28.1 锐角三角函数 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级下册

锐角三角函数 一、单选题 1.如图，在4x4的正方形网格中，点A,B,C都在格点上，则sin∠ABC的值是() A A.2 B.5 c.25 D.2 5 5 2 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,MB=6cosB=了，则BC的长为（） B A.4.5 B.5 C.4 D.35 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D,则下列结论中正确的是() B A.sin B=BC AB B.cosB= AB C.tanC= BC D.tanC= CD 4.数字3,1，元，sin60°，8中是无理数的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知公式sin(a+β)=sina cosB+cosa sin B,则sin75°的值为() A.6+2 B.6-5 C.1+V5 D. 3-1 4 4 4 2 6.在ABC中， sinB=os0-∠C=那么48c是(） A.等腰三角形 B.等边三角形 答案第1页，共2页 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7.sin46°，cos46,tan46°的大小关系是() A.tan46°<cos46°<sin46° B.cos46°<tan46°<sin46° C.sin46°<cos46°<tan46° D.cos46°<sin46°<tan46 8.若∠A是锐角，且sinA=号，则() A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45 C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90 9.在48c中，∠C=90,si加8=等，则am8值为() A ® c. D 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用 “cscA”表示.若该直角三角形的三边分别为a,b,c,则cscA=二，那么下列说法正确的是 () 6 6 C A.csc B.sin A=1 B.cscB= C.csc A.cos B=1 D.csc2A+csc B=1 c 二、填空题 山.如图，在R1△ABC中，∠C=90,sm4-专BC=4,则4B的长为 A 12.计算V27- -3tan60°=— 13.比较大小（用<连接），sin47°，cos53°，tan45°，则 14.在直角三角形ABC中，∠C=90°，且cosA=了则sinB= 答案第1页，共2页 15.如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子AB斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平 地面的夹角为60时，梯子底端A离墙根的垂直距离AC=2米，则梯子顶端B距地面的垂直 高度BC= 米 B 墙壁 ≤地面 16.如图，在平面直角坐标系中，己知点A0,2),点B在第一象限内，A0=AB, ∠0AB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则经过2023次旋转后，点B 的坐标为 三、解答题 17.计算：(3.14-元)°-(cos60)2+1-tan60+V16. 18,某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加 【问题提出】 答案第1页，共2页 2 (1)如果锐角A的余弦值为了，下列关于锐角A的取值范围，正确的是 A.0°<∠A<30°B.30°<∠A<45°C.45°<∠A<60°D.60°<∠A<90 【问题分析】 (2)余弦值30°、45°、60°的三角比分别是 ·你发现它们的分布特 点是随着角度的 (选填“增大”或“减小”)而减小. 【综合运用】 (3)写出下列角度的正弦值的取值范围. sin12.6°，sin58.62°. 19.已知A8C中的∠A与∠B满足1-tan4)+5inB- 2 =0 (I)试判断ABC的形状. (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 20.如图，在ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，点E是ABC的边AB上的 答案第1页，共2页 点，且BD2=BEBA,连接DE. B D (I)求证：DE⊥AB; (2)若AB=13,BC=10,求∠EDB的余弦值， 答案第1页，共2页 锐角三角函数 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 2．如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 3．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．数字，，π，，中是无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 9．在中，，，则值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，，，则的长为 ． 12．计算 ． 13．比较大小（用连接），，，，则 ． 14．在直角三角形中，，且，则 ． 15．如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度 米． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 三、解答题 17．计算：． 18．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 19．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 20．如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C A A D A A C 1．C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦，证明是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得： ，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了无理数，求一个数的立方根，特殊角的三角函数值等整式，根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数字，，π，，中，无理数有，π，，共3个， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 6．A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 7．D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 9．A 【分析】先利用同角三角恒等式计算出，然后根据求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握同角三角函数之间的关系． 10．C 【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 11．5 【分析】本题主要考查了利用正弦函数求线段长，掌握正弦的定义是解题的关键． 根据三角函数正弦函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故答案为5． 12． 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据二次根式的性质、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 13． 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系是解题的关键．根据三角函数的性质，一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，由此即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题通过题干可得，，，然后根据，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了坐标与旋转规律问题，涉及了三角函数、勾股定理以及旋转的性质等知识点，作轴，求出；分别求出将绕点O逆时针旋转一次到六次之后点的坐标，即可找到规律求解． 【详解】解：作轴，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∴ ∴， ∴ 将绕点O逆时针旋转一次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转三次之后，点与关于原点对称，此时； 将绕点O逆时针旋转四次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转五次之后，点落在轴的正半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转六次之后，点回到原始位置，此时； …… 观察可知，六次一个循环， ∵ ∴经过次旋转后，点B的坐标为 故答案为： 17． 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值的化简，再进行加减计算． 【详解】解： ． 18．（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 19．(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据等腰三角形的性质可得，即，由，得，推出，得到，即可证明； （2）根据题意可推出，，进而求出，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，为边上的中线， ，即， ， ， 又， ， ， ； （2）解：在中，，，为边上的中线， ，， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $