4 数列在日常经济生活中的应用（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列的应用，核心内容为等差、等比数列模型在实际问题中的应用。通过工厂生产机器、银行存款复利、细菌繁殖等生活实例导入，衔接数列通项与求和公式，搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于结合经济生活（零存整取、分期付款）、环境治理（垃圾处理）等真实情境，引导学生用数学眼光观察问题。通过例题推导（如本利和公式）和递推关系分析培养数学思维，按步骤建立模型体现数学语言表达。采用实例剖析与分层训练，帮助学生掌握应用方法，教师可直接使用案例提升教学效率。

4 数列在日常经济生活中的应用 第一章 数列 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 1.2等差数列 等差数列的概念与通项公式 等差数列的前n项和公式 1.4数列的应用 数列在日常经济生活中的应用 数列的其他应用 1.3等比数列 等比数列的概念与通项公式 等比数列的前n项和公式 1.5数学归纳法 1.1数列的概念及其函数特性 数列的概念 数列的函数特性 学 习 目 标 1 2 3 理解数列在实际问题中的应用场景，能识别等差、等比数列模型的特征.  掌握将实际问题转化为数列模型的基本步骤，会建立合适的数列模型. 能运用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式解决实际问题（重点、难点）. 读教材 阅读课本P34-P37，5分钟后完成下列问题： 1.生活中哪些实际问题可以用等差数列或等比数列来解决？ 2.建立数列模型解决实际问题的关键步骤是什么？ 3.如何根据实际问题的条件确定数列的首项、公差（或公比）？ 我们一起来探究“数列的应用”吧！ 新课引入 在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到这样的问题： 这些问题都蕴含着数列的规律，今天我们就来学习如何运用数列知识解决这类实际问题. ①某工厂第一个月生产100台机器，以后每月比上月多生产5台，半年内共生产多少台机器？ ②某银行定期存款的年利率为2%，存入10000元，按复利计算，5年后的本利和是多少？ ③某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次（一个分裂成两个），2小时后能繁殖多少个细菌？ 学习过程 01 02 目录 1 数列在日常经济生活的应用 3 题型训练 03 2 数列的其他应用 实例分析 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关． 以银行存款为例，它是老百姓日常生活中最基本的经济活动．银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型． 说 明 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为 以符号代表本金，代表存期，代表利率，代表本利和，则有 复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是 . 例题剖析 【例1】银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本金与利息和（以下简称本利和），这是整取（现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%,1.55%,1.55%)． 规定每次存入的钱不计复利． (1)若每月存入金额为元，月利率保持不变，存期为个月，试推导出到期整取时本利和的公式； (2)若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？（精确到0.01元） (3)若每月初存入一定金额，希望到1年后整取时取得本利和2000元，则每月初应存入的金额是多少？（精确到0.01 元） 例题剖析 解:(1)根据题意，第1个月存入的金额为元，到期利息为元；第2个月存入的金额为元，到期利息为元第个月存入的金额为元，到期利息为元．不难看出，这是一个等差数列求和的问题． 各月利息之和为 而本金为元，这样就得到本利和公式 即 例题剖析 解:(2)根据题意知，，代入①式，本利和为 (3)根据题意知，，代入①式，得 所以每月初应存入165.46元． 例题剖析 【例2】小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买后2个月的月末第1次付款，再过2个月第2次付款购买后第12个月末第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.6%，每月利息按复利计算．小华每次应付的金额是多少？（精确到0.01元） 解:假定小华每次还款元，第个月末还款后的本利欠款数为元，则 例题剖析 由题意年底还清，则. 解得： 因此，小华每次应付的金额为868.79元. 抽象概况 解数列应用题的基本步骤 实际应用题 明确题意，找出题设与所求问题之间的逻辑关系 利用数学语言将逻辑关系转化为数学关系，将实际问题转化为数学问题 建立合适的数学模型 利用数学模型得到数学问题的解 转译成具体应用问题的结构（注意是否符合实际） 学习过程 01 02 目录 1 数列在日常经济生活的应用 3 题型训练 03 2 数列的其他应用 实例分析 【例3】甲、乙两名同学投篮，甲、乙每次投篮的命中率分别为．每次由其中一名同学投篮，规则如下：若命中，则此同学继续投篮；若未命中，则换为对方投篮．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的同学是甲、乙的概率均为．记第次投篮的同学是甲的概率为 (1)求的值，以及与(）之间的关系式； (2)求的值，使; (3)当充分大时，分析的情况． 实例分析 解:（1）由题意，得 （2）由可得 ② 比较①②的系数，可得 （3）由（2）知，数列是首项为，公比为的等比数列，则,即 所以，当充分大时，稳定在附近. 学习过程 01 02 目录 1 数列在日常经济生活的应用 3 题型训练 03 2 数列的其他应用 题型训练 题型一 数列的实际应用 【练习1】去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)． 在处理实际问题时，要能从题意中提炼出该问题所具备的数列模型，或等差数列、等比数列，或根据条件列出递推关系，然后根据数列相关知识分析处理． 题型训练 题型一 数列的实际应用 解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为(单位：万吨)，则 an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n， 当时，所以从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为87.2万吨． 题型训练 题型一 数列的实际应用 【练习2】某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24 h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20辆某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作24 h．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔20 min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24 h内完成拦洪坝加高加固工作，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车(　　) A．25辆 B．24辆 C．23辆 D．22辆 题型训练 题型一 数列的实际应用 解：总工作时间为，由题意可知，每调来一辆车，工作时间依次递减，则每辆车的工作时间成等差数列，设第辆车的工作时间为，则，等差数列的公差，∴辆车的总工作时间， ∵，， ∴共需24辆车完成工作，∴至少还需要抽调24－1＝23辆车．故选. 题型训练 题型一 数列的实际应用 【练习3】某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，In表示第n周的虫害指数，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A：环境整治，“虫害指数”数列{In}满足In＋1＝1.02In－0.20； 策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列{In}满足In＋1＝1.08In－0.46. 当某周的虫害指数小于1时，危机就在这周解除． (1)设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更低？ (2)设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？(参考数据： 题型训练 题型一 数列的实际应用 解：(1)由题意可知，使用策略时，.使用策略时，.令即当时，使用策略第二周虫害严重程度更低；当时，使用两种策略第二周虫害严重程度一样；当时，使用策略第二周虫害严重程度更低． (2)由(1)可知，最优策略为策略，即，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，令，可得，所以虫害的危机最快在第9周解除． 题型训练 题型二 数列与概率相结合 【练习4】一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动．记未连续出现2次向后运动的概率为. (1)求的值，以及之间的关系； (2)求的值，使. 解：(1)时，所有可能运动均无连续向后，故时，总情况数为，无连续向后的情况有"前前""前后""后前"，共3种，故时，设为次无连续向后的运动序列数，则（最后一位为"前"时前位任意合法，最后一位为"后"时前一位必为"前"且前位任意合法），故由，两边除以得 ，整理为 题型训练 题型二 数列与概率相结合 解：(2)将展开得 与(1)中递推式比较系数，得方程组 由第一式得代入第二式得即; 解得对应 课堂小结   1.单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为以符号代表本金，代表存期，代表利率，代表本利和，则有 2.复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是. 3.在处理实际问题时，要能从题意中提炼出该问题所具备的数列模型，或等差数列、等比数列，或根据条件列出递推关系，然后根据数列相关知识分析处理． 感谢聆听! $