06 比的意义和基本性质（导学案）六年级数学寒假自学课（北京版）

06 比的意义和基本性质 知识点精讲 知识点一 比的意义和基本性质 内容 比的意义和基本性质 1、两个数相除，又叫作这两个数的比。 2、比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项。比的前项除以后项，所得的商叫作比值。 3、比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫作比的基本性质。用字母表示比的基本性质为a：b=na：nb(b≠0，n≠0） 4、分数比的化简方法：把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比再进行化简。 5、小数比的化简方法：把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，把小数比转化成整数比再进行化简。 【典型例题1】把一根木料锯成8段，锯下一段所用的时间与总时间之比是（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题2】中，6是比的（ ），5是比的（ ），是比的（ ）。 【典型例题3】（填小数）。 【典型例题4】7∶13的前项加上21，要使比值不变，后项应该加上（ ）。 【典型例题5】把下面的比化成最简单的整数比。 0.75∶1               3时20分∶50分 【变式训练1】下面分别是三根小棒长度的比，根据这个比，下面选项中的三根小棒能围成三角形的是（    ）。 A．3∶3∶4 B．5∶3∶2 C．8∶4∶3 D．2∶4∶7 【变式训练2】如果3∶5＝0.6，那么3是比的（ ），5是比的（ ），0.6是（ ）。 【变式训练3】（    ）。（填小数） 【变式训练4】的后项增加15，要使比值不变，前项应乘（ ）。 【变式训练5】求下面各比的比值。 0.6∶0.18               0.2t∶50kg 1．从甲地到乙地，客车要4小时，货车要5小时，客车与货车的速度比是（    ）。 A．4∶5 B．5∶4 C． 2．下面四个情境中，两个量之比可以用2∶3表示的（    ）。 A．只有①④ B．只有②④ C．只有①②④ D．只有①②③ 3．把5∶9的后项加上了18，要使它的比值不变，前项应该（    ）。 A．乘3 B．加上27 C．乘2 D．加上18 4．已知甲数是乙数的，乙数是丙数的，则甲∶乙∶丙＝（    ）。 A． B． C． D． 5．当x＝（    ）时，∶x的比值恰好是最小的质数。 A． B． C． D．12 6．一块木板的长是6m，宽是15dm，这块木板的长与宽的最简整数比是（ ），比值是（ ）。 7．在3∶2中，如果前项乘6，要使比值不变，那么后项要乘（ ）；如果前项加上6，要使比值不变，那么后项要加上（ ）。 8．。 9．做一批玩具，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，甲、乙两人工作时间的比是（ ），甲乙两人每天完成的工作量的比是（ ）。 10．人体十二指肠的长度约比大肠的长度短。 （1）人体十二指肠的长度与大肠长度的最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。 （2）如果某人的大肠长度约为1.5米，那么他的十二指肠的长度大约为（ ）米。 11．化简下面各比（要有解答过程）。 24∶42         0.09∶4.5         ∶           0.8∶ 12．画一画、填一填。 （1）在方格纸上画出两个大小不同的正方形，使两个正方形的边长比是2∶1。 （2）这两个正方形中，大正方形与小正方形的周长比是（    ）∶（    ）。 （3）这两个正方形中，大正方形与小正方形的面积比是（    ）∶（    ）。 13．图中阴影部分的面积是三角形甲的，是三角形乙的。求甲乙两个三角形面积的比值。 14．星光小学召开春季运动会，淘气、欢欢和乐乐三人参加了百米赛跑。在赛跑的过程中，淘气的速度比欢欢慢，欢欢的速度比乐乐慢，淘气、欢欢和乐乐的速度最简整数比是多少？ 15．甲、乙两个数的比是了7∶9，当甲数增加21后，要使比值不变乙数要增加多少？ 16．李明看一本课外书，已看的页数与未看的页数比2∶3，如果再看56页，已看的页数与未看页数的比正好是3∶1。这本书一共有多少页？ 知识点一： 【典型例题1】C 【分析】根据锯木头的特点可得：锯的次数＝间隔数－1，那么锯成8段锯了8－1＝7次，由此即可得出锯一段所用的时间是总时间的比。 【解答】8－1＝7（次） 所以锯下一段所用的时间与总时间之比是1∶7。 故答案为：C 【典型例题2】前项 后项 比值 【分析】两个数相除又叫两个数的比，比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项，比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值，据此解答。 【解答】根据分析可知，6∶5＝中，6是比的前项，5是比的后项，是比的比值。 【典型例题3】12；40；0.375 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时除以3，就是9∶24＝3∶8，再根据比与分数的关系，比的前项相当于分数的分子，比的后项相当于分数的分母，即3∶8＝，再根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘4就是＝，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘5，就是3∶8＝15∶40，用比的前项除以比的后项即可化为小数，9∶24＝9÷24＝0.375。据此填空即可。 【解答】由分析可知： 9∶24＝＝15∶40＝0.375 【典型例题4】39 【分析】先求出比的前项加上21后扩大的倍数，再根据“比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变”求出比的后项，最后用减法求出后项应该增加的数，据此解答。 【解答】根据分析得出： （21＋7）÷7 ＝28÷7 ＝4 13×4＝52 52－13＝39 所以，后项应该加上39。 【典型例题5】3∶4；14∶9；4∶1 【分析】比的前项和后项同时乘或除以同一个不为的数，比值不变，最终将比化为前项和后项互质的整数比。 0.75∶1，前项和后项同时乘4化简；，前项和后项同时乘24化简；3时20分∶50分，1时＝60分，把时换算为分，再前项和后项同时除以50化简。 【解答】0.75∶1 ＝（0.75×4）∶（1×4） ＝3∶4 3时20分∶50分 ＝（3×60＋20）分∶50分 ＝（180＋20）分∶50分 ＝200∶50 ＝（200÷50）∶（50÷50） ＝4∶1 【变式训练1】A 【分析】三根小棒要想围成三角形，必须满足三角形的三边关系，即“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。一般判断的时候利用“两边之和大于第三边”判断，比较简单，直接用最短的两条边的长度相加，看结果是否大于第三边的长度。题目给出的是三根小棒长度的比，直接将比的三个数当作三根小棒的长度判断即可。 【解答】A．三根小棒的长度比是3∶3∶4，3＋3＞4，满足“两边之和大于第三边”，能围成三角形。 B．三根小棒的长度比是5∶3∶2，3＋2＝5，不满足“两边之和大于第三边”，不能围成三角形； C．三根小棒的长度比是8∶4∶3，4＋3＜8，不满足“两边之和大于第三边”，不能围成三角形； D．三根小棒的长度比是2∶4∶7，2＋4＜7，不满足“两边之和大于第三边”，不能围成三角形。 选项中的三根小棒能围成三角形的是3∶3∶4。 故答案为：A 【变式训练2】前项 后项 比值 【分析】（1）根据比的定义：两个数相除又叫做两个数的比。在比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商叫做比值。 （2）对于3：5＝0.6这个式子，其中3在比号前面，所以3是比的前项，5在比号后面，所以5是比的后项。 （3）3：5＝0.6，0.6是3与5相除的商，所以0.6是比值 【解答】如果3∶5＝0.6，那么3是比的前项，5是比的后项，0.6是比值。 【变式训练3】25；27；10；0.6 【分析】分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此根据分数与除法的关系，以及它们通用的基本性质进行填空；分数化小数，直接用分子÷分母即可。比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。据此解答。 【解答】＝3∶5＝（3×5）∶（5×5）＝15∶（25） ＝＝ ＝3÷5＝（3×2）÷（5×2）＝6÷10＝0.6 所以 【变式训练4】4 【分析】4∶5的后项加上15，是5＋15＝20，即后项扩大到原来的20÷5＝4倍，要使比值不变，前项也要扩大到原来的4倍，即前项应乘4。 【解答】（5＋15）÷5 ＝20÷5 ＝4 所以4∶5的后项增加15，要使比值不变，前项应乘4。 【变式训练5】；；4 【分析】0.6∶0.18，用比的前项除以比的后项，即0.6∶0.18＝0.6÷0.18，所得的商即为比值； ∶，用比的前项除以比的后项，即∶＝÷，再根据分数除法法则，一个数除以另一个分数，等于这个数乘另一个分数的倒数； 0.2t∶50kg，根据1t＝1000kg，先将0.2t换算成kg，0.2×1000＝200（kg），再用比的前项除以比的后项，所得的商即为比值，据此解答。 【解答】0.6∶0.18 ＝0.6÷0.18 ＝ ∶ ＝÷ ＝× ＝ 0.2t∶50kg ＝200kg∶50kg ＝200÷50 ＝4 1．B 【分析】客车所用时间为4小时，货车所用时间为5小时，把路程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，求出两车的速度，再根据比的意义求出两个车的速度比，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，化简最简整数比即可。 【解答】客车的速度为：，货车的速度为：。 客车与货车的速度比为。 化简比： 故答案为：B 2．C 【分析】①图中小汽车模型的身长是2，大汽车模型的身长是3，根据比的意义写出两车的车身长度比。 ②白球有4个，黑球有6个，根据比的意义写出白球个数与黑球个数的比，并化简比。 ③根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形甲、乙的面积，根据比的意义写出甲、乙的面积比。 ④已知购买30米线绳，付了20元，根据比的意义写出付的钱数与购买线绳的米数的比，并化简比。 从中找出两个量之比可以用2∶3表示的情境。 【解答】①小汽车模型与大汽车模型身长的比是2∶3； ②白球个数与黑球个数的比是4∶6＝（4÷2）∶（6÷2）＝2∶3； ③三角形甲与三角形乙的面积比是（2×2÷2）∶（3×3÷2）＝4∶9； ④付的钱数与购买线绳的米数的比是20∶30＝（20÷10）∶（30÷10）＝2∶3； 综上所述，两个量之比可以用2∶3表示的是①②④。 故答案为：C 3．A 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 先计算后项加上18后的数值；再确定后项扩大的倍数；最后根据比的基本性质判断前项的变化即可。 【解答】9＋18＝27 27÷9＝3 所以把5∶9的后项加上了18，要使它的比值不变，前项应该乘3。 故答案为：A 4．B 【分析】观察分数，甲数是乙数的，即甲数∶乙数＝3∶10；乙数是丙数的，即乙数∶丙数＝4∶9。两个比中都有乙数，但份数不相同，利用比的基本性质，甲数∶乙数的前项和后项同时乘2，乙数∶丙数的前项和后项同时乘5，乙数的份数相同，即可得出甲、乙、丙三个数的比。 【解答】甲数∶乙数＝3∶10＝（3×2）∶（10×2）＝6∶20 乙数∶丙数＝4∶9＝（4×5）∶（9×5）＝20∶45 甲∶乙∶丙＝6∶20∶45 所以甲、乙、丙三个数的比是6∶20∶45。 故答案为：B 5．B 【分析】最小的质数是2，即∶x＝2，根据“前项÷比值＝后项”，求出x的值即可。 【解答】∶x的比值是2，则x＝÷2＝×＝，当x＝时，∶x的比值恰好是最小的质数。 故答案为：B 【点睛】关键是熟悉比各部分之间的关系，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 6．4∶1 4 【分析】①统一单位：长是6米，宽是15分米，因为1米＝10分米，所以6米＝60分米。 ②写出长与宽的比并化简：长与宽的比为，化简即可。 ③计算比值：比值是比的前项除以后项得到的商。 【解答】（分米） 所以这块木板的长与宽的最简整数比是，比值是4。 7．6 4 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，来解答。 （1）如果前项乘6，要使比值不变，那么后项要乘6； （2）如果前项加上6，前项变成3＋6＝9，9÷3＝3，也就是给前项乘3，要使比值不变，那么后项也要乘3，变成2×3＝6，6－2＝4，也就是给后项加上4。 【解答】根据分析可知： 在3∶2中，如果前项乘6，要使比值不变，那么后项要乘6；如果前项加上6，要使比值不变，那么后项要加上4。 8．32 8 30 12 【分析】根据被除数÷商＝除数，计算出除数的值。 0.75＝，根据分数的基本性质，分子分母同时扩大到原来的2倍，得到分母。 根据分数与比的关系，分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，由比的基本性质，比的前项和后项同时扩大到原来的10倍，计算得到比的前项。 4＋16＝20，从4到20，分母扩大到原来的5倍，分子也扩大到原来的5倍，用减法得到分子应增加多少。 【解答】24÷0.75＝32 0.75＝ ＝3∶4 3∶4 ＝（3×10）∶（4×10） ＝30∶40 4＋16＝20 20÷4＝5 3×5－3 ＝15－3 ＝12 24÷32＝0.75＝ 9．2∶3 3∶2 【分析】把制作这批玩具的工作总量看作单位“1”，根据题意，甲每天完成的工作量为1÷8＝，乙每天完成的工作量为1÷12＝。 用甲单独完成的时间∶乙单独完成的时间，得到甲乙两人的工作时间比，再根据比的基本性质化成最简整数比即可； 用甲每天完成的工作量∶乙每天完成的工作量，得到甲乙两人每天完成的工作量比，再根据比的基本性质化成最简整数比即可。 【解答】甲乙两人的工作时间比： 8∶12＝（8÷4）∶（12÷4）＝2∶3 1÷8＝ 1÷12＝ 甲乙两人每天完成的工作量比： ∶＝（×24）∶（×24）＝3∶2 因此，做一批玩具，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，甲、乙两人工作时间的比是2∶3，甲乙两人每天完成的工作量的比是3∶2。 10．（1）2∶15 （2）0.2/ 【分析】（1）把大肠的长度看作单位“1”，十二指肠的长度约比大肠的长度短，则十二指肠的长度占大肠长度的（1－），那么十二指肠的长度∶大肠的长度＝（1－）∶1，再根据比的基本性质化简求出人体十二指肠的长度与大肠长度的最简单的整数比，最后求出比的前项除以后项的商就是比值； （2）把大肠的长度看作单位“1”，十二指肠的长度约比大肠的长度短，则十二指肠的长度占大肠长度的（1－），十二指肠的长度＝大肠的长度×（1－），据此解答。 【解答】（1）十二指肠的长度∶大肠的长度 ＝（1－）∶1 ＝∶1 ＝（×15）∶（1×15） ＝2∶15 ＝2÷15 ＝ 所以，人体十二指肠的长度与大肠长度的最简单的整数比是2∶15，比值是。 （2）1.5×（1－） ＝1.5× ＝0.2（米） 所以，他的十二指肠的长度大约为0.2米。 11．4∶7；1∶50；18∶25；8∶5 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 利用比的基本性质来化简比。 【解答】（1）24∶42 ＝（24÷6）∶（42÷6） ＝4∶7 （2）0.09∶4.5 ＝（0.09×100）∶（4.5×100） ＝9∶450 ＝（9÷9）∶（450÷9） ＝1∶50 （3）∶ ∶ ＝18∶25 （4）0.8∶ ∶ ＝8∶5 12．（1）见详解； （2）2；1； （3）4；1 【分析】（1）根据两个正方形的边长之比是2∶1，可画大正方形边长为2，则小正方形边长为1。 （2）根据正方形周长公式：周长＝边长×4，分别计算大、小正方形的周长，再求周长的比； （3）根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，分别计算大、小正方形的面积，再求面积的比。 【解答】（1）根据分析，画大正方形边长为2，则小正方形边长为1。（答案不唯一） （2）大正方形周长＝2×4＝8 小正方形周长＝1×4＝4 大正方形与小正方形的周长比是8∶4＝2∶1； （3）大正方形面积＝2×2＝4 小正方形面积＝1×1＝1 大正方形与小正方形的面积比是＝4∶1。 13． 【分析】假设阴影部分的面积是1，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，据此用1分别除以和，分别求出三角形甲和三角形乙的面积，再进行比即可解答。 【解答】假设阴影部分的面积是1。 1÷＝1×4＝4 1÷＝1×＝4.5 4∶4.5＝（4×2）∶（4.5×2）＝8∶9＝8÷9＝ 答：甲乙两个三角形面积的比值是。 14．81∶90∶100 【分析】将乐乐的速度看成单位“1”，则欢欢的速度为（1－），淘气的速度为（1－）×（1－）。由此写出三人的速度比，再根据比的性质化简即可。 【解答】1－＝ （1－）×（1－） ＝× ＝ ∶∶1＝（×100）∶（×100）∶（1×100）＝81∶90∶100 答：淘气、欢欢和乐乐的速度最简整数比是81∶90∶100。 15．27 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。当甲数增加21后，甲数为：7＋21＝28，即比的前项7乘（28÷7），要使比值不变，其后项9也要乘（28÷7），要求乙数要增加多少，用变化后的后项减去变化前的后项即可解答。 【解答】（7＋21）÷7×9－9 ＝28÷7×9－9 ＝4×9－9 ＝36－9 ＝27 答：要使比值不变乙数要增加27。 16．160页 【分析】把这本课外书的总页数看作单位“1”，已看的页数与未看的页数比2∶3，则已看的页数占总页数的；如果再看56页，已看的页数与未看页数的比正好是3∶1，则此时已看的页数占总页数的；那么再看的56页占总页数的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出总页数。 【解答】56÷（－） ＝56÷（－） ＝56÷（－） ＝56÷ ＝56× ＝160（页） 答：这本书一共有160页。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $