九年级数学上学期期末模拟卷01（湘教版，测试范围：九上全部内容）

2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（    ） A． B． C．2 D．2 3．我国正在逐步进入人口老龄化社会，某市老龄化社会研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的日常休闲方式主要有，，，，五种类型，抽样调查的统计结果如下表． 休闲方式 人数 则下列说法不正确的是（   ） A．当地老年人选择休闲方式的人数最少 B．当地老年人选择休闲方式的人数占老年人总人数的 C．当地万名老年人中约有万人选择休闲方式 D．此次抽样调查的样本容量是 4．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 7．数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示：通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是（   ） A．当时，是的一次函数 B．当时，是的反比例函数 C． D．该冰箱每天耗电至少超过1度 8．如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ） A． B． C． D． 9．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴上，点，，，若反比例函数经过点B，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．一元二次方程的根是 ． 12．在中，，，，则的长为 ． 13．如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是 ． 14．在“读中华经典，做书香少年”活动中，某校围绕学生日人均阅读时间，对六年级学生进行抽样调查，据调查，日人均阅读时间不足的有30人，占被调查学生总数的，则参与本次抽样调查的一共有 人． 15．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 16．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则 ． 17．如图，菱形的边长为10．对角线，将菱形沿着射线平移得到菱形，若，则的面积为 ． 18．如图，在正方形中，交于O，为对角线上的一动点，以为斜边向右作等腰，连接．则：①；②；③；④的最小值为．以上说法中，正确的是： ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： (1)； (2)． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数的解析式： (2)连接，，求面积． 21．（8分）已知：如图，在中，，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 22．（8分）近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89 抽取的对B款电动汽车的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100 抽取的对A，B款电动汽车的评分统计表 电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87.5 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有600人对A款电动汽车进行评分，700人对B款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车使用不满意的人数？ 23．（9分）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 24．（9分）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头，之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点处（点，，在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头处测得无人机的仰角约为，在码头处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头到无人机之间的距离约为1000m． 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算码头，之间的距离（精确到10m）； （参考数据：，） (2)请用你所学过的解直角三角形知识求码头，之间的距离．（结果保留根号） 25．（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； (3)直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和 ，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 26．（10分）在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数进行排除选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的形式为（）， 选项A：，是正比例函数； 选项B：，符合形式，且，是反比例函数； 选项C：，是一次函数； 选项D：，不是反比例函数； 故选B． 2．已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴ ， ， ∴ ． 故选：A． 3．我国正在逐步进入人口老龄化社会，某市老龄化社会研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的日常休闲方式主要有，，，，五种类型，抽样调查的统计结果如下表． 休闲方式 人数 则下列说法不正确的是（   ） A．当地老年人选择休闲方式的人数最少 B．当地老年人选择休闲方式的人数占老年人总人数的 C．当地万名老年人中约有万人选择休闲方式 D．此次抽样调查的样本容量是 【答案】C 【分析】本题考查了统计表的应用． 通过计算总人数、直观判断统计表及样本估计总体，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A方式人数50，最少，A正确； 总人数，D正确； 当地老年人选择休闲方式的人数占老年人总人数的，B正确； C方式所占比例，估计6万人中选择C的人数为万万，C错误； 故选：C． 4．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握正切的定义． 根据锐角的正切值即为锐角的对边与邻边的比值求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 5．如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为一个小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割比，掌握黄金分割的定义是关键． 由黄金分割的定义可得，，代入值计算即可． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 7．数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示：通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是（   ） A．当时，是的一次函数 B．当时，是的反比例函数 C． D．该冰箱每天耗电至少超过1度 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C；根据“冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”可判断D． 【详解】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ，故C选项正确，不符合题意； 每天的耗电量度度， 该冰箱每天耗电低于1度，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 8．如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，等腰三角形的性质和判定，过点A作于F，过点E作于H，根据坡度的概念求出，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可得解． 【详解】解：如图，过点A作于F，过点E作于H，则，，， ∵斜坡的坡度，， ， ，， ， ， ∴， 故选：． 9．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程． 【详解】解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺， ∴由勾股定理得， 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴上，点，，，若反比例函数经过点B，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键． 设点B的坐标为，易得，，，进而得到，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵，，， ∴，，， ∵的顶点C在x轴上， ∴， ∴，即， ∴，解得：或， ∵反比例函数在第一象限的一支， ∴，即． 故选B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．直接移项，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得 ， 因式分解得 ， 由零乘积性质，得 或 ， 解得 或 ． 故答案为：，． 12．在中，，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 【详解】解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 13．如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．利用已知得出，再由相似比等于对应高之比即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为点，交于点， 由题意可得： ∴，， ∵ ∴， ∵，小孔O到，的距离分别为， ∴， 解得： 故答案为：． 14．在“读中华经典，做书香少年”活动中，某校围绕学生日人均阅读时间，对六年级学生进行抽样调查，据调查，日人均阅读时间不足的有30人，占被调查学生总数的，则参与本次抽样调查的一共有 人． 【答案】150 【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量，根据日人均阅读时间不足的人数和所占比例，计算样本容量 【详解】解：∵日人均阅读时间不足的有30人，占被调查学生总数的， ∴此总样本容量为， 故答案为：150． 15．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．可借助平移性质得到长为 、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 16．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴于D，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴ 故答案为：． 17．如图，菱形的边长为10．对角线，将菱形沿着射线平移得到菱形，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，菱形的性质，锐角三角函数的应用，如图，连接交于，过作于，求解，证明，可得，再进一步解答即可. 【详解】解：如图，连接交于，过作于， ∵菱形的边长为10，对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由平移可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 18．如图，在正方形中，交于O，为对角线上的一动点，以为斜边向右作等腰，连接．则：①；②；③；④的最小值为．以上说法中，正确的是： ． 【答案】②③④ 【分析】结合正方形的性质，以及等腰直角三角形性质，证明，故，再根据三角形内角和性质进行分析，即可得，因为，故．结合相似三角形的性质得，再根据线段的和差关系，得出；延长到点M，使，连接，，，利用正方形性质和旋转全等模型证明，从而可得和是直角三角形，从而由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得，再由．即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形，交于O， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 如图所示，设和交于点T， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴，故①错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确，符合题意； 延长到点，使，连接，，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是以为斜边作等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的最小值为．故④正确，符合题意． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，相似三角形的判定与性质，准确找到点的运动轨迹，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键． （）根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可； （）根据等式的性质以及立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 两边都除以得，， 由平方根的定义得，； （2） 移项得，， 两边都除以得，， 由立方根的定义得，， 解得． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数的解析式： (2)连接，，求面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数解析式、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先把代入可得，即，再把代入求得，即；然后运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由一次函数可得，即，再运用坐标与图形、三角形面积公式以及割补法求面积即可． 【详解】（1）解：把代入可得，解得：， ∴， 把代入可得，解得：，， ∵一次函数， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图：连接， ∵一次函数解析式为， ∴，即， ∴面积为∶ ． 21．（8分）已知：如图，在中，，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法； （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ，， ， ， ． 22．（8分）近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89 抽取的对B款电动汽车的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100 抽取的对A，B款电动汽车的评分统计表 电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87.5 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有600人对A款电动汽车进行评分，700人对B款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车使用不满意的人数？ 【答案】(1)15，88.5，98 (2)款电动汽车更受用户喜爱，理由见解析 (3)165人 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 即， 款的评分非常满意有（个，“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 抽取的对款电动汽车的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100， 98出现的4次，出现次数最多， 众数； 故答案为：15，88.5，98； （2）解：款电动汽车更受用户喜爱，理由如下： 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，88， 款的中位数为， 两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为88.5比款的中位数87.5高， 款电动汽车更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）解：（人， 答：估计此次测验中对，两款电动汽车不满意的人数为165人． 23．（9分）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)每件衬衫应降价20元； 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键； （1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 24．（9分）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头，之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点处（点，，在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头处测得无人机的仰角约为，在码头处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头到无人机之间的距离约为1000m． 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算码头，之间的距离（精确到10m）； （参考数据：，） (2)请用你所学过的解直角三角形知识求码头，之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)1370m (2)m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【详解】（1）由题意知，， ， 由材料得，，又m， （m）， 答：码头，之间的距离约为1370m； （2）如图，过点作于点，则， 在中，， （m）， ， （m）， 在中，， （m）， m． 答：码头，之间的距离为m． 25．（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； (3)直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和 ，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 【答案】(1)六 (2)12 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“六倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 当点P在的内部时，则 由条件可知． 26．（10分）在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为 (3) 【分析】（1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）作图：延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． （2）解：延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． ∵由（1）可得为等腰三角形，， ∴为等腰直角三角形． 又∵， ∴． ∵， ∴同理：为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平面直角坐标的建立和中点坐标公式等，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C A A D D C D B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．， 12． 13． 14．150 15． 16． 17． 18．②③④ 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）【详解】（1）解：， 移项得，，·····（1分） 两边都除以得，，·····（2分） 由平方根的定义得，；·····（3分） （2） 移项得，， 两边都除以得，，·····（4分） 由立方根的定义得，，·····（5分） 解得．·····（6分） 20．（6分）【详解】（1）解：把代入可得，解得：， ∴，····（1分） 把代入可得，解得：，，····（2分） ∵一次函数， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为．····（3分） （2）解：如图：连接， ∵一次函数解析式为， ∴，即，····（4分） ∴面积为∶ ．····（6分） 21．（8分）【详解】（1）证明：， ····（1分） ， ， ，····（2分） ．····（3分） （2）解：， ，····（4分） ， ，， ，····（7分） ， ．····（8分） 22．（8分）【详解】（1）15，88.5，98；····（3分） （2）解：款电动汽车更受用户喜爱，理由如下：····（4分） 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，88， 款的中位数为，····（5分） 两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为88.5比款的中位数87.5高， 款电动汽车更受用户喜爱（答案不唯一）；····（6分） （3）解：（人，····（7分） 答：估计此次测验中对，两款电动汽车不满意的人数为165人．····（8分） 23．（9分）【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得：····（2分） 解得：或（不合题意，舍去）····（3分） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率；····（4分） （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即····（7分） 解得：或····（8分） 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以····（9分） 答：每件衬衫应降价20元． 24．（9分）【详解】（1）由题意知，， ，·····（2分） 由材料得，，又m， （m），·····（4分） 答：码头，之间的距离约为1370m； （2）如图，过点作于点，则， 在中，， （m），·····（6分） ， （m）， 在中，， （m），·····（8分） m．·····（9分） 答：码头，之间的距离为m． 25．（10分）【详解】（1）是“六倍根方程”；·····（2分） （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴，·····（3分） ∴， ∴；·····（4分） （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为；·····（6分） ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上，·····（8分） 当点P在的内部时，则·····（9分） 由条件可知．·····（10分） 26．（10分）【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴．·····（1分） ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴．·····（2分） （2）解：延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． ∵由（1）可得为等腰三角形，， ∴为等腰直角三角形． 又∵， ∴．·····（3分） ∵， ∴同理：为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：，·····（4分） ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴．·····（5分） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．·····（6分） （3）解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴．·····（7分） ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴，·····（8分） ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴．·····（9分） ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴．·····（10分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版七年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（    ） A． B． C．2 D．2 3．我国正在逐步进入人口老龄化社会，某市老龄化社会研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的日常休闲方式主要有，，，，五种类型，抽样调查的统计结果如下表． 休闲方式 人数 则下列说法不正确的是（   ） A．当地老年人选择休闲方式的人数最少 B．当地老年人选择休闲方式的人数占老年人总人数的 C．当地万名老年人中约有万人选择休闲方式 D．此次抽样调查的样本容量是 4．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 7．数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示：通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是（   ） A．当时，是的一次函数 B．当时，是的反比例函数 C． D．该冰箱每天耗电至少超过1度 8．如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（    ） A． B． C． D． 9．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴上，点，，，若反比例函数经过点B，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．一元二次方程的根是 ． 12．在中，，，，则的长为 ． 13．如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是 ． 14．在“读中华经典，做书香少年”活动中，某校围绕学生日人均阅读时间，对六年级学生进行抽样调查，据调查，日人均阅读时间不足的有30人，占被调查学生总数的，则参与本次抽样调查的一共有 人． 15．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 16．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则 ． 17．如图，菱形的边长为10．对角线，将菱形沿着射线平移得到菱形，若，则的面积为 ． 18．如图，在正方形中，交于O，为对角线上的一动点，以为斜边向右作等腰，连接．则：①；②；③；④的最小值为．以上说法中，正确的是： ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程： (1)； (2)． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数的解析式： (2)连接，，求面积． 21．（8分）已知：如图，在中，，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 22．（8分）近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89 抽取的对B款电动汽车的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100 抽取的对A，B款电动汽车的评分统计表 电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87.5 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有600人对A款电动汽车进行评分，700人对B款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车使用不满意的人数？ 23．（9分）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 24．（9分）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万佛湖素有安徽千岛湖之称，景区内环境优美．某综合与实践小组要测量东西两岸两个旅游码头，之间的实际距离．由于中间有岛屿阻隔，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（无法测角度和任何距离）． 测量过程： 步骤1：如图2，无人机升到高空的点处（点，，在垂直于水平面的同一个平面上）； 步骤2：利用测角仪多次测量并取平均值，在码头处测得无人机的仰角约为，在码头处测得无人机的仰角约为； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得码头到无人机之间的距离约为1000m． 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算码头，之间的距离（精确到10m）； （参考数据：，） (2)请用你所学过的解直角三角形知识求码头，之间的距离．（结果保留根号） 25．（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； (3)直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和 ，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 26．（10分）在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $