专题1.1 实数及其运算（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题1.1 实数及其运算（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 实数的分类】 2 【题型1 实数的分类】 2 【题型2 无理数的估算】 2 【考点二 实数的相关概念】 2 【题型3 相反数、倒数、绝对值的求值】 2 【题型4 具有相反意义的量】 3 【题型5 直接求(算术)平方根/立方根】 4 【题型6 算术平方根的非负性】 4 【题型7 根据(算术)平方根/立方根的性质求解】 5 【题型8 (算术)平方根/立方根的实际应用】 5 【题型9 实数与数轴】 6 【考点三 科学记数法与近似数】 7 【题型10 利用科学记数法表示较大的数】 7 【题型11 利用科学记数法表示较小的数】 7 【题型12 近似数与精确度】 8 【考点四 实数的大小比较】 8 【题型13 实数的大小比较】 8 【考点五 实数的运算】 9 【题型14 实数的运算】 9 【题型15 与实数运算有关的新定义问题】 9 【题型16 实数运算的实际应用】 10 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 实数的分类】 【题型1 实数的分类】 1．（2025·湖南永州·一模）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（2025·河北邯郸·二模）下列各数中，是负整数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南衡阳·二模）绝对值大于3，且小于7的负整数之和为 ． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 无理数的估算】 5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 7．（2025·重庆·二模）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 8．（2025·山西朔州·二模）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【考点二 实数的相关概念】 【题型3 相反数、倒数、绝对值的求值】 9．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 10．（2025·山东烟台·一模）的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河南郑州·一模）已知整数，满足下列条件：，，，，，…，依此类推，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江西九江·一模）已知，且，则 ． 【题型4 具有相反意义的量】 13．（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 14．（2025·湖南·模拟预测）互联网时代，人们的生活离不开手机支付，如图是某微信用户的账单截图，若把收入200元记作，则“”的实际意义是（　　） A．收入100元 B．支出100元 C．盈利100元 D．增加100元 15．（2025·山东青岛·模拟预测）数学小组为调查标准重量为千克/袋的某产品的重量，随机抽取了袋进行称量，并将数据绘制成条形统计图（规定：超过标准重量记为“”，等于标准重量记为“”，低于标准重量记为“”），则抽取的袋产品平均每袋重量为 千克． 16．（2025·河北邢台·二模）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【题型5 直接求(算术)平方根/立方根】 17．（2025·江西·中考真题）化简： 18．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·河北·模拟预测）已知，，则 ． 20．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【题型6 算术平方根的非负性】 21．（2025·四川成都·一模）若与互为相反数，则 ． 22．（2025·安徽合肥·三模）若，则的平方根是 23．（2025·青海·三模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）． A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 24．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的值为 【题型7 根据(算术)平方根/立方根的性质求解】 25．（2025·江苏泰州·一模）已知和是某正数的两个平方根，的立方根为2，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 26．（2025·四川眉山·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 27．（2025·安徽滁州·二模）若，则 ． 28．（2025·四川资阳·模拟预测）若，则 ． 【题型8 (算术)平方根/立方根的实际应用】 29．（2025·甘肃张掖·二模）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 30．（2025·广东深圳·三模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是 ． 31．（2025·云南文山·二模）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（   ）． A． B． C． D． 32．（2025·河南安阳·模拟预测）小亮同学通过学习知道：用一块面积大的纸片不一定能裁出一块面积小的纸片．他有一块面积为，且长与宽之比为的长方形，想裁出一个面积为的圆形，他的想法可行吗？ 思考：小亮想，可以这样做：方法①通过将长方形的宽和圆的直径大小对比……； 也可以这样做：方法②直接用长方形的宽作直径裁圆，和所要的圆面积相比……（取3.14） (1)上面两种方法中正确的方法为_______（填序号）； (2)选择你认为正确的一种或从你认为正确的两种方法中选择一种进行计算，说明小亮的想法是否可行． 【题型9 实数与数轴】 33．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 35．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 36．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点关于点的对称点为．点表示的数为． (1)求的值； (2)化简：； 【考点三 科学记数法与近似数】 【题型10 利用科学记数法表示较大的数】 37．（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 38．（2025·四川攀枝花·中考真题）银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（   ） A． B． C． D．1600000000 39．（2025·四川南充·中考真题）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 40．（2025·湖南岳阳·模拟预测）据央视网报道，2022年1~4月份我国社会物流总额为98.9万亿元人民币，“98.9万亿”用科学记数法表示为 ． 【题型11 利用科学记数法表示较小的数】 41．（2025·四川成都·三模）已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 42．（2025·河北张家口·模拟预测）某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 43．（2025·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 44．（2025·山西长治·二模）年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（   ）毫米 A． B． C． D． 【题型12 近似数与精确度】 45．（2025·四川资阳·模拟预测）数精确到万位是 ． 46．（2025·四川资阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 47．（2025·山东淄博·一模）下列关于近似数和精确度的说法不正确的是（   ） A．3.2万精确到万位 B．0.0230精确到万分位 C．近似数1.6与1.60表示的意义不同 D．精确到百位 48．（2025·河南南阳·模拟预测）如图是一台电脑E盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小．该硬盘的可用空间约为（   ）字节(精确到亿位) A． B． C．148000000000 D． 【考点四 实数的大小比较】 【题型13 实数的大小比较】 49．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 50．（2025·海南·中考真题）写出一个比大的实数： ． 51．（2025·宁夏·模拟预测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 52．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【考点五 实数的运算】 【题型14 实数的运算】 53．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 54．（2025·陕西·中考真题）计算：． 55．（2025·江苏连云港·中考真题）计算． 56．（2025·云南·模拟预测）计算：． 【题型15 与实数运算有关的新定义问题】 57．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 58．（2025·甘肃酒泉·三模）对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 59．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 60．（2025·山东泰安·三模）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值 ． 【题型16 实数运算的实际应用】 61．（2025·河南商丘·模拟预测）大勇作为一名外卖员，2025年4月送餐1200单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 2元/单 3元/单 则大勇2025年4月份总送餐费为 元． 62．（2025·上海·模拟预测）如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． 63．（2025·福建福州·三模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 64．（2025·北京朝阳·模拟预测）某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，从站点i到站点j的配送成本为，其中表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列为：，，，，．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为 元；若允许拆分配送（每个站点可被多次访问，但包裹只交付一次），最小总成本为 元． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川内江·月考）有理数的相反数是（ ） A．2025 B． C． D． 2．（2025·上海·二模）下列各数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西吉安·二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 4．（2025·云南·模拟预测）估算面积为7的正方形边长在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．（2025·四川成都·一模）如图所示，实数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州贵阳·二模）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（    ） A． B．7 C．23 D．48 二、填空题 7．（2025·四川广元·一模）2025年春节大年初一，广元市纳入统计的46家A级旅游景区一共接待游客19.51万人次，实现门票收入292.49万元，将19.51万人用科学记数法表示为 人． 8．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）比较大小： （填“”、“”或“=”）． 9．（2025·湖南·模拟预测）的立方根是 ． 10．（2025·云南西双版纳·二模）若，则的值为 ． 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a、b，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为 ． 12．（2025·广西百色·模拟预测）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 三、解答题 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）计算；， 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：． 15．（2025·山东·一模）计算：． B组 一、单选题 1．（2025·云南·模拟预测）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元后2026年记作（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 2．（2025·江西抚州·二模）的相反数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东揭阳·模拟预测）下列各有理数：中（   ） A．只有是整数 B．只有是负分数 C．非负数有 D．其中有三个数是正整数 5．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 6．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 7．（2025·云南·模拟预测）已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·福建福州·模拟预测）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 10．（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 11．（2025·河南驻马店·三模）若的值是有理数，则a的最小偶数值是 ． 12．（2025·广西防城港·模拟预测）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果 ． 13．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 14．（2025·安徽·模拟预测）小亮做“计算：”这道题，其中“■”表示被污染看不清的一个数．他翻开答案知道该题的结果是12，那么“■”表示的数是 ． 15．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、N点同时出发），经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 三、解答题 16．（2025·甘肃定西·模拟预测）计算： 17．（2025·辽宁·一模）计算． 18．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 19．（2025·河北·模拟预测）已知是最小的正整数，且，，满足． (1)请直接写出，，值：__________________． (2)图中，，所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在到之间运动，即时，请化简：． 20．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 实数及其运算（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 实数的分类】 2 【题型1 实数的分类】 2 【题型2 无理数的估算】 3 【考点二 实数的相关概念】 5 【题型3 相反数、倒数、绝对值的求值】 5 【题型4 具有相反意义的量】 7 【题型5 直接求(算术)平方根/立方根】 9 【题型6 算术平方根的非负性】 12 【题型7 根据(算术)平方根/立方根的性质求解】 14 【题型8 (算术)平方根/立方根的实际应用】 15 【题型9 实数与数轴】 18 【考点三 科学记数法与近似数】 20 【题型10 利用科学记数法表示较大的数】 20 【题型11 利用科学记数法表示较小的数】 22 【题型12 近似数与精确度】 23 【考点四 实数的大小比较】 25 【题型13 实数的大小比较】 25 【考点五 实数的运算】 26 【题型14 实数的运算】 26 【题型15 与实数运算有关的新定义问题】 27 【题型16 实数运算的实际应用】 30 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 实数的分类】 【题型1 实数的分类】 1．（2025·湖南永州·一模）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查负数的判断，根据相反数的概念、绝对值的性质、负数的奇数次幂等相关知识点正确判断是解题关键． 根据负数的相反数为正、绝对值的意义、幂的运算等相关原则，进行计算分析即可． 【详解】解：，为正数； ，为负数； ，既不是正数，也不是负数； ，为负数； ，为负数； ，为负数； 所以负数个数为4个， 故选：C． 2．（2025·河北邯郸·二模）下列各数中，是负整数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负整数次幂的意义，算术平方根的意义，绝对值的意义，有理数的分类，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据相关运算法则逐项运算并判断，即可解题． 【详解】解：A. 是正分数，不符合题意；     B. ，是正整数，不符合题意；     C. ，是负整数，符合题意；     D. ，是正整数，不符合题意；     故选：C． 3．（2025·湖南衡阳·二模）绝对值大于3，且小于7的负整数之和为 ． 【答案】﹣15 【分析】绝对值大于3且小于7的负整数有，，，求和即可． 【详解】解：绝对值大于3且小于7的负整数有，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的性质、负整数的定义、有理数的加法，找到绝对值大于3且小于7的负整数是解题的关键． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的定义和无理数的定义，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称；无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数，也考查了绝对值，零指数幂． 【详解】， 故选：D． 【题型2 无理数的估算】 5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 6．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 7．（2025·重庆·二模）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算的法则是解题的关键，对进行估算，得到整数以及小数部分，再得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 那么， ， 即的值在1和2之间， 故选：C． 8．（2025·山西朔州·二模）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 【考点二 实数的相关概念】 【题型3 相反数、倒数、绝对值的求值】 9．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数． 计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是． 【详解】解：∵表示4的算术平方根，且， ∴ ． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 10．（2025·山东烟台·一模）的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，倒数和相反数，先计算的值，再然后根据倒数和相反数的定义解答即可． 【详解】解：，它的倒数的相反数是， 故选：D． 11．（2025·河南郑州·一模）已知整数，满足下列条件：，，，，，…，依此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过计算前几项归纳数列的奇偶项规律是解题的关键． 先计算数列的前几项，归纳出奇数项和偶数项的规律，再代入（奇数）求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， …， ∴ 当为奇数时，；当为偶数时，； ∵ 是奇数， ∴ ， 故选：A． 12．（2025·江西九江·一模）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的乘法、求代数式的值，根据，可得：、，因为，根据有理数的乘法法则可得：，或，，分情况把字母的值代入代数式计算求值即可． 【详解】解： ， ， ， ， 又 ， ，或，， 当，时， 可得：； 当，， 可得：． 综上所述， 【题型4 具有相反意义的量】 13．（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 14．（2025·湖南·模拟预测）互联网时代，人们的生活离不开手机支付，如图是某微信用户的账单截图，若把收入200元记作，则“”的实际意义是（　　） A．收入100元 B．支出100元 C．盈利100元 D．增加100元 【答案】B 【分析】本题考查的是正负数的应用，收入和支出是具有相反意义的量，如果用正数表示收入，就可以用负数表示支出． 根据正数和负数表示相反意义的量解答即可． 【详解】解：由题意可得：表示收入200元，则“”表示支出100元． 故选：B． 15．（2025·山东青岛·模拟预测）数学小组为调查标准重量为千克/袋的某产品的重量，随机抽取了袋进行称量，并将数据绘制成条形统计图（规定：超过标准重量记为“”，等于标准重量记为“”，低于标准重量记为“”），则抽取的袋产品平均每袋重量为 千克． 【答案】 【分析】根据超过或不足的部分分别用正、负数来表示，可得每袋的质量，根据有理数的加法，可得总质量，再根据总质量除以袋数可得平均质量． 【详解】解： （千克） ∴抽取的袋产品平均每袋重量为千克． 故答案为：． 【点睛】本题考查正数和负数，有理数加减的实际应用，平均数，理解题意，正确利用正负数的加减法列式是解题关键． 16．（2025·河北邢台·二模）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【答案】(1)4千米 (2)6 (3)升 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可； （3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解． 【详解】（1）（千米） ∴说明出租车离A市多远4千米； （2）∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正 ∴向南行驶为负 ∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站； ∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站； ∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站； 综上所述，出租车经过加油站6次； （3） （升） ∴该出租车一天共耗油升． 【题型5 直接求(算术)平方根/立方根】 17．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 18．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 19．（2025·河北·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的求解方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义，可以知道，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】将代入原式，得， 则， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 20．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 【题型6 算术平方根的非负性】 21．（2025·四川成都·一模）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再计算即可． 【详解】解： 和互为相反数， ， ，， ，， ． 故答案为：． 22．（2025·安徽合肥·三模）若，则的平方根是 【答案】 【分析】由算术平方根有意义的条件，可确定参数a的值，进而确定参数b的值，根据平方根定义，得解． 【详解】解：由题意，，且，解得，． ∴． ∴． ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根有意义的条件，平方根定义；注意一个正数的平方根有两个，互为相反数． 23．（2025·青海·三模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）． A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得， ①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8， 所以该等腰三角形的周长为7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 24．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的值为 【答案】 【分析】根据所给式子的特征，得到，结合，求出，继而得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，分式有意义的条件，解题的关键是根据互为相反数的两个数作为被开方数求出x值． 【题型7 根据(算术)平方根/立方根的性质求解】 25．（2025·江苏泰州·一模）已知和是某正数的两个平方根，的立方根为2，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算、代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求出，即可得到； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出 ，把, , 代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和是某正数的平方根， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根是， ∴， ∴； ∵是的整数部分，， ∴， ∴， 的平方根是． 26．（2025·四川眉山·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 【答案】4 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 故答案为：4． 27．（2025·安徽滁州·二模）若，则 ． 【答案】 【分析】直接根据立方根的概念即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，熟练掌握立方根的概念：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根，是解题的关键． 28．（2025·四川资阳·模拟预测）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 【题型8 (算术)平方根/立方根的实际应用】 29．（2025·甘肃张掖·二模）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了立方根的应用，由正方体的体积及立方根即可求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a，则， ∴， 故答案为：4． 30．（2025·广东深圳·三模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出大正方形的边长，小正方形的边长，根据正方形的边长介于大正方形的边长和小正方形的边长之间，进行求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为8，小正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长， 由图可知：， ∴正方形的边长可能是； 故答案为：（答案不唯一）． 31．（2025·云南文山·二模）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点表示的数为．根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 【详解】解：由条件可知正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故选：B． 32．（2025·河南安阳·模拟预测）小亮同学通过学习知道：用一块面积大的纸片不一定能裁出一块面积小的纸片．他有一块面积为，且长与宽之比为的长方形，想裁出一个面积为的圆形，他的想法可行吗？ 思考：小亮想，可以这样做：方法①通过将长方形的宽和圆的直径大小对比……； 也可以这样做：方法②直接用长方形的宽作直径裁圆，和所要的圆面积相比……（取3.14） (1)上面两种方法中正确的方法为_______（填序号）； (2)选择你认为正确的一种或从你认为正确的两种方法中选择一种进行计算，说明小亮的想法是否可行． 【答案】(1)①② (2)见解析 【分析】本题考查了平方根、算术平方根的应用，实数的大小比较等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意分析即可求解； （2）设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得，解得（舍负），那么长方形的宽为，分别计算方法①和方法②即可． 【详解】（1）解：由题意得，两种方法均正确， 故答案为：①②； （2）解：选择①，他的想法可行，理由如下： 设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得． ， 解得（舍负）． 所以长方形的宽为． 设圆的半径为，根据题意得，， 解得， 所以该圆的直径． 因为，， 所以他的想法可行． 或选择②：他的想法可行，理由为： 设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得． ． 解得（舍负）， 所以长方形的宽为． 以为直径的圆的面积为． 因为，所以他的想法可行． 【题型9 实数与数轴】 33．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 34．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 35．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 36．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点关于点的对称点为．点表示的数为． (1)求的值； (2)化简：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是实数和数轴，实数的混合运算，数形结合是解题的关键； （1）根据是的中点，列出式子求解即可； （2）把的值代入，根据绝对值、整数指数幂分别求出每一部分的值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）， 【考点三 科学记数法与近似数】 【题型10 利用科学记数法表示较大的数】 37．（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 38．（2025·四川攀枝花·中考真题）银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（   ） A． B． C． D．1600000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为比原整数位数少1的整数进行表示即可． 【详解】解：16亿； 故选B． 39．（2025·四川南充·中考真题）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法中（ ）与（整数位数减 ）的确定是解题的关键． 先根据1马赫的速度算出25马赫的速度，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：计算25马赫的速度：（米/秒） 用科学记数法表示：（米/秒）, 故选：B． 40．（2025·湖南岳阳·模拟预测）据央视网报道，2022年1~4月份我国社会物流总额为98.9万亿元人民币，“98.9万亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】9.89×1013 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：98.9万亿=98900000000000=9.89×1013． 故答案为：9.89×1013． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【题型11 利用科学记数法表示较小的数】 41．（2025·四川成都·三模）已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 42．（2025·河北张家口·模拟预测）某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据科学记数法还原原数，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．根据科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，即，则小数点向右移动了为，由此还原原数，即可求解． 【详解】解：， ∴这个小数中0的个数为7个， 故选：C ． 43．（2025·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题． 【详解】解： ， A项错误，不符合题意； ， B项错误，不符合题意； 是8位小数， 故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意； 故选：C． 44．（2025·山西长治·二模）年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（   ）毫米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示一个较小的数、有理数的除法，已知头发丝直径为毫米，超薄金属厚度为其二十万分之一，首先通过有理数的除法计算出超薄金属的厚度，再用科学记数法表示． 【详解】解：头发丝直径为毫米， 超薄金属厚度为：． 超薄金属的厚度用科学记数法表示为毫米． 故选：A． 【题型12 近似数与精确度】 45．（2025·四川资阳·模拟预测）数精确到万位是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，根据近似数的精确度求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 46．（2025·四川资阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，熟练掌握近似数的相关知识是解题的关键； 根据近似数和科学记数法的相关知识逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，4在十位，故选项说法正确； B、4.6093万，精确到个位，故选项说法错误； C、用科学记数法表示的数精确到千位，故选项说法正确； D、近似数0.6精确到十分位，0.60精确到百分位，故近似数0.6和0.60表示的意义不同，故选项说法正确； 故选：B. 47．（2025·山东淄博·一模）下列关于近似数和精确度的说法不正确的是（   ） A．3.2万精确到万位 B．0.0230精确到万分位 C．近似数1.6与1.60表示的意义不同 D．精确到百位 【答案】A 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．根据近似数的求法，逐项进行判断即可解． 【详解】解：A．3.2万精确到千位，故不正确，符合题意； B．0.0230精确到万分位，正确，不符合题意； C．近似数1.6与1.60表示的意义不同，正确，不符合题意； D．精确到百位，正确，不符合题意； 故选：A． 48．（2025·河南南阳·模拟预测）如图是一台电脑E盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小．该硬盘的可用空间约为（   ）字节(精确到亿位) A． B． C．148000000000 D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，取近似数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位．的绝对值与小数点移动的位数相同，确定的值是解题的关键． 【详解】解：该硬盘的可用空间约为， 故选：． 【考点四 实数的大小比较】 【题型13 实数的大小比较】 49．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 50．（2025·海南·中考真题）写出一个比大的实数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．根据，可得，因此，即可写出比大的实数． 【详解】解： ， ， ， 比大的实数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 51．（2025·宁夏·模拟预测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较．熟练掌握无理数大小的估算，实数的大小比较法则，是解题的关键． 根据无理数的估算方法以及被开方数的大小逐项进行分析即可得． 【详解】A．∵， ∴，A正确，故该选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，即，B不正确，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴，C正确，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 即，D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 52．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割数，实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值是解题的关键． 分别运算出两数的近似值再作比较即可． 【详解】解：∵黄金分割数，， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点五 实数的运算】 【题型14 实数的运算】 53．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 54．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 55．（2025·江苏连云港·中考真题）计算． 【答案】6 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 56．（2025·云南·模拟预测）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方，去绝对值和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型15 与实数运算有关的新定义问题】 57．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 58．（2025·甘肃酒泉·三模）对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，根据变换规则，先计算，得到新坐标，再应用g变换． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 59．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的运算，数字类规律等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先确定末尾有4个0，再确定能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解． 【详解】解：在中，的倍数有共4个，因此中，末尾共有4个0，故； ∵中的因数有9， ∴能被9整除，其各位数字之和也能被9整除， ∴是9的倍数，即， ∴， 故选：A． 60．（2025·山东泰安·三模）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值 ． 【答案】18 【分析】本题考查了算术平方根的概念以及对新定义“和谐组合”的理解与运用，解题的关键是根据＂和谐组合＂的定义列出关于的等式，再结合最大算术平方根与最小算术平方根的关系求解． 先根据“和谐组合”的定义，再结合最大算术平方根是最小算术平方根的3倍分情况讨论求出的值． 【详解】由题意可分3种情况， （1）， 解得：，不符合题意， （2）， 解得：，符合题意， （3）， 解得：，不符合题意， 综上，的值为18， 故答案为：18． 【题型16 实数运算的实际应用】 61．（2025·河南商丘·模拟预测）大勇作为一名外卖员，2025年4月送餐1200单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 2元/单 3元/单 则大勇2025年4月份总送餐费为 元． 【答案】3120 【分析】本题主要考查了统计表， 先求出两类各自的单数，再乘以每单费用可得答案. 【详解】解：根据统计表可知总餐费 （元）. 所以大勇2025年4月份总送餐费为3120元. 故答案为：3120. 62．（2025·上海·模拟预测）如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． 【答案】(1)2月14日可表示为月日； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数四则运算的法则是解题的关键． （1）通过对24和8进行四则运算，找到能分别得到2（对应月份）和14（对应日期）的式子； （2）设出任意两个正整数和任意非负有理数，利用四则运算的规则，推导出非负有理数可用这两个正整数的运算表示． 【详解】（1）解：∵，， ∴2月14日可表示为月日； （2）证明：设任意两个正整数为，，任意非负有理数， ∵， ∴任意非负有理数可以用表示（、为任意正整数）． 63．（2025·福建福州·三模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【答案】40 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键．在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和． 【详解】解：如图所示，按照时间线，做完各自工作进入下一房间， ∵每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤， ∴最后一间房的后三个步骤从32分钟开始，甲乙同时完成整理床铺、更换客用物品，总时间6分钟，丙在第35分钟进入最后一间房完成5分钟，则最少需要40分钟． 故答案为：40． 64．（2025·北京朝阳·模拟预测）某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，从站点i到站点j的配送成本为，其中表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列为：，，，，．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为 元；若允许拆分配送（每个站点可被多次访问，但包裹只交付一次），最小总成本为 元． 【答案】 【分析】本题考查了优化问题．理解配送成本公式是解题的关键．不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，那么只能一次性将所有站点配送完，即从站点1到站点5. 根据配送成本公式计算即可．允许拆分配送时，为了使总成本最小，每次配送2个站点．例如站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小，分别计算再求和即可． 【详解】解：不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，有以下3种方案 方案1：配送 成本为元 方案2：配送 成本为元 方案3：配送 成本为元 ∴方案2成本最低为元 允许拆分配送时，为了使总成本最小，需要合理拆分配送站点．站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小， 站点3，包裹已经交付，则接下来，， 成本为元 故答案为：，22． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川内江·月考）有理数的相反数是（ ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，由此可解． 【详解】解：有理数的相反数是2025， 故选：A． 2．（2025·上海·二模）下列各数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查有理数的判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别．根据无理数的定义：实数中不能表示为整数或分数的数；有理数的定义：能够表示为两个整数比的数（，a、b为整数，），即整数和分子分母都是整数的分数（分母不为零），整数可以看作是分母是1的分数即可判断． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、中是无理数，减去1仍是无理数，不符合题意； C、是分数是有理数，符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选C． 3．（2025·江西吉安·二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的几何意义和实数的大小比较是解题的关键．依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远，即可作答． 【详解】解：∵，，，，， ∴绝对值最大的是3， ∴距离原点最远的是3， 故选：A． 4．（2025·云南·模拟预测）估算面积为7的正方形边长在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了估算算术平方根的取值范围．首先求出正方形的边长，进而估算其边长的取值范围． 【详解】解：∵一个正方形的面积为7， ∴正方形的边长为：， ∵， 估计它的边长大小为：， 故选：B． 5．（2025·四川成都·一模）如图所示，实数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小、有理数的加减运算等知识点．熟练掌握数轴上左边点表示的数总大于右边点表示的数是解题的关键． 先根据数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， A． ，故A选项错误，不符合题意； B．由，，则，故B选项错误，不符合题意； C． ，则，所以，故C选项正确，符合题意； D．由，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 6．（2025·贵州贵阳·二模）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（    ） A． B．7 C．23 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、代数式求值等知识，理解并掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．（2025·四川广元·一模）2025年春节大年初一，广元市纳入统计的46家A级旅游景区一共接待游客19.51万人次，实现门票收入292.49万元，将19.51万人用科学记数法表示为 人． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，正确确定的值是解题的关键． 将19.51万人用的形式表示出来，其中，为整数． 【详解】万， ． 故答案为：． 8．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）比较大小： （填“”、“”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，根据，且，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·湖南·模拟预测）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：因为表示的算术平方根， 所以 ， 所以的立方根是 ，即的立方根是， 故答案为：． 10．（2025·云南西双版纳·二模）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负性的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0，据此可得，求出m、n的值，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a、b，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数和相反数，代数式求值，理解新定义运算法则是解题关键．根据倒数和相反数的定义，得出，，再代入新运算计算求值即可． 【详解】解： 与互为倒数，与5互为相反数， ，， ， 故答案为：． 12．（2025·广西百色·模拟预测）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）计算；， 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用算术平方根的定义，绝对值的性质，负整数指数幂计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的计算以及绝对值的化简．分别计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可求解． 【详解】解： ． 15．（2025·山东·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·云南·模拟预测）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元后2026年记作（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义，规定公元后为正，则公元前为负，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵公元前500年记作年， ∴公元后2026年记作年， 故选：D． 2．（2025·江西抚州·二模）的相反数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值和相反数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先计算绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数算出的值，最后再求相反数． 【详解】解： ， ， 的相反数为， ∴的相反数为2025； 故选：B． 3．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小．由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由数轴知：手掌覆盖的数位于和0之间， 而， 故选：C． 4．（2025·广东揭阳·模拟预测）下列各有理数：中（   ） A．只有是整数 B．只有是负分数 C．非负数有 D．其中有三个数是正整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正整数、整数（正整数、零和负整数）、非负数和负分数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、整数包括：，故本选项错误； B、负分数包括，故本选项正确； C、非负数包括，故本选项错误； D、正整数只有两个，即和，故本选项错误． 故选：B． 5．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 根据题意，分，，，四种情况，分别去绝对值列方程求解即可． 【详解】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：C． 6．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 【答案】B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 7．（2025·云南·模拟预测）已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，即可解答． 【详解】解：∵数轴上，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为：， 故选：B． 二、填空题 9．（2025·福建福州·模拟预测）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是,不符合题意； 综上，这个数是0. 故答案为：0. 10．（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（2025·河南驻马店·三模）若的值是有理数，则a的最小偶数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的概念、求一个数的算术平方根，根据有理数的概念和算术平方根的求法进行判断即可． 【详解】∵的值是有理数，且为最小的偶数， ∴，此时是有理数， 故答案为：． 12．（2025·广西防城港·模拟预测）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算与程序图的运用，理解程序图的计算，掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． 根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【详解】解：由计算机程序可知，当输入的数为5时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即输出的结果． 故答案为： 13．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识，由数轴可得，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，， 又∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 14．（2025·安徽·模拟预测）小亮做“计算：”这道题，其中“■”表示被污染看不清的一个数．他翻开答案知道该题的结果是12，那么“■”表示的数是 ． 【答案】6或 【分析】设“■”表示的数是x，利用有理数的加减法和绝对值进行计算即可． 本题考查了有理数的加减法和绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：设“■”表示的数是x， 则， 则| ， ∴或， ∴或． 故答案为：6或． 15．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、N点同时出发），经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了数轴掌两点间的距离，绝对值方程，用数轴上点表示有理数，先根据点A表示的数为，点B表示的数为20，设经过x秒，点M、N点到原点O的距离相等，则点M表示的数为，点N表示的数为，，求出x的值即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，， ∴， ∴点B表示的数为20， 设经过x秒，点M、N点到原点O的距离相等，则点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， ∴或， 解得：或， 即经过5秒或秒后，点M，点N到原点O的距离相等； 故答案为：5或． 三、解答题 16．（2025·甘肃定西·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，熟练掌握这些计算以及实数的混合运算法则是解题的关键． 先分别化简负整数指数幂，二次根式，特殊角的三角函数值，绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 17．（2025·辽宁·一模）计算． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】解： ． 18．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 【答案】(1)乙 (2)110 【分析】本题主要考查了有理数的加法，用有序数对表示位置，解题的关键是理清游戏规则． （1）根据游戏规则，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，即可得知； （2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可． 【详解】（1）解：根据游戏规则可知： 甲选1，2号座位， 乙选3，4，5号座位， 丙选7，8，9，10号座位， 丁选13，14，15，16，17号座位， 故3，4，5号座位会被乙选择， 故答案为：乙； （2）解：根据游戏规则，第一种，可得丁选择了：23、8、1、4、15； 丙选择了：9、2、3、14； 乙选择了：7、6、5； 甲选择了：10、11； 故四人所选的座位号数字之和为：． 第二种，可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：10、13； 故四人所选的座位号数字之和为：． 故答案为：110． 19．（2025·河北·模拟预测）已知是最小的正整数，且，，满足． (1)请直接写出，，值：__________________． (2)图中，，所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在到之间运动，即时，请化简：． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查非负性，化简绝对值，有理数与数轴，熟练掌握非负性，绝对值的意义，是解题的关键： （1）最小的正整数为1，求出，非负性求出即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）当时，； 当时，； 综上或． 20．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $