数列通项公式及前n项和常见求法 期末复习专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过层次化框架系统梳理数列通项公式与前n项和求法，将知识分为通项公式（不完全归纳法、Sn与an关系法等）和求和方法（公式法、裂项相消法等）两大模块，用逻辑递进结构呈现方法间内在联系，突出构造法、错位相减法等重难点。 讲义亮点在于“方法-例题”对应设计，如构造法中“已知an+1=2an+1证等比数列”例题，培养数学思维与推理能力。错位相减法提供万能公式，基础学生可掌握步骤，优秀学生能深化技巧，助力教师分层教学，支持学生自主复习时精准突破。

数列的通项公式与前n项和常见求法 一.重点知识点梳理 (一).常见的数列通项公式的求法 1.不完全归纳法：根据数列的前几项归纳出数列的通项公式（仅用于小题） 2.Sn与a,的关系法：（一定要注意分段讨论，并最后检验n=1的情况） S,n=1 0n= Sn-Sn-,n≥2 3.累加法：递推关系式的形式：a1=an+f(n),则： an-an-1=f(n-1） an--an-2=f(n-2) 。g 全部相加得：an-a,=f1)+f(2)+…f(n-1) a3-42=f(2) a-4=f) 4.累乘法：递推关系式的形式：an1=anfn),则： ala=f(n-1) an-1/an-2=f(0n-2) … 全部相乘得：an/a,=f①)f(2)…f(n-1) a3/a2=f(2) a2/a1=f) 5.常见的构造法 (1)形如an+1=pan+fn)(p≠0,1)的递推关系式，只需构造一个新的数列（等差或等比）： ①当)=g时，a+是=a+是则数列包.+品 是一个以p为公比的等比 p-1 数列。 ②当fn)=g"时， p则数列 1)同除以pH,得：a出=+ D+ 可用累加法求通向公式。 D" D 2)同除以g,得：=卫0+，则数列 g4 可用方法①求通向公式。 1 ③当fn)是关于n的一次或二次表达式时，则构造等比数列{a,+g()》,且g(m)的形式和 fn)相同，即gm=+b或g(m)=Am2+Bn+C，并且a1=kan+fn)可化为： a1+g(n+)=k(a。+g(m)的形式，再展开后和an1=kan+fn)比较，待定出gm中的参 数。 (2)取倒数法：an+ 1_或pa,an1+9an1-an=0 pan+g 两边分别取倒数，得： 1=9+卫 antl ran r (1)当r=g时， 1 是以工为首项，卫为公差的等差数列 a. a (2)当rg时， r ang-1 可得：数列 41q-r (3)取对数法：递推公式形如an=pa-(n≥2，p>0) 对递推公式两边取对数转化为b1=pb,+q,利用方法(1)的形式①来求解 (二).数列求和的常用方法 1.公式法 ①等差数列的前n项和公式：S。=”a十a:5,=na,+-山d。 2 2 ②等比数列的前n项和公式：当g=1时，S,=a:当g≠1时，S,=4-9）_4-09。 1-9 1-q ③1P+22+32++n2=nm+12n+) 6 ④P+2+3++m=”)+1 2.分组或并项求和法 一个数列的通项公式是由若干个可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别 求和后相加减，对于奇偶项问题要注意讨论。 2 3.裂项相消法 大部分情况下，当数列通项公式式分式的形式时，应用列项相消法，把数列的通项 拆成在求和时中间的一些项可以相互抵消的形式，从而求得前n项和，主要有两种形式： 11L-L)1 1yansk-van anantk anantk an antk antk-an antk+an antk-an 常见的裂项： (1) 1 11、1 =( n(n+k)nn+k'k ”a24片 1 1 (2) 3)n214n2-1+11111 4n2-144n2-1)=41+ m2-）=4+82m-2n+ 1 111 (4) n(n2-1)nn-1)(n+）n(n-1)(n+1) =1-1-1-1 nn-1n+122n(n-1）n(n+1) (5)2n+L=a+02-n21_1 n2(n+1)2-n2(n+1)2n2(n+1)2 1 1 (6) =(Wn+k-√n) √n+k+√nk 2 (7) =2n 1 =2"[、1-1 111 (2-10(2”-)2(2-102”-022”-12-2-22”-121-1 (8) 2+n-a+nt少-r片 n(n+1） n(n+1) (9)n+2 2(n+1)-n1 1 n0n+10-2n0n+1）-2n-2▣(n+1)-2 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这 个数列的前项和即可用错位相减法求解. 错位相减法万能求和公式： 公式一：{an}为等差数列，公差为d,{bn}为公差为g的等比数列，若数列{c}为满足 c。=a,b.，则数列{c,}为的前n项和S=-96+dbg0-g 1-9(g-12 公式二：若数列{c}满足cn=(kn+b)g-，则数列{c}为的前n项和 g7,864 S,=(4n+B)q”-B;其中：A=k, 9-1 3 二.典例分类分析 (一).Sm与an关系法求通项公式 1.已知数列{an}满足a1十2a2十3a3十.十nan=2,求an 2.若数列{am}的前n项和为Sn,且满足an十2SmSn-1=0(n≥2)，a1=12. (1)求证：1Sn)成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 3.已知{a}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn,且Sn为a,与一的等差中项 求数列{an}的通项公式； 2+1=2. 4.记S为数列{a,的前n项和，么，为数列S,}的前n项积，已知了+方 (1)证明：数列{bn}是等差数列： (2)求{an}的通项公式. (二).累加法求通项公式 1.在数列{a,}中，a=2,a=a,+lh+月，则a,=（) A.2+In n B.2+(n-1)Inn C.2+nln n D.1+n+In n 2.数列{an}中a,=2,且满足am+1=am+ nn+可，则ao的值为() A 32 B.To C. 3.己知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n(n∈N,n≥1)，则其通项公式an= 4.已知在数列{an}中，a,=3,an=an-1+2”-(n22),求数列{an}的通项公式； (三).累乘法求通项公式 1.已知数列{an}中，a1=1,am1=2”an(neN,)，则数列{an}的通项公式为() A.a =2-1 B.a =2" n(n-1) C.a =22 D.a =22 2.数列{an}满足：a1=2,nan+1=2(n+1)an,则数列{an}的通项an= 3.设{a}是首项为1的正项数列，且(0n+1)a2n十1-na2n十an+1an=0n=1,2,3,…),则 它的通项公式an= 1 2n-3 4.已知数列{a.}满足4=3’a,=2m+ a-(n之2，neN),则数列{an}的通项an= (四).构造法求通项公式 1.已知数列an}满足a=1,an=3an-1+4(n≥2). ()求证：数列{an+2}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式： 2.己知数列{an}满足ant1=2an+3×5”，a1=2,则数列{an}的通项公式am= 3.在数列{an}中，已知a1=2,且an1=4an-3n+1,则通项公式an= 6 4.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn一n2,n∈N* (I)求a1的值： (2)求数列{an}的通项公式. (五).取倒数法求通项公式 1.已知数列{an}的首项a1=35,a+1=3an2an十1，n=1,2,3,求{an}的通项公式. 2已知数ai中4分数)器 (1)若正项数列{an}满足an+1=f(an),试求出a2,a,a4,由此归纳出通项a。，并加 7 以证明； (2)若正项数列{a,}满足a1≤fa,)(n∈)，数列，}的前项和为1，且b,=, Γ2"+1 证：无<号 (六).取对数法通项公式 1.已知数列{an}的各项均为正数，且a1=1,a,=a2n十1十2a+1,求数列{an}的通项公式. 2在正项数列a,}中，=1,4=10，%=0m=3,45,),求数列a,}的通 an-1 an-2 项公式。 二.常见数列前n项和的求法 (一).分组求和法 1.己知{an}是等差数列，bm}是等比数列，且b23,b3=9,a1b1,a14=b4. (l)求{an}的通项公式： (2)设cn=an+bn,求数列{cm}的通项公式. ,1_1-2,S6=63 2.已知a,是等比数列，前n项和为s.(n∈N)小，且。4,4 (1)求{an}的通项公式： (2)若对任意的n∈N,b是log,an和log,a1的等差中项，求数列{《-1”b,}的前2n项和 3.在等差数列{an}中，己知公差d=2,a2是41与a4的等比中项. (I)求数列{an}的通项公式： (2)令bnm=an+l,记Tn=-b1十b2-b3+b4-+(-1)yb,求Tm. 2 4设{an}是等差数列，{bn}是等比数列.己知a1=4,b,=6,b2=2a2-2,b=2a+4. (I)求{an}和{bn}的通项公式； (Ⅱ)设数列(cn}满足c=1,cn= ,2<n<2"其中keN b,n=2, (i)求数列{a,(c-1}的通项公式： (i)求∑a,(neN) 5.已知{an}为等差数列，bn= an-6,n为奇数 2a,n为偶数，记S,7分别为数列a,b,的前n项 10 数列的通项公式与前n项和常见求法 一．重点知识点梳理 （一）．常见的数列通项公式的求法 1.不完全归纳法：根据数列的前几项归纳出数列的通项公式（仅用于小题） 2.与的关系法：（一定要注意分段讨论，并最后检验n=1的情况） 3.累加法：递推关系式的形式：，则： 4.累乘法：递推关系式的形式：，则： 5.常见的构造法 （1）形如()的递推关系式，只需构造一个新的数列（等差或等比）： ①当时，，则数列是一个以为公比的等比数列。 ②当时， 1）同除以，得：，则数列可用累加法求通向公式。 2）同除以，得：，则数列可用方法①求通向公式。 ③当是关于n的一次或二次表达式时，则构造等比数列，且的形式和相同，即或，并且可化为： 的形式，再展开后和比较，待定出中的参数。 （2）取倒数法： 两边分别取倒数，得： （1）当时，是以为首项，为公差的等差数列 （2）当时，可得：数列是以为首项，公比的等比数列 （3）取对数法：递推公式形如 对递推公式两边取对数转化为，利用方法（1）的形式①来求解 （二）.数列求和的常用方法 1.公式法 ①等差数列的前n项和公式：;。 ②等比数列的前n项和公式：当时，；当时，。 ③ ④ 2.分组或并项求和法 一个数列的通项公式是由若干个可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别 求和后相加减，对于奇偶项问题要注意讨论。 3.裂项相消法 大部分情况下，当数列通项公式式分式的形式时，应用列项相消法，把数列的通项 拆成在求和时中间的一些项可以相互抵消的形式，从而求得前n项和，主要有两种形式： 常见的裂项： （1） （2） （3） （5） （6） （7） （8） （9） 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这 个数列的前项和即可用错位相减法求解． 错位相减法万能求和公式： 公式一：为等差数列，公差为，为公差为的等比数列，若数列为满足，则数列为的前n项和 公式二：若数列满足，则数列为的前n项和；其中：，； 二．典例分类分析 （一）．Sn与an关系法求通项公式 1.已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，求an 【详解】当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2， ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n， ① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)， ② 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1， ∴an＝.显然当n＝1时不满足上式，∴an＝ 2.若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【详解】(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列． (2)　由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 当n＝1时，a1＝不适合上式． 故an＝ 3.已知是各项都为正数的数列，其前n项和为，且为与的等差中项. 求数列的通项公式； 【详解】由题意知，，即① 当n=1时，由①式可得 当时,有带入①式，得 整理得所以是首项为1，公差为1的等差数列， 因为各项都为正数，所以所以 又所以 4．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【详解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. （二）．累加法求通项公式 1.在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【详解】：在数列中， 2.数列中，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得：， 则，，…，， 各式作和可得：，又，， 3.己知数列满足，则其通项公式________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，，，…，， 把以上个式子相加，得， 即，所以. 故答案为：. 4.已知在数列中，，求数列的通项公式； 【详解】因为，所以 当时， 所以，，所以，，又当时，满足条件，所以； （三）．累乘法求通项公式 1.已知数列{}中，=1，（n，则数列{}的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【详解】, 即． 2．数列满足：，，则数列的通项________________. 【答案】 【详解】解：因为，， 所以， 当 时，， 所以， ， ， 当时，，适合上式， 所以数列的通项， 故答案为： 3.设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项公式an＝________． 【详解】∵(n＋1)a＋an＋1·an－na＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， 即＝，∴····…·＝××××…×，∴an＝. 4.已知数列满足，(，)，则数列的通项________． 【详解】：数列满足，，整理得，，，，所有的项相乘得：，整理得：。 （四）．构造法求通项公式 1.已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【详解】（1），等式两边同时加上2， 得，又， 则为首项是3，公比的等比数列 （2）由（1）得，为首项是3，公比的等比数列， ，故. 2.已知数列满足，，则数列的通项公式 【详解】将两边同除以，可得， ，所以，由于， 所以数列是首项为，公比为的等比数列。 所以，所以。 3.在数列中，已知，且，则通项公式 【详解】令， 则，又， 所以，解得，所以，又， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， 所以，所以。 4.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式． 【详解】(1)令n＝1时，T1＝2S1－1， ∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. (2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2， 则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2] ＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1. 因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式， 所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1， 两式相减得an＝2an－2an－1－2， 所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)， 因为a1＋2＝3≠0， 所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2， 当n＝1时也成立， 所以an＝3×2n－1－2. （五）．取倒数法求通项公式 1.已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，…求{an}的通项公式． 【详解】∵an＋1＝，∴＝＋， ∴－1＝. 又－1＝， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴－1＝·＝， ∴an＝. 2.已知数列中，函数． （1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明； （2）若正项数列满足（n∈N*），数列的前项和为Tn，且，求证：． 【详解】（1）依题意， ，， ，由此归纳得出： ； 证明如下： ∵，∴， ∴， ∴数列是以1为首项、为公比的等比数列， ∴，∴； （2）∵（n∈N*）， ∴，∴， 累乘得：，∴，即， ∴， ∵， ∴． （六）．取对数法通项公式 1.已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，an＝a＋2an＋1，求数列{an}的通项公式． 【详解】∵an＝a＋2an＋1，∴an＋1＝(an＋1＋1)2， ∵an＞0，∴2log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)， 即log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)， 即数列{log2(an＋1)}是以1为首项，为公比的等比数列． ∴log2(an＋1)＝， 2.在正项数列中，，，，求数列的通项公式。 【详解】：两边同时取常用对数，得， 即，又， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以 ，，，……，， 所以， 所以，所以. 二．常见数列前n项和的求法 （一）．分组求和法 1．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4． （1）求{an}的通项公式； （2）设cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式． 【详解】（1）等比数列的公比， 所以，． 设等差数列的公差为． 因为，， 所以，即． 所以（，，，）． （2）由（1）知，，． 因此． 从而数列的前项和 ． 2．已知是等比数列，前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和. 【详解】：（1）设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以. （2）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列. 设数列的前项和为，则 3.在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn. 【详解】　(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)， 解得a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)由题意知bn＝＝n(n＋1)． 所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)． 因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，可得当n为偶数时， Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn) ＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝. 当n为奇数时， Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－. 所以Tn＝ 4.设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 依题意得，解得， 故，. 所以，的通项公式为，的通项公式为. (Ⅱ)(i). 所以，数列的通项公式为. (ii) . 5．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. （二）．裂项相消法 1．已知数列是递增的等比数列，且 （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为q，所以有 联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q>1，所以 数列的通项公式为 （2）根据等比数列的求和公式，有 所以 所以 2．为数列{}的前项和.已知＞0，=. （1）求{}的通项公式； （2）设 ,求数列{}的前项和. 【详解】解：（1）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1， 即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an）， ∵an＞0，∴an+1﹣an＝2， ∵a12+2a1＝4a1+3， ∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3， 则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列， ∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1： （2）∵an＝2n+1， ∴bn（）， ∴数列{bn}的前n项和Tn（） （）. 3.在数列中，. (1)求的通项公式； (2)证明：. 【详解】（1）解：因为，① 则当时，，即， 当时，，② ①②得，所以， 也满足，故对任意的，. （2）证明：， 所以 ． ， ，即结论成立. 4．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 5．等比数列{cn}满足cn＋1＋cn＝10·4n－1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，且an＝log2cn. (1)求an，Sn； (2)数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m，k(1＜m＜k)，使得T1，Tm，Tk成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由． 【详解】　(1)设数列{cn}的公比为q，由题意知， c1＋c2＝10，c2＋c3＝c1q＋c2q＝40， 即解得 所以cn＝2·4n－1＝22n－1， 所以an＝log222n－1＝2n－1， Sn＝＝＝n2. (2)由(1)知bn＝＝， 于是Tn＝＝. 假设存在正整数m，k(1＜m＜k)，使得T1，Tm，Tk成等比数列，则＝×， 可得＝＞0，所以－2m2＋4m＋1＞0， 从而有1－＜m＜1＋， 由m∈N*，m＞1，得m＝2，此时k＝12. 当且仅当m＝2，k＝12时，T1，Tm，Tk成等比数列. 6.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 【详解】　(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋×2＝4a1＋12， 由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)， 解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1. 当n为偶数时， Tn＝－＋…＋－＝1－＝. 当n为奇数时， Tn＝－＋…－＋＝1＋＝. 所以Tn＝ （三）．错位相减法 1．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【详解】（1）设的公比为，为的等差中项， ， ； （2）设的前项和为，， ，① ，② ①②得， ， . 2．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. 3.数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）设，求． 【详解】（1）由题设，所以，故为常数列，所以，．因为，所以是以3为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）知，所以，因此，所以 ． 两边同乘以得 ． 上面两式相减得 ． 因此 ． 4．已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以， 由得恒成立， 即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $