专题10 相似三角形中的动点问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

专题10 相似三角形中的动点问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 类型五、相似三角形中的动点问题与几何综合问题 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 压轴专练 类型一、相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如不同顶点对应），分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、动点未超出运动范围），排除不合理的解。 例1．（2025·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 综上：当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为或． 故答案为：或 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ． 【答案】3秒或4.8秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， 即， 解得：； ②若，则， 即， 解得：； 综上所述：当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒， 故答案为：3秒或4.8秒． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，在矩形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当以为顶点的三角形和相似时，的值为 ． 【答案】1或4或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意可得当点在上时，始终满足，故该组角邻边对应成比例即可满足三角形相似，当在边上时，始终满足，同样该组角邻边对应成比例即可满足三角形相似，由此进行比例的计算，得出的值． 【详解】解：当点在上，， ∵，故满足或， 均满足以为顶点的三角形和相似， 即，解得； 或，解得； 当点在上，∵，结合，， 由勾股定理可得 则， ∵，故满足或， 均满足以为顶点的三角形和相似， 即，解得； 或，解得（此时点不在上，故舍去）； 综上所述，当的值为、、时，满足以为顶点的三角形和相似， 故答案为：1或4或． 【变式1-3】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）在矩形中，已知，．点E为线段上的一个动点，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，运动时间为t（秒）．在矩形的内部作正方形，连接．若直线将矩形的面积分成两部分，则t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．分两种情况讨论直线将矩形的面积分成两部分时t的值：①设直线交于点M，当时，直线将矩形的面积分成两部分；②设直线交于点M交的延长线于点K，当时，直线将矩形的面积分成两部分．情况①证明，根据相似三角形对应边成比例列出方程求得t的值，情况②先证明得到，再证明，根据相似三角形对应边成比例列出方程求得t的值． 【详解】解：①如图，设直线交于点M，当时，直线将矩形的面积分成两部分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，设直线交于点M交的延长线于点K，当时，直线将矩形的面积分成两部分， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或． 故答案为：或． 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围（如线段端点、边界位置），确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E），分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长度为正、未超出原线段范围），排除因计算或对应错误产生的不合理解。 例2．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，正方形的边长为4，，那么当 时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，利用相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论：①和 ②，据此求得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形的边长为4， ， 在中，由勾股定理得：， 与相似， 分两种情况： ①，即， 解得； ②，即， 解得， 因此，当或时，与相似， 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，已知矩形的边，的长是一元二次方程的两个根，且，对角线，相交于点，为边上一动点，连接．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】4或 【分析】此题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解一元二次方程，解题的关键是熟知矩形的性质及相似三角形的应用．根据相似三角形的判定及性质分两种情况分别作图即可求解． 【详解】解：∵， 解得：或， ∴，， ∵四边形是矩形，，对角线相交于点， ， ， 当时，为直角三角形， ， ， ，即， 解得：； 当时，为直角三角形， ， ， ，即， 解得：， 综上，的长为 4 或 ． 故答案为： 4 或 ． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）在矩形中，，点是射线上一动点，连接，作线段的垂直平分线，分别交所在直线于点，交所在直线于点与交于点，连接、．连接，当点在射线上移动，且当是等腰三角形时，则长为 ． 【答案】或或5 【分析】分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，， 当时，是等腰三角形． 设，则， 在中，，， 由勾股定理得，即， 解得，即． ∴． ∵，， ∴． ∴，即，解得． 如图4，当时，是等腰三角形． 点与点重合，． 与在中，，，， 由勾股定理得， ∴． 如图5，当时，是等腰三角形． ∵，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴，，． ∵，， ∴． ∴，即，解得． 综上所述：或或． 故答案为：或或5． 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 知识点总结 1. 相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2. 最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值（当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值）。 解题技巧 1. 转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2. 结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 例3．（2025·江苏宿迁·二模）如图， 点，点B为x轴上一动点， 在中， 若， 则线段 最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，作使，作轴交于点，取的中点，连接、，根据全等三角形的性质得，得到，证明，得，由已知，得，继而得到，，根据勾股定理，再根据，即可得解． 【详解】解：如图所示，作使，作轴交于点，取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴，， 即， ∵轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 【变式3-1】（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，矩形中，，，分别是边上的动点，为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作点D关于的对称点P，连接，，即可得到最小值为长，然后过点F作，设，即可得到，求出，，然后根据勾股定理求出的长，再根据二次函数的最值解题即可． 【详解】解：作点D关于的对称点P，连接，， 则， ∴，即最小值为长， 过点F作，设， 则为矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∴，， ∴， 当时，随x的增大而减小， ∴ 当时，最小为，即的最小值为， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，已知为等腰直角三角形，，点E是线段的三等分点（），点C是直线上的一个动点，连接，以为直角边、点A为直角顶点作等腰直角三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，动点的轨迹问题，相似三角形的判定与性质，正方形的判定和性质等．求出点D的运动轨迹是解题的关键． 作点O关于的对称点F，连接，，证明，推出，可得点C在直线上运动时，点D的运动轨迹为直线，当时，取最小值，由此可解． 【详解】解：为等腰直角三角形，， ， 如图，作点O关于的对称点F，连接，，则，． 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， 当点C与点O重合时，点D与点F重合， ， ， 又，， ， ， 点C在直线上运动时，点D的运动轨迹为直线， ， ， 如图，当时，取最小值， ，，， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作，点P是上一动点，点B的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】连接，，在上取C，使，连接，可证明，得，即有，故取最小值，即是取最小值，此时B、P、C共线，的最小值即为，由C在直线上，，可得，从而，故的最小值为10． 【详解】解：连接，，在上取C，使，连接，如图： ∵，     ∴， ∵半径为， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故取最小值，即是取最小值，此时B、P、C共线，的最小值即为，如图： ∵， ∴直线为， 由，知， ∴， 设，则， ∴（负值已舍去），即， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 例4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，当时，的值为 ． 【答案】0，4或 【分析】本题主要考查了矩形和函数图象的结合，动点路径问题，圆的垂径定理，勾股定理，利用一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并结合图形获取正确信息． 以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点，结合图形和函数图象求出直角三角形的三边，然后分情况进行讨论，借助于圆的性质和解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点， 根据题意，结合图形可知，， 由图2点可得，假设长为，由勾股定理得， 即 解得, ∴， 根据等面积法可得， 由勾股定理得， 根据垂径定理得， 即此时； ， 结合图形可得此时； 当点与点重合时，,此时； 综上，或或， 故答案为：0，4或． 【变式4-1】（25-26九年级上·辽宁本溪·月考）如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，点从点运动到点时，随变化的关系图像，图像最低点的横坐标是 【答案】1 【分析】本题考查菱形的性质，函数图像的认识，相似三角形的判定及性质． 由图像可知，再利用将军饮马和似三角形的判定及性质求最值即可． 【详解】解：由题得， 由图象得，， 取点E关于成轴对称的点G，如图，此时y取最小值， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 故答案为：1． 【变式4-2】（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ． 【答案】 【分析】先由矩形性质得到，，进而证的，证明得到，即，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∴点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（2026·湖北·模拟预测）如图①，在正方形中，是对角线上一动点，是上的点，且．设，，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么 （1） ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键． （1）连接、，证明，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，由题意可知，的最小值为，则， （2）由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】（1）解：如图，由正方形的性质可知点、关于直线对称，连接、， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 由题意可知，的最小值为， ， 故答案为； （2）， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ，即的值为 故答案为：． 类型五、相似三角形中的动点问题与几何综合问题 知识点总结 1.相似三角形核心知识：包括AA、SAS、SSS判定定理，对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等性质，是解决线段关系、面积计算的基础。 2.几何图形综合性质：需结合三角形、四边形（如平行四边形、矩形）等图形的性质，以及勾股定理、三角函数、轴对称等知识，形成完整的几何关系网络。 解题技巧 1.分解图形找相似模型：从复杂图形中分离出基本相似模型（如“A型”“X型”），明确动点运动中模型的变化，通过对应关系建立等式。 2.动态过程分层讨论：按动点位置的临界状态（如与顶点重合、线段端点）分层，结合图形性质分析每层中相似三角形的存在性，逐步求解综合问题（如线段关系、面积最值）。 例5．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在矩形中，E为边上一动点（不与端点重合），将沿翻折，点C的对应点F恰好落在上，对角线与交于点M． (1)求证：． (2)连接，延长交于点N，若． ①求证：． ②请探究，，三条线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）只需要证明，即可证明结论； （2）①导角可证明，再由，即可证明；②根据相似三角形的性质可得，则可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：由（1）可得， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26九年级上·广东汕头·月考）在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点B的对应点为点E． 【初步感知】（1）如图1，当点E在的垂直平分线上时，求的度数； 【探究应用】（2）如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接并延长交于点N．若，求： ①的长； ②求的面积． 【答案】（1）；（2）（3）①；② 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和翻折的性质得出等边三角形，即可求解； （2）连接，根据正方形的性质证明，得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （3）①过点作于点，作于点，连接，根据同高三角形的性质得出底的比，假设，利用勾股定理及面积比求出，即可求出；②证明，，求出相应的边长，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴； （3）①如图，过点作于点，作于点， ∵与为同高的三角形， ∴， 假设， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的面积为． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，，动点D由点C向点B以每秒3速度在边上运动，动点E由点C向点A以每秒4速度在边上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（t>0），连接DE (1)求证：； (2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为，连接并延长交于点H． ①猜想直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②在点D、点E运动过程中，若与边交于点 M、N（点M在点N下方，如图3），连接并延长交边于点H，连接，当与相似时，直接写出t值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，会根据两个三角形之间的关系求出各个线段之间的关系是解题的关键．（1）直接证明，结合可得；（2）①由，可得，由可得，再证明即可；②先求出，，再分情况讨论，当时， ，当时，，分别代入列方程求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ∵，，， ∴，， ∴， 又 ∵， ∴； （2）① 证明：∵经过点，，三点， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 解：由和，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由半径相等可得， 当时，， 则， 解得：； 当时，， 则， 解得：； 综上所述，当与相似时，或． 【变式5-3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)①存在，秒或秒；②存在，秒或4秒或秒 【分析】（1）根据题意，得，，根据相似三角形的性质得，即，求解即可； （2）①过点D作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，设，得，，证明得，得，，分两种情况求解：当时；当时； ②过点作于点，证明四边形是矩形，得，，，在中，，在中，，，分三种情况求解：当时；当时；当． 【详解】（1）解：点P沿方向以的速度向由点向点D运动；点沿方向以的速度向由点向点运动， 点P由点到点D的运动时间为：（秒）， 点由点C到点D的运动时间为：（秒）， 运动时间为t秒， ，， ， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 的值为秒； （2）①过点D作于点， ， ，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 运动时间为t秒， ∴， 设， ，， ， ， ， ，即， ，， 存在P、A、D为顶点的三角形与相似， 当时， ，即， 解得：， （秒）； 当时， ∴，即， 解得：， （秒）； 综上所述，t的值为秒或秒时，以P、A、D为顶点的三角形与相似； ②过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， ∴， 在中，， 在中，，， 存在以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形； 当时，得， ， 解得：，， ， （不合题意，舍去），； 当时，得：， ， 解得：， ； 当时，得：， ， 解得：，， （不合题意舍去），； 综上所述，当t的值为秒或4秒或秒时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形． 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 知识点总结 1. 相似三角形的判定与动态量化：掌握AA、SAS等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2. 实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形稳定性、四边形特征），明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1. 从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2. 用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 例6．【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或. 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式6-1】【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形的性质得到，然后结合求解即可； （2）证明出，得到，求出，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F，得到四边形是正方形，设，由得到，得到，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 又， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， ，， ． 又， ， ． ， ． ，， ， ． ， ． （3）解：如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F． ，， 四边形是正方形． 设， ． ， ． 由（2）知，， ， ． 在中，． ， 由（2）知，． 又， ， ， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式6-2】（1）问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接，填空： ①的值为_____________    ②的度数为___________            图1                  图2 （2）类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接，请判断的值及的度数，并说明理由． （3）结论应用：如图2，在（2）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】（1）①；②．（2）；；理由见解析（3）或． 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，，进而证明，由此得到答案． （2）通过证明，得到，，由此得到的度数． （3）通过（2）的条件，在中，利用勾股定理可以得到线段的长． 【详解】解：（1），， ， ， ，且， ， ， ， ． 故答案为：①；②． （2）， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ． （3）由（2）知： ， ， ， ， ， 在中， ，， ， 即， 解得：或． 一、单选题 1．如图，是边长为的正方形的边上的一动点，是线段上的一动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，如图，连接，取的中点，连接，勾股定理求出的长，证明得到斜边上的中线得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接． ∵正方形，边长为2， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为． 故选：A． 2．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质； 过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，证明∽，求出，可得，然后证明四边形是矩形，可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，则， ∵四边形为平行四边形，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当是与交点时，， 故的最小值为， 故选：B． 3．如图1，在矩形中，，E，F分别为，的中点，G是线段上一动点，设，的周长为y，图2是y关于x的函数关系图象，其中P是图象上的最低点，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图象得，再由勾股定理得，由中位线的性质得，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即，根据对称的性质得，，再由已知得出，进而得，，再得，得，即，进而可得，最后由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵图象右端点的横坐标为， ∴， ∵为矩形， ∴， ∴在中，， ∵E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 的周长， ∴取最小值时，y最小，即为a， 如图，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即， ∵点E，点P关于对称， ∴，， ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 4．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，运动时间为，则得到，，当与相似时，有或，列方程即可得到结论．利用分类讨论及方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵运动时间为，则，， ∵，，， ∴当与相似时，有或， 当时，则有， ∴， 解得：； 当时，则有， ∴， 解得：； 综上所述，当点、同时运动秒或秒后，与相似． 故选：D． 二、填空题 5．如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 【答案】1或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．直接利用或，分别得出答案． 【详解】解：，点P是边的中点， ， 当时， 则， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：； 综上所述：当或4时，与相似． 故答案为：1或4． 6．如图，在中，，，，为内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理. 如图，在上取一点，使得，连接，，得，推出，求出，可得结论． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 7．如图，在矩形中，，，P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交于E，将沿翻折到平面内，使点C恰好落在边上的点F，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形和相似三角形的性质和判定，证得三角形的全等和相似是解题的关键．解法一：作于，如图，设，则，利用等角的余角相等得到，则根据相似三角形的判定得到，利用相似比、折叠的性质得表示相应的线段，然后证明，利用相似比得到，在中，根据勾股定理即可求解． 解法二：过点A作于M，由折叠得，则，，进一步证明，则，，令，则，，，证得为等腰三角形，有，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：解法一：作于，如图，设，则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．即． ∴． ∵沿翻折到位置，使点落到上， ∴，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，即． ∴， 在中，∵， ∴，解得，， ∴的长为或1． 解法二：过点A作于M． ∵由翻折得到， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， 又∵，AP=AP， ∴， ∴，， 令，则，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴或． 故答案为：或1． 8．如图，中，，点，分别为，上一个动点，将沿折叠得到点的对应点是点，若点始终在边上，当、、为顶点的三角形与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和折叠的性质．设，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得到，讨论：若，根据相似三角形的判定方法证明，则利用相似比可求出此时的长；若，根据相似三角形的判定方法证明，则利用相似比可求出此时的长． 【详解】解：， ， 设， 沿折叠得到，点的对应点是点， ， 若，， ，， ， ，即， 解得； 若， ，， ， ，即， 解得； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．已知，点为上一定点，；点分别是线段，直线上的动点，求四边形周长的最小值，并求此时的长． 【答案】最小值为12， 【分析】本题考查利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质．正确作出图形是解题的关键． 作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，此时，四边形周长，四边形周长最小值，利用勾股定理求出的长即可；再证明，得，从而求得，即可求出的长． 【详解】解：作点D关于的对称点，点A关于的对称点，连接，分别交、于E、F，连接交于G，如图， 则，，，，， ∴，则最小值为 ， ∵， ∴四边形周长， ∴四边形周长最小值， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）． 若P、Q两点同时移动； (1)当运动几秒时，的面积为． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 【答案】(1)移动3秒时，的面积为 (2)移动秒或3秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键． （1）设当移动t秒时，的面积为，则，，，再根据的面积为列二元一次方程求解即可； （2）设移动t秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似，然后根据相似三角形的判定定理列比例式求解即可． 【详解】（1）解：设当移动t秒时，的面积为，则，， ， 的面积为， ， ，解得：， ∴移动3秒时，的面积为． （2）解：设移动t秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似， ， 或， 或， 解得：或3， 所以移动秒或3秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似． 11．如图，在矩形中，点E为线段上一个动点，过点E作交线段于点F，，，． (1)求的长； (2)连接交于点G，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，结合勾股定理，解答即可． （2）过点E作交于点H，得到，，，解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点E作交于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点G是线段上一动点，若直线把分成的两部分，求点G的坐标； (3)已知D为的中点，点P是第二象限内一点，当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据题意先求出的面积，再设，，分两种情况①当时和②当时求出点G的坐标即可； （3）当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，则存在或，分类求解即可． 【详解】（1）解：由得：，， ∵点， 设直线的解析式为，将点B，C的坐标代入得： ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 设，， 分以下两种情况： ①当时，即， ∴， 解得， ∴； ②当时，即， ∴， 解得， ∴． 综上，点G的坐标为或； （3）解：当以P为直角顶点，C，D为其余两个顶点的三角形与相似时，则存在或， 分以下两种情况讨论： 当时，如图， 则且， 即且， ∵D是的中点， 则， 则点； 当时，如图， 则， 则， 过点P作交y轴于点H，则，则点，则点N是的中点， ∵的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 联立和的表达式得：， 则， 即点， ∵点N是的中点， 则由中点坐标公式得：点， 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形相似等，熟练掌握分类讨论是关键． 13．在矩形中， ，，E 是边上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点 处， 交于点 M． ①求折痕的长； ②连接交于点N，求 的值； (2)如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ． 【答案】(1)①；② (2)18， 【分析】（1）①根据证明，得出，设，，，在中，根据勾股定理得出，，求出，则，，可证四边形是矩形，得出，，，最后根据勾股定理求解即可； ②延长，交于点G，先证明，求出，，再证明，即可解答； （2）当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，根据三角形的面积公式即可解答；当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①如图， 过作于H， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ②如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由折叠得：，，，， 如图， ∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大， 由（1）同理可求， ∴， ∴， ∴的面积为， 即面积的最大值为18． 如图， ∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为． 故答案为：18，． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 14．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)的面积为． 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可知，则有，，所以，证明，根据相似三角形的性质得出，然后根据即可求解； （）过作，交于点，则有，由性质得，又为的中点，得出，同理证明，由，则，然后代入即可求解； （）根据相似三角形的性质和面积和差即可求解． 【详解】（1）解：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， 由（）知：即，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 15．【问题情境】 （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是___________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与的数量关系，并证明． 【拓展提升】 （3）如图3，在（2）的条件下，当经过点D时，则矩形的面积是___________．（直填答案） 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或8 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． （1）根据正方形的性质和等量变换可得，然后证明，然后即可求解； （2）根据矩形的性质和等量变换可得，再通过所给的线段数值得到比例关系，证得：，然后即可求解； （3）设，则，通过三角形相似可得，然后再根据勾股定理求得或，再根据比例关系求得，最后根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由（2）知，， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得：或（负值已舍去）， 经检验，，都是原方程的解， 当时，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，矩形的面积是或8， 故答案为：或8． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10相似三角形中的动点问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 类型五、相似三角形中的动点问题与几何综合问题 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 压轴专练 典例详解 类型一、相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA(两角对应相等)、SAS(两边对应成比例且夹角相等)、SSS(三 边对应成比例)判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中 线段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如 不同顶点对应)，分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非 负、动点未超出运动范围)，排除不合理的解。 例1.(2025湖南模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=13cm,AC=5cm,动点P从点 B出发沿射线BC以lcm/s的速度运动，动点Q从点A出发沿射线AB以2cm/s的速度运动，设运动时间为 s,当以B,P,Q为顶点的三角形和△ABC相似时，t的值为 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y O B C 【变式1-1】(25-26九年级上·陕西咸阳期中)如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12Cm, 动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为lCm/秒，点E运动的速度 为2Cm/秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是一 D E B ABCD AB=4,AD=6 【变式1-2】(25-26九年级上河南平顶山期中)如图，在矩形 中， ,延长BC到点 E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BE→ED→DA向终点A运动， 设点P的运动时间为t秒，当以A、B、P为顶点的三角形和△DCE相似时，t的值为一· 【变式1-3】(25-26九年级上·贵州贵阳·月考)在矩形ABCD中，己知AB=3,BC=4.点E为线段AB 上的一个动点，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，运动时间为t(秒)，在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG,连接AH.若直线AH将矩形ABCD的面积分成I:3两部分，则t的值为一 D H B G 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形 成的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范 围（如线段端点、边界位置），确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或 E)，分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长 度为正、未超出原线段范围)，排除因计算或对应错误产生的不合理解。 例2.(25-26九年级上江苏徐州·月考)如图，正方形ABCD的边长为4，AE=MN=2,那么当CM= 时，RtAADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点，N为CD边上的动点) N 【变式2-1】(24-25九年级上·河南周口·期末)如图，已知矩形ABCD的边AB,AD的长是一元二次方程 x2-14x+48=0的两个根，且AD<AB,对角线AC,BD相交于点O,P为边AB上一动点，连接OP. 若△AOP为直角三角形，则AP的长为一· B ○ D 【变式2-2】(25-26九年级上四川成都月考)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8.点0 为AB边中点，点P为线段AC上一动点.将△APO沿PO折叠，点A的对应点为A,直线OA与线段AC 交于点Q.当 OPO与△ABC相似时，线段OP的长为一 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B 【变式2-3】(25-26九年级上·浙江金华·开学考试)在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点P是射线BC上 一动点，连接PD,作线段PD的垂直平分线，分别交AD所在直线于点E,交BC所在直线于点F,PD与 EF交于点O,连接PE、DF.连接BD,当点P在射线BC上移动，且当△BPD是等腰三角形时，则PF 长为一 A B 类型三、相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 知识点总结 1.相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含 变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2.最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最 值（当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值）。 解题技巧 1.转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利 用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2.结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为 直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 例3。(2025江苏宿迁二模)如图，点40,4) ,点B为x轴上一动点，在Rt△ABC中∠BAC=90°， 者八cs8 则线段OC最大值为 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0,4)A 0 B 【变式3-】(2025黑龙江牡丹江一模)如图，矩形1BCD中，D=2,4B=4,E,G AD,BC 分别是边 上的动点，F为BE的中点，连接FG,GD,则FG+DG的最小值为一· D F 【变式3-2】(24-25九年级上四川成都月考)如图，已知△AB0为等腰直角三角形，AB=2,点E是线 段AO的三等分点(AE<EO)，,点C是直线BO上的一个动点，连接AC,以AC为直角边、点A为直角 顶点作等腰直角三角形ACD,连接ED,则ED的最小值是一· B 【变式3-3】(2526九年级上江苏苏州月考)如图，在平面直角坐标系0中，以点444为圆心，以 25为半径作⊙A,点P是⊙1上一动点，点B的坐标为6-，则OP+2BP的最小值为一 B 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型四、相似三角形中的动点问题与函数图像问题 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应 高的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关 系转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出 对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应 动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 例4.(2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测)如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿 着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PO-DO为y,y与 x的函数图象如图2，当CP=2时，x的值为 图1 图2 【变式4-1】(25-26九年级上·辽宁本溪·月考)如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上 一点，且CE=4BE,连接EF、CF,设BF的长为EF+CF=y,点F从点B运动到点D时，y随x变 化的关系图像，图像最低点的横坐标是 【变式4-2】(2025江苏宿迁·一模)如图1，在矩形ABCD中，CD=5,E是BC边上的一个动点，连接 AE 过点E作EF LAE交CD于 于点R设E=xCF=y 点E从点B运动到点C的过程中y关于x 的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点P的纵坐标n的值为一 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 4 图1 图2 【变式4-3】(2026湖北模拟预测)如图①，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一动点，F是BC上 的点，且CF=2BF.设DE=x,CE+EF=y,已知y与x之间的函数图象如图②所示，点Mm,而是 图象的最低点，那么 10 ① ② (I)AF=-; (2)m的值为一 类型五、相似三角形中的动点问题与几何综合问题 知识点总结 L.相似三角形核心知识：包括AA、SAS、SSS判定定理，对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等 于相似比平方等性质，是解决线段关系、面积计算的基础。 2.几何图形综合性质：需结合三角形、四边形（如平行四边形、矩形）等图形的性质，以及勾股定理、 三角函数、轴对称等知识，形成完整的几何关系网络。 解题技巧 1.分解图形找相似模型：从复杂图形中分离出基本相似模型（如“A型X型”），明确动点运动中模型的 变化，通过对应关系建立等式。 2.动态过程分层讨论：按动点位置的临界状态（如与顶点重合、线段端点）分层，结合图形性质分析每 层中相似三角形的存在性，逐步求解综合问题（如线段关系、面积最值）。 例5.(25-26九年级上浙江·月考)如图，在矩形ABCD中，E为边BC上一动点（不与端点重合），将 △CDE沿DE翻折，点C的对应点F恰好落在AE上，对角线BD与AE交于点M. 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O B (I)求证：AF=BE (2)连接BF,延长DF交BC于点N,若AB=BF. ①求证：△BEF∽△BFN. ②请探究BN,AF，CD三条线段之间的数量关系，并加以证明. 【变式5-1】(25-26九年级上·广东汕头·月考)在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为 主题开展数学活动.在正方形ABCD中，CD=6,动点P在BC边上，将△ABP沿折痕AP折叠，得到 △AEP,点B的对应点为点E. B 图1 图2 图3 【初步感知】(1)如图1，当点E在AB的垂直平分线KH上时，求∠EAB的度数； 【探究应用】(2)如图2，当P是BC的中点时，延长1E交CD于点Q,求C2的长： BC Co 【拓展延伸】(3)如图3，延长AE交BC边于点F,M是AP的中点，连接FM并延长交AB于点N.若 S. S5,求： ①PB的长： ②求△AMN的面积. 【变式5-2】(25-26九年级上江苏泰州·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm, AB=20cm,动点D由点C向点B以每秒3cm速度在边BC上运动，动点E由点C向点A以每秒4cm速度 在边AC上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒(>O),连接DE 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A ED N M E D 图1 图2 图3 (I)求证：△DCE△ACB: (2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为⊙O,连接CO并延长交AB于点H. ①猜想直线OC与直线AB的位置关系，并证明你的结论： ②在点D、点E运动过程中，若⊙O与边AB交于点M、N(点M在点N下方，如图3)，连接CO并延长 交边AB于点H,连接OM,当△OHM与△CDE相似时，直接写出t值. 【变式5-3】(2025九年级上·全国·专题练习)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC, ∠BAD=90°，AD=lcm,AB=BC=4cm,P为-一动点从点B出发，沿B→A→D方向，以lcms的速度由 点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿C→D方向，以lCm/s的速度由点C向点D运动，当其中 动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒 D D B E 图1 图2 (I)如图1，当P运动t秒时，恰好有△PAD∽aCBP,求t的值； QE⊥BC (2)如图2，过点Q作 于点E △CQE ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出所 有符合条件的t的值：若不存在，请说明理由. ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出 所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由. 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型六、相似三角形中的动点探究应用问题 知识点总结 1.相似三角形的判定与动态量化：掌握AA、SAS等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量 的代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2.实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹)转化为几何图形，结合图形性质（如三角形 稳定性、四边形特征)，明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1.从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知 量、未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2.用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实 际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 例6.【综合与实践】 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD,以CD为直角边在CD CE_CB」 的右侧构造R△CDE,∠DCE=90,连接WE CD-C台m, 图1 图2 图3 【特例感知】 (1)如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是一，数量关系是 【类比迁移】 (2)如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想. 【拓展应用】 (3)在(1)的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF,BF,如图3.已知AC=6,BF=2, 设AD=x,求AD的长度 【变式6-1】【知识探索】 (I)如图①，在矩形ABCD中，E为AD边上不与端点重合的一个动点，连接BD,BE,过点A作BE的 垂线，垂足为M,延长AM,分别交BD,DC于点N,F,求证：∠DAN=∠ABE: 【知识应用】 10/17