10 正比例和反比例（导学案）六年级数学寒假自学课（北京版）

10 正比例和反比例 知识点精讲 知识点一 正比例和反比例 内容 正比例和反比例 1、两种相关联的量，如果它们的比值一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 2、如果用字母x、y分别表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值，上面的数量关系可以用式子表示为=k（一定）。 3、判断两种量是否成正比例的依据有两点：①这两种量必须是相关联的量。②这两种量相对应的两个数的比值要一定。 4、正比例的图象是一条直线。 5、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 6、如果用字母、y分别表示这两种相关联的量，用k表示积，上面研究的数量关系，可用式子表示为xy=k（一定）。 【典型例题1】下面是关于2022年北京冬奥会的信息，其中成正比例关系的是（    ）。 A．参加冬奥会的男运动员人数与女运动员人数 B．冬奥会已建场馆数与未建场馆数 C．北京到崇礼区的高铁列车，行驶的速度与时间 D．用相同的大巴车接送运动员，在每辆车恰好坐满的情况下，接送运动员的总人数与大巴车的数量 【典型例题2】下列各项中的两种量，成反比例的是（    ）。 A．圆的周长和直径 B．图书室的藏书数量一定，每天借出和还回书的本数 C．步测一段距离，每步的平均长度和走的步数 【典型例题3】新趋势 图表信息 售卖蘑菇的质量与天数的情况如下图，下列说法不正确的是（    ）。（填序号） A．这是一个正比例图像 B．点（5，150）在这条直线上 C．7天可以售卖180kg蘑菇 D．售卖蘑菇的质量与天数成正比例 【变式训练1】表示x和y成正比例关系的式子是（    ）。 A．x＋y＝10 B．x－y＝10 C．y＝10x 【变式训练2】从甲地开往乙地，客车平均每小时行驶80千米，货车平均每小时行驶70千米。行完全程，客车与货车所用时间的比是（    ）。 A．7∶8 B．8∶7 C．8∶15 【变式训练3】李师傅以每分钟133L的速度往一个圆柱形汽油桶里加油，图（    ）能大致表示油桶内汽油体积随加油时间的变化规律。（填选项） A． B． C． D． 1．下面各题中的两种量，成正比例的是（    ）。 A．华华的年龄与他的体重 B．看一本书，已经看的页数和未看的页数 C．平行四边形的底一定，平行四边形的高与面积 D．打一份稿件，平均每分钟打的字数和完成稿件需要的时间 2．下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（             ）。 A．一个人的年龄和体重 B．圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高 C．一条路，已修的米数与未修的米数 D．单价一定，总价和数量 3．下面几个关系中，x和y（x、y不为0）成反比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 4．下列各图中，能表示出两个量成正比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 5．下面表述正确的有（    ）句。 ①一个数不是正数就是负数。            ②把一个长方形木框拉成平行四边形后，它的周长不变，面积变大了。 ③甲数和乙数的比是4∶5，那么乙数比甲数多25%。       ④直角三角形的两个锐角和大于钝角三角形中的两个锐角和。 ⑤在一定时间里，每分钟生产的零件个数和生产零件的总个数成反比例关系。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如果（m、n都不为0），那么（ ），m和n成（ ）比例。 7．如果圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高成（ ）比例，如果圆锥的高一定，圆锥的体积和底面积成（ ）比例。 8．如表，如果x和y成正比例关系，“？”处应填（ ）；如果x和y成反比例关系，“？”处应填（ ）。 x 3 ？ y 12 24 9．x，y均大于0，在括号里填“成”或“不成”。 （1），x和y（ ）正比例。 （2）x2y＝10，x和y（ ）正比例。 （3）3x4y＝0，x和y（ ）正比例。 （4）x＋y＝7，x和y（ ）正比例。 （5）10÷x＝y，x和y（ ）正比例。 （6）7x＝8y，x和y（ ）正比例。 10．水是生命之源。新学期伊始，实验小学对同学们进行了节约用水教育。笑笑发现了一个忘关的水龙头，她发现的这个水龙头这段时间内的出水量如下图。 （1）每秒的出水量是（ ）L。 （2）点A表示（ ）。 （3）从图中可以看出，这个忘关的水龙头15秒会浪费（ ）L水，（ ）秒就会浪费11L水。 11．小明骑行去奶奶家，下表是他记录的已走路程和剩余路程情况。 已走路程/千米 2 4 6 8 10 剩余路程/千米 18 16 14 12 10 已走路程和剩余路程成正比例关系或反比例关系吗？请说出你的理由。 12．下表是小麦的质量与磨出面粉的质量之间的变化情况。 小麦的质量/kg 20 30 40 50 60 磨出面粉的质量/kg 16 24 32 40 48 （1）写出磨出面粉的质量和小麦的质量的比，求出比值，你有什么发现？ （2）磨出面粉的质量和小麦的质量是否成正比例？请说明理由。 13．某科学中心有4座科技影院，旅行社的李叔叔带了一笔钱，他所能购买（钱正好花完）各影院的门票张数如下表。 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 （1）请把上表补充完整。 （2）表中（    ）和（    ）是两种相关联的量，门票张数随着（    ）的增加而（    ）。表中两种量相对应的两个数的乘积是（    ），这个乘积所表示的意义是（    ）。 （3）影院票价和可购买的门票张数成反比例吗？为什么？ 14．电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 … 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 … （1）判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要（    ）千瓦时；30千瓦时的电可行驶（    ）千米。 知识点一： 【典型例题1】D 【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系。据此解答。 【解答】A．男运动员人数＋女运动员人数＝运动员总人数，参加冬奥会的男运动员人数与女运动员人数的和一定，不成比例； B．已建场馆数＋未建场馆数＝冬奥会场馆总数，冬奥会已建场馆数与未建场馆数的和一定，不成比例； C．速度×时间＝路程，北京到崇礼区的路程一定，则高铁列车行驶的速度与时间的积一定，但是比值或商一定，那么行驶的速度与时间不成正比例关系； D．接送运动员的总人数÷大巴车的数量＝每辆大巴车的载客量（一定），则接送运动员的总人数与大巴车数量的商一定，则接送运动员的总人数与大巴车的数量成正比例关系。 故答案为：D 【典型例题2】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断即可。 【解答】A．圆的周长÷直径＝π，商一定，圆的周长和直径成正比例。 B．借出书的本数不一定会随着还回书的本数变化，每天借出和还回书的本数不成比例。 C．每步的平均长度×走的步数＝步测距离，这一段距离一定也就是这两个量的乘积一定，所以每步的平均长度和走的步数成反比例。 故答案为：C 【点睛】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识，掌握相关判别方法是解答本题的关键。 【典型例题3】C 【分析】根据正比例关系定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的比值一定，即x/y＝k（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。判断B、C、D选项。 根据正比例关系图像：从图像上看，成正比例关系的图像就像一条经过原点的直线。判断A选项。 【解答】A选项：根据（kg），（kg），……比值一定且是一条经过原点的直线，所以这是一个正比例图像，说法正确。 B选项：，与比值30相等，所以点（5，150）在这条直线上，说法正确。 C选项：（kg），所以7天可以售卖210kg蘑菇，说法错误。 D选项：售卖蘑菇的质量与天数的比值一定，成正比例，说法正确。 故答案为：C 【变式训练1】C 【解析】根据正比例公式x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系。 【解答】A． x＋y＝10，和一定，不成比例；B. x－y＝10，差一定，不成比例；C. y＝10x，y÷x＝10（一定），x和y成正比例关系。 故答案为：C 【点睛】本题考查了辨识正比例的量，商一定是正比例关系。 【变式训练2】A 【分析】可以假设路程为560千米，分别算出客车和货车用的时间，再求比即可。 【解答】假设路程为560千米 客车用的时间∶560÷80＝7（小时） 货车用的时间∶560÷70＝8（小时） 所以客车与货车所用时间的比是7∶8。 故答案为：A 【点睛】根据时间＝路程÷速度解答此题即可，也可以依据路程一定，速度和时间成反比进行解答。 【变式训练3】C 【分析】根据正比例关系定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的比值一定，即x/y＝k（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。判断B、C、D选项。 根据正比例关系图像：从图像上看，成正比例关系的图像就像一条经过原点的直线。判断A选项。 【解答】A选项：根据（kg），（kg），……比值一定且是一条经过原点的直线，所以这是一个正比例图像，说法正确。 B选项：，与比值30相等，所以点（5，150）在这条直线上，说法正确。 C选项：（kg），所以7天可以售卖210kg蘑菇，说法错误。 D选项：售卖蘑菇的质量与天数的比值一定，成正比例，说法正确。 故答案为：C 1．C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】A．华华的年龄与他的体重不是相关联的量，所以华华的年龄与他的体重不成比例； B．已经看的页数＋未看的页数＝这本书的总页数（一定），和一定，所以已经看的页数和未看的页数不成比例； C．平行四边形的面积÷高＝底（一定），商一定，所以平行四边形的高与面积成正比例； D．平均每分钟打的字数×完成稿件需要的时间＝稿件的总字数（一定），乘积一定，所以平均每分钟打的字数和完成稿件需要的时间成反比例。 故答案为：C 2．B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】A．一个人年龄和体重虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，故不成比例； B．圆锥的底面积×高＝3×圆锥的体积，乘积一定，圆锥的底面积和高成反比例； C．已修的米数＋未修的米数＝这条路的长，和一定，但是它们的比值和乘积都不一定，故不成比例； D．总价÷数量＝单价，比值一定，总价和数量成正比例。 故正确答案为：B 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 3．B 【分析】判断两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。 【解答】A．因为：（一定），所以x和y成正比例，不合题意； B．由比例的基本性质可知：x×y＝10（一定），所以x和y成反比例，符合题意； C．（一定），这是和一定，所以x和y不成比例； D．由，得，即，所以x和y不成比例； 故选：B。 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断。 4．C 【分析】首先要知道成正比例关系的图象特点是一条经过原点的直线，相关联的两个量应是比值或商一定；据此即可作出正确选择。 【解答】A．不是一条直线，不符合题意； B．是一条曲线，不是直线，不符合题意； C．是一条经过原点的直线，符合题意； D．不是一条直线，不符合题意。 故答案为：C。 【点睛】本题主要考查正比例的图像，熟练掌握正比例的图像并灵活运用。 5．B 【分析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论． 【解答】①0既不是正数也不是负数，原说法错误； ②把一个长方形木框拉成平行四边形后，它的周长不变，面积变小了，原说法错误； ③将甲数看成4份，乙数看成5份，则乙数比甲数多（5－4）÷4＝25%，原说法正确； ④直角三角形的两个锐角和等于90°，钝角三角形中的两个锐角和小于90°，所以直角三角形的两个锐角和大于钝角三角形中的两个锐角和。原说法正确； ⑤在一定时间里，每分钟生产的零件个数和生产零件的总个数成正比例关系，原说法错误； 综上可知，说法正确的有2个。 故答案为：B 【点睛】此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累。 6． 正 【分析】根据题意，可先将改写成7m＝5n，然后等式两边同时除以7，除以n，即可通过转化得出m和n的比。或根据比例的基本性质直接得到。根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，即可确定m和n的比例关系。 【解答】由可得7m＝5n 7m÷7÷n＝5n÷7÷n m÷n＝5÷7＝ 所以，m∶n＝5∶7，m和n成正比例关系。 7．反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】圆锥的底面积×高＝圆锥体积×3（一定），乘积一定，所以如果圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高成反比例； 圆锥的体积÷底面积＝高÷3，因为高一定，所以高÷3也是定值，因此如果圆锥的高一定，圆锥的体积和底面积成正比例。 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 8．6 1.5 【分析】如果x和y成正比例关系，则它们的比值一定，则3∶12＝？∶24，据此求出？的值；如果x和y成反比例关系，则它们的乘积一定，则3×12＝？×24，据此求出？的值。 【解答】3∶12＝？∶24 解：12×？＝3×24 ？＝6； 3×12＝？×24 解：？×24＝36 ？＝1.5 【点睛】明确两个相关联的量，如果比值一定则成正比例关系，如果乘积一定，则成反比例关系。 9．（1）成 （2）不成 （3）成 （4）不成 （5）不成 （6）成 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为。 【解答】（1），整理得（一定），x和y的比值一定，所以x和y成正比例； （2），整理得，x和y的比值不一定，所以x和y不成正比例； （3），整理得（一定），x和y的比值一定，所以x和y成正比例； （4），x和y的比值不一定，所以x和y不成正比例； （5），整理得，x和y的比值不一定，所以x和y不成正比例； （6），整理得（一定），x和y的比值一定，所以x和y成正比例。 10．（1）0.2 （2）这个水龙头30秒浪费了6L水 （3）3 55 【分析】（1）从图像可知，30秒时出水量为6升，用出水量除以时间可得到每秒的出水量； （2）图像中横坐标表示时间，纵坐标表示出水量，点A对应的横坐标是30秒，纵坐标是6升，所以点A表示这个水龙头30秒浪费了6升水； （3）已知每秒出水量是0.2升，用每秒出水量乘以时间15秒，即可得到15秒的出水量；用总出水量11升除以每秒出水量，就能得到所需时间。据此解答。 【解答】（1）（L） 每秒的出水量是2L； （2）点A表示这个水龙头30秒浪费了6升水； （3）（L） （秒） 从图中可以看出，这个忘关的水龙头15秒会浪费3L水，55秒就会浪费11L水。 11．不成比例关系；和一定，所以不成比例关系。 【分析】根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，进行解答。 【解答】已走路程和剩余路程不成比例关系。 2＋18＝20（千米）；4＋16＝20（千米）；6＋14＝20（千米）；8＋12＝20（千米）；10＋10＝20（千米） 已走路程＋剩余路程＝总路程，是和一定，所以不成比例关系。 【点睛】本题考查了辨识正比例和反比例的量，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系。 12．（1）；；；； 发现：比值都相等，都是0.8。 （2）成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 【分析】（1）根据表格数据，分别写出每组面粉的质量与小麦的质量的比，再求出比值，观察比值是否一致。 （2）正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做正比例的量，据此解答。 【解答】（1）；；；； 答：发现：比值都相等，都是0.8。 （2）由（1）可知，磨出面粉的质量和小麦的质量的比值都是0.8。 答：能成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 13．（1） 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 140 168 （2）票价；门票张数；票价；减少；4200；李叔叔带的总钱数 （3）成反比例。因为影院票价和可购买的门票张数是两种相关联的量，且它们的乘积一定，所以影院票价和可购买的门票张数成反比例。 【分析】（1）根据总钱数不变，利用“总价＝单价×数量”的关系进行计算，先计算李叔叔带的总钱数：巨幕影院票价40元，数量105张，总钱数为4200元，再求4D影院的数量：总钱数4200元，票价30元，数量为140张，最后求动感影院的数量：总钱数4200元，票价25元，数量为168张； （2）表中票价和数量是两种相关联的量，数量随着票价的增加而减少，两种量相对应的两个数的乘积是固定的，表中两种量相对应的两个数的乘积是4200，表示李叔叔带的总钱数。 （3）因为影院票价和可购买的门票数量是两种相关联的量，且它们的乘积（总钱数）一定，所以成反比例。 【解答】（1）（元） （张） （张） 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 140 168 （2）表中票价和数量是两种相关联的量，门票张数随着票价的增加而减少，表中两种量相对应的两个数的乘积是4200，表示李叔叔带的总钱数。 （3）成反比例。因为影院票价和可购买的门票张数是两种相关联的量，且它们的乘积一定，所以影院票价和可购买的门票张数成反比例。 14．（1）成正比例；因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定 （2）图见详解 （3）63；200 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）把统计表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接即可。 （3）由第（1）题可得出行驶路程与耗电量的比值，求行驶420千米需要的电量，即求比的后项，用比的前项除以比值即可；求30千瓦时的电可行驶的路程，即求比的前项，用比的后项乘比值即可。 【解答】（1）（一定） 答：该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例，因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定。 （2）根据分析如图： （3）80÷12＝（千米/千瓦时） 420÷＝420×＝63（千瓦时） ×30＝200（千米） 该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要63千瓦时；30千瓦时的电可行驶200千米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $