第01讲 分式及其基本性质（寒假预习讲义）八年级数学新教材华东师大版

第01讲 分式及其基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：分式的概念 1.定义：形如（、是整式，且中含有字母，）的式子叫作分式，其中是分子，是分母。 2.概念辨析：分式与整式的核心区别在于分母是否含字母，整式的分母（若有）为常数，分式的分母必须含字母且不为0；整式和分式统称为有理式。 3.关键条件： 分式有意义的条件：（如分式有意义的条件是）； 分式无意义的条件：； 分式值为0的条件：且（如分式值为0，则）。 知识点2：分式的基本性质 1.核心性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，公式表示为（是不等于0的整式）。 2.符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即，。 3.两大变形技巧： 约分：约去分子与分母的公因式，结果为最简分式（分子分母无公因式）；单项式分母直接约去系数最大公约数和相同字母最低次幂，多项式分母先因式分解再约分； 通分：转化为同分母分式的变形，关键是确定最简公分母；单项式分母取系数最小公倍数、相同字母最高次幂、不同字母全包含；多项式分母先因式分解再按单项式规则确定。 知识点3：分式的基础运算（基于基本性质） 1.乘除运算： 乘法法则：（分子相乘作分子，分母相乘作分母）； 除法法则：（除以一个分式等于乘它的倒数）。 2.加减运算： 同分母分式：（分母不变，分子相加减）； 异分母分式：先通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算，即。 3.混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，结果必须化为最简分式或整式。 知识点4：易错辨析 1.忽略分母限制条件：求分式值为0或自变量取值范围时，忘记验证分母不为0（如分式值为0，易错解为，正确解为）； 2.约分/通分错误：约分时分母多项式未因式分解（如易错约分为却忽略），通分未找最简公分母（如与易错通分为与）； 3.符号法则混淆：变形时只改变一处符号（如易错化为，正确变形为）； 4.运算顺序颠倒：混合运算中先算加减后算乘除（如易错解为，正确解为）。 知识点5：重点记忆清单 1.核心公式： 基本性质：（）； 零指数幂：（）； 负整数指数幂：（，为正整数）。 2.关键原则： 所有分式运算的前提是分母不为0； 化简求值需“先化简，再代入”，代入值必须使原分式有意义； 通分和约分的依据是分式的基本性质，变形后分式值不变。 【题型1分式的定义判断】 方法技巧：核心看分母是否含字母（π为常数，不含字母）；整式分母不含字母，分式分母含字母，不化简原式子直接判断。 例1. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，涉及知识点：分式是分母中含有字母的式子（注意π是常数）．根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断每个式子即可． 【详解】∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 是整式，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母是常数，不是分式． ∴分式有3个． 故选：C． 变式1. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子）逐一判断各式即可． 【详解】解：由题意得，：分母为1，无字母，不是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母含字母和，是分式； ：分母为常数，无字母，不是分式； ：分母5为常数，无字母，不是分式． ∴分式有2个． 故选B． 变式2. （25-26八年级上·广西崇左·月考）下列式子，，，， 中，不是分式的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．分式定义为分母中含有字母的式子，否则不是分式，据此回答即可． 【详解】解：∵ 分式需分母含字母， 分母为数字，不是分式； 分母为数字，不是分式； 分母π为常数，不是分式； 而分母v为字母，是分式； 分母含字母，是分式。 ∴ 不是分式的有3个． 故选：C． 变式3. （25-26八年级上·河北唐山·月考）在，，，，中，分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查分式的概念，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：分式的定义是分母中含有字母， 分母含字母，是分式； 分母是常数，不是分式；分母是常数，不是分式；分母含字母，是分式；分母含字母，是分式， 分式有3个， 故选：B． 【题型2分式有意义/无意义的条件】 方法技巧：有意义→分母≠0；无意义→分母=0；分母含多项式时先因式分解，确保各因式均不为0。 例2. （25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值为、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为时无意义．根据分式的性质，分别代入的值计算分式的值或判断分式是否有意义即可． 【详解】解：∵ 当 时，，∴ A正确，故不符合题意； ∵ 当 时，分母 ，分式无意义，∴ B正确，故不符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ C不正确，故符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 变式1. （25-26八年级上·山东淄博·期中）关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴不符合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 变式2. （25-26八年级上·湖南郴州·期中）如果分式的值不存在，则需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是解题的关键．由分式的值不存在，即分母为零，即可解答． 【详解】解：分式 的值不存在，则分母 ，解得 ， 故答案为：． 变式3. （25-26八年级上·河北邢台·期中）已知分式，请解决以下问题． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x为何值时，该分式的值为1？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为1的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为1的条件可得，解出分式方程，由此求解即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， 所以时，分式无意义； （2）由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根， 即当时，分式的值为1． 【题型3分式值为零的条件】 方法技巧：满足两个条件：①分子=0；②分母≠0；先求分子为0的解，再代入分母验根，排除使分母为0的解。 例3. （25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）若非零实数x，y满足，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的代入求值，由代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式1. （25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式的值为零，则x的值为 ． （2）若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】 1 【分析】根据分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零，即可解答． 【详解】解：（1）分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零， ， ， ． （2）分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零需分子为零且分母不为零是解题的关键． 变式2. （25-26八年级上·山东威海·月考）对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ． 【答案】 0 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式无意义的条件，当时，分母为零；根据分式值为零的条件，当时，分子为零．分别代入得到关于a和b的方程，解方程组即可． 【详解】∵对于分式，当时，分式的值为零， ∴ ∴， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴ ∴ ∴联立①②得， 解得． 故答案为：0，． 变式3. （25-26八年级上·山东东营·期中）使分式的值为零，则的取值是 ． 【答案】7 【分析】分式的值为零需满足分子为零且分母不为零．本题考查分式值为零的条件，涉及的知识点是分式有意义的条件及绝对值方程的求解．解题中用到的方法是“双条件验证法”，同时验证分子为零和分母不为零．解题关键是不能忽略分母不为零的限制条件．易错点是只考虑分子为零，忘记排除使分母为零的情况． 【详解】由分子，得，解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，符合条件． 故答案为7． 【题型4分式基本性质的正误判断】 方法技巧：分子分母需同时乘/除同一个不为0的整式；符号法则：改变分子、分母、分式本身中两处符号，分式值不变。 例4. （24-25八年级上·北京顺义·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A．= B． C．= －1 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质和代数式的变形，掌握相关知识是解决问题的关键．选项A和B的变形不符合分式的基本性质（分子分母必须同时乘以或除以同一个非零整式），选项D运算错误，选项C通过提取负号简化后成立． 【详解】解：A．此项不符合分式的基本性质，∴该选项错误， B．此项不符合分式的基本性质，∴该选项错误， C．∵（当时），∴该选项正确， D．∵，∴该选项错误． 故选：C． 变式1. （25-26七年级上·上海·月考）下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项正确，符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 变式2. （25-26八年级上·北京·月考）下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同乘或同除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，原变形错误； B．当时，无意义，原变形错误； C． ，原变形正确； D． 无法通过分式的基本性质变为，原变形错误； 故选：C． 变式3. （25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知，下列等式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的性质，解题关键在于需要掌握分式的性质． 由已知比例关系，可设参数表示变量，代入各选项验证是否恒成立即可判断． 【详解】解：∵， ∴设，， A、（当），但时分母为零，故不一定成立，不符合题意； B、，需且特定值才相等，故不一定成立，不符合题意； C、，恒成立，符合题意； D、，不成立，不符合题意． 故选C． 【题型5分式值的正负性判断】 方法技巧：值为正→分子分母同号（均正或均负）；值为负→分子分母异号（一正一负）；结合分母≠0列不等式组求解，避免漏解。 例5. （25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的值的符号为 （填“正”或“负”）． 【答案】正 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确的运算是解题的关键． 先对式子进行通分，然后根据的条件，判断分子分母的符号，从而确定分式的符号． 【详解】解：， 展开分子：， ， ，且， ， 即式子的值的符号为正． 故答案为：正． 变式1. （25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 变式2. （25-26九年级上·重庆·月考）（1）先化简：，然后从中选择一个你认为合适的整数作为a的值代入求值． （2）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】（1）原式，当时，原式；（2），所有负整数解为 【分析】（1）先对括号里的式子进行通分，根据完全平方公式进行等价变形，再将除法转化为乘法，然后进行约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的整数代入求值； （2）先去括号，再把未知数移到不等号左边，把常数项移到不等号右边，整理后求解即可，需要注意不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号； 本题主要考查了分式化简求值、求一元一次不等式的解集和整数解等知识点，熟练掌握对应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）    ． ∵原式分母不能为，则，即；且，即．， ∴，或， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． （选择其中一个值计算即可） （2） ， ∴它的所有负整数解为． 变式3. （24-25八年级下·重庆·期末）若数a使关于x的一元一次不等式组的解集为，且使关于y的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 又关于x的一元一次不等式组的解集为， ， 分式方程去分母得：，即， 由y为负整数，得到， 当时，，原分式方程无解， ∴或 之和为， 故答案为：． 【题型6分式值为整数的条件】 方法技巧：先化简分式（因式分解+约分）；分母需为分子的整数因数；枚举所有可能的因数，排除使分母为0的解，求解整数未知数。 例6. （24-25八年级下·江西抚州·月考）已知为正整数，求使得分式为整数的所有的值的和（    ） A．5 B．9 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，分式的整数解的计算，理解分式的计算是关键． 根据分式的性质化简得到，结合分式的值为整数代入求值即可． 【详解】解：中，， ∴，且为正整数， ， ∴， ∴， 故选：C． 变式1. （2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查含参一元一次不等式组和分式方程，涉及整数解问题，需要学生注意解的范围限制． 本题首先根据不等式组的解集确定参数的范围，其次结合分式方程的正整数解筛选符合条件的整数，最后求其乘积。关键在于联立两个条件对的限制，确保同时满足． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． ∴． 关于的分式方程的解为． ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴． ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴为正整数． ∴． ∵， ∴． ∴所有满足条件的所有整数的乘积为：． 故答案为：． 变式2. （25-26九年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，解分式方程，由一元一次不等式组的解集为 ，可求出 ；解分式方程得 ，根据分式方程的解为负整数且 ，即可得出整数 的值，再求它们的和． 【详解】解不等式组： 第一个不等式 ，两边乘 2 得 ，即 ，解得 ， 第二个不等式 ，解得 ， ∵ 不等式组的解集为 ， ∴ ， 解得 ； 解分式方程 ： 两边乘 （）得 ，即 ，整理得 ，故 ， ∵ 分式方程的解为负整数且 ， ∴ 且 为负整数，且 ， 结合 且 为整数，得 或 ， 所有满足条件的整数 的值之和为 ， 故答案为： ． 变式3. （24-25八年级下·四川眉山·期中）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组有解且至多有3个整数解可得，再解分式方程，根据分式方程的解是非负整数可得非负整数，且，，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的分式方程的解是非负整数， ∴非负整数，且，， 即，， ∵非负整数， ∴所有满足条件的整数的值为，     ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：12． 【题型7分子分母系数化为整数】 方法技巧：系数为小数→同乘10的正整数倍；系数为分数→同乘所有分母的最小公倍数；确保变形后分式值不变。 例7. （25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 变式1. （24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式2. （2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3. （2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 【题型8分式求值（整体代入/设参数法）】 方法技巧：整体代入→变形条件式（如），使待求式含条件式；参数法→设比值为（如），统一字母表达式后代入求解。 例8. （25-26七年级上·上海普陀·月考）如果，，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式变形，分式的加减等知识，先根据，得到，再把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：7 变式1. （25-26九年级上·江苏南京·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质和分式运算；解题的关键是利用比例关系，将变量用同一参数表示，再代入所求分式化简求值根据比例关系设参数表示未知数，代入目标表达式化简求值． 【详解】由 ，设 ，（），则 ． 故答案为 ． 变式2. （25-26七年级上·上海·月考）分式的值是，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的整体运算，利用提公因式法进行化简是解题的关键． 首先将分式化简，分子和分母同时提取公因式，得到简化后的表达式，已知该分式值为且，代入求解即可得到的值． 【详解】∵， ∴， 把，代入得：，即， ∴， 故答案为：． 变式3. （25-26七年级上·上海·月考）已知，且，则 【答案】或 【分析】本题考查分式的基本性质，换元法，分式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件出发，将原式分子分母同除以，变形为，设 ，将原式转化为关于 的方程，求解得到 的值，再将所求表达式进行相同的变形，将 的值代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 即， 设 ， 则原式变形为， ∴ ， ， 解得， 或 ， ； 当 时， ； 当 时， ． 故答案为：或． 【题型9分式的规律性问题】 方法技巧：观察三部分规律：①分子（系数、次数）；②分母（系数、次数）；③符号（正负交替用表示）；用含n的代数式（n为正整数）归纳通项。 例9. （23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 变式1. （24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的定义、分式的规律等知识点，发现分式的分子、分母的指数的规律是解题的关键． 分别找出分子指数规律和分母指数规律，再运用规律即可解答． 【详解】解：∵ ∴分母是以a为底数，指数为1，2，3，……，n；分子是以b为底数，指数为2，4，6，……，， ∴第8个式子为 ． 故答案为：． 变式2. （24-25八年级上·河南南阳·月考）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）． 1 11 121 1331 14641… 根据上述规律，展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，首先确定是展开式中第三项，先求出的第三项的系数，再把，代入计算即可． 【详解】解：∵是展开式中第三项， 且第三项系数为1，字母为， 第三项系数为，字母为， 第三项系数为，字母为， ∴第三项系数为，字母为， 当，时第三项系数为，字母为， 即展开式中含项为， 故答案为：． 变式3. （24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ， ， ， ， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）下列各式中，是分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的判定，分式是指分母中含有字母的代数式，根据定义判断各选项分母是否含有字母． 【详解】解：A、中的分母为3，不含字母，故此选项不符合题意； B、为整式，故此选项不符合题意； C、分母为π，不含字母，故此选项不符合题意； D、的分母为，含有字母m和n，是分式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）在分式中，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握使分式有意义的条件是解题的关键． 分式的分母不能为零，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故的取值范围是． 故选：C． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，表格中的代表的是一个分式，根据信息推理可知，此分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，理解题意是解题的关键． 根据分式无意义可知分母为，排除选项A和B，再根据当时即可判定选项． 【详解】解：由表格可知当时分式无意义，即分母为， 故A、B选项不符合题意； 当时，分式， 当时，分式， 故D选项不符合题意，C选项符合题意 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若分式中x和y都扩大为原来的5倍，分式的值扩大为原来的5倍，则“”中可以为（  ） A．5 B．x C．xy D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 设“”为，为“”扩大5倍后的内容，根据题意得到，化简得到，即的值需为值的5倍，逐项判断即可． 【详解】解：设原分式为，其中为“”内容， 由于x和y均扩大5倍，此时为“”扩大5倍后的内容， 则新分式为， 由于分式值扩大为原来的5倍， 则， 假设，约去得， 化简得， 解得， 即扩大5倍后等于， 选项A、，，不满足； 选项B、，，满足； 选项C、，，不满足； 选项D、，，不满足； 故选：B． 二、填空题 6．（17-18八年级上·甘肃武威·期末）若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的相关计算，掌握分式有意义且值为零的条件是解题的关键． 分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 由得， 解得或， 又∵，即， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东威海·月考）如果把分式：中的都扩大10倍，那么分式的值 ． 【答案】不变 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是根据分式基本性质分析分子分母的变化． 将和都扩大10倍后，代入分式计算，分子和分母均扩大100倍，比值不变． 【详解】∵将中的都扩大10倍， ∴扩大后分式为， 与原分式相等，故分式的值不变． 故答案为：不变． 8．（25-26七年级上·上海·月考）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键；分式有意义的条件是分母不为零，由此问题可求解． 【详解】解：分式有意义，则分母，即，解得； 故答案为：． 9．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 10．（25-26八年级上·江苏南通·月考）是整数，则整数 【答案】 【分析】本题考查了分式值为整数的问题，解题的关键是正确把分式分离出常数． 将分式化为带分数形式，利用分母整除分子时分式为整数的性质，求出所有整数解． 【详解】解： 要使原式为整数，则必须为整数，即是4的约数， ∴， 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，。 验证所有值均使分母，且分式均为整数， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知x，y满足．求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，根据非负性求出的值，将分式化简后，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子和分母同时乘以 (2)分子和分母同时除以 (3)分子和分母同时乘以 (4)分子和分母同时除以 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键： （1）分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 【详解】（1）解：分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 13．（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ，即， ， ； （2） ， ，即， ， ， ． 14．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【答案】甲、乙、丙三位同学回答错误，过程见解析 【分析】本题考查了分式的定义和分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式的分母表示除数，由于除数不能为，所以分式的分母不能为，即当时，分式才有意义，当时，分式无意义，即可得解； 【详解】为何值时，分式有意义？ 根据题意，得， 解得且， 即当且时，分式有意义，所以甲同学的解答错误； 式子是分式，所以乙同学的解答错误； 化简分式， 原式，所以丙同学的解答错误． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，准确计算是解题的关键．先根据，整理得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 则， ∴ ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 分式及其基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：分式的概念 1.定义：形如（、是整式，且中含有字母，）的式子叫作分式，其中是分子，是分母。 2.概念辨析：分式与整式的核心区别在于分母是否含字母，整式的分母（若有）为常数，分式的分母必须含字母且不为0；整式和分式统称为有理式。 3.关键条件： 分式有意义的条件：（如分式有意义的条件是）； 分式无意义的条件：； 分式值为0的条件：且（如分式值为0，则）。 知识点2：分式的基本性质 1.核心性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，公式表示为（是不等于0的整式）。 2.符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即，。 3.两大变形技巧： 约分：约去分子与分母的公因式，结果为最简分式（分子分母无公因式）；单项式分母直接约去系数最大公约数和相同字母最低次幂，多项式分母先因式分解再约分； 通分：转化为同分母分式的变形，关键是确定最简公分母；单项式分母取系数最小公倍数、相同字母最高次幂、不同字母全包含；多项式分母先因式分解再按单项式规则确定。 知识点3：分式的基础运算（基于基本性质） 1.乘除运算： 乘法法则：（分子相乘作分子，分母相乘作分母）； 除法法则：（除以一个分式等于乘它的倒数）。 2.加减运算： 同分母分式：（分母不变，分子相加减）； 异分母分式：先通分转化为同分母分式，再按同分母法则计算，即。 3.混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，结果必须化为最简分式或整式。 知识点4：易错辨析 1.忽略分母限制条件：求分式值为0或自变量取值范围时，忘记验证分母不为0（如分式值为0，易错解为，正确解为）； 2.约分/通分错误：约分时分母多项式未因式分解（如易错约分为却忽略），通分未找最简公分母（如与易错通分为与）； 3.符号法则混淆：变形时只改变一处符号（如易错化为，正确变形为）； 4.运算顺序颠倒：混合运算中先算加减后算乘除（如易错解为，正确解为）。 知识点5：重点记忆清单 1.核心公式： 基本性质：（）； 零指数幂：（）； 负整数指数幂：（，为正整数）。 2.关键原则： 所有分式运算的前提是分母不为0； 化简求值需“先化简，再代入”，代入值必须使原分式有意义； 通分和约分的依据是分式的基本性质，变形后分式值不变。 【题型1分式的定义判断】 方法技巧：核心看分母是否含字母（π为常数，不含字母）；整式分母不含字母，分式分母含字母，不化简原式子直接判断。 例1. （2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2. （25-26八年级上·广西崇左·月考）下列式子，，，， 中，不是分式的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式3. （25-26八年级上·河北唐山·月考）在，，，，中，分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2分式有意义/无意义的条件】 方法技巧：有意义→分母≠0；无意义→分母=0；分母含多项式时先因式分解，确保各因式均不为0。 例2. （25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 变式1. （25-26八年级上·山东淄博·期中）关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 变式2. （25-26八年级上·湖南郴州·期中）如果分式的值不存在，则需满足的条件是 ． 变式3. （25-26八年级上·河北邢台·期中）已知分式，请解决以下问题． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x为何值时，该分式的值为1？ 【题型3分式值为零的条件】 方法技巧：满足两个条件：①分子=0；②分母≠0；先求分子为0的解，再代入分母验根，排除使分母为0的解。 例3. （25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）若非零实数x，y满足，则值为 ． 变式1. （25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式的值为零，则x的值为 ． （2）若分式的值为零，则x的值为 ． 变式2. （25-26八年级上·山东威海·月考）对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ． 变式3. （25-26八年级上·山东东营·期中）使分式的值为零，则的取值是 ． 【题型4分式基本性质的正误判断】 方法技巧：分子分母需同时乘/除同一个不为0的整式；符号法则：改变分子、分母、分式本身中两处符号，分式值不变。 例4. （24-25八年级上·北京顺义·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A．= B． C．= －1 D． 变式1. （25-26七年级上·上海·月考）下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 变式2. （25-26八年级上·北京·月考）下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3. （25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知，下列等式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5分式值的正负性判断】 方法技巧：值为正→分子分母同号（均正或均负）；值为负→分子分母异号（一正一负）；结合分母≠0列不等式组求解，避免漏解。 例5. （25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的值的符号为 （填“正”或“负”）． 变式1. （25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 变式2. （25-26九年级上·重庆·月考）（1）先化简：，然后从中选择一个你认为合适的整数作为a的值代入求值． （2）解不等式，并写出它的所有负整数解． 变式3. （24-25八年级下·重庆·期末）若数a使关于x的一元一次不等式组的解集为，且使关于y的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为 ． 【题型6分式值为整数的条件】 方法技巧：先化简分式（因式分解+约分）；分母需为分子的整数因数；枚举所有可能的因数，排除使分母为0的解，求解整数未知数。 例6. （24-25八年级下·江西抚州·月考）已知为正整数，求使得分式为整数的所有的值的和（    ） A．5 B．9 C．16 D．20 变式1. （2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 变式2. （25-26九年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 变式3. （24-25八年级下·四川眉山·期中）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【题型7分子分母系数化为整数】 方法技巧：系数为小数→同乘10的正整数倍；系数为分数→同乘所有分母的最小公倍数；确保变形后分式值不变。 例7. （25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 变式1. （24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 变式2. （2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 变式3. （2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【题型8分式求值（整体代入/设参数法）】 方法技巧：整体代入→变形条件式（如），使待求式含条件式；参数法→设比值为（如），统一字母表达式后代入求解。 例8. （25-26七年级上·上海普陀·月考）如果，，那么 ． 变式1. （25-26九年级上·江苏南京·月考）若，则的值为 ． 变式2. （25-26七年级上·上海·月考）分式的值是，且，则的值为 ． 变式3. （25-26七年级上·上海·月考）已知，且，则 【题型9分式的规律性问题】 方法技巧：观察三部分规律：①分子（系数、次数）；②分母（系数、次数）；③符号（正负交替用表示）；用含n的代数式（n为正整数）归纳通项。 例9. （23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 变式1. （24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 变式2. （24-25八年级上·河南南阳·月考）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）． 1 11 121 1331 14641… 根据上述规律，展开式中含项的系数为 ． 变式3. （24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ， ， ， ， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 一、单选题 1．下列各式中，是分式的是（ ） A． B． C． D． 2．在分式中，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，表格中的代表的是一个分式，根据信息推理可知，此分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 4．若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 5．若分式中x和y都扩大为原来的5倍，分式的值扩大为原来的5倍，则“”中可以为（  ） A．5 B．x C．xy D． 二、填空题 6．若分式的值为零，则x的值为 ． 7．如果把分式：中的都扩大10倍，那么分式的值 ． 8．若分式有意义，则的取值范围是 ． 9．如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 10．是整数，则整数 三、解答题 11．已知x，y满足．求的值． 12．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 13．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 14．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 15．已知，，求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $