期末专题06 相似的九类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上学期

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题06相似的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、成比例线段 类型二、平行线分线段成比例 类型三、相似多边形 类型四、相似三角形的判定 类型五、利用相似三角形测高 类型六、利用相似三角形的性质求解 类型七、相似三角形的判定与性质综合 类型八、图形的位似 类型九、相似三角形--一动点问题 压轴专练 典例详解 类型一、成比例线段 1.找准对应关系，灵活设元 明确比例线段的对应端点，避免混淆顺序。遇到比例未知时，设公比为k,将线段长度转化为含k的代数 式，代入已知条件求解k,进而得到线段长度。 2.巧用性质转化，结合图形 熟练运用比例的基本性质（内项积等于外项积）、合比性质、分比性质化简等式。若涉及几何图形，结合 平行线分线段成比例定理或相似三角形性质，将分散的线段比例关联起来，化难为易。 例1.2324八年级下山东斯末)若号子，则下列式子成立的是() A.少= D.+24 x+y 3 B.+y=5 C.+y=5 x-y y+35 【变式1-1】(24-25八年级下·黑龙江大庆期末)对于线段a,b,如果a:b=2:3,那么下列四个选项一定 正确的是() A.2a=3b B.b-a=1 C a+b 5 b-2 .8品。2 【变式1-2】2526九年级上河南平顶期末)考分名6-1+2/*0，则7 1/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a-c+2e b-d+2f 【变式1-3】(24-25九年级上广西百色期末)根据已知条件，求下列比的结果. ()已知0-b-3 68,求的值 b (2)已知x=y-2 2 类型二、平行线分线段成比例 1.找平行线构比例 先识别图中平行线，确定被截的两条直线，依据定理直接写出对应线段比例式；若平行线不明显，可作 辅助平行线，构造符合定理的基本图形，注意线段的对应关系，避免混淆。 2.结合相似三角形转化 平行线分线段成比例常与相似三角形结合，由平行线证三角形相似，将比例式转化为相似三角形的对应 边比例，或利用比例式求未知线段长，计算时注意等量代换简化过程。 例2.(2425八年级下·吉林长春期末)如图，a∥b∥c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分 别交a,b,c于点D,E,F,若AB=6,BC=4,EF=3,则线段DE的长为() E A.1.5 B.4.5 C.7.5 D.10.5 【变式2-1】(24-25九年级上河南开封期末)如图，点D在ABC的AB边上，DE∥BC交AC于点E.若 AD=2.5,AE=2,EC=4,则BD=() B A.3 B.4 C.5 D.6 【变式2-2(24-25九年级上四川成都期末)如图，4∥12∥13，DE=3,EF=4,AB=2,则AC的长为 2/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 【变式2-3】(24-25九年级上贵州毕节·期末)如图，AD∥BE∥CF,它们依次交直线m,n于点A,B,C和 点DE,且S子4C=15,求BC的K m 17 A B E 在类型三、 相似多边形 1.抓定义判定相似 紧扣相似多边形“对应角相等、对应边成比例”的核心定义，先通过角的关系（如直角、平行线的同位 角/内错角)判断对应角是否相等，再计算对应边的比值，验证是否为定值，注意对应顶点的顺序不能颠 倒。 2.用性质求解未知量 若己知多边形相似，先明确对应边和对应角，利用对应角相等直接求角度；借助对应边成比例列方程， 代入已知边长求解未知线段长度，计算时注意统一单位，比值化简要彻底。 例3.(24-25九年级上·河南新乡期末)如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是() 2.5 1.5 乙 丙 入 A.甲和乙 B.乙和丙 C.丙和丁 D.甲和丁 【变式3-1】(24-25八年级下山东威海期末)下列图形一定相似的是() A.两个矩形 B.两个正方形 C.有一个角是40°的两个等腰三角形D.两个菱形 【变式3-2】(25-26九年级上全国期末)如图，矩形A'B'CD'在矩形ABCD内，CD与CD,AB 与AB'之间的距离都为1，AD与A'D',BC与B'C'之间的距离都为x,已知AB=30,BC=20, 3/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当x= 时，矩形ABCD∽矩形A'B'CD'. D D' C A B' B 【变式3-3】(24-25九年级上·四川宜宾·期末)九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长BC=13厘 米，宽AB=6厘米，想在AD边上找点E,作EF∥AB,交BC于点F,使矩形ABFE∽矩形DEFC(不全等) D B F (I)求AE的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够， 请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由， 类型四、相似三角形的判定 1.选判定定理定思路 优先观察角的关系，若有两组对应角相等，直接用A4判定；若只有一组等角，证夹边成比例用S4S判 定；三边均己知时，证三边对应成比例用SSS判定，注意对应边、角的匹配。 2.借辅助线构基础图形 遇无直接关联的角或边时，作平行线构造同位角、内错角，或连接线段拆分图形，转化出符合判定定理的 条件，同时结合公共角、对顶角等隐含条件简化证明。 例4.(2425八年级下·吉林长春期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠A=∠D,E是AD的中点， CD=DE.求证：△4BE△DEC. 【变式4-1】(23-24九年级上·陕西咸阳·期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，BE 平分∠ABC,且分别与AC,CD相交于点E,F.求证：△AEB∽△CFB. 4/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D B 【变式4-2】(24-25九年级上·甘肃嘉峪关期末)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD,垂足 为E,连接AE,F为AE上一点，且∠BFE=∠C. B D E (I)求证：△ABF∽△EAD: (②)若AE=4,∠BAE=30°，求AB的长 【变式4-3】(24-25九年级上湖南湘潭期末)如图，在ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点， 且满足∠ADE=∠B. B D (I)求证：△ADBn△AED. (2)若AB=10,AD=6,求AE的长 类型五、利用相似三角形测高 1.选模型建相似关系 优先选平行投影模型（如同一时刻物体与影子）或标杆模型，确定被测物体、参照物（标杆/人影）与光 线构成的相似三角形，明确对应边：物体高对应参照物高，物体影长对应参照物影长。 2.列比例求未知高度 依据相似三角形对应边成比例列方程，代入己知的影长、参照物高度等数据，计算时统一单位，注意排 除障碍物遮挡等干扰因素，若有坡度需调整模型，保证三角形相似的前提成立。 例5.(24-25八年级下·山东烟台期末)如图，一棵树的顶梢点A的影子落在台阶的G点处·若台阶 CD=EF=HG=0.2m,DE=FG=0.4m,台阶在地面的影子QM=0.45m,树的底部到台阶的距离 BC=1.9m,则这棵树的高度AB为() 5/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 HP EG小 C OM A.3.2m B.3.6m C.4m D.4.2m 【变式5-1】(24-25九年级下·全国期末)如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高 度AB=60cm,台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm,支撑钢梁DE⊥AC,且D为BC的中点，则钢梁 DE的长为 舞台 台阶 B 【变式5-2】(24-25九年级上·广东深圳期末)如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去 一部分液体后如右侧图所示，此时液面AB= 6cm 5cm 11cm 7cm 水平线 【变式5-3】(2425九年级上·全国·期末)开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951 年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到 现场测量开封铁塔AB的高度，如图，在地面BC上取E、G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和GH,两 标杆间隔27m,并且开封铁塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D 处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆GH走3m到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线. 独立思考： (1)该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认 为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决 6/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度， H 类型六、利用相似三角形的性质求解 1.找相似模型：优先识别平行线型、相交线型、母子型等常见相似三角形模型，结合“两角分别相等”“两 边成比例且夹角相等”快速判定相似，再利用对应边成比例、对应角相等建立等式。 2.设参转化：遇边长未知时，设公共边或关联边为参数，借助相似比列方程消参求解；遇复杂图形，可 通过作平行线构造新的相似三角形，简化线段关系。 例6.(24-25九年级上·湖南衡阳期末)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与 DC交于点H,若AB=9,CE=3,则DH的长为() D B A.2 B.3 c n3 【变式6-1】(25-26九年级上河南平顶山期末)在ABC中，AD是高，矩形POMN的顶点P、N分别在 AB、AC上，QM在边BC上，若BC=8cm,AD=6cm,且PW=2PQ,则PN的长为() B D M C A.4cm B.4.8cm C.5cm D.5.6cm 【变式6-2】(25-26九年级上江苏泰州期末)如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD, ∠ACD=∠B,∠C4D、∠BAC的平分线分别交CD、CB于E,F,则F的值为 AE 7/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E 【变式6-3】(25-26九年级上·全国期末)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC,点D 在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F,交BC于点G,且 ∠F=2∠B. D A B (I)求证：DF是⊙O的切线： (2)求证：FC=FG; (3)若A0=2AD=10,GE=V5,求FG的长 类型七、相似三角形的判定与性质综合 1.先判定再用性质 先通过AA、4S、SSS判定定理证三角形相似，找准对应顶点、对应边和对应角；再利用相似三角形对应 边成比例、对应角相等、周长比等于相似比等性质，建立等式求解未知量，避免对应关系混淆。 2.双向转化破题 遇复杂图形时，可由性质逆推判定条件，或结合辅助线构造相似模型；涉及比例线段时，巧用等量代换、 等比性质转化，将分散的线段关系集中，简化计算过程。 例7.(2025九年级上全国专题练习)如图三角形ABC,BC=12,AD是BC边上的高AD=8.P,N分 别是AB,AC边上的点，Q,M是BC上的点，连接POMN,PN交AD于E.求： B DM DM DM 图 图二 备用图 (1)若四边形POMN是正方形，求PQ的长（图一）： 8/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若四边形PQMW是矩形，且PQ:PV=1:2.求PQ、PN的长（图二）： (3)若四边形PQMN是矩形，求当矩形POMW面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长， 【变式7-1】(25-26九年级上四川眉山期末)【基础巩固】(1)如图1，在ABC中，∠ACB=90°， AC=BC,D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF=45°.求证：AC·BF=AD·BD; 【尝试应用】(2)如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°，若AC=9, BF=8,求线段CF的长 【拓展提高】(3)在ABC中.AB=4√，∠B=45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在 BC上，点E在AC上.若CE=2V5,求CD的长 B D 图1 图2 图3 【变式7-2】(25-26九年级上·全国期末)【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这 个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形 的完美分割线。 图1 图2 图3 备用图 (1)【应用】 如图1，ABC中，AC=3,AB=4,BC=2,D是AB上一点，BD=1,求证：CD是ABC的完美分割 线 (2)如图2，菱形ABCD中，AB=4,点E是边CD中点，点F是边BC上一点，连接AF交线段BE于G,若 BG是△ABF的完美分割线，且AB=AG,求FG的长； (3)如图3，矩形ABCD中，点O是DB的中点，E为射线DA上的动点，连接EO并延长交射线BC于F,，G 是射线OB上一点，LGF0=LDF0,若G0是△EGF的完美分割线，请直接写出OG 的值 OD 【变式7-3】(24-25九年级下·全国期末)【图形感知】如图①，在四边形ABCD中，已知 ∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2,AB=4. 9/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ① ② (I)求CD的长； (2)【探究发现】老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究. 在线段CD上取一点E,连接BE.将四边形ABED沿BE翻折得到四边形ABED',其中A',D'分别是A,D的 对应点，其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D'恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点F,如图②.判断四边形DBA'F的形状，并说明理由； ②乙：点A恰好落在边BC上，如图③.求DE的长； (3)如图④，连接DD'交BE于点P,连接CP,当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存 在，直接写出；若不存在，说明理由。 类型八、图形的位似 1.抓位似核心要素解题 紧扣位似图形“对应顶点连线交于位似中心、对应边平行或共线、对应边成比例”的特点，先确定位似 中心与位似比，再根据比例关系计算未知线段长度，注意区分位似图形的正、反方向。 2.结合坐标法简化运算 平面直角坐标系中，利用位似图形坐标变化规律（原坐标乘位似比得新坐标）求解，若位似中心不在原 点，先平移坐标系将中心移至原点，计算后再还原坐标，降低解题难度。 例8.(25-26九年级上湖南娄底期末)如图，ABC与△A'B'C'位似，点0为位似中心，若0C:0C'=2:3 ,则S。KRC SABC=（） A.2:3 B.9:4 C.4:9 D.3:2 【变式8-1】(25-26九年级上·辽宁沈阳·期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，ABC与aDEF是位似图 形，位似中心为点0.若点A的坐标为3,1，点D的坐标为6,2)，△ABC的面积为3，则aDEF的面积的值 为」 10/17 期末专题06 相似的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、成比例线段 类型二、平行线分线段成比例 类型三、相似多边形 类型四、相似三角形的判定 类型五、利用相似三角形测高 类型六、利用相似三角形的性质求解 类型七、相似三角形的判定与性质综合 类型八、图形的位似 类型九、相似三角形----动点问题 压轴专练 类型一、成比例线段 1. 找准对应关系，灵活设元 明确比例线段的对应端点，避免混淆顺序。遇到比例未知时，设公比为k，将线段长度转化为含k的代数式，代入已知条件求解k，进而得到线段长度。 2. 巧用性质转化，结合图形 熟练运用比例的基本性质（内项积等于外项积）、合比性质、分比性质化简等式。若涉及几何图形，结合平行线分线段成比例定理或相似三角形性质，将分散的线段比例关联起来，化难为易。 例1．（23-24八年级下·山东·期末）若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，运用设参法，解题关键是准确应用比例性质设参，易错点是设参后计算或比例变形失误，解题思路是通过设，（）代入各选项分析． 【详解】解：∵， ∴设 ，（）． A．，不成立； B．，成立； C．，不成立； D．（当 时），且当 时分式无意义，不成立； 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意； C、由，设， ∴，故C错误， D、，故D正确 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质． 利用比例的性质，设公共比值为，得到，，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴可设公共比值为， 则，，， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·广西百色·期末）根据已知条件，求下列比的结果． (1)已知，求的值； (2)已知，则的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据已知可得，即可作答． （2）先设，则得，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ （2）解：依题意，设， ∴， ∵， 类型二、平行线分线段成比例 1. 找平行线构比例 先识别图中平行线，确定被截的两条直线，依据定理直接写出对应线段比例式；若平行线不明显，可作辅助平行线，构造符合定理的基本图形，注意线段的对应关系，避免混淆。 2. 结合相似三角形转化 平行线分线段成比例常与相似三角形结合，由平行线证三角形相似，将比例式转化为相似三角形的对应边比例，或利用比例式求未知线段长，计算时注意等量代换简化过程。 例2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点D在的边上，交于点E．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据得代入解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值求值，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴ 故答案为： 【变式2-3】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，，它们依次交直线于点和点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，由，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵，即， 解得，， 类型三、相似多边形 1. 抓定义判定相似 紧扣相似多边形“对应角相等、对应边成比例”的核心定义，先通过角的关系（如直角、平行线的同位角/内错角）判断对应角是否相等，再计算对应边的比值，验证是否为定值，注意对应顶点的顺序不能颠倒。 2. 用性质求解未知量 若已知多边形相似，先明确对应边和对应角，利用对应角相等直接求角度；借助对应边成比例列方程，代入已知边长求解未知线段长度，计算时注意统一单位，比值化简要彻底。 例3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 时，矩形矩形． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边成比例． 先根据题意得出，，再根据相似的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ， ∴， ∵矩形矩形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)4或9 (2) 【分析】（1）根据矩形矩形得到，然后代数求解即可； （2）设，，，根据矩形矩形得到，得到，，然后根据一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴厘米，厘米， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4或9； （2）解：设，， ∵矩形矩形 ∴ ∴ 整理得， 根据题意得， ∴ ∴（负值舍去） 原矩形的长与宽的比值k的取值范围为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质，一元二次方程的判别式，解分式方程，根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 类型四、相似三角形的判定 1. 选判定定理定思路 优先观察角的关系，若有两组对应角相等，直接用 AA 判定；若只有一组等角，证夹边成比例用 SAS 判定；三边均已知时，证三边对应成比例用 SSS 判定，注意对应边、角的匹配。 2. 借辅助线构基础图形 遇无直接关联的角或边时，作平行线构造同位角、内错角，或连接线段拆分图形，转化出符合判定定理的条件，同时结合公共角、对顶角等隐含条件简化证明。 例4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边上的高，平分，且分别与相交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据互余可得，再由角平分线得到，即可证明． 【详解】证明：∵是边上的高， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 【变式4-3】（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在中，是角平分线，点是边上一点，且满足． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，结合即可得证； （2）由相似三角形的性质可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ； （2）解：∵， ， ，， ，        故． 类型五、利用相似三角形测高 1. 选模型建相似关系 优先选平行投影模型（如同一时刻物体与影子）或标杆模型，确定被测物体、参照物（标杆/人影）与光线构成的相似三角形，明确对应边：物体高对应参照物高，物体影长对应参照物影长。 2. 列比例求未知高度 依据相似三角形对应边成比例列方程，代入已知的影长、参照物高度等数据，计算时统一单位，注意排除障碍物遮挡等干扰因素，若有坡度需调整模型，保证三角形相似的前提成立。 例5．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ，， ， ， 由题意得∽， ，即， ， ， 故选：． 【变式5-1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为 ． 【答案】/24厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 根据题意可知高脚杯前后的两个三角形相似，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， 由题意可知， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 类型六、利用相似三角形的性质求解 1. 找相似模型：优先识别平行线型、相交线型、母子型等常见相似三角形模型，结合“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”快速判定相似，再利用对应边成比例、对应角相等建立等式。 2. 设参转化：遇边长未知时，设公共边或关联边为参数，借助相似比列方程消参求解；遇复杂图形，可通过作平行线构造新的相似三角形，简化线段关系。 例6．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，，，得到，可证，得到，计算即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点在正方形的边上， ∴，，，， ，， ， ， ， ， 故选：D ． 【变式6-1】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在边上，若，，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据矩形的性质，得到，，证明，列出比例式，设，则，，代入比例式，进行求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设，则，． ∵， ∴， 解得． ∴， 故选：B． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质解题即可． 【详解】解：在与中， ∵，， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是与对应角、的平分线， ∴， ∴． 故答案为： 【变式6-3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的判定及性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，可知，得，进而可证得，证明，进而可证得结论； （2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，证明，进而解题； （3）由（1）得，勾股定理求得，进而证明∽，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴是的切线； （2）证明：由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴，由（1）得，， ∵，， ∴∽， ∴， 设， 由（2）可得， ∴， 解得：， ∴． 类型七、相似三角形的判定与性质综合 1. 先判定再用性质 先通过AA、SAS、SSS判定定理证三角形相似，找准对应顶点、对应边和对应角；再利用相似三角形对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比等性质，建立等式求解未知量，避免对应关系混淆。 2. 双向转化破题 遇复杂图形时，可由性质逆推判定条件，或结合辅助线构造相似模型；涉及比例线段时，巧用等量代换、等比性质转化，将分散的线段关系集中，简化计算过程。 例7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E．求： (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求、的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长． 【答案】(1)4.8 (2)， (3)最大面积是24，此时， 【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的性质和矩形的性质，利用相似三角形的性质构建方程是解题关键． （1）与交于于E，设，则，再证明，利用相似比可求出正方形边长； （2）设长方形的，则，由，利用相似比列方程即可得到结果； （3）设，矩形的面积为S，利用得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值． 【详解】（1）解：设正方形的边长为x， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴正方形的边长是； （2）设，则，由（1）得， ∴，即，解得， ∴，； （3）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，矩形的面积为S， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴当时，S的最大值为24， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是24，此时，． 【变式7-1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 【变式7-2】（25-26九年级上·全国·期末）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线． (1)【应用】 如图，中，，，，是上一点，，求证：是的完美分割线； (2)如图，菱形中，，点是边中点，点是边上一点，连接交线段于，若是的完美分割线，且，求的长； (3)如图，矩形中，点是的中点，为射线上的动点，连接并延长交射线于，是射线上一点，，若是的完美分割线，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据“完美分割线”定义即可求出答案； （2）根据菱形“对边平行且相等”性质，结合的等腰条件，推出；再通过证明，得到．由“是完美分割线”，得，从而得到比例关系；设，结合列方程，解出的长度； （3）分情况讨论：①当或时，结合正方形性质推导；②当时，根据相似三角形的比例关系推导；③当时，结合角平分线性质与相似比例进行分析，最终通过相似三角形的对应边比例，得出的值． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ，，， ， 是的完美分割线； （2）解：菱形， ，， ， ， ， ， 是的完美分割线，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 即． 答：． （3）解：①当或时，如图： 则四边形是正方形， ； ②当时，如图： 设， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ③当时，如图 此时， 同理可得， ， ， ， ，即， ， ， ， 平分， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为或或． 答：或或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，菱形、矩形的性质，新定义问题的理解与应用，将“完美分割线”的定义转化为几何条件是解题关键． 【变式7-3】（24-25九年级下·全国·期末）【图形感知】如图①，在四边形中，已知． (1)求的长； (2)【探究发现】老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点E，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中分别是的对应点．其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点F，如图②．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图③．求的长； (3)如图④，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①矩形，理由见解析；② (3)存在，线段的最小值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、图形的折叠性质、矩形和正方形的判定与性质以及圆的性质，解题的关键是利用折叠的对称性得到线段和角的等量关系，结合相似三角形、圆的性质将几何问题转化为线段最值问题求解． （1）由得，进而证；用勾股定理求出，再根据相似三角形的对应边成比例，计算得． （2）①由折叠性质得，结合推出，再根据，依据三个角是直角的四边形是矩形，判定四边形是矩形；②延长和交于点，由折叠及证四边形是正方形，得，证；用勾股定理求，结合得，进而求出． （3）由折叠性质得是的垂直平分线，，判定点在以为直径的圆上；设圆心为中点，根据，当在上时最小；用勾股定理求出，，得的最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①四边形是矩形．理由如下：由折叠的性质得， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ②如图①，延长和相交于点Q，连接， 由折叠的性质得， ， ∵点恰好落在边上， ∴， ∴四边形是正方形． ∵， ∴点E在对角线上． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴． （3）存在．线段的最小值为． 理由：由折叠的性质得， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点P在以为直径的圆上，圆心为的中点． 设圆心为O，如图②，连接， 由三角形三边关系及点P在圆上的运动特点可得， 即点P在上时，线段取得最小值． ∵， ∴线段的最小值为． 类型八、图形的位似 1. 抓位似核心要素解题 紧扣位似图形“对应顶点连线交于位似中心、对应边平行或共线、对应边成比例”的特点，先确定位似中心与位似比，再根据比例关系计算未知线段长度，注意区分位似图形的正、反方向。 2. 结合坐标法简化运算 平面直角坐标系中，利用位似图形坐标变化规律（原坐标乘位似比得新坐标）求解，若位似中心不在原点，先平移坐标系将中心移至原点，计算后再还原坐标，降低解题难度。 例8．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与位似比为，与相似，相似比为， ∴， 故选：B． 【变式8-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，勾股定理等知识，作轴于点，轴于点，根据勾股定理求出，的长，得出相似比，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作轴于点，轴于点，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴，， ∴与的相似比， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，四边形与四边形关于点O位似，且点O在四边形的左侧，若，则四边形与四边形的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似图形的性质， 根据题意可知位似比，进而得出相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方得出答案. 【详解】解：∵四边形与四边形关于点O位似，且， ∴这两个四边形的位似比为， ∴这两个四边形的相似比为， ∴这两个四边形的面积比为. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积是； （3）解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 类型九、相似三角形----动点问题 1. 定动点轨迹，分类讨论 先明确动点的运动路径、速度和范围，确定运动过程中可能形成的相似三角形形态；根据对应顶点的不同情况分类讨论，避免漏解，注意临界位置（如动点与端点重合时）的特殊性。 2. 设参数建方程，结合相似列等式 设动点运动时间为t，用t表示相关线段长度；根据相似三角形判定定理确定比例关系，列方程求解t的值，验证解是否在动点的运动范围内，舍去不合理解。 例9．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 【变式9-1】（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式9-2】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 【答案】或 【分析】本题是相似三角形动点问题，相似三角形的性质．先由，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，用t表示出的长，再由时，，时，，分别得出及，最后求解即可； 【详解】解：，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动， ， ∵点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动， ， 若时，，即， 整理得：， 解得：， 则当时，与相似； 若时，，即， 解得：， 则当时，与相似； 综上所述：当秒或秒时，与相似， 故答案为：或． 【变式9-3】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【答案】(1)点出发秒后，的面积为面积的 (2)或 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、平行线的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论思想是解题的关键． （1）设经过秒后的面积为面积的，其中，则，，根据三角形面积公式得出一元二次方程，解方程即可得到答案． （2）设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中，需要分两种情况讨论，和，分别利用相似三角形的性质求解即可． （3）过点作，连接，得到是等腰三角形，进而得到，设，则，，根据勾股定理求得，然后根据垂直定理得出，求出即可解答． 【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中， 由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时， 则有， ∴， ∴． 当时， 则有， ∴， ∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过点作，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9， 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，小正方形的边长均为，则，，，四个选项中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应边的比． 根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例，即可根据相似三角形的判定得到结论． 【详解】解：小正方形的边长为1， 在中，，，， A选项中，一边，一边，一边， 有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似，符合题意； B选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意； C选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意； D选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则下列各式中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是利用黄金分割点的比例关系求出较长线段，再计算． 根据黄金分割点的定义（时，），代入求出，再用得到的长度． 【详解】解：黄金分割点的定义是“若点是的黄金分割点（），则． 已知，根据黄金分割的比例关系： 因此，． 故选D． 5．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，点E在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，由矩形的性质得，，，由勾股定理求出，可得，再证明得，进一步可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，直线，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江·期末）已知线段，，则，的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：设比例中项线段长为，则 ， 所以（负值已舍去）． 故答案为：． 8．（25-26九年级下·全国·期末）如图，，与交于点，已知，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形对应边成比例”是解题关键． 由，可证，得，将对应值代入即可求解． 【详解】解：， ， 又∵， ， ， ，，， ， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，菱形和菱形的边长分别为2和5，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，邻角互补的性质，求出的长度，把阴影部分的面积分成两个三角形的面积进行求解是解题的关键． 设与相交于点H，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出，然后求出，根据菱形邻角互补求出，再求出点到的距离和点到的距离，然后根据阴影部分的面积，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，设与相交于点H， 在菱形中，， ， ， 即， 解得， ， ，， ， 点到的距离为：， 点到的距离为：， 阴影部分面积， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，，连接AE，CD交于点F，则= ，= ． 【答案】 /60度 3 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据判定定理找出全等的三角形和相似的三角形是解题关键． 等边三角形每条边都相等，每个内角都是，又因为，，得出，从而得到．是的外角，等于两个不相邻的内角之和，等量替换后，得出．在第一空的基础上，进一步可以得到，于是． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，3． 三、解答题 11．（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是4．△的面积是6 【分析】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明△△是解题的关键． （1）由是边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△△． （2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得． 【详解】（1）证明：是边上的高线， 于点， 在边上取点，与交于点， ， ， ， △△． （2）解：为的中点，△的面积为1， ， ，， △△． ， ， ， △的面积是6． 13．（23-24九年级上·江苏泰州·月考）如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质得出，然后再利用相似三角形的对应角相等，即可求解； （2）利用线段的和差求出，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（负值已舍）． 14．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线分线段成比例进行求解即可； （2）根据角平分线和平行线的性质得出相等的角，再利用等角对等边，最后利用平行线分线段成比例进行证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，利用同高（等高）的三角形面积比等于底的比，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·河南开封·期中）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）先导角得到，证明，即可得到结论； （2）先导角得到，证明，即可得到结论； （3）在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，导角得到，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1），， ． 在正方形中，，， ． ． 又，， ． ． （2），， ． 在矩形中， ， ． ． 又， ． ． （3）如图3，在上取一点，使，连接， 在中，，． 是等边三角形， ，． ． ， ． ． ． ． ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $