精品解析：江西省抚州市十三校2025-2026学年九年级上学期第一次质量检测（学业水平）数学卷

2025-2026学年抚州十三校九年级第一次质量检测·数学卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如果，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随着的增大而减小 B. 图象在第一、三象限 C. 当时， D. 图象经过点 4. 如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④②①③ C. ④①②③ D. ①③④② 5. 如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（ ） A. B. C. D. 6. 数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示：通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是（ ） A. 当时，是的一次函数 B. 当时，是的反比例函数 C. D. 该冰箱每天耗电至少超过1度 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 给出下列投影：①线段；②圆；③椭圆；④正方形．有阳光时，手持一元硬币，在平整的地面上形成的投影可能是_____．（填序号） 8. 如图，边长为8米的正方形大厅，地面由大小完全相同的黑、白正方形方砖相间铺成，则每块方砖的边长为_____米．（结果保留根号） 9. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为___________． 10. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 11. 如图，在菱形中，，，边长为2的正方形的顶点，在边和上，且，则阴影部分的面积为_____． 12. 在矩形中，，，点在上，，点在上，连接，点是中点，若是直角三角形，则的长度可能是_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程．； （2）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 14. 如图是小静画的一个几何体的三视图． （1）这个几何体是由__________和__________这两个立体图形组成的； （2）求这个几何体的体积．（结果保留） 15. 如图，小正方形的边长为1，在中，点，，为格点．利用无刻度直尺完成以下作图： （1）在图1中作的一条中位线； （2）在图2中作的三等分点． 16. 数学活动小组在网上找到了四张图片（用，，，分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融），有的是物理变化，有的是化学变化，数学活动小组设置了一道跨学科的游戏活动：制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上． （1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是______； （2）从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率． 17. 随着网络学习平台及人工智能的推广给人们的生活与学习带来了诸多便利，如今同学们也能借助网络学习平台及人工智能优化学习，如江西智慧教育平台在“学习园地”中推出智慧作业，据统计，该平台的智慧作业在开学第一周的下载量为10000次，第二周、第三周的下载量连续增长，其中第三周的下载量为12100次． （1）求智慧作业前三周下载量的周平均增长率； （2）小明在智慧作业中发现一题有疑问：如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，能否用铁栅栏围出最大的仓库？于是求助人工智能平台，请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，若由点P，原点O，两个垂足A，B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）判断点是否是“美好点”，并说明理由； （2）若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上． ①求k的值； ②若点在双曲线上，求的值． 19. 数学老师布置综合实践小组测量图1中孔子雕像的高度，已知的工具有皮尺、平面镜，如图2．实践小组打算利用平面镜和皮尺测量，其测量及求解过程如下： （1）如图3，某同学保持站立姿势，调整自己的位置和平面镜，直到从平面镜中看到孔子雕像的顶点，测得，，．求孔子雕像的高度；（用，，表示） （2）但在进一步观察孔子雕像周围的环境之后，实践小组发现由于条件限制，孔子雕像的底部不可到达，所以无法准确测量孔子雕像底部到平面镜的距离，进一步修改了方案：既然无法测量平面镜到孔子雕像底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．实测得到，，，，求出孔子雕像的高度． 20. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，． （1）将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到如图2所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点， ①当是多少度时，四边形的形状是菱形，并证明； ②在①的条件下，五边形的面积是_______； （2）当图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使、、三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，求证：四边形是正方形． 22. 学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A．     B．  . C．    D．  【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践：某校为了激发学生的数学兴趣举行数学节活动，小明制作了一些几何图形的模具． 追本溯源 （1）如图，小明制作等边三角形模具，点是动点． ①当点在上运动时，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点，得到，连接，用尺规作图法在图1中作出旋转后的图形； 特例探究 ②在①中，若，则的最小值是______； 类比迁移 ③若点在下方时，连接，，，当时，求的最小值； 拓展应用 （2）如图3、4中，小明制作矩形模具，，，为模具边上的一动点． ①如图3，以为边向右作等边，连接，判断是否存在最小值，若存在，求最小值；若不存在，说明理由？ ②如图4，以为边向右构造正方形，连接，直接写出的最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年抚州十三校九年级第一次质量检测·数学卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如果，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键． 根据比例的性质，可得答案． 【详解】解：A、由比例的性质，得与一致，故A符合题意； B、由比例的性质，得与不一致，故B不符合题意； C、由比例的性质，得与不一致，故C不符合题意； D、由比例的性质，得与不一致，故D不符合题意． 故选：A． 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示． 【详解】解：由题意得“卯”的俯视图为， 故选：B． 3. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随着的增大而减小 B. 图象在第一、三象限 C. 当时， D. 图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数，， ∴当时，随着的增大而增大，原选项错误，不符合题意； 、∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，原选项错误，不符合题意； 、∵反比例函数， ∴当时，或，原选项错误，不符合题意； 、当时，， ∴图象经过点，原选项正确，符合题意； 故选：． 4. 如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④②①③ C. ④①②③ D. ①③④② 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，据此即可判断求解，掌握平行投影的特点和规律是解题的关键． 【详解】解：∵就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∴影子的图按时间先后顺序进行排列为④②①③， 故选：． 5. 如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图（2）可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积正方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 小球落在不规则图案内的概率约为，正方形的面积为（）， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， ∴不规则图案的面积约为． 故选：C． 6. 数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示：通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是（ ） A. 当时，是的一次函数 B. 当时，是的反比例函数 C. D. 该冰箱每天耗电至少超过1度 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C；根据“冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”可判断D． 【详解】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ，故C选项正确，不符合题意； 每天的耗电量度度， 该冰箱每天耗电低于1度，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 给出下列投影：①线段；②圆；③椭圆；④正方形．有阳光时，手持一元硬币，在平整的地面上形成的投影可能是_____．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影的应用，解题的关键是熟练掌握平行投影的概念． 同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变；根据圆形物体在阳光下的投影，可知在地面上所形成的影子的形状不可能是哪种图形． 【详解】解：根据平行投影的原理，圆形物体在阳光下的投影可能因方向不同而呈现线段、圆或椭圆，但无法形成正方形． 故手持一元硬币在平整地面上形成的投影可能是①②③． 故答案为：①②③． 8. 如图，边长为8米的正方形大厅，地面由大小完全相同的黑、白正方形方砖相间铺成，则每块方砖的边长为_____米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键；依据题意，先根据图形求出黑色方砖的对角线的长度，再根据正方形的边长等于对角线长的，从而可得解． 【详解】解：由图可知，黑色方砖的对角线长为（米）， ∴方砖的边长为（米）， 故每块方砖的边长为米； 故答案为：． 9. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质．根据正方形的周长为4和位似比求出，进而即可求解． 【详解】解：正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， 正方形的边长为，， ， 四边形的周长为， 故答案为：8． 10. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系与完全平方公式即可求解． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和利用完全平方公式变形求解．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 11. 如图，在菱形中，，，边长为2的正方形的顶点，在边和上，且，则阴影部分的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、相交于点，与、分别相交于点、，根据解答即可． 【详解】解：连接、相交于点，与、分别相交于点、，则，， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 12. 在矩形中，，，点在上，，点在上，连接，点是中点，若是直角三角形，则的长度可能是_____． 【答案】3，或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理． 分三种情况，结合勾股定理作答即可． 【详解】解：①当时，如图（1），易知点，重合， ∴； ②当时，易知该情况不存在； ③当时，如图（2）、图（3）， 此时垂直平分，连接， ∴，过点作于点， ∴， ∴． 若点在点右侧，如图（2），则， ∴； 若点在点左侧，如图（3）， ∵，， ∴， ∴， 则点，重合，点，重合， ∴． 综上所述，的长度可能是3，或． 故答案为：3，或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程．； （2）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】（1）， （2） 画出的主视图、左视图、俯视图如图， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程及三视图， （1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线．根据观察的几何体画出图形即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：略． 14. 如图是小静画的一个几何体的三视图． （1）这个几何体是由__________和__________这两个立体图形组成的； （2）求这个几何体的体积．（结果保留） 【答案】（1）正方体，圆柱 （2） 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，正方体和圆柱的体积公式，利用几何体的三视图还原几何图形是解题关键． （1）由主视图和左视图可得到这两个物体都是柱体，由俯视图可得下面的是长方体，上面的是圆柱； （2）根据几何体的体积长方体的体积圆柱的体积，进行计算即可． 【小问1详解】 解：这个几何体是由正方体和圆柱这两个立体图形组成的． 故答案为：正方体，圆柱． 【小问2详解】 解：几何体的体积为：． 故这个几何体的体积为． 15. 如图，小正方形的边长为1，在中，点，，为格点．利用无刻度直尺完成以下作图： （1）在图1中作的一条中位线； （2）在图2中作的三等分点． 【答案】（1） 如图1所示，中位线即为所求； 或 （2） 如图2所示，三等分点即为所求． 或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线，相似三角形的判定和性质： （1）根据网格图的特点以及三角形中位线的定义解答即可； （2）根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 16. 数学活动小组在网上找到了四张图片（用，，，分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融），有的是物理变化，有的是化学变化，数学活动小组设置了一道跨学科的游戏活动：制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上． （1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是______； （2）从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率． 【答案】（1） （2）从中随机抽取两张，求抽到的卡片内容都是物理变化的概率为 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解晾干衣服、冰雪消融都是物理变化，水果发霉、火树银花都是化学变化，再结合概率公式进行求解，即可作答． （2）先画树状图，得出共有12种等可能性结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2种，再结合概率公式进行求解，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，晾干衣服、冰雪消融都是物理变化，水果发霉、火树银花都是化学变化， ∴从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是． 【小问2详解】 解：依题意，用、、、分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2种， ∴从中随机抽取两张，求抽到的卡片内容都是物理变化的概率为． 17. 随着网络学习平台及人工智能的推广给人们的生活与学习带来了诸多便利，如今同学们也能借助网络学习平台及人工智能优化学习，如江西智慧教育平台在“学习园地”中推出智慧作业，据统计，该平台的智慧作业在开学第一周的下载量为10000次，第二周、第三周的下载量连续增长，其中第三周的下载量为12100次． （1）求智慧作业前三周下载量的周平均增长率； （2）小明在智慧作业中发现一题有疑问：如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，能否用铁栅栏围出最大的仓库？于是求助人工智能平台，请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 【答案】（1） （2） 能．理由： 设仓库的宽为米，仓库的面积为y平方米，则长为米，根据题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y最大，最大值为， 即当仓库的宽为时，能围出最大的仓库面积为平方米； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设前三周下载量的周平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设仓库的宽为米，仓库的面积为y米，则长为米，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设前三周下载量的周平均增长率为． 由题意，得． 解得，（舍去）． 答：前三周下载量的周平均增长率为． 【小问2详解】 解：略． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，若由点P，原点O，两个垂足A，B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）判断点是否是“美好点”，并说明理由； （2）若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上． ①求k的值； ②若点在双曲线上，求的值． 【答案】（1）不是 （2）①16；②12 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质、求函数解析式，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； ②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 点不是“美好点” 故答案为：不是； 【小问2详解】 解：①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ， 令直线与轴交于点， 当时，， ， ， ． 19. 数学老师布置综合实践小组测量图1中孔子雕像的高度，已知的工具有皮尺、平面镜，如图2．实践小组打算利用平面镜和皮尺测量，其测量及求解过程如下： （1）如图3，某同学保持站立姿势，调整自己的位置和平面镜，直到从平面镜中看到孔子雕像的顶点，测得，，．求孔子雕像的高度；（用，，表示） （2）但在进一步观察孔子雕像周围的环境之后，实践小组发现由于条件限制，孔子雕像的底部不可到达，所以无法准确测量孔子雕像底部到平面镜的距离，进一步修改了方案：既然无法测量平面镜到孔子雕像底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．实测得到，，，，求出孔子雕像的高度． 【答案】（1） （2）孔子雕像的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）证明，可得，即可解答； （2）证明，，可得，，再由，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：由反射特点得：， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， 即， ∴． 【小问2详解】 解：由反射特点可知，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， 解得， ∴， 解得． 20. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】（1） 描点并连线，函数图像如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：描点并连线，函数图像略 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． 【小问3详解】 解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，． （1）将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到如图2所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点， ①当是多少度时，四边形的形状是菱形，并证明； ②在①的条件下，五边形的面积是_______； （2）当图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使、、三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） ①四边形是矩形， ∴，， ∴，． ∴，． ∴． 在如图2中，由旋转知，，， 当时． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． ② （2） 证明：∵是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 由旋转知，， ∴平行四边形是菱形． 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质可得，，从而得到，再由旋转的性质可得，，然后由平行四边形的判定与性质及菱形的判定可得结论；②连接，交于点O，根据菱形的性质以及旋转的性质可得五边形的面积是，即可求解； （2）根据已知可证四边形是平行四边形，由矩形的性质及旋转的性质可得，再根据矩形的判定与性质及正方形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：略 ① ②连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴五边形的面积是； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定与性质，旋转的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握相关几何图形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 22. 学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A．     B．  . C．    D．  【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（）图，图； （）如图所示，线段和点即为所求； （）；（）米 【解析】 【分析】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （）根据中心投影的定义画出图形； （）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：（）反映平行投影的情形图是图，反映中心投影的情形图是图， 故答案为：图，图； （）略 （）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：； （）如图，过点作于点，设米，米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴米，米， 又同理可得：， 即， 解得， 答：的影长为米． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践：某校为了激发学生的数学兴趣举行数学节活动，小明制作了一些几何图形的模具． 追本溯源 （1）如图，小明制作等边三角形模具，点是动点． ①当点在上运动时，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点，得到，连接，用尺规作图法在图1中作出旋转后的图形； 特例探究 ②在①中，若，则的最小值是______； 类比迁移 ③若点在下方时，连接，，，当时，求的最小值； 拓展应用 （2）如图3、4中，小明制作矩形模具，，，为模具边上的一动点． ①如图3，以为边向右作等边，连接，判断是否存在最小值，若存在，求最小值；若不存在，说明理由？ ②如图4，以为边向右构造正方形，连接，直接写出的最小值是______． 【答案】解：（1）①即为旋转后所得图形． ②； ③的最小值为 （2）①存在，的最小值为；② 【解析】 【分析】（1）①以为原点，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧交点为，连接、，即可；②根据题意得：当时，最小，再由等边三角形的性质以及勾股定理解答即可；③将绕着点逆时针旋转60度得到，连接，则，证明，可得，，再由，可得到、、三点共线，可得到是等边三角形，当成为等边三角形的高线时才会最短，过作的垂线段，再由，可得当时，最短，即可求解； （2）①将绕着点顺时针旋转60度得到，可得，连接，则是等边三角形，证明，可得当最小时，最小，从而得到当时，即点与点重合时，最小，再证明四边形是矩形，可得，即可求解；②以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于，证明，可得，从而得到当取得最小值时，最小，进而得到当时，即点与点重合时，最小，证明四边形是矩形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）①略 ②根据题意得：当时，最小， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， 即的最小值是． ③将绕着点逆时针旋转60度得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴、、三点共线， ∴， ∴是等边三角形 当成为等边三角形的高线时才会最短，过作的垂线段， ∵， ∴当时，最短， ∴的最小值为 ； （2）①如图，将绕着点顺时针旋转60度得到，可得，连接，则是等边三角形， ∴， ∴的最小值为12， 过点作于，交于， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为定点， ∴当时，即点与点重合时，最小， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． ②如图，以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于， ∵四边形、是正方形， ∴，， ，是等腰直角三角形 ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，最小， ∵点为定点， ∴当时，即点与点重合时，最小， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为12， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $