27.2.3切线同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

切线 一、单选题 1．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（  ） A．25° B．20° C．30° D．35° 2．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是（） A． B． C． D． 3．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 4．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 5．已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（    ） A．OP＝5 B．OE＝OF C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF 6．如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，为的切线，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 10．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 11．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．    12．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝110°，则∠ACB的度数为 ． 13．如图，等边△ABC中，CD为AB边上的高，⊙E边AC、BC相切，当AB＝4，ED＝1时，⊙E半径是 ． 14．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为2，则Rt△MBN的周长为 ． 15．如图，是的切线，为切点，连接．若，则= ． 16．如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 三、解答题 17．如图，已知：． 求作：，使点O在上，，且与相切．    18．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 19．如图，为的直径，是延长线上一点，点为上方上的点，已知． (1)求证：直线为的切线． (2)若，求的长． 20．如图，是的直径，是的弦，点是外一点，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若OP∥BC，且，的半径为，求的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 切线 一、单选题 1．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（  ） A．25° B．20° C．30° D．35° 2．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是（） A． B． C． D． 3．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 4．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 5．已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（    ） A．OP＝5 B．OE＝OF C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF 6．如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，为的切线，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 10．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 11．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．    12．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝110°，则∠ACB的度数为 ． 13．如图，等边△ABC中，CD为AB边上的高，⊙E边AC、BC相切，当AB＝4，ED＝1时，⊙E半径是 ． 14．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为2，则Rt△MBN的周长为 ． 15．如图，是的切线，为切点，连接．若，则= ． 16．如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 三、解答题 17．如图，已知：． 求作：，使点O在上，，且与相切．    18．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 19．如图，为的直径，是延长线上一点，点为上方上的点，已知． (1)求证：直线为的切线． (2)若，求的长． 20．如图，是的直径，是的弦，点是外一点，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若OP∥BC，且，的半径为，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D D D A B C D 1．C 【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：为圆的切线， ，即， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 2．D 【分析】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象： 【详解】∵AB与⊙O相切， ∴∠BAP=90°， ∵OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°， ∴AB=， ∴△APB的面积，（0≤x≤2）． ∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分． 故选D． 3．D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4．D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 5．D 【分析】根据切线的证明方法进行求解，即可得到答案. 【详解】∵点 P 在⊙O 上，∴只需要 OP⊥EF 即可， 故选D． 【点睛】本题考查切线的证明，解题的关键是掌握切线的证明方法. 6．D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的两锐角互余．根据切线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∴在中，． 故选：A 8．B 【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A，根据切线的性质计算即可． 【详解】解：连接OC， 由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝70°， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠D＝90°−∠COD＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 9．C 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 10．D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 11．3或5 【分析】根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解． 【详解】∵ ∴与直线相切，OH=1 当在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3； 当在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5； 故答案为3或5． 【点睛】此题主要考查切线的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论． 12．70° 【分析】连接OB和OA，根据切线的性质求出∠OBM，求出∠OBA，根据等腰三角形的性质求出∠OAB，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出∠ACB即可． 【详解】连接OB和OA， ∵BM切⊙O于B， ∴∠OBM＝90°， ∵∠MBA＝110°， ∵∠OBA＝∠MBA−∠OBM＝20°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝20°， ∴∠AOB＝180°−20°−20°＝140°， ∴由圆周角定理得：∠ACB＝∠AOB＝70°， 故答案为：70°． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 13． 【分析】设⊙E与BC边相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，根据等边三角形的性质及三角函数求出CD，进而求出EM的长． 【详解】如图，设⊙E与BC边相切于点M，连接EM，则EM⊥BC， ∵△ABC是等边三角形，CD是高，AB＝4， ∴∠CDB=90°，∠A=∠B=∠ACB=60°，∠BCD=∠ACB=30°， 在Rt△BCD中，CD=BCsin∠B=4×=6， ∴CE=5 ∴EM=CEsin30°= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查切线的性质综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、切线的性质及三角函数的应用． 14．4 【分析】证明四边形DBEO是正方形，然后根据切线长定理证明Rt△MBN的周长等于BD＋BE即可求解． 【详解】解：连接OD、OE． ∵AB和BC是⊙O的切线， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，BD＝BE， 则四边形DBEO是正方形． ∴BD＝BE＝2， 又∵MN是切线， ∴MP＝MD，NP＝NE， ∴Rt△MBN的周长＝BM+BN+MN＝BM+BN+MP+NP＝BM+BN+DM+NE＝BD+BE＝4． 故答案是：4． 【点睛】本题考查了切线长定理和切线的性质，证明Rt△MBN的周长等于BD＋BE是关键． 15．65° 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 16． 【分析】此题主要考查了切线长定理．根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长． 【详解】解：、切于、，切于， ，，； 的周长． 故答案为：． 17．见详解 【分析】作线段的垂直平分线，交于点，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，结合线段垂直平分线的性质、切线的判定可知，即为所求．本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、切线的判定是解答本题的关键． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，    此时，， ， ， 为的半径， 与相切， 则即为所求． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，由圆周角定理，得到，然后由平行线的判定和性质，即可得到结论成立； （2）由题意，先求出的半径，然后由弧长公式进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：，又为的半径， 为的切线；    （2）解：设的半径为， 则， 由（1）可知：， 为直角三角形， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 为等边三角形， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，切线的判定定理，以及平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，根据切线的证明方法即可求解； （2）根据题意，证明，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵AB为的直径， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 又∵OD是的半径， ∴直线CD为的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握相似三角形的判定与性质，切线的判定定理及其推论是解题的关键． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，，可证，即，由此即可求证； （2）根据题意，及（1）中条件可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵的半径为，， ∴，， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形相似的综合，掌握切线的证明方法，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $