04 圆柱的表面积和侧面积（导学案）六年级数学寒假自学课（苏教版）

04 圆柱的表面积和侧面积 知识点精讲 知识点一 圆柱的表面积和侧面积 内容 圆柱的表面积和侧面积 1、圆柱侧面积。 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱 的侧面沿高展开后是一个正方形)，这个长方形的长(或宽)等于圆柱的底面周长，宽(或长)等于圆柱的高，因为长方形的面积=长x宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，即S侧=Ch=πdh=2πrh 2、圆柱表面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱的底面积=πr2 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2 圆柱表面积的字母公式是S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 【典型例题1】把一个底面直径2厘米，高3厘米的圆柱展开图画在方格纸（边长为1厘米）上，下面画法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题2】如图，一个圆柱如果把它的高截短3厘米，那么表面积就比原来减少94.2平方厘米。这个圆柱的底面直径是（ ）厘米。 【典型例题3】计算下面图形的表面积。 【典型例题4】妈妈的水杯放在桌子上（如下图），水杯上的装饰带是园园怕烫伤妈妈的手而特意贴上的。这圈装饰带宽8cm，它的面积是多少平方厘米？ 【变式训练1】我们在计算圆柱表面积的时候，也可以把下面圆柱的表面积转化成下面的（    ）来计算。 A． B． C．D． 【变式训练2】如图，一个圆柱如果把它的高截短3厘米，那么表面积就比原来减少94.2平方厘米。这个圆柱的底面直径是（ ）厘米。 【变式训练3】求下面图形的表面积。 【变式训练4】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 1．如图，用铁皮做一个圆柱体容器，下面的选法中不能刚好做成的是（    ）。 A．④和① B．④和② C．⑤和① D．⑤和③ 2．二十四节令鼓是中华民族传统瑰宝之一，某品牌的节令鼓是圆柱体，高度2.54dm，直径7.62dm，重10.56kg—10.79kg，如果将3个节令鼓叠在一起，表面积比原来减少（    ）dm2。 A．3.14×（7.62÷2）2×2.54 B．3.14×7.622×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×（7.62÷2）2×2.54×4 3．把一根长是80cm、底面积是30cm2的圆柱形木料锯成三段小圆柱，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．30 B．60 C．90 D．120 4．一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分。已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2024cm2，则这个圆柱体木棒的侧面积（不包括上下底面）是（    ）（π取3.14）。 A．6355.36 B．3177.68 C．2024 D．1588.84 E．1012 5．一个圆柱的侧面展开后是正方形，已知圆柱的底面直径是10cm，圆柱的高是（    ）cm。 A． B． C． D． 6．乐乐和园园分别在纸上画了几个笔筒沿高剪开的侧面展开示意图，其中正确的是（ ）。（填序号） 7．一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差（ ）cm2。 8．一个圆柱形蓄水池，底面直径6米，深2.5米，这个水池的占地面积是（ ）平方米（π取3.14）；若在池壁和池底抹水泥，抹水泥的面积是（ ）平方米。 9．根据图中信息回答问题。 （1）圆柱的表面积＝圆柱的（ ）＋（ ）个底面的面积，圆柱侧面展开图的长等于圆柱的（ ），宽等于圆柱的（ ），圆柱的侧面积＝（ ）×（ ）。 （2）该圆柱的侧面积是（ ）cm2，底面积之和是（ ）cm2，圆柱的表面积是（ ）cm2。 10．把一个长方形的铁皮做成圆柱形（接缝不计），按下图剪裁，这个圆柱的底面半径是（ ）dm，圆柱表面积是（ ）dm2。 11．求组合图形的表面积。（单位：厘米） 12．请在下边格子图中画出下面圆柱的侧面展开图。并标出对应的数量。 13．有一顶帽子（如下图），帽顶部分是圆柱形，用硬纸板做的，帽檐部分是一个圆环，也是用同样的硬纸板做的，已知帽顶的半径、高和帽檐的宽都是1分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的硬纸板？ 14．在湖南举办的民俗文化节上，少先队队鼓表演是重要环节。苗鼓作为湖南苗族特色文化代表，其韵律独特。现要制作一个如下图所示的圆柱形的队鼓，鼓的侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮。做这样一个队鼓，至少需要铝皮和羊皮各多少平方分米？ 15．罐头厂要做一种圆柱形的罐头包装盒（不考虑预留物料损耗等），已知罐头盒的底面半径是4厘米，高是6厘米，同时要在盒外面贴一圈高4厘米的商标。（π取3） （1）一个罐头盒需要商标纸多少平方厘米？ （2）已知罐头盒的成本为每平方厘米0.01元，商标的成本为每平方厘米0.02元，每个罐头盒的人工费为0.68元，求一个贴有商标的罐头盒定价为多少元时，其利润率为10%？ 16．要制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下4种型号的铁皮材料可供选择搭配。（单位：dm） （1）你认为应该选择的材料是（    ）号和（    ）号才能制作成功。请说明理由。（填序号） （2）用你选择的材料制成水桶，铁皮的总面积是多少平方分米？ 知识点一： 【典型例题1】D 【分析】根据题意圆柱的展开图是由两个圆形和一个长方形组成，底面圆的直径为2厘米，长方形的长＝圆柱的底面周长，长方形的宽＝高，再逐项对比找出符合条件的即可。 【解答】根据分析正确圆柱展开图中：底面直径2厘米，侧面的长为：2×3.14＝6.28（厘米），高＝侧面宽＝3厘米； A．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为3厘米，宽为2厘米，与题意不符； B．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为4厘米，宽为3厘米，与题意不符； C．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为6厘米，宽为3厘米，与题意不符； D．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为6.28厘米，宽为3厘米，符合题意。 故答案为：D 【典型例题2】10 【分析】已知高截短3厘米，表面积减少94.2平方厘米，减少的面积就是截去部分的侧面积。根据圆柱侧面积公式S＝πdh（d是直径，π取3.14，h为高），可得d＝S÷π÷h，这里S＝94.2平方厘米，h＝3厘米，把数据代入计算即可解答。 【解答】94.2÷3÷3.14＝10（厘米） 这个圆柱的底面直径是10厘米。 【典型例题3】12 【分析】根据圆柱的侧面展开图可知，圆柱的侧面积就是平行四边形的面积，平行四边形的底相当于圆柱的底面周长，平行四边形的高等于圆柱的高，圆柱的底面周长＝平行四边形的面积÷平行四边形的高，根据圆的周长＝2r，求出圆的底面半径，再根据圆的面积＝求出底面积，最后把圆的两个底面积与平行四边形的面积相加即可解答。 【解答】10÷5＝2（分米） 2÷÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） ××2 ＝×1×2 ＝2（平方分米） 2＋10＝12（平方分米） 所以这个食品罐的表面积是12平方分米。 【典型例题4】150.72平方厘米 【分析】由图可知，这圈装饰带的面积等于底面直径是6厘米，高是8厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积（d表示直径，h表示高），列式解答即可。 【解答】 （平方厘米） 答：它的面积是150.72平方厘米。 【变式训练1】B 【分析】根据圆柱展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，再根据圆面积公式的推导过程，把一个圆沿半径剪开，可以拼成一个近似的长方形，拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，近似长方形的宽等于圆的半径，由此可知，圆柱的两个底面拼成的近似长方形合并起来组成一个稍大的长方形，这个稍大的长方形的长等于圆柱的底面周长，再与圆柱侧面展开图的长方形拼成一个更大的长方形。据此解答即可。 【解答】 由分析得：圆柱的侧面展开是一个长方形，圆柱的两个底面剪拼成两个小长方形，这3个长方形拼在一起就可以得到，我们在计算圆柱表面积的时候，也可以把如图圆柱的表面积转化成进行计算。 故答案为：B 【变式训练2】12 【分析】根据圆柱的侧面展开图可知，圆柱的侧面积就是平行四边形的面积，平行四边形的底相当于圆柱的底面周长，平行四边形的高等于圆柱的高，圆柱的底面周长＝平行四边形的面积÷平行四边形的高，根据圆的周长＝2r，求出圆的底面半径，再根据圆的面积＝求出底面积，最后把圆的两个底面积与平行四边形的面积相加即可解答。 【解答】10÷5＝2（分米） 2÷÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） ××2 ＝×1×2 ＝2（平方分米） 2＋10＝12（平方分米） 所以这个食品罐的表面积是12平方分米。 【变式训练3】471平方厘米 【分析】由图可知，组合体的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积，“”“”把图中的数据代入公式计算，据此解答。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝150×3.14 ＝471（平方厘米） 所以，组合体的表面积是471平方厘米。 【变式训练4】1218.32cm2 【分析】圆柱的侧面积＝π×半径×2×高、底面积＝π×半径2，抹奶油部分是三个圆柱侧面积加一个底面积，根据公式代入计算即可。 【解答】下层侧面积：3.14×10×2×6＝376.8（cm2） 中层侧面积：3.14×8×2×6＝301.44（cm2） 上层侧面积：3.14×6×2×6＝226.08（cm2） 大圆的面积：3.14×102＝314（cm2） 抹奶油部分面积：376.8＋301.44＋226.08＋314＝1218.32（cm2） 答：抹奶油部分的面积是1218.32平方厘米。 1．A 【分析】已知每个圆的直径，根据圆的周长公式C＝πd计算出每个圆的周长，再与长方形的边长对比，如果圆柱体侧面展开长方形的一边长等于底面圆的周长 ，则刚好能做成圆柱体容器，否则不能做成，据此逐一分析选项。 【解答】A．①的底面直径是2厘米，周长是3.14×2＝6.28厘米，④的边长是9.42厘米，6.28≠9.42，所以④和①不能做成； B．②的底面直径是3厘米，周长是3.14×3＝9.42厘米，④的边长是9.42厘米，9.42＝9.42，所以④和②能做成； C．①的底面直径是2厘米，周长是3.14×2＝6.28厘米，⑤的宽是6.28厘米，6.28＝6.28，所以⑤和①能做成； D．③的底面直径是4厘米，周长是3.14×4＝12.56厘米，⑤的长是12.56厘米，12.56＝12.56，所以⑤和③能做成。 故答案为：A 2．C 【分析】将三个圆柱体叠放时，每叠放一次会减少两个底面面积（上下各一个）。三个叠放共减少4个底面面积。根据半径＝直径÷2，圆的面积公式，计算减少的表面积即4个底面积之和。 【解答】 （dm2） 如果将3个节令鼓叠在一起，表面积比原来减少182.322216dm2。 故答案为：C 3．D 【分析】把圆柱形木料锯成三段小圆柱，需要锯的次数为3－1＝2次，每锯一次会增加2个底面的面积，那么锯2次增加的底面数量为2×2＝4个；已知圆柱的底面积是30cm2，增加了4个底面的面积，那么增加的表面积为30×4＝120cm2。 【解答】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 30×4＝120（cm2） 所以表面积比原来增加了120cm2。 故答案为：D 4．B 【分析】一个圆柱体形状的木棒沿着底面直径竖直切成两部分后，表面积多了两个切面的面积，每个切面的面积等于直径与高的乘积，即可以知道：2dh＝2024。这个圆柱体木棒的侧面积为：πdh，据此即可求出圆柱体木棒的侧面积。 【解答】由题意可知：2dh＝2024 所以dh＝1012 圆柱体木棒的侧面积：πdh＝3.14×1012＝3177.68（平方厘米） 故答案为：B 5．B 【分析】圆柱的侧面展开是正方形，说明圆柱的底面周长与高相等，底面周长＝圆周率×直径。 【解答】根据分析： 10×＝10（厘米） 一个圆柱的侧面展开后是正方形，已知圆柱的底面直径是10cm，圆柱的高是10πcm。 故答案为：B 6．②⑥ 【分析】圆柱体沿高剪开，侧面展开一定是长方形或者正方形，据此解答。 【解答】根据分析，正确的是②⑥ 7．53.38 【分析】从图中可知，黑布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，黄布的面积＝圆环的面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆环的面积公式S环＝π（R2－r2） ，代入数据计算，分别求出黑布与黄布的面积，再相减即可。 【解答】18÷2＝9（cm） 9＋8＝17（cm） 黑布的面积： 3.14×18×8＋3.14×92 ＝56.52×8＋3.14×81 ＝452.16＋254.34 ＝706.5（cm2） 黄布的面积： 3.14×（172－92） ＝3.14×（289－81） ＝3.14×208 ＝653.12（cm2） 相差：706.5－653.12＝53.38（cm2） 做这顶帽子所用的黑布与黄布相差53.38cm2。 8．28.26 75.36 【分析】水池的占地面积就是求圆柱的底面积，也就是利用圆的面积公式求圆的面积；在池壁和池底抹水泥，抹水泥的面积就是再求圆柱的侧面积加一个底面圆的面积，由此解答。 【解答】底面半径＝3米，高＝2.5米 水池的占地面积：（平方米） 抹水泥的面积： （平方米） 所以这个水池的占地面积是28.26平方米，水泥的面积是75.36平方米。 9．（1）侧面积 2 底面周长 高 底面周长 高 （2）75.36 25.12 100.48 【分析】（1）根据圆柱的侧面展开图可知，圆柱的表面积等于侧面的长方形和两个底面圆的面积和。圆柱的侧面展开会得到一个长方形，长方形的长与圆柱的底面周长完全重合，宽就是圆柱的高来进行解答。 （2）根据（1）中侧面积公式，圆的面积公式：分别求出侧面积和底面积，再根据（1）中表面积公式，代入数据进行求解即可。 【解答】（1）圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋2个底面的面积，圆柱侧面展开图的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，长方形的面积＝长×宽，那么圆柱的侧面积＝底面周长×高。 （2） 该圆柱的侧面积是，底面积之和是，圆柱的表面积是。 10．2 75.36 【分析】由图可知，长方形的长是20.56dm，由2个圆的直径和1个圆的周长组成，即2d＋πd＝20.56，变形得d（2＋π）＝20.56，用20.56除以（2＋π）计算出底面直径，再除以2即可计算出底面半径； 计算出圆柱的底面半径是2dm，圆柱的高等于底面直径4dm，然后根据圆柱的表面积公式S＝2πrh＋2πr2计算出该圆柱的表面积。据此解答。 【解答】20.56÷（2＋3.14） ＝20.56÷5.14 ＝4（dm） 4÷2＝2（dm） 2×3.14×2×4＋2×3.14×22 ＝2×3.14×2×4＋2×3.14×4 ＝6.28×2×4＋6.28×4 ＝12.56×4＋25.12 ＝50.24＋25.12 ＝75.36（dm2） 所以，这个圆柱的底面半径是2dm，圆柱表面积是75.36dm2。 11．245.6平方厘米 【分析】通过观察图形可知，由于圆柱与长方体粘合在一起，所以圆柱只求它的侧面积，长方体求出表面积，然后合并起来就是这个组合图形的表面积。已知圆柱的底面直径为4厘米，高为10厘米；长方体的长和宽都是6厘米，高为2厘米。根据圆柱侧面积公式：S＝πdh（π取3.14，d为直径，h为高），长方体表面积公式：S＝2×（ab＋ah＋bh）（a为长，b为宽，h为高），把数据分别代入公式计算后再相加即可解答。 【解答】3.14×4×10＝125.6（平方厘米） 2×（6×6＋6×2＋6×2） ＝2×（36＋12＋12） ＝2×60 ＝120（平方厘米） 125.6＋120＝245.6（平方厘米） 这个组合图形的表面积是245.6平方厘米。 12．见详解 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。已知圆柱底面直径d＝2cm，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14），可得底面周长为3.14×2＝6.28cm，圆柱的高h＝3cm。所以侧面展开图长方形的长为6.28cm（对应底面周长），宽为3cm（对应圆柱的高）。在格子图中，以1cm为单位长度，画出一个长6.28cm、宽3cm的长方形，标注长为6.28cm（底面周长）、宽为3cm（圆柱的高）。 【解答】 如图： 13．18.84平方分米 【分析】看图可知，硬纸板的面积＝圆柱底面积＋圆柱侧面积＋帽檐（圆环）的面积，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），据此列式解答。 【解答】1＋1＝2（分米） 3.14×12＋2×3.14×1×1＋3.14×（22－12） ＝3.14×1＋6.28＋3.14×（4－1） ＝3.14＋6.28＋3.14×3 ＝3.14＋6.28＋9.42 ＝18.84（平方分米） 答：做这顶帽子至少要用18.84平方分米的硬纸板。 14．铝皮：48.984平方分米；羊皮：56.52平方分米 【分析】铝皮的面积即为圆柱的侧面积，根据圆柱侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，底面周长＝π×直径；羊皮的面积为圆柱上、下两个底面的面积之和，根据圆的面积公式：面积＝π×（半径）²，半径＝直径÷2，再乘2可得两个底面的面积。 【解答】铝皮面积： 底面周长：（dm） 侧面积：（平方分米） 羊皮面积： 半径：（dm） 一个底面面积： （平方分米） 两个底面面积：（平方分米） 答：至少需要铝皮48.984平方分米，羊皮56.52平方分米。 15．（1）96平方厘米 （2）5.5元 【分析】（1）要在盒外面贴一圈高4厘米的商标，商标纸的面积是高为4厘米的圆柱侧面积。圆柱侧面积公式为S＝2πrh（r为底面半径，h为圆柱的高）。已知r＝4厘米，h＝4厘米，π＝3，把数据代入公式计算即可。 （2）圆柱的表面积公式为S＝2πr2＋2πrh（其中r为底面半径，h为圆柱的高）。已知r＝4厘米，h＝6厘米，π＝3，则罐头盒的表面积为：2×3×42＋2×3×4×6＝2×3×16＋2×3×4×6＝96＋144＝240平方厘米。 罐头盒的成本为每平方厘米0.01元，所以罐头盒的成本为0.01×240＝2.4元；商标的成本为每平方厘米0.02元，商标纸面积为96平方厘米，所以商标的成本为0.02×96＝1.92元；再加上人工费0.68元，总成本为2.4＋1.92＋0.68＝5元。已知利润率为10%，把成本看作单位“1”，根据“定价＝成本×（1＋利润率）”，把数据代入计算即可。 【解答】（1）2×3×4×4＝96（平方厘米） 答：一个罐头盒需要商标纸96平方厘米。 （2）2×3×42＋2×3×4×6 ＝2×3×16＋2×3×4×6 ＝96＋144 ＝240（平方厘米） 0.01×240＝2.4（元） 0.02×96＝1.92（元） 2.4＋1.92＋0.68＝5（元） 把成本看作单位“1”。 5×（1＋10%） ＝5×（1＋0.1） ＝5×1.1 ＝5.5（元） 答：一个贴有商标的罐头盒定价为5.5元时，其利润率为10%。 16．（1）②；③；因为直径为4分米的圆的周长与长方形②的长相等，所以他应该选择②和③。 （2）75.36平方分米 【分析】（1）制作无盖圆柱形水桶，需选择一个长方形作为侧面，一个圆形作为底面。圆柱的侧面展开图的长等于底面圆的周长，根据圆的周长公式判断长方形的长与圆的周长是否匹配； （2）无盖圆柱形水桶的铁皮总面积等于侧面积加上一个底面积。根据圆柱的侧面积公式，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【解答】（1）③号圆的周长：（分米） ④号圆的周长：（分米） 因为③号圆的周长与②号长方形的长相等，所以我认为应该选择的材料是②号和 ③号才能制作成功。 （2） （平方分米） 答：铁皮的总面积是75.36平方分米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $