06 圆锥的体积（导学案）六年级数学寒假自学课（苏教版）

06 圆锥的体积 知识点精讲 知识点一 圆锥的体积 内容 圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 【典型例题1】如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是（    ）。 A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍 C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等 【典型例题2】一根圆柱木料，底面半径3cm，高10cm，如果把这根圆柱木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）cm3。 【典型例题3】求下面图形的体积。 【典型例题4】一个圆柱形的蓄水罐，从里面测量其底面周长为18.84米，高为4米。现在，将这个蓄水罐中的水全部倒入一个底面半径是6米的圆锥形的蓄水池中，恰好将蓄水池装满。请问，这个圆锥形蓄水池的高是多少米？ 【典型例题5】为迎接中国共产党建党一百周年，某公园园艺处准备将一个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米）造型的沙雕重新塑成高是1.8米的圆锥形沙雕，那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 【变式训练1】小明制作了一个圆锥形容器（如图），并往里面灌满了水，将圆锥形容器里的水倒入（    ）容器中，刚好能装满。 A． B． C． D． 【变式训练2】一个圆柱形容器的底面直径为10cm，高为20cm，一个圆锥形容器的底面直径也为10cm。小亮先用这个圆柱形容器装满水，然后将圆锥形容器灌满，结果如图所示。则这个圆锥形容器高（ ）cm。（容器壁厚度忽略不计） 【变式训练3】求下图的体积。 【变式训练4】搭积木不仅是一种游戏，更是一种锻炼孩子能力的好方法。小敏用一个圆柱形积木和一个圆锥形积木搭成了一个物体（如图）。如果从底部切下一个高4厘米的圆柱，那么表面积就会减少125.6平方厘米。小敏搭成的这个物体的体积是多少立方厘米？ 【变式训练5】一个杯子最上面部分是圆柱，中间部分是圆锥，下面是实心的杯挺和底座（如图）。一个底部内直径是10厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把这些水全部倒入图中的杯子里，圆锥顶点到水面的高度是多少厘米？（π取3） 1．把一个正方体木块加工成最大的圆锥。圆锥的底面直径是4厘米。这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．64 2．下面四组图形中，圆柱和圆锥体积不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 3．有一个圆柱和一个圆锥，已知底面周长的比是3∶2，体积之比是5∶6，则圆柱的高是圆锥高的（    ）。 A． B． C． D． 4．一个圆锥形沙堆，底面积是28.6平方米，高是3米，用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺（    ）米。 A．429 B．1.43 C．143 D．4.29 5．一个圆柱形水桶，底面半径20厘米，装水高度30厘米。将一个底面半径10厘米的圆锥形铁块完全浸入水中，水面上升1厘米（水未溢出）。圆锥的高是（    ）厘米。（取3） A．12 B．24 C．36 D．48 6．一个圆柱的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方厘米。如果一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方厘米。 7．如图是一个空心圆锥和一个空心圆柱组成的容器。在容器内倒入一些细沙，如果将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是（ ）。 8．丁丁用一块粘土捏了一个底面积为、高为9cm的圆锥，如果把它捏成一个正方体，那么棱长应为（ ）cm；如果把它捏成一个与圆锥同样高的圆柱，那么这个圆柱的底面积是（ ）。 9．一个三角形纸板，其中相邻两边的长为7cm和9cm，面积为18cm2。小明把三角形纸片的一边卡在木棍上，旋转木棍，可得一个立体图形（如图），这个立体图形的体积是（ ）cm3。 10．一个底面半径和高都是3分米的圆锥形容器，里面装满了某种液体，这种液体每升0.8千克，这个容器里装了（ ）千克液体。 11．求如图陀螺的体积。 12．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2.5米。如果每立方米沙子重1.6吨，这堆沙子大约重多少吨？ 13．小小积木，大大世界。一块正方体积木，它的棱长是6厘米。把它加工成一个体积最大的圆柱形积木之后，再将这个圆柱加工制作成一个与之等底等高的圆锥形积木。在整个加工制作的过程中，削去木料的体积是多少？ 14．一种水稻磨米机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的，底面直径是6分米，圆柱的高是2分米，圆锥的高是4分米，每立方分米水稻重0.65千克，这个漏斗最多能装多少千克水稻？ 15．小思和小维做实验，他们分别用等底等高的一个圆柱和圆锥容器组合成滴漏计时器工具，圆锥内灌满了有颜色的水（如图1）。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。 （1）如果水的流速是每分钟1.57立方厘米，圆锥内漏完水大约需要多少时间？ （2）在图2中用阴影画出表示圆锥内的水漏完后，水在圆柱容器内的高度。 知识点一： 【典型例题1】D 【分析】圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，据此求出4个图形的体积，并逐项分析即可。 【解答】图①：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝12π 图②：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝36π 图③：π×（2÷2）2×9 ＝π×12×9 ＝π×1×9 ＝9π 图④：π×（4÷2）2×3 ＝π×22×3 ＝π×4×3 ＝12π A．①和④的体积均为12π，则①和④的体积相等，正确； B．②的体积为36π，①的体积为12π，36π÷12π＝3，则②的体积是①的3倍，正确； C．36π÷12π＝3，则②的体积是④的3倍，正确； D．③的体积为9π，①的体积为12π，则①和③的体积不相等，错误； 故答案为：D 【典型例题2】94.2 【分析】依据题意可知，这根圆柱木料削成一个最大的圆锥，那么圆锥应该以圆柱的底为底，以圆柱的高为高。然后利用圆锥的体积底面半径2高，结合题中数据计算即可。 【解答】 （立方厘米） 圆锥的体积是cm3。 【典型例题3】30 【分析】根据图可知，圆柱形容器的水倒入圆锥形容器中，圆柱形容器里的水正好一半倒入圆锥形容器中，所以圆锥形容器内的水的体积等于圆柱形容器内水的体积的一半；根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出圆柱形容器内水的体积，进而求出圆锥形容器内水的体积，再根据圆锥的体积＝底面积×高×，高＝圆锥的容积÷÷底面积，据此求出圆锥形容器的高。 【解答】3.14×（10÷2）2×20÷2 ＝3.14×52×20÷2 ＝3.14×25×20÷2 ＝78.5×20÷2 ＝1570÷2 ＝785（cm3） 785÷÷[3.14×（10÷2）2] ＝785÷÷[3.14×52] ＝785÷÷[3.14×25] ＝785÷÷78.5 ＝785×3÷78.5 ＝2355÷78.5 ＝30（cm） 这个圆锥形容器的高是30cm。 【典型例题4】3米 【分析】首先根据圆柱底面周长求出底面半径，再根据圆柱的体积公式计算圆柱体积。由于水的体积等于圆锥体积，利用圆锥体积公式反推其高度。 【解答】（米） （立方米） （米） 答：这个圆锥形蓄水池的高是3米。 【典型例题5】942立方厘米 【分析】根据题意可知，减少的表面积是高为4厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch，可知C＝S侧÷h，求出圆柱的底面周长； 再根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，求出圆柱的底面半径，同时也是圆锥的底面半径（因为圆柱和圆锥的等底）； 那么这个物体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。 【解答】圆柱的底面周长：125.6÷4＝31.4（厘米） 圆柱的底面半径：31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 原来圆柱的体积： 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝157（立方厘米） 一共：785＋157＝942（立方厘米） 答：小敏搭成的这个物体的体积是942立方厘米。 【变式训练1】B 【分析】根据V圆柱＝Sh，V圆锥＝Sh可知，圆柱的高h圆柱＝V÷S，圆锥的高h圆锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等底面积等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此用圆锥的高除以3，求出圆柱的高。 【解答】 圆锥的底面直径是8，高是15，那么与它等底面积等体积的圆柱的底面直径应是8，高应是15÷3＝5。 所以，将圆锥形容器里的水倒入中，刚好能装满。 故答案为：B 【变式训练2】30 【分析】根据图可知，圆柱形容器的水倒入圆锥形容器中，圆柱形容器里的水正好一半倒入圆锥形容器中，所以圆锥形容器内的水的体积等于圆柱形容器内水的体积的一半；根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出圆柱形容器内水的体积，进而求出圆锥形容器内水的体积，再根据圆锥的体积＝底面积×高×，高＝圆锥的容积÷÷底面积，据此求出圆锥形容器的高。 【解答】3.14×（10÷2）2×20÷2 ＝3.14×52×20÷2 ＝3.14×25×20÷2 ＝78.5×20÷2 ＝1570÷2 ＝785（cm3） 785÷÷[3.14×（10÷2）2] ＝785÷÷[3.14×52] ＝785÷÷[3.14×25] ＝785÷÷78.5 ＝785×3÷78.5 ＝2355÷78.5 ＝30（cm） 这个圆锥形容器的高是30cm。 【变式训练3】84.78cm3 【分析】这个图形是由两个圆锥组成，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出两个圆锥的体积，相加即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×5.5÷3＋3.14×（6÷2）2×3.5÷3 ＝3.14×32×5.5÷3＋3.14×32×3.5÷3 ＝3.14×9×5.5÷3＋3.14×9×3.5÷3 ＝51.81＋32.97 ＝84.78（cm3） 这个图形的体积是84.78cm3。 【变式训练4】942立方厘米 【分析】根据题意可知，减少的表面积是高为4厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch，可知C＝S侧÷h，求出圆柱的底面周长； 再根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，求出圆柱的底面半径，同时也是圆锥的底面半径（因为圆柱和圆锥的等底）； 那么这个物体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。 【解答】圆柱的底面周长：125.6÷4＝31.4（厘米） 圆柱的底面半径：31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 原来圆柱的体积： 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝157（立方厘米） 一共：785＋157＝942（立方厘米） 答：小敏搭成的这个物体的体积是942立方厘米。 【变式训练5】13厘米 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出瓶子里水的体积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出杯子圆锥部分的体积，再用水的体积－杯子圆锥部分的体积，求出剩下的体积，再根据高＝剩下的体积÷杯子最上面部分的圆柱的底面积，求出它的高度，再加上圆锥部分的高度，即可解答。 【解答】3×（10÷2）2×7 ＝3×52×7 ＝3×25×7 ＝75×7 ＝525（立方厘米） 3×（10÷2）2×9× ＝3×52×9× ＝3×25×9× ＝75×9× ＝675× ＝225（立方厘米） （525－225）÷[3×（10÷2）2] ＝300÷[3×52] ＝300÷[3×25] ＝300÷75 ＝4（厘米） 4＋9＝13（厘米） 答：圆锥顶点到水面的高度是13厘米。 1．D 【分析】根据题意，把一个正方体木块加工成最大的圆锥，那么圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。已知圆锥的底面直径是4厘米，说明正方体的棱长是4厘米，利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出这个正方体的体积，据此解答。 【解答】正方体的棱长等于圆锥的底面直径4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以，这个正方体的体积是64立方厘米。 故答案为：D 2．D 【分析】圆柱的体积V＝Sh，圆锥的体积V＝ Sh，分别把圆柱和圆锥的底面积和高代入体积公式计算并比较即可。 【解答】A．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×3×6＝6（cm3），相等，不符合题意； B．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×9×2＝6（cm3），相等，不符合题意； C．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×6×3＝6（cm3），相等，不符合题意； D．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×9×6＝18（cm3），不相等，符合题意。 故答案为：D 3．A 【分析】底面周长＝2×圆周率×半径，底面积＝圆周率×底面半径的平方，底面周长的比就是底面半径的比，前后项分别平方以后的比是底面积的比。将比的前后项看成份数，圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此分别计算圆柱和圆锥的高，将圆锥的高看作单位“1”，圆柱的高÷圆锥的高＝圆柱的高是圆锥高的几分之几。 【解答】底面积的比：32∶22＝9∶4 （5÷9）÷（6×3÷4） ＝÷ ＝× ＝ 圆柱的高是圆锥高的。 故答案为：A 4．C 【分析】2厘米＝0.02米，根据圆锥的体积公式：V＝Sh，用28.6×3×即可求出沙堆的体积，然后再根据长方体体积公式：V＝abh，用沙堆的体积÷10÷0.02即可求出能铺的长度。据此解答。 【解答】2厘米＝0.02米 28.6×3× ＝85.8× ＝28.6（立方米） 28.6÷10÷0.02 ＝2.86÷0.02 ＝143（米） 可以铺143米。 故答案为：C 5．A 【分析】由题意可知，圆锥形铁块的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的体积＝水桶的底面积×上升部分水的高度，再根据“”求出圆锥的高，据此解答。 【解答】3×3×202×1÷（3×102） ＝3×3×400×1÷（3×100） ＝3×3×400×1÷300 ＝9×400×1÷300 ＝3600÷300 ＝12（厘米） 所以，圆锥的高是12厘米。 故答案为：A 6．6 54 【分析】已知一个圆柱的体积是18立方厘米，求等底等高圆锥的体积，用圆柱的体积÷3＝圆锥的体积；又知一个圆锥的体积是18立方厘米，求等底等高圆柱的体积，圆锥体积×3＝圆柱体积；据此解答。 【解答】18÷3＝6（立方厘米） 18×3＝54（立方厘米） 一个圆柱的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是6立方厘米。如果一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是54立方厘米。 7．60 【分析】正放时圆锥部分细沙高度是9dm，圆柱部分细沙高度是3dm。因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么圆锥中9dm高的细沙体积相当于圆柱中9÷3＝3dm高的细沙体积。把圆锥中细沙体积转化为圆柱中细沙体积后，再加上原来圆柱中细沙的高度3dm就可得到倒立后细沙的高度。 【解答】9÷3＋3 ＝3＋3 ＝6（dm） 6dm＝60cm 细沙的高度是60cm。 8．6 24 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，圆锥的体积等于正方体体积；根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体棱长；圆锥的体积＝圆柱的体积；圆锥的高＝圆柱的高；根据圆柱的体积＝底面积×高；用圆锥的体积除以圆锥的高，即可求出圆柱的底面积。 【解答】72×9× ＝648× ＝216（cm3） 因为6×6×6＝216，所以正方体棱长是6cm。 216÷9＝24（cm2） 丁丁用一块粘土捏了一个底面积为72cm2、高为9cm的圆锥，如果把它捏成一个正方体，那么棱长应为6cm；如果把它捏成一个与圆锥同样高的圆柱，那么这个圆柱的底面积是24。 9．150.72 【分析】 根据三角形面积＝底×高÷2，高＝面积÷底×2，代入数据，求出三角形底边是9cm对应的高；如图：；三角形旋转，得到两个圆锥，两个圆锥的底面半径等于三角形的高，两个圆锥的高的和等于三角形ABC的边AC的长；根据圆锥的体积＝底面积×高×，两个圆锥的体积＝底面积×两个圆锥的和×，据此求出这个立体图形的体积。 【解答】18×2÷9 ＝36÷9 ＝4（cm） 3.14×42×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（cm3） 这个立体图形的体积是150.72cm3。 10．22.608 【分析】根据圆锥的容积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形容器的容积，也就是液体的容积，再用液体的容积×0.8，即可求出这个容器装的液体的重量，注意单位名数的换算。 【解答】3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26×3× ＝84.78× ＝28.26（立方分米） 28.26立方分米＝28.26升 28.26×0.8＝22.608（千克） 一个底面半径和高都是3分米的圆锥形容器，里面装满了某种液体，这种液体每升0.8千克，这个容器里装了22.608千克液体。 11．552.64立方厘米 【分析】观察陀螺是由圆柱和圆锥两部分组成的，先根据陀螺底面直径求出陀螺底面半径；再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式分别求出圆柱和圆锥的体积；最后相加求和即可。 【解答】3.14×（8÷2）2×10＋×3.14×（8÷2）2×（13－10） ＝3.14×16×10＋×3.14×16×3 ＝502.4＋50.24 ＝552.64（立方厘米） 所以这个陀螺的体积是552.64立方厘米。 12．37.68吨 【分析】根据圆的周长公式的逆运算，可求出半径，再根据圆锥的体积公式，代入数据可得圆锥的体积，再乘1.6即可。 【解答】18.84÷3.14÷2＝3（米） （立方米） 23.55×1.6＝37.68（吨） 答：这堆沙子大约重37.68吨。 13．159.48立方厘米 【分析】正方体体积公式为：体积＝棱长×棱长×棱长，已知棱长为6厘米，那么正方体体积为6×6×6＝216立方厘米。 把正方体加工成一个体积最大的圆柱形积木之后，圆柱的底面直径和高都等于正方体棱长，正方体棱长为6厘米，那么圆柱的底面半径为6÷2＝3厘米。根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。那么圆柱的体积为3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56立方厘米。 再将这个圆柱加工制作成一个与之等底等高的圆锥形积木，圆锥体积是等底等高圆柱体积的，即169.56×＝56.52立方厘米。 削去木料体积是用正方体体积减去圆锥体积。 【解答】6×6×6＝216（立方厘米） 3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56（立方厘米） 169.56×＝56.52（立方厘米） 216－56.52＝159.48（立方厘米） 答：削去木料的体积是159.48立方厘米。 14．61.23千克 【分析】观察图形可知，圆柱与圆锥等底，已知底面直径为6分米，那么半径为6÷2＝3分米。 根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），已知圆柱的高为2分米，底面半径为3分米，把数据代入公式计算即可得出圆柱的体积。 根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），已知圆锥的高为4分米，底面半径为3分米，把数据代入公式计算即可得出圆锥的体积。 漏斗每立方分米水稻重0.65千克，把圆柱体积和圆锥体积相加后再乘0.65即可得出漏斗最多能装多少千克水稻。 【解答】6÷2＝3分米 3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（立方分米） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝3×3.14×4 ＝37.68（立方分米） （56.52＋37.68）×0.65 ＝94.2×0.65 ＝61.23（千克） 答：这个漏斗最多能装61.23千克水稻。 15．（1）36分钟 （2）见详解 【分析】（1）根据圆锥的体积＝，代入数据求出圆锥形容器内水的体积，再除以水的流速即可求出圆锥内漏完水大约需要的时间。 （2）等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，当圆柱和圆锥的体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此用圆锥的高除以3就是圆柱的高，圆锥内的水漏完后，水在圆柱容器内的高度为6÷3＝2（厘米），据此画图。 【解答】（1）×3.14××6÷1.57 ＝×3.14×9×6÷1.57 ＝56.52÷1.57 ＝36（分钟） 答：圆锥内漏完水大约需要36分钟。 （2）如图： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $