27.4正多边形和圆 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

正多边形和圆 一、单选题 1．如图，是一个正多边形相邻的四个顶点，若，则这个多边形的边数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．如图，是正五边形的外接圆．若的半径为6，则半径与围成的扇形的面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 4．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，则的内切圆的半径是（    ） A．2 B． C．1 D．无法判断 6．已知直角三角形的三边长为3，4，5，则它的内切圆半径为（    ） A．2 B．1 C． D． 7．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 8．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 9．图，是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（   ） A．64° B．120° C．122° D．128° 二、填空题 11．如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 12．如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为 ． 13．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则圆的半径是 ． 14．如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则 ；若，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）． 15．如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 ． 16．如图，为正六边形的一条对角线，过点作于点，若正六边形的边长为，则的长为 ． 三、解答题 17．如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 18．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 19．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 20．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 正多边形和圆 一、单选题 1．如图，是一个正多边形相邻的四个顶点，若，则这个多边形的边数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．如图，是正五边形的外接圆．若的半径为6，则半径与围成的扇形的面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 4．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，则的内切圆的半径是（    ） A．2 B． C．1 D．无法判断 6．已知直角三角形的三边长为3，4，5，则它的内切圆半径为（    ） A．2 B．1 C． D． 7．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 8．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 9．图，是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（   ） A．64° B．120° C．122° D．128° 二、填空题 11．如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 12．如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为 ． 13．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则圆的半径是 ． 14．如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则 ；若，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）． 15．如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 ． 16．如图，为正六边形的一条对角线，过点作于点，若正六边形的边长为，则的长为 ． 三、解答题 17．如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 18．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 19．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 20．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C C B A C C C 1．D 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 如图所示，设这个正边形内接于，连接，则，根据正多边形的每条边所对圆心角相等即可求解． 【详解】解：如图所示，设这个正边形内接于，连接， ∴， ∴， ∴，即这个多边形的边数为， 故选：D ． 2．C 【分析】本题考查了扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．先求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵是正五边形的外接圆，且的半径为6， ∴， ∴与围成的扇形的面积是， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 4．C 【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ． 故选：． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形的面积，由勾股定理可得，再由，，列式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、， ，在中，，，， ， ，， ， ， 故选：C． 6．B 【分析】内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，则OD=OE=OF=r，得出S△ABC=（AB+BC+CA）•r，即可得出结果． 【详解】解：设△ABC内切圆的圆心为O，半径为r，切点分别为D、E、F， 连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，如图所示： 则OD=OE=OF=r， ∵S△ABC=AB×OF+BC×OE+CA×OD， ∴S△ABC=（AB+BC+CA）•r， 即×3×4=×（3+4+5）r， 解得：r=1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、三角形面积，由面积法得出S△ABC=（AB+BC+CA）•r是解题的关键. 7．A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 8．C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 9．C 【分析】作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，可得∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，再由点I是△ABC内心，可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，从而得到∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，AB=AM=9，∠CBD=∠BAD，进而得到BD=ID，再证得△MBC∽△ABD，可得，即可求解． 【详解】：如图，作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI， ∴∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M， ∵点I是△ABC内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC， ∴∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD， ∴AB=AM=9， ∴MC=AM+AC=22， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠CBD=∠BAD， ∵∠BAD+∠ABI=∠BID，∠IBC+∠BAD=∠IBD， ∴∠IBD=∠BID， ∴BD=ID， ∵∠D=∠C， ∴△MBC∽△ABD， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆和外接圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作出适当辅助线是解题的关键． 10．C 【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数． 【详解】在⊙O中， ∵∠CBD=32°， ∴∠CAD=32°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAC=64°， ∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°， ∴∠BEC=180°-58°=122°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数． 11．72 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题的关键． 根据正多边形的内角和求出其边数，即可求出这个正多边形的中心角的度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 则，解得， 所以正五边形的中心角是． 故答案为：72． 12．/72 度 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用正五边形的性质求出的度数，然后再利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴五边形的各边都相等， ∴的度数为， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆的相关概念，连接，由题意并结合勾股定理可得，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是正方形的外接圆，正方形的边长为， ∴， ∴圆的半径是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了正多边形、弧长公式；由正五边形外接圆的性质，则，由弧长公式计算出弧长，进而求出阴影部分周长． 【详解】解：∵五边形为正五边形，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：；． 15．10 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：由题意可得： 边数为， 则它的边数是10． 故答案为：10． 16． 【分析】本题考查正多边形的内角以及解直角三角形，掌握正六边形的性质、直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系得出，解即可求解． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 由于是正六边形的对角线，由对称性可知，， 在中，，， ． 故答案为：． 17．边心距，边长为，周长是，面积是． 【分析】连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距， 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是； 的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 18．(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 19．(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 20．(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $