27.2 相似三角形 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

相似三角形 一、单选题 1．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 5．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 6．如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 7．如图所示，已知，，若的长度为12，则的长度为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，中，点、分别是、的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 10．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 12．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 13．如图，在中，，若，则的长为 ． 14．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 15．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 三、解答题 17．如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    18．如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 19．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 20．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B A C C A B C 1．D 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 4．B 【分析】根据，且，可得到两个三角形的相似比为，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求的面积． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 又∵的面积为12， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，解题的关键是掌握以上知识点． 5．A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明，得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的中位线的性质和相似三角形的性质是解题的关键．先证明是的中位线，根据中位线的性质得，，再根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：A． 9．B 【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 10．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．作于，的延长线交于，结合可得，由相似三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：如图，作于，的延长线交于， ∵， ∴，， 根据题意，可得，， ∴，即 ∴． 故选：C． 11．（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 12．或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握线段比例的计算是关键． 根据题意得到，则有，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 15．丙 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 令每个小正方形的边长为1，分别求出的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置． 【详解】解：令每个小正方形的边长为1， ∴， 要使， ∴，即 ∴ ∵点P到甲的距离为，点P到乙的距离为，点P到丙的距离为，点P到丁的距离为， ∴点R应是甲、丙、丁四点中的丙． 故答案为：丙． 16．1 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得，只要求出BM、BD即可解决问题． 【详解】 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴ ∴， ∴CD=，BD=BC-CD=6-=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴，即， ∴DM=，MB=BD-DM=-=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴， ∴． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题. 17．；理由见解析（或；理由见解析） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 19．(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 20．(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似三角形 一、单选题 1．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 5．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 6．如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 7．如图所示，已知，，若的长度为12，则的长度为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，中，点、分别是、的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 10．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 12．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 13．如图，在中，，若，则的长为 ． 14．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 15．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 三、解答题 17．如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    18．如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 19．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 20．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $