精品解析：天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年高一上学期第二次限时训练（12月）数学试卷

天津市南开中学滨海生态城学校2025－2026学年（上） 高一年级第二次限时训练数学学科试卷 注意事项： 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 本卷共12题，每题5分，共60分.在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求. 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列角中，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据终边相同的角的知识确定正确选项. 【详解】与角终边相同的角是， 令，得. 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案． 【详解】当时，必有， 故“”是“”的充分条件， 当时，或，推不出； 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除A，利用定义域可排除C，根据时的函数值的正负可排除D，进而即得. 【详解】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为， 对于A，，函数关于y轴对称，故A错误； 对于C，因为的定义域为，故C错误； 对于D，当，时，，不符合图象，故D错误； 对于B，，函数的图象关于原点对称，且时，，符合题意，所以B正确. 故选：B. 4. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则,. 所以 故选：D 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对数的运算性质，将与、与化为同底的对数形式，再结合对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】由题意，，，故. 又，所以. 故选：A 6. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则. 故选：A. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将解不等式转化为与的图像比较，进而观察两个函数图象的特征，从而求出不等式的解集． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以的图像关于原点对称，由此画出函数在上的图象， 在同一坐标系内画出的图象， 因为，，所以， 又，， 所以的图象与的图象交于和两点，如图， 所以结合图像可知，的解集为. 故选：C. 8. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合函数的零点存在定理进行求解． 【详解】函数在区间上单调递增， ， ，得， 所以函数的零点在区间内． 故选：B 9. 已知，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解. 【详解】根据诱导公式可得 ， 即 ，所以 ， 则， 因为，则，而又因为， 所以， 将 代入得： ； 故选：D 10. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天. （参考数据：，， A. 9 B. 15 C. 25 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 11. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式. 【详解】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 12. 若函数的图象上存在两点，关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”.若恰好有两个“基点对”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为，即在上恰有两个实根，再利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】函数与的图象关于原点对称， 由恰好有两个“基点对”，得函数与 函数的图象恰有两个交点，即方程 在上恰有两个不相等的实根， 因此，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 第Ⅱ卷 本卷共12题，共90分. 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13. 设集合，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交运算以及补集定义即可求解. 【详解】，， 故， 故答案为： 14. 若函数（为常数）在定义域上为奇函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质得到恒成立，即可求. 【详解】由题设，即恒成立，所以，经验证满足题设. 故答案为： 15. 已知函数的单调递增区间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数及复合函数单调性求出递增区间. 【详解】函数有意义，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 16. 已知角的终边经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，利用诱导公式化简所求式，再通过弦切互化，代入正切值即可求得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 17. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据待求角与已知角的关系，利用诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为： 18. 已知，则的最大值是____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可． 【详解】，，，则 ．当且仅当时，函数取得最大值． 【点睛】本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值． 19. 已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为： 20. 已知函数，给出下面四个结论： ①当时，只有一个零点； ②对任意，既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数，在上单调递增； ④若存在最小值，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】求出的零点可判断①；分别求出和时的范围，根据可判断②；分别讨论和时是否在上单调递增可判断③；分和两种情况求出存在最小值时的取值范围可判断④. 【详解】对于①，当时，， 当时，令，即，解得（舍）或； 当时，令，即，方程无解， 所以当时，只有一个零点，故①正确； 对于②，当时，因为在单调递增， 所以，无最大值； 又因为在单调递增，所以， 又， 即，所以，无最小值， 所以函数既没有最大值，也没有最小值，故②正确； 对于③，当时，在单调递减，在单调递增， 所以在上不单调递增； 当时，在单调递增， 所以； 在单调递增，所以， 要使在上单调递增，则，即， 当时，显然，，不满足， 所以在上不单调递增； 当时，单调递增，单调递增， 且当时，， 又因为的增长速度比的增长速度快， 所以，不满足，所以在上不单调递增， 综上，不存在实数，使在上单调递增，故③错误； 对于④，当时，因为在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，解得，所以； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，所以， 综上，，所以的最小值为，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于分类讨论，利用函数的单调性求出分段函数各段的范围. 三、解答题（共4小题，共50分） 计算下列各式： 21. 22. 23. 【答案】21. 22. 23. 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则和对数的运算性质求解； （2）利用指数幂和对数的运算性质求解； （3）利用诱导公式化简，借助于特殊角的三角函数值求解. 【21题详解】 ； 【22题详解】 ； 【23题详解】 . 24. （1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值. 【答案】（1）；（2），（3）0 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）由和的关系即可求解.； （3）由角的终边所在直线，可得角是第二或第四象限角，分别讨论正弦和余弦的符号，化简即可. 【详解】（1）在第二象限， ，. （2）将两边平方得， 所以， 又∵，，又 ，   ∴， 所以， 所以， 则. （3），       ∵角的终边落在直线上，∴是第二或第四象限角，    当是第二象限角时，，      当是第四象限角时，，      综上，的值为. 25. 已知函数（为常数） （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围： （2）当时， ①若 试用表示; ②是否存在正整数，使得关于的不等式 在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）由函数的定义域为，可得，从而可求解； （2）①利用换底公式及对数的运算性质求解即可；②转换问题为在区间上有解，进而利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意函数的定义域为， 则对于恒成立， 当时，，不恒成立； 当时，，无解； 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，， ①因为，， 所以. ②存在，理由如下： 由，则， 则不等式 可化为， 则，即在区间上有解， 令，，则， 因为，， 所以， 又因为为正整数，所以的最大值为. 故存在. 26. 设函数（且），且，，函数． （1）求和的解析式； （2）若关于x的方程在区间上有实数解，求实数m的取值范围； （3）设，，，若对任意的，均存在，满足．求实数λ的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据求出，再根据解得即可； （2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； （3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得的最大值，然后转化为恒成立问题即可 【小问1详解】 已知，且，即， 因为且，所以，则. 又因为，即，所以. 对于，因为，所以. 【小问2详解】 由，可得：，不妨设， 则有：，又，则有： . 故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 ，故 故实数的取值范围为： 【小问3详解】 ，若对任意的，均存在， 满足 ，则只需：恒成立.， 不妨设，则设，，则. 在上可分如下情况讨论： 当时，，此时，不满足恒成立. 当时，，此时只需：在上恒成立. 则只需：在上恒成立. 则需：时，不等式成立.解得：，与矛盾； 当时，，此时，只需保证：. 则只需：在上恒成立. 当时，只需保证：当时，成立. 则有：，解得：， 又，故有：， 当时，只需保证：当时，成立， 此时解得：，又故有：，故当时，. 综上所述，解得：实数的取值范围为： 【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ， ， ，，则有： （1）若 ，， 恒成立， ； （2）若 ，， 能成立， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学滨海生态城学校2025－2026学年（上） 高一年级第二次限时训练数学学科试卷 注意事项： 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 本卷共12题，每题5分，共60分.在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求. 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列角中，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 10. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天. （参考数据：，， A. 9 B. 15 C. 25 D. 35 11. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 若函数的图象上存在两点，关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”.若恰好有两个“基点对”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 本卷共12题，共90分. 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13. 设集合，，，则______． 14. 若函数（为常数）在定义域上为奇函数，则________. 15. 已知函数的单调递增区间为_____． 16. 已知角的终边经过点，则__________． 17. 已知，则___________. 18. 已知，则的最大值是____． 19. 已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是______． 20. 已知函数，给出下面四个结论： ①当时，只有一个零点； ②对任意，既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数，在上单调递增； ④若存在最小值，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共4小题，共50分） 计算下列各式： 21. 22. 23. 24. （1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值. 25. 已知函数（为常数） （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围： （2）当时， ①若 试用表示; ②是否存在正整数，使得关于的不等式 在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 26. 设函数（且），且，，函数． （1）求和的解析式； （2）若关于x的方程在区间上有实数解，求实数m的取值范围； （3）设，，，若对任意的，均存在，满足．求实数λ的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $