第02讲 分式的运算（寒假预习讲义）八年级数学新教材华东师大版

第2讲 分式的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：分式的乘除运算 1.分式乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即（，）；若分子、分母是多项式，先因式分解，约分后再相乘，结果化为最简分式或整式。 2.分式除法法则：将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，即（，，）；整式可看作分母为1的分式参与运算。 3.多个分式相乘推广：（所有分母不为0）。 4.关键技巧：因式分解是简化乘除运算的核心，优先分解分子分母中的多项式（如平方差、完全平方公式），再约去公因式。 知识点2：分式的乘方运算 1.乘方法则：分子、分母分别乘方，即（，为正整数）；、可表示单项式或多项式。 2.符号规则：与有理数乘方一致——正分式的任何次幂为正，负分式的偶次幂为正、奇次幂为负。 3.注意事项：分子或分母是多项式时，需看作整体加括号（如，不可写成）。 4.混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右。 知识点3：分式的加减运算 1.同分母分式加减：分母不变，分子相加减，即（）；结果需约分至最简。 2.异分母分式加减：先通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算，即（，）。 3.通分步骤：①找最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积）；②分子分母同乘相应整式，保证分式值不变。 4.特殊情况：①整式与分式加减，将整式看作分母为1的分式（如）；②分母互为相反数时，添负号化为同分母（如）。 知识点4：分式的混合运算 1.运算顺序：先乘方，后乘除，再加减；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）；同级运算从左到右。 2.运算律应用：可灵活运用乘法分配律、结合律简化计算（如）；注意除法无分配律，不可写成。 3.结果要求：分子、分母若有负号，将“-”移到分式前面；最终结果必须化为最简分式或整式。 知识点5：易错辨析（预习重点关注） 1.忽略分母不为0的条件：运算中所有分母（含化简过程中的分母）均不能为0（如中，、、）。 2.分数线的括号作用：分数线兼具除号和括号功能，如需先通分，不可直接去掉分母计算。 3.乘方符号错误：负分式乘方时，符号由指数奇偶性决定（如，）。 4.通分与约分混淆：通分是分子分母同乘整式（扩分），约分是分子分母同除以公因式（缩分），不可颠倒操作。 5.因式分解不彻底：如需分解为，再约分，避免遗漏公因式。 知识点6：重点题型与解题方法 1.化简求值题：①先化简分式（因式分解→约分→合并）；②根据分母不为0确定字母取值范围；③代入合适的值计算（如取整数、非负整数等限定条件）。 2.恒等式求参数：用待定系数法，将等式右边通分后，对比分子同类项系数列方程组求解（如，求、、）。 3.比较分式大小：①作差法（）；②作商法（、为正数时，）。 4.实际应用题：涉及平均价格、浓度、工程量等，根据题意列分式表达式，再通过运算求解（如两次购买商品的平均价格对比）。 知识点7：概念比较与辨析 1.分式运算与分数运算的类比：分数的乘除、加减法则完全适用于分式，仅需注意分式分母不能为0的特殊要求。 2.分式乘方与乘法的区别：乘方是“分子分母分别自乘次”，乘法是“分子乘分子、分母乘分母”（如，，结果相同但运算逻辑不同）。 3.通分与最简公分母：最简公分母是通分的关键，若分母为多项式，需先因式分解（如分母和，最简公分母为）。 知识点8：重点记忆口诀与技巧 1.运算顺序口诀：“乘方乘除再加减，括号里面最优先，同级运算左到右，步步约分要牢记”。 2.实用技巧：①因式分解优先：遇到多项式分母/分子，先分解（平方差、完全平方、提公因式）； ②倒数法：处理型分式，取倒数转化为； ③整体代入：如已知，求，利用完全平方公式整体计算。 【题型1分式的乘法运算（含单项式、多项式）】 方法技巧：1.单项式相乘：直接用（），先约分再计算； 2.多项式相乘：先对分子分母因式分解，约去公因式，再按法则运算，结果化为最简分式或整式。 例1. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握运算法则是解决问题．约分为最简分式即可． 【详解】解：． 故选：C． 变式1. （25-26八年级上·北京延庆·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则进行计算，约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2. （2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 变式3. （24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【题型2分式的除法运算】 方法技巧：1.转化法则：（），颠倒除式分子分母； 2.多项式除法：先因式分解，再约分，牢记分母不为0的隐含条件。 例2. （2025·湖北·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1. （25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）计算的结果是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，掌握相关知识是解决问题的关键．先将分式除法转化为乘法后约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 变式2. （25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）两个分式相乘，直接进行约分即可； （2）首先对分子、分母分别进行因式分解，运用分式的除法法则把除法变为乘法，然后继续约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式3. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的乘除，熟练掌握分式乘除的法则，约分，平方差公式分解因式，是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （2）结合平方差公式分解因式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （3）除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （4）除法变成乘法，结合平方差公式分解因式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：原式． （4）解：原式． 【题型3分式的乘方运算】 方法技巧：1.法则应用：（，为正整数）； 2.符号判断：正分式任何次幂为正，负分式偶次幂为正、奇次幂为负； 3.整体思想：分子或分母为多项式时，加括号视为整体。 例3. （24-25八年级下·山西临汾·期末）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方； 分式的分子、分母分别进行乘方运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1. （25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)　　　； (2)　　　； (3)　　　； (4)　　　． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的乘方运算，熟知分式的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘方运算法则求解即可； （2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘方运算法则求解即可； （4）根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 变式2. （25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 变式3. （24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据分式的乘法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【题型4同分母与异分母分式加减运算】 方法技巧：1.同分母：（），分母不变，分子相加减后约分； 2.异分母：先通分（找最简公分母）转化为同分母，再加减； 3.整式参与：将整式视为分母为1的分式运算。 例4. （2025八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：对于选项A：，故本选项错误，不符合题意； 对于选项B：，故本选项错误，不符合题意； 对于选项C：，故本选项错误，不符合题意； 对于选项D：，故本选项正确，符合题意． 故选：D 变式1. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 变式2. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 【答案】0． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的加减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 变式3. （25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据同分母分式的加法进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【题型5分式的化简求值（含条件求值）】 方法技巧：1.步骤：先化简（因式分解→约分→合并），再代入求值； 2.条件处理：利用绝对值、平方非负性等求字母值，代入前检验分母不为0； 3.技巧：优先用整体代入、因式分解约分简化计算。 例5. （25-26九年级上·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用分式的加减乘除化简，后代入求值即可． 本题考查了分式的化简，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：     ， 当时，原式． 变式1. （25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，即可化简，再将的值代入计算即可． 【详解】解：原式= ； ∵ ∴原式. 变式2. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 需先对分子和分母因式分解，再通分和约分，最后代入求值． 【详解】解：原式= = = = = =， 当时，原式=． 变式3. （25-26九年级上·江西南昌·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，对分式的分子、分母分别进行因式分解是解题关键． 先用提公因式法、平方差公式法将分式变形，再将除法转化为乘法进行约分，最后代入求值． 【详解】解： ， 当，． 【题型6分式大小比较（作差法、作商法）】 方法技巧：1.作差法：计算，则，反之则小； 2.作商法：为正数时，计算，则； 3.简化原则：先约分再比较，减少运算量。 例6. （25-26八年级上·全国·课后作业）若，请比较x与y的大小． 【答案】 【分析】本题考查了初中数学中的分式除法的基本知识．解题的关键在于通过通分和化简，将两个分式的差转化为易于判断正负的形式．用作商法比较两个数的大小． 【详解】解：. ， ， ． 变式1. （25-26八年级上·北京延庆·期中）比较与的大小（其中）． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的大小比较，通过计算两式的差，并利用完全平方公式，判断差的正负，从而比较大小． 【详解】解：设，，则： ， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， 即． 变式2. （25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）【阅读理解】我们在比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，试判断： 0（填“”，“”或“”）； (2)已知，，当时，试比较与B的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用分式的加减法则计算后进行判断即可； （2）根据题意列式后利用分式的加减法则计算，然后进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 变式3. （24-25八年级下·河南郑州·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）计算两式之差 ，根据差值的符号进行判断； （2）化简 ，由 可得 ，进而求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 则， ∴， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， ， ∴， ． 【题型7分式恒等式求参数（待定系数法）】 方法技巧：1.通分转化：将等式右边通分，使左右分母相同； 2.系数对应：等式两边分子同类项系数相等，列方程组求解； 3.快捷方法：取使分母不为0的特殊值代入，快速验证参数。 例7. （25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．，B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 变式1. （25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，试确定A，B的值 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， 解得． 变式2. （25-26八年级上·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值，将其代入计算即可． 【详解】解：将等式的左边相减，得：， 根据左右两边相等，可得：， 解得： ． 变式3. （24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数）．则________，________； (3)当时．判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)1，3 (3)，证明见解析 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m 及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∵， ∴， ， 解得：， 故答案为：1，3； （3）解：． 证明： ， ， ， ． 【题型8分式运算的规律探究（裂项相消、循环规律）】 方法技巧：1.裂项模型：，逆向运用化简求和； 2.循环规律：计算前3-4项找周期，利用周期性求解； 3.归纳总结：从特殊到一般，提炼运算规律。 例8. （2025八年级上·全国·专题练习）观察下列各式： 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； … (1)请写出第5个式子：______； (2)根据你总结的规律写出第n个式子，并说明结论的正确性； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)208 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案； （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； ∴第5个等式：； （2）解：由前几个等式的规律得到第n个等式是：； 理由：等号左边等号右边； （3）解： ． 变式1. （25-26八年级上·山东济宁·月考）观察下列各式：，，，，，… (1)请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来_______． (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了分式的加减法，分式的规律性问题，弄清题中的拆项法是解题的关键． （）根据给出的式子，写出用x表示的一般规律即可； （）利用找出的一般规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 变式2. （25-26八年级上·江苏苏州·期中）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查分式的运算，解题的关键是理解“关联分式”的定义； （1）根据“关联分式”的定义可进行求解； （2）设的“关联分式”为N，则，然后根据分式的运算即可求解； （3）①由题意可设分式，，则根据“关联分式”的定义可知：，然后可得，进而问题可求解； ②根据①中规律可得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式与分式的“关联分式”； （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：①由题意可设分式，，则根据“关联分式”的定义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的“关联分式”为， ∴分式的“关联分式”为； ②由①可知： ∵是的“关联分式”， ∴， ∴， 解得：． 变式3. （25-26八年级上·湖南永州·月考）观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，，解得，，代入原式，再根据计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设 ∴ 令，则 令，则 ∴ 故答案为：. （3）解：∵ ∴， 解得， ∴ . 【题型9分式运算的新定义问题（友好分式、对称式等）】 方法技巧：1.理解定义：紧扣题干新定义，转化为分式运算（如“友好分式组”差为2）； 2.化简验证：按定义列等式，通过分式加减、乘除化简验证； 3.参数求解：结合定义列方程，注意字母取值限制（分母不为0）。 例9. （25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个不为零的整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 【答案】(1)①③④ (2) 【分析】本题考查了新定义，分式的加减，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不符合和谐分式定义，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ． 变式1. （25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4或10或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式相加并计算即可； （2）将两式相加并计算，根据E与F关于C的“合值”为1求得a的值即可． （3）根据与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，可得，从而得到，再由分式的值为正整数，可得取1或7或，即可求解． 【详解】（1）解：∵分式，是“合分式”， ∴， ∴与关于的“合值”为3； 故答案为：3 （2）解： ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， （3）解：， ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ∴， ∴， ∴， ∵分式的值为正整数，为整数， ∴7是的整数倍， ∴取1或7或， 此时x的值为4或10或． 变式2. （25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 变式3. （25-26八年级上·湖南株洲·期中）我们知道，分子比分母小的分数叫作“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫作“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： (1)分式是______填“真分式”或“假分式”； (2)将分式化成带分式； (3)将分式化成带分式； (4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 【答案】(1)假分式 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的加减和分式的定义，解题关键是理解已知条件中的新定义，熟练掌握分式的加减法则． （1）根据真假分式的定义，观察分子和分母的次数，进行判断即可； （2）把分式的分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （3）利用完全平方公式将分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （4）通过设未知数，表达三位数m和两位数n，计算时用完全平方公式，根据整除的意义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：因为分式的分子和分母的次数都是1， 此分式是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b， 则：， 所以 ， 由题意得，，且a、b均为整数， 因为m的平方能被n整除， 所以为整数， 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，； 当时，，没有满足题意的b的值． 综上，满足条件的两位数n为36． 故答案为：36． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东聊城·期中）若运算的结果不是分式，则不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法，因式分解，先将原表达式化简为，要求结果不是分式，即该表达式为整式，故分母必须被分子中的因子约去，因此必须含有因子，选项A、B、C均含因子，而D选项不含因子，故不可能使结果为整式 ． 【详解】解： ∵运算的结果不是分式， ∴为整式， ∴必须含因子，使分母被约去， 选项A：，含，代入后为整式； 选项B：，含，代入后为整式； 选项C：，含，代入后为整式； 选项D：，不含，代入后得，仍为分式， ∴不可能的是D， 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用作差法比较两个分式的大小，作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么． 根据可得，从而得到P最大，然后用作差法比较的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴P最大； ， ∴， ∴， 故选D． 3．（25-26八年级上·北京·月考）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的运算，乘法公式． 根据分式的运算法则结合乘法公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：对于A：，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确； 对于D：，，错误； 故选：C． 4．（2025八年级上·河北邢台·专题练习）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的变形与求解，核心是通过逆向推导还原被撕去的表达式；解题的关键是利用等式性质，将已知部分变形为方程并求解未知项；设撕坏的部分为未知数（即 ■），根据图片信息列出方程，求解即可． 【详解】解：设撕坏的一角 ■，则原式可表示为： 故选A． 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，把变形得，然后代入表达式 中计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 二、填空题 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）若，，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式化简求值，先化简得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故答案为：4． 7．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，以及平方差公式的运算，解决本题的关键是对括号内的式子进行通分计算． 将除法运算转化为乘法运算，并利用分式的性质进行简化，最后通过约分得到结果． 【详解】解： = ． 故答案为： ． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 9．（25-26八年级上·北京·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 将通分后，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 【答案】或或 【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值． 【详解】原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 三、解答题 11．（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加法和乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同分母分式的加法运算法则计算即可； （2）根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）模仿题干过程，进行化简计算，即可作答． （2）已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； （3）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴， 即， ∴； ∴， （2）解：由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． （3）解：∵ ∴x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， 则， ∴． 13．（20-21八年级上·北京昌平·期末）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 14．（25-26八年级上·山东日照·月考）计算求值： (1)用简便计算：； (2)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①8；②11 【分析】本题考查了平方差公式，整式的加减运算，利用完全平方公式变形求值，分式的化简求值等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先将变形为，再由平方差公式求解； （2）①由得到，，然后再代入求值；②将变形为，再由完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴，， ∴ ； ②∵， ∴（）， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·湖南永州·月考）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1 (2)，5 (3)11或3 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是2的因数，而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， ， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1； （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ； ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， ， 的值为：0，2，3， ； （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为11或3． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 分式的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：分式的乘除运算 1.分式乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即（，）；若分子、分母是多项式，先因式分解，约分后再相乘，结果化为最简分式或整式。 2.分式除法法则：将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，即（，，）；整式可看作分母为1的分式参与运算。 3.多个分式相乘推广：（所有分母不为0）。 4.关键技巧：因式分解是简化乘除运算的核心，优先分解分子分母中的多项式（如平方差、完全平方公式），再约去公因式。 知识点2：分式的乘方运算 1.乘方法则：分子、分母分别乘方，即（，为正整数）；、可表示单项式或多项式。 2.符号规则：与有理数乘方一致——正分式的任何次幂为正，负分式的偶次幂为正、奇次幂为负。 3.注意事项：分子或分母是多项式时，需看作整体加括号（如，不可写成）。 4.混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右。 知识点3：分式的加减运算 1.同分母分式加减：分母不变，分子相加减，即（）；结果需约分至最简。 2.异分母分式加减：先通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算，即（，）。 3.通分步骤：①找最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积）；②分子分母同乘相应整式，保证分式值不变。 4.特殊情况：①整式与分式加减，将整式看作分母为1的分式（如）；②分母互为相反数时，添负号化为同分母（如）。 知识点4：分式的混合运算 1.运算顺序：先乘方，后乘除，再加减；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）；同级运算从左到右。 2.运算律应用：可灵活运用乘法分配律、结合律简化计算（如）；注意除法无分配律，不可写成。 3.结果要求：分子、分母若有负号，将“-”移到分式前面；最终结果必须化为最简分式或整式。 知识点5：易错辨析（预习重点关注） 1.忽略分母不为0的条件：运算中所有分母（含化简过程中的分母）均不能为0（如中，、、）。 2.分数线的括号作用：分数线兼具除号和括号功能，如需先通分，不可直接去掉分母计算。 3.乘方符号错误：负分式乘方时，符号由指数奇偶性决定（如，）。 4.通分与约分混淆：通分是分子分母同乘整式（扩分），约分是分子分母同除以公因式（缩分），不可颠倒操作。 5.因式分解不彻底：如需分解为，再约分，避免遗漏公因式。 知识点6：重点题型与解题方法 1.化简求值题：①先化简分式（因式分解→约分→合并）；②根据分母不为0确定字母取值范围；③代入合适的值计算（如取整数、非负整数等限定条件）。 2.恒等式求参数：用待定系数法，将等式右边通分后，对比分子同类项系数列方程组求解（如，求、、）。 3.比较分式大小：①作差法（）；②作商法（、为正数时，）。 4.实际应用题：涉及平均价格、浓度、工程量等，根据题意列分式表达式，再通过运算求解（如两次购买商品的平均价格对比）。 知识点7：概念比较与辨析 1.分式运算与分数运算的类比：分数的乘除、加减法则完全适用于分式，仅需注意分式分母不能为0的特殊要求。 2.分式乘方与乘法的区别：乘方是“分子分母分别自乘次”，乘法是“分子乘分子、分母乘分母”（如，，结果相同但运算逻辑不同）。 3.通分与最简公分母：最简公分母是通分的关键，若分母为多项式，需先因式分解（如分母和，最简公分母为）。 知识点8：重点记忆口诀与技巧 1.运算顺序口诀：“乘方乘除再加减，括号里面最优先，同级运算左到右，步步约分要牢记”。 2.实用技巧：①因式分解优先：遇到多项式分母/分子，先分解（平方差、完全平方、提公因式）； ②倒数法：处理型分式，取倒数转化为； ③整体代入：如已知，求，利用完全平方公式整体计算。 【题型1分式的乘法运算（含单项式、多项式）】 方法技巧：1.单项式相乘：直接用（），先约分再计算； 2.多项式相乘：先对分子分母因式分解，约去公因式，再按法则运算，结果化为最简分式或整式。 例1. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 变式1. （25-26八年级上·北京延庆·期中）计算： ． 变式2. （2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 变式3. （24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 【题型2分式的除法运算】 方法技巧：1.转化法则：（），颠倒除式分子分母； 2.多项式除法：先因式分解，再约分，牢记分母不为0的隐含条件。 例2. （2025·湖北·二模）计算： ． 变式1. （25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）计算的结果是（    ） A．2 B． C．1 D． 变式2. （25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1)； (2)． 变式3. （25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型3分式的乘方运算】 方法技巧：1.法则应用：（，为正整数）； 2.符号判断：正分式任何次幂为正，负分式偶次幂为正、奇次幂为负； 3.整体思想：分子或分母为多项式时，加括号视为整体。 例3. （24-25八年级下·山西临汾·期末）计算：的结果是 ． 变式1. （25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)　　　； (2)　　　； (3)　　　； (4)　　　． 变式2. （25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 变式3. （24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型4同分母与异分母分式加减运算】 方法技巧：1.同分母：（），分母不变，分子相加减后约分； 2.异分母：先通分（找最简公分母）转化为同分母，再加减； 3.整式参与：将整式视为分母为1的分式运算。 例4. （2025八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 变式2. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算：． 变式3. （25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）计算 (1) (2) 【题型5分式的化简求值（含条件求值）】 方法技巧：1.步骤：先化简（因式分解→约分→合并），再代入求值； 2.条件处理：利用绝对值、平方非负性等求字母值，代入前检验分母不为0； 3.技巧：优先用整体代入、因式分解约分简化计算。 例5. （25-26九年级上·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中． 变式1. （25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 变式2. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）先化简，再求值：，其中． 变式3. （25-26九年级上·江西南昌·月考）先化简，再求值：，其中． 【题型6分式大小比较（作差法、作商法）】 方法技巧：1.作差法：计算，则，反之则小； 2.作商法：为正数时，计算，则； 3.简化原则：先约分再比较，减少运算量。 例6. （25-26八年级上·全国·课后作业）若，请比较x与y的大小． 变式1. （25-26八年级上·北京延庆·期中）比较与的大小（其中）． 变式2. （25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）【阅读理解】我们在比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，试判断： 0（填“”，“”或“”）； (2)已知，，当时，试比较与B的大小，并说明理由． 变式3. （24-25八年级下·河南郑州·期末）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． (1)若，试判断： （填“”“”或“”）． (2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【题型7分式恒等式求参数（待定系数法）】 方法技巧：1.通分转化：将等式右边通分，使左右分母相同； 2.系数对应：等式两边分子同类项系数相等，列方程组求解； 3.快捷方法：取使分母不为0的特殊值代入，快速验证参数。 例7. （25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1. （25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，试确定A，B的值 变式2. （25-26八年级上·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 变式3. （24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数）．则________，________； (3)当时．判断与的大小关系，并证明． 【题型8分式运算的规律探究（裂项相消、循环规律）】 方法技巧：1.裂项模型：，逆向运用化简求和； 2.循环规律：计算前3-4项找周期，利用周期性求解； 3.归纳总结：从特殊到一般，提炼运算规律。 例8. （2025八年级上·全国·专题练习）观察下列各式： 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； … (1)请写出第5个式子：______； (2)根据你总结的规律写出第n个式子，并说明结论的正确性； (3)利用上述规律计算：． 变式1. （25-26八年级上·山东济宁·月考）观察下列各式：，，，，，… (1)请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来_______． (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）． 变式2. （25-26八年级上·江苏苏州·期中）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 变式3. （25-26八年级上·湖南永州·月考）观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 【题型9分式运算的新定义问题（友好分式、对称式等）】 方法技巧：1.理解定义：紧扣题干新定义，转化为分式运算（如“友好分式组”差为2）； 2.化简验证：按定义列等式，通过分式加减、乘除化简验证； 3.参数求解：结合定义列方程，注意字母取值限制（分母不为0）。 例9. （25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个不为零的整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 变式1. （25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 变式2. （25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 变式3. （25-26八年级上·湖南株洲·期中）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： (1)分式是______填“真分式”或“假分式”； (2)将分式化成带分式； (3)将分式化成带分式； (4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东聊城·期中）若运算的结果不是分式，则不可能的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京·月考）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·河北邢台·专题练习）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）若，，则代数式的值是 ． 7．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）． 9．（25-26八年级上·北京·月考）已知，则 ． 10．（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 三、解答题 11．（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算： (1)； (2)； 12．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 13．（20-21八年级上·北京昌平·期末）已知：，求代数式的值． 14．（25-26八年级上·山东日照·月考）计算求值： (1)用简便计算：； (2)若， ①求的值； ②求的值． 15．（25-26八年级上·湖南永州·月考）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $