立，可解得． 【详解】（1）解：直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点， 令得；令，即，解得； ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴直线的函数解析式为； （2）解：联立， 解得， ∴， ∴， ∴线段的长为； （3）解：当在上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，令得，解得， ∴； 当在下方时，设交轴于，如图所示： ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线， 将代入得， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查一次函数，求一次函数的解析式，正确理解题意是解题关键： （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0，得出随的增大而增大，所以当时，取得最大值为4，再求出，进而得出答案； （3）设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点，所以．求出点的坐标为，再根据求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最大值为4， 将代入， 得， 解得， 所以． （3）存在．如图，设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点， 所以． 将代入， 得， 所以点的坐标为， 所以． 因为， 所以． 因为 ， 解得， 所以点的坐标为． 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知直线与直线交点的坐标为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点坐标与方程组解的关系，熟练掌握两者关系是解决本题的关键． 根据两直线交点坐标与方程组解的关系来求解即可． 【详解】解：已知直线，移项可得； 直线，移项可得，可整理为， ∴直线与直线的交点坐标就是方程组的解， 即． 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）小兴进行滑轮组的拉力测试实验时，将实验得到的无数组拉力和所悬挂物体的重力的关系绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），根据图象判断以下结论不正确的是（   ） A．是的一次函数 B．当拉力时，物体的重力 C．拉力随着物体重力的增加而增大 D．当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图象等知识点，由函数图象直接可以判断选项，设拉力与重力的函数解析式为，用待定系数法求出函数解析式，把时，代入函数解析式求值即可判断选项，掌握数形结合思想以及从函数图象上获取信息是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，是的一次函数，原选项正确，不符合题意； 、设拉力与重力的函数解析式为， ∴，解得， ∴拉力与重力的函数解析式为， 当拉力时，，物体的重力，原选项不正确，符合题意； 、拉力随着物体重力的增加而增大，原选项正确，不符合题意； 、当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为，原选项正确，不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程，都是行进时间的函数，它们的图像如图所示．给出下列结论：乙龙舟队先到达终点；时，甲龙舟队处于领先位置；当时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有次相距．其中正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象、用待定系数法求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据函数图象中的数据找出两支龙舟队之间的路程之间的关系．从两支龙舟队函数图象之间的关系可知乙龙舟队先到达终点；在时，甲龙舟队处于领先位置；当时，乙龙舟队的速度快，根据图象中的数据求出甲、乙两支龙舟队的函数解析式，分、，三段求解，可知两支龙舟队之间的距离不可能达到． 【详解】解：由函数图象可知乙龙舟队先到达终点，故正确； 由函数图象可知，出发后到之前都是甲龙舟队处于邻先地位，故正确； 由函数图象可知，当比赛开始时，乙龙舟队加速，并在到时追上了甲龙舟队， 当时，乙龙舟队的速度快，故错误； 由函数图象可知，甲龙舟队的速度是， 甲龙舟队的函数解析式是， 从出发到时，乙龙舟队的速度是， 这一段的函数解析式是， 乙龙舟队加速后经过点和点， 设此时函数解析式是， 可得：， 解得：， 乙的函数解析式是， 当时，若两个龙舟队相距， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)， 即当时，两个龙舟队不能相距； 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)或(不符合题意，舍去)， 即当时，两支龙舟队不能相距； 当时，乙龙舟队到达终点， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队不可能相距， 故错误； 综上所述，正确结论的序号是． 故选：Ａ． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为 C．关于的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据两个一次函数与y轴的交点坐标即可求出，，进而判断A选项；由图象得到两条直线交于点，即可判断C选项；然后利用三角形面积公式求解即可判断B选项；根据图象得到当时，，且的图象在图象的上面，进而求解即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交于点， ∴， ∵一次函数与y轴交于点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为，故C选项正确，不符合题意； 由图象可得，当时，，且的图象在图象的上面， ∴当从0开始增加时，函数比的值先达到3说法错误，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线与交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数交点的性质和二元一次方程组的解，明白一次函数的交点即为对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 首先根据交点在已知直线上，代入解得交点的坐标，即可得到交点坐标对应的x，y的值就是关于x，y的二元一次方程组的解． 【详解】解：由图可知，直线与交于点， ∴点在直线上， ∴解得：， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ，的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴关于，的方程组的解是，的解是， ∴， 故答案为：，． 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）文博校园科艺节上，同学们在操场进行无人机表演，甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示，表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续 秒． 【答案】24 【分析】 本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机离操场地面的高度y与表演时间x的函数解析式，再分情况讨论，即当时，，当时，，解得x的值，作差即可． 【详解】 解：设， 将，分别代入， 即， 解得：， 则， 设， 将，分别代入， 即， 解得， ， 当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：， (秒）， 答：在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续24s． 故答案为：24． 8．（24-25八年级下·吉林·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．若一次函数的“不动点”为，则 ； ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质，理解“不动点”的定义是解题的关键． 由定义可知一次函数的“不动点”为，，再将点代入即可求出m的值． 【详解】解：一次函数的“不动点”为， ， ， 一次函数的“不动点”为， ， 解得： ． 故答案为：，3． 三、解答题 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E． (1)求E点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了求两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握两条直线的交点坐标的求法是解题的关键． （1）联立，解二元一次方程组，即可确定点坐标； （2）确定点A、点C的坐标，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得， 点坐标为； （2）解：在中，当时，， 点A坐标为， 在中，当时，， 点C坐标为， ， ． 10．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地，两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车的行驶速度是 千米/时，B、C两地之间的距离为 千米； (2)求点M、N的坐标； (3)求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． 【答案】(1)60；360 (2) (3) 【分析】（1）由图象知，根据点F的坐标可求出甲车速度，根据点M的纵坐标可得B、C两地之间距离； （2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地可得点E的坐标，因为乙车匀速行驶且按照原路原速返回，所以乙车从C地到B地和从B地到C地的时间相同，可求出乙车从C地到B地的时间，从而可求出点N坐标； （3）利用待定系数法求解即可． 本题考查了一次函数的实际应用行程问题，结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义是解题关键． 【详解】（1）解：由图象得，甲车的行驶速度是（千米/时），B、C两地之间的距离为360千米； 故答案为：60；360； （2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地， ∴点， 乙车从C地到B地的时间为（小时）， ∴； （3）设直线NE的解析式为y=kx+b， 将和分别代入得， 解得， ∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为． 11．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）12月18日，甘肃省临夏州积石山县发生了级地震，全国各地伸出了援助之手．某物流公司计划租用两种车辆为灾区运输物资．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金90元/次，B型车每辆需租金110元/次，物流公司计划共租用8辆车．已知汽车租赁公司的A型车只剩了6辆，B型车还有很多．设总租车费用w元，租用了a辆A型车，请为物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用． 【答案】(1)3，4 (2)租用6辆A型车和2辆B型车，最少租车费用760元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）写出w关于a的函数关系式，根据该函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时w的值最小，求出w的最小值及此时租用B型车的数量即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意，得， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）解：根据题意，租用了辆B型车，， ，　 ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵， ∴当时，w的值最小，w最小，（辆）， ∴租用6辆A型车和2辆B型车最省钱，最少租车费用是760元． 12．（25-26八年级上·全国·期末）某旅游纪念品商店销售A，B两种伴手礼，已知销售一件A种伴手礼和两件B种伴手礼可获利220元，销售三件A种伴手礼和一件B种伴手礼可获利260元． (1)求每销售一件A种伴手礼和一件B种伴手礼各获利多少元； (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进A，B两种伴手礼共40件，其中A种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为y元．设购进A种伴手礼x件． ①求y与x的函数关系式； ②当购进A种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元 (2)①（）；②当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一次函数的实际应用： （1）设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，根据“销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元”列方程组求解即可； （2）①根据“总利润等于两种伴手礼的利润和”列出函数关系式即可； ②根据题意求出①中函数最大值即可． 【详解】（1）解：设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，依题意得： ， 解得：； 答：种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元． （2）①由题意得： ∴（） ②由题意得：，由①可知，， ∵， ∴随的减小而增大， ∵， ∴当时，有最大值 ∴； 答：当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元． 13．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距450米的处（，在同一直线上）巡逻，安安警官比全全警官先出发，且速度保持不变，全全警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、全全警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示_________警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警官提速后的速度，并求，的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警官加速后经过________秒追上安安警官． 【答案】(1)全全 (2)米/秒； (3) (4)7 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出全全提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出各段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法求解即可； （4）利用待定系数法求所在直线的函数解析式，与所在直线的函数解析式联立，求出交点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象， 故答案为：全全； （2）解：全全提速前速度为：（米/秒）， 全全提速后速度为：（米/秒）， 段经过的时间为：（秒）， ， 当时，安安警官的路程为310米， ∴安安警官的速度为（米/秒）， ∴； （3）解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴折线①中线段所在直线的函数解析式为； （4）解：设所在直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴所在直线的函数解析式为， 联立， 解得， ∴时，全全警官追上安安警官， （秒）， ∴全全警官加速后经过7秒追上安安警官． 故答案为：7． 14．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，过点作直线，交于点，交轴于点． (1)求证：； (2)求点的坐标； (3)如图2，是线段上一动点（不与点，重合），，交于点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 (3)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质、一次函数与二元一次方程组、全等三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式等知识点，运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入直线求出，得出直线的解析式为，求出直线与x轴的交点即可得出点A的坐标可得，再说明；再说明、，然后根据证明结论即可； （2）先运用待定系数法求得直线的解析式为，然后联立即可求出点D的坐标； （3）新运用证明，然后运用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：把代入直线得：， 直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ； ， ， ， ， ∵， ． （2）解：设直线的解析式为，把代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， 点的坐标为． （3）解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 15．（24-25七年级下·广东汕尾·期末）【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，． 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示． 探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解：_______． （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线；设方程的图象与x，y轴的交点分别是A，B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C，D，计算的度数． 【拓展应用】 （3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解：________． 【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，；（3） 【分析】此题考查了二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可； （2）根据关于，的二元一次方程无解得到两条直线平行，然后得到直线经过点，然后画出图象即可；然后根据平行线的性质求解即可； （3）首先得到直线经过点，然后得到直线即为直线，得到是方程的一个解，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； 由图象可知，直线与直线交于点， ∴同时是方程和方程的解， ∴是方程组的解， 故答案为：； （2）∵方程组无解， ∴直线与直线没有交点， ∴直线与直线平行， 在方程中，当时，， ∴直线经过点， 如图所示，直线和直线即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示， 在方程中，当时，则，即此时， ∴是方程的解，即直线经过点； ∴直线为直线或直线中的一条， 把代入方程中，左边，方程左右两边不相等， ∴不是方程的解，即直线不经过点， ∴直线即为直线 ∴直线为直线， 在方程中，当时，则，解得， ∴是方程的一个解， ∵直线与直线的交点横坐标为3， ∴直线与直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． 【问题提出】 （1）求直线的函数表达式； 【初步探究】 （2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值． 【答案】（1）；（2）或 ；（3） 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求直线围成的图形面积，用勾股定理解三角形等知识，解题的关键掌握上述知识点并能运用求解． （1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答； （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答； （3）连接，由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】(1) 解：将代入，则， ∴点C的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； (2) 存在． 令，解得， ∴点B的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 当时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； (3) 如图，连接， ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05二元一次方程组与一次函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 围重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 食举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 ②复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 卜》思维导图串知识 知识点01二元一次方程与一次函数的关系 知识点 知识点02用方程组确定一次函数表达式（待定系 数法) 二元一次方程组与 【考点1二元一次方程组与一次函数交点问题】 一次函数 【考点2用二元一次方程组确定一次函数的表达式】 【考点3利用一次函数求二元一次方程组的应用的最值】 考点 【考点4利用一次函数求二元一次方程组的应用中行程问题】 【考点5一次函数、二元一次方程组与几何图形综合问题】 重点速记 同知识点01二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程a心+by=c(b≠0)可变形为一次函数y=号r+号。 ·二元一次方程组的解，是对应两个一次函数图象的交点坐标。 同知识点2用方程组确定一次函数表达式（待定系数法） 已知一次函数图象上2个点的坐标，设函数表达式y=+b,代入坐标列方程组，求解k、b。 》核心考点举一反三《《 【考点1二元一次方程组与一次函数交点问题】 y-3x+3=0 【例1】（24-25八年级上陕西西安·期末)己知方程组 (2y+3x-6=0的解为 3,则一次函数 y=1 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=3x-3与y= 2r+3的交点P的坐标是 【变式1】(24-25八年级上广东茂名期末)如图，直线(：y=x+1与直线：y=mr+n相交于点P,则 y=x+1 方程组 的解是 v=mx+n 【变式2】（24-25八年级下·四川南充期末)在同一平面直角坐系中，直线y=2x+4与y=x+b相交于点 2x-y+4=0 A1,m,则关于x,y的方程组 x-y+b=0 的解为一 【变式3】(24-25八年级下·云南丽江·期末)在平面直角坐标系中，一次函数l:y=kx+b和l2:y=k2x+b2 y=kx+b 的图象如图所示，则关于x,y的方程组 的解为」 y=k2x+b2 210/1 234x 【考点2用二元一次方程组确定一次函数的表达式】 【例2】(24-25八年级下·四川南充期末)如图，己知一次函数y=x+b的图象交正比例函数y=2x于 P(m,4,交y轴于点B(0,2),交x轴于点A. (1)求该一次函数解析式： (2)求△AOP的面积。 【变式1】(24-25八年级下·黑龙江七台河·期末)如图，正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=c+b的 2/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图象交于点P(m,3),一次函数的图象与y轴的交点为B,点B的坐标为0,2)，与x轴的交点为A. y-kx+b y=-3x (①)直接写出点P的坐标为 (2)求一次函数的解析式； (3)求aP0A的面积 【变式2】(23-24八年级下·云南西双版纳期末)如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为y=-x, 直线与Z交于点A(-2,2),与y轴交于点B(0,3). B (1)求直线马的解析式： (2)点D在x轴上，求AD+BD的最小值； 1 (③)在直线6上是否存在一点P,使得So=50,若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 【变式3】(24-25八年级上浙江杭州·期末)如图，直线1：y=2x+1与直线Z:y=mx+4相交于点 P1,b). l,:y=2x+1 2:y=mx+4 (1)求b,m的值； (2)垂直于x轴的直线x=a与直线I,2分别交于点C,D, ①求出点C、点D的纵坐标（用含字母a的代数式表示）； ②若线段CD长为6，求a的值. 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【考点3利用一次函数求二元一次方程组的应用的最值】 【例3】(24-25八年级下·河南商丘·期末)洛阳牡丹文化节期间，某文创店推出特色商品组合促销活动.已 知购买2盒牡丹酥和3盒八景糕共需132元，购买1盒牡丹酥和2盒八景糕共需78元. (1)购买1盒牡丹酥和1盒八景糕各需多少元？ (②)某游客准备购买牡丹酥和八景糕共20盒，且八景糕不超过12盒.设购买八景糕x盒，所需总费用为w元： ①求w与x之间的函数关系式 ②请你帮该游客设计一种能使总费用最少的方案，并求出最少总费用. 【变式1】(24-25七年级下·山东青岛期末)为助力莱西打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，某社 区计划采购一批相同型号的匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个），若购买2副匹克球拍和5个匹克 球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元， ()求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (②)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整现需一次性购买匹克球拍和匹克球数量之和 为50，匹克球拍不少于5副，那么购买匹克球拍多少副时，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【变式2】(24-25八年级下·河北承德·期末)随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来 越多的人把健身作为一种时尚的生活方式.某商场抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案： 方案一：买一件运动外套送一件卫衣； 方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打八折。 运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元.在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外 套100件，卫衣x件(x≥100)·方案一、二所需付款的金额分别为片元、元. (1)分别写出片，与x之间的函数表达式： (2)当x=150时，通过计算比较这两种方案哪种更划算： (3)当x=300时，如果用方案一购买a件运动外套，其余用方案二购买，购买总费用为w元，则当a取何值 时，所需付款的金额最少？ 【变式3】(23-24八年级上·甘肃张掖期末)某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据 如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元），为吸引客源，在“十一黄金周”期间进行优惠大酬宾， 凡团体入住一律五折优惠.一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通 客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元 普通间（元/人/天） 豪华间（元/人/天） 贵宾间（元/人/天） 三人间 50 100 500 双人间 70 150 800 单人间 100 200 1500 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)三人间、双人间普通客房各住了多少间？ (2)设三人间共住了x人，三人间与双人间一天一共花去住宿费用y元表示，写出y与x的函数关系式： (3)如果你作为旅游团团长，你认为上面这种住宿方式是不是费用最少？为什么？ 【考点4利用一次函数求二元一次方程组的应用中行程问题】 【例4】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末)甲、乙两地相距720km,一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙 地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶.已知快车的速度是120kmh,以快车开始行驶时开始计时（两 车都到乙站停止计时)，设时间为xh),两车之间的距离为y(k),图中的折线是y与x之间的函数关系的 部分图象 根据函数图像回答下列问题： y/km B 80 2 4 6810127h (1)求慢车的速度； (②)求两车相遇，到快车到达乙站时，y与x的函数关系式；并指出x取值范围： (3)试在图中补全点B以后的图象， 【变式1】(24-25八年级下·河北张家口·期末)已知A、B两地相距20km,甲、乙两人沿同一条路线从A 地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以2kmh的速度匀速步行1小时后为提高 速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A地的距离y(km)与甲出发的 时间t(h)的关系如图所示. ◆y/km 甲 20 012 45 t/h ()甲的运动速度是 km/h;乙在2h至4h之间的速度是km/h; (②)求乙提速后离开A地的距离y(km)与时间t(h)的函数关系式， (3)求甲、乙二人相遇的时间. 【变式2】（24-25八年级下·广西贵港期末)南宁、桂林两地相距400千米，甲、乙两人分别开车从南宁 出发前往桂林，甲先出发1小时，下图是甲、乙行驶路程y(单位：千米)随行驶时间x(单位：小时)变 5/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 化的图象.请结合图象信息，解答下列问题： y/km 400 56末 (①)分别求出甲、乙行驶路程y与时间x之间的函数解析式： (2)求出点C的坐标（即甲、乙相遇的时间和距离）； (3)在乙的行驶过程中，当x为何值时，甲、乙相距50千米？ 【变式3】(24-25九年级上·黑龙江佳木斯期末)快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发， 沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地.慢车到达甲地比 快车到达甲地早，小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发 地的路程y(千米)与所用时间x(小时)的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： y(千米) 180-- B C x小时) (1)请直接写出快、慢两车的速度： (②)求快车返回过程中y(千米)与x(小时)的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (3)两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案。 【考点5一次函数、二元一次方程组与几何图形综合问题】 【例5】(24-25八年级下·全国期末)如图，直线AB:y=2x-2与直线AC交于点A(3,),与y轴交于点 B,直线AC与x轴交于点C(6,O),连接BC. B (I)求直线AC的解析式： 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求ABC的面积： (3)在x轴上是否存在一点P,使得△ABP是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由.（拓展：若平面直角坐标系内有两点M(x,y)和N(x2,y2),则M,N两点间的距离 MN=+(y-y2)) 【变式1】(24-25八年级下·全国·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：y=x-8k与x轴相交于点A, 与y轴正半轴相交于点B,aA0B的面积为16；直线1：y=。x与直线相交于点C. B (①)求直线的函数解析式： (2)求0C的长： (3)若直线上有一点P,满足LPBA=LBA0,求点P的坐标. 【变式2】(25-26八年级上·全国·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=-x+5与y轴、x轴分别 交于A,B两点，直线4与y轴交于点C(0,4,与交于点D(3,2). B (1)求直线马的函数表达式： (2)当2≤x≤a时，2的函数最大值为4，求a的值； (3)连接BC,在第一象限内，直线Z上是否存在一点P,使得ABC和△BCP的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由. P复习提升 一、单选题 7/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2425八年级上四川成都期未)已知直线y=3x-3与直线)=+3交点的坐标为（传制， 则方程 「-3x+y+3=0 组 的解是() 3x+2y-6=0 x3 4 X= A. y=-1 y=1 4 4 x=- 3 3 y=-1 y=1 2.(24-25八年级下·云南红河·期末)小兴进行滑轮组的拉力测试实验时，将实验得到的无数组拉力F(N)】 和所悬挂物体的重力G(N)的关系绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），根据图象判断以下结论不正 确的是() FN 3 2.5 2 1.5 0.5 O12345GN A.F是G的一次函数 B.当拉力F=2N时，物体的重力G=2.5N C.拉力F随着物体重力G的增加而增大 D.当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为1N 3.(23-24八年级上江苏宿迁·期末)在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y,m),y2m)都是行 进时间xmin)的函数，它们的图像如图所示.给出下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②1.5min时，甲龙 舟队处于领先位置，③当2<x<0时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快，④在比赛过程中，甲、乙 两支龙舟队恰有3次相距150m.其中正确结论的序号是() A y/m 1050 700 300 150 12 104.55x/min A.①② B.①②③ C.①②④ D.①③④ 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(23-24八年级上广东深圳期末)一次函数y=x+b与y=mx+n的图象如图所示，则下列说法不正确 的是() A y=kx+b 4 y=mx+n 2 O 3 -1 A.b=-1,n=2 B.这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为4.5 y=kx+b [x=3 C.关于x,y的方程组 的解为 y=mx+n y=4 D.当x从0开始增加时，函数y=+b比y=mx+n的值先达到3 二、填空题 5.(25-26八年级上全国期末)如图，直线y=kx+b(k≠0)与y=x+2交于点M(m,4),则关于x,y的 kx-y=-b 二元一次方程组 的解是 y-x=2 y=kx+b y=x+2 4 M 6. (24-25八年级下·湖北武汉·期末)若直线y=k+b与y=cx+2交于点1,4)，则关于x,y的方程组 y=kx+b y=cx+2的解是一， y+2=k(x-1+b Uy+2=c(x-+2的解是 7.(24-25八年级下·福建福州·期末)文博校园科艺节上，同学们在操场进行无人机表演，甲、乙两架无人 机离操场地面的高度y(单位：米)与表演时间x(单位：秒)的图象如图所示，表演开始时甲、乙离地的 高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续秒。 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 60 20 8.(24-25八年级下吉林期末)定义：我们把一次函数y=x+b(k≠0)与正比例函数y=x的交点称为一 次函数y=x+b(k≠0)的不动点”，例如求y=2x-1的“不动点”；联立方程 2,则 y=2x-1的“不动点”为1,1.若一次函数y=mx+n的“不动点”为2，n-1),则m=: 三、解答题 9.(24-25八年级下·湖南长沙期末)如图，直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线 1 y=- x+1与x轴交于点C,与y轴交于点D,两直线交于点E. 2 O C (1)求E点的坐标： (2)求△AEC的面积. 10.(23-24八年级下·贵州黔东南期末)在一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，驶向C地， 同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比 乙车晚1.5小时到达C地，两车距各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示 请结合图象信息解答下列问题： y(千米) 600 M 360 0 E10x(小时) ()甲车的行驶速度是_千米/时，B、C两地之间的距离为_千米； (2)求点M、N的坐标； (3)求乙车从B地返回C地的过程中，y(千米)与x(小时)之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取 10/13