05 圆柱的体积（导学案）六年级数学寒假自学课（苏教版）

05 圆柱的体积 知识点精讲 知识点一 圆柱的体积 内容 圆柱的体积 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 【典型例题1】一个长方形的长是3cm，宽是1cm，分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱，这两个圆柱的体积分别是（ ）cm3和（ ）cm3。（π取3） 【典型例题2】计算钢管的体积。（单位：分米） 【典型例题3】南昌市“雨污分流改造”工程中，需要用到多种空心水泥管。如图所示的是其中一种浇筑空心水泥管的模具的示意图。现将水泥注入模具中，如果每立方厘米水泥重3g，那么浇筑成的空心水泥管重多少千克？（得数保留整数） 【典型例题4】一个圆柱形的金鱼缸，底面内半径是40cm，里面有一座假山石全部浸没在水中（水没有溢出），取出假山石后，水面的高度由20cm降到15cm。这座假山石的体积是多少？ 【变式训练1】一个圆柱形水桶，从里面量，底面直径是4dm，高是5dm。已知每立方分米水重1kg，则这个水桶能装水（ ）kg。 【变式训练2】求下图的表面积和体积。（单位：cm） 【变式训练3】一个圆柱形铁桶，底面直径是8分米，高是1米。 （1）给铁桶的盖和侧面涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方分米？ （2）这个铁桶的容积是多少升？（铁皮厚度忽略不计） 【变式训练4】一个圆柱形容器内盛有一定量的水，现把一段底面半径为2厘米的圆柱形钢材全部浸入水中，水面上升了5厘米且没有溢出；把钢材竖着拉出水面6厘米后，水面下降了2厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米？ 1．一个量杯中装有400毫升水，皮皮将一块土豆放入在这个量杯中，此时水面刻度上升到460毫升（水没有溢出）。如果将这块土豆浸没在装满水的量杯中，那么大约会有（    ）毫升的水溢出。 A．400 B．460 C．60 2．把一个棱长4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，体积是（    ）立方分米。 A．12.56 B．50.24 C．25.12 D．100.48 3．把下面的一根圆木加工成最大的方木，加工成的方木的体积是（    ）立方分米。 A．180 B．90 C．1800 D．900 4．把一个棱长为4cm的正方体木块削成最大的圆柱，圆柱的体积是（    ）cm3。 A．50.24 B．100.48 C．64 D．25.12 5．爷爷生病需要输液，输液瓶底面内直径是6厘米，如图1。护士把输液瓶倒置，如图2，这个输液瓶的容积是（    ）毫升。 A．20 B．113.04 C．565.2 D．2260.8 6．“乌鸦喝水”的故事告诉我们：遇到困难时要善于思考，多动脑筋。图中乌鸦放了（ ）cm3石子。 7．把一个圆柱体的上面和下面都截去一个高3厘米的小圆柱，它的表面积减少150.72平方厘米，这个圆柱体积减少（ ）立方厘米。 8．一个圆柱形水桶（无盖），高是，底面直径是高的，做这个水桶要用铁皮（ ），它最多能装（ ）水（铁皮厚度忽略不计）。 9．一瓶葡萄酒，瓶子的容积是1050mL，瓶子中酒高15cm。笑笑把瓶口拧紧倒置放平，这时瓶中空气的高度为6cm。瓶中有（ ）mL葡萄酒。 10．一根圆柱形木料的高是8厘米，把它垂直从中间切开后（如图），表面积增加了96平方厘米，这根圆柱木料的体积是（ ）。 11．在一个长方体铝块的上、下两个面之间挖去一个直径为2cm的圆柱，得到一个零件，求这个零件的体积和表面积（π取3.14）。 12．求出这个立体图形的体积。（单位：cm） 13．在广西“壮族三月三”节日中，竹筒饭不仅是特色美食，更承载着“节节高升”的吉祥寓意。妈妈将香米和瘦肉放入2节从里面量底面半径是3厘米，长是20厘米的圆柱形竹筒中，做成了香喷喷的竹筒饭（如图）。每立方厘米竹筒饭约重3克，妈妈一共做了大约多少克竹筒饭？ 14．如下图，一根长30分米的圆柱形木料，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米。原来这根圆柱形木料的体积是多少？ 15．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 16．一个圆柱形的蓄水池，从里面量底面直径10米，深2.4米，在它的内壁与底面抹上水泥。 （1）抹水泥部分是多少平方米？ （2）现在蓄水池所蓄的水占这个水池的，现蓄水多少吨？（每立方米水重1吨） 知识点一： 【典型例题1】9 27 【分析】长方形的长是3cm，宽是1cm，当长方形绕长是3cm旋转时，圆柱的底面半径为1cm，高为3cm。当长方形绕长是1cm旋转时，圆柱的底面半径为3cm，高为1cm。根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3，r为半径，h为高），分别把数据代入计算即可。 【解答】以3cm旋转： 3×12×3 ＝3×1×3 ＝3×3 ＝9（cm3） 以1cm旋转： 3×32×1 ＝3×9×1 ＝27×1 ＝27（cm3） 这两个圆柱的体积分别是9cm3和27cm3。 【典型例题2】62.8 【分析】根据圆柱的体积公式求出水桶的容积，再乘每立方分米水的质量即可。 【解答】     （dm） （kg） 一个圆柱形水桶，从里面量，底面直径是4dm，高是5dm。已知每立方分米水重1kg，则这个水桶能装水62.8kg。 【典型例题3】707千克 【分析】题中的空心水泥管的底面是环形，可以用圆环的面积公式求得空心水泥管的底面积；再用底面积乘高得到空心水泥管的体积，最后用每立方厘米水泥质量乘空心水泥管的体积就可得空心水泥管质量。 【解答】（厘米）（厘米） （平方厘米） （立方厘米） （克）（千克）（千克） 答：浇筑成的空心水泥管约重707千克。 【典型例题4】（1）301.44平方分米 （2）502.4升 【分析】（1）这个圆柱形铁桶的底面是直径为8分米的圆，则半径是4分米。底面积公式：，侧面积公式：，其中高是1米，单位不统一注意换算单位。又知：给铁桶的盖和侧面涂上油漆，则涂油漆的面积＝底面积＋侧面积；代入数据计算即可。 （2）圆柱体积公式：V＝底面积×高，再根据1立方分米＝1升，换算单位即可。 【解答】（1）圆柱的高：1米＝10分米，圆柱的半径：8÷2＝4（分米） 涂油漆的面积： （平方分米） 答：涂油漆的面积是301.44平方分米。 （2） ＝502.4（立方分米） 502.4立方分米＝502.4升 答：这个铁桶的容积是502.4升。 【变式训练1】62.8 【分析】根据圆柱的体积公式求出水桶的容积，再乘每立方分米水的质量即可。 【解答】     （dm） （kg） 一个圆柱形水桶，从里面量，底面直径是4dm，高是5dm。已知每立方分米水重1kg，则这个水桶能装水62.8kg。 【变式训练2】379.36cm2；395.36cm3 【分析】图形的表面积＝长方体的表面积＋圆柱的侧面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此代入数据计算即可。 图形的体积＝长方体的体积＋圆柱的体积，长方体的体积＝长×宽×高，圆柱的体积＝，据此代入数据计算即可。 【解答】（10×8＋4×8＋10×4）×2＋3.14×4×6 ＝（80＋32＋40）×2＋12.56×6 ＝（112＋40）×2＋75.36 ＝152×2＋75.36 ＝304＋75.36 ＝379.36（cm2） 10×8×4＋3.14×22×6 ＝80×4＋3.14×4×6 ＝320＋12.56×6 ＝320＋75.36 ＝395.36（cm3） 表面积是379.36cm2，体积是395.36cm3。 【变式训练3】（1）301.44平方分米 （2）502.4升 【分析】（1）这个圆柱形铁桶的底面是直径为8分米的圆，则半径是4分米。底面积公式：，侧面积公式：，其中高是1米，单位不统一注意换算单位。又知：给铁桶的盖和侧面涂上油漆，则涂油漆的面积＝底面积＋侧面积；代入数据计算即可。 （2）圆柱体积公式：V＝底面积×高，再根据1立方分米＝1升，换算单位即可。 【解答】（1）圆柱的高：1米＝10分米，圆柱的半径：8÷2＝4（分米） 涂油漆的面积： （平方分米） 答：涂油漆的面积是301.44平方分米。 （2） ＝502.4（立方分米） 502.4立方分米＝502.4升 答：这个铁桶的容积是502.4升。 【变式训练4】188.4立方厘米 【分析】当把钢材竖着拉出水面6厘米时，拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，拉出钢材的部分是一个圆柱，根据圆柱的体积公式：（其中是底面半径，是高），可得拉出钢材部分的体积，因为拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，用拉出钢材部分的体积除以水面下降的高度，即可求出容器的底面积，已知当钢材全部浸入水中时，水面上升5厘米，钢材的总体积等于水面上升5厘米水的体积，再根据圆柱的体积公式：（其中是底面积，是高），即可求出钢材的体积。 【解答】拉出钢材部分的体积： （立方厘米） 容器的底面积：（平方厘米） 钢材的体积：（立方厘米） 答：这段钢材的体积是188.4立方厘米。 1．C 【分析】将一块土豆放入量杯中，土豆占据了量杯内水的一部分空间，因此水面上升，即上升的水的体积，也就是这个土豆的体积。 【解答】460－400＝60（毫升） 如果将这块土豆浸没在装满水的量杯中，那么大约会有60毫升的水溢出。 故答案为：C 2．B 【分析】从图中可知：正方体的棱长＝圆柱的底面直径＝圆柱的高＝4分米。用直径÷2求出半径。根据圆柱的体积：V＝πr2h，代入数据计算，即可求出圆柱的体积。 【解答】（4÷2）2×3.14×4 ＝22×3.14×4 ＝4×3.14×4 ＝50.24（立方分米） 把一个棱长4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，体积是50.24立方分米。 故答案为：B 3．B 【分析】 根据圆内画一个最大的正方形，正方形的对角线＝圆的直径，如图，正方形可以看成2个等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，三角形面积×2＝正方形面积，据此确定方木的底面积，根据长方体体积＝底面积×高，即可求出方木的体积。 【解答】30厘米＝3分米、2米＝20分米 3×（3÷2）÷2×2 ＝3×1.5÷2×2 ＝4.5（平方分米） 4.5×20＝90（立方分米） 加工成的方木的体积是90立方分米。 故答案为：B 4．A 【分析】根据题意，把一个正方体木块削成最大的圆柱，那么圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积。 【解答】3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（cm3） 圆柱的体积是50.24cm3。 故答案为：A 5．C 【分析】输液瓶的容积等于图1中液体体积加上图2中空白部分体积，已知输液瓶底面直径是6厘米，且液体部分可看作圆柱（图1中12厘米高的圆柱），空白部分也可看作圆柱（图2中8厘米高的圆柱），根据圆柱体积（容积）公式V＝πr2h（r是半径，h是高）计算，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 【解答】已知底面内直径是6厘米，则半径r＝6÷2＝3（厘米）。 输液瓶容积对应的圆柱总高h＝h1＋h2＝12＋8＝20（厘米）。 V＝3.14×32×20 ＝3.14×9×20 ＝28.26×20 ＝565.2（立方厘米） 565.2立方厘米＝565.2毫升 这个输液瓶的容积是565.2毫升。 故答案为：C 6．235.5 【分析】从图中可知，往瓶子里放入石子时，水面上升了（11－8）cm，水上升部分的体积就是石子的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出石子的体积。 【解答】3.14×（10÷2）2×（11－8） ＝3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝235.5（cm3） 图中乌鸦放了235.5cm3石子。 7．301.44 【分析】减少的表面积是圆柱的侧面积，高一共减少（3×2）厘米，减少的表面积÷（3×2）＝圆柱底面周长，底面周长÷圆周率÷2＝底面半径，底面积＝圆周率×底面半径的平方，减少的体积＝底面积×（3×2），据此列式计算。 【解答】150.72÷（3×2） ＝150.72÷6 ＝25.12（厘米） 25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 3.14×42×（3×2） ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） 这个圆柱体积减少301.44立方厘米。 8．216.66 282.6 【分析】先用10分米乘，求出这个圆柱形水桶的底面直径；然后用这个圆柱形水桶的侧面积加上一个底面的面积，即可求出做这个水桶要用多少平方分米铁皮；最后用这个圆柱形水桶的底面积乘高，即可求出它最多能装多少立方分米水。 【解答】（分米） （平方分米） （立方分米） 做这个水桶要用铁皮216.66平方分米，它最多能装282.6立方分米水。 9．750 【分析】根据题意可知，酒的容积加上空白部分的容积就是瓶子的容积，通过图可知，瓶子的容积＝15cm高度部分的容积＋6cm高度部分的容积；根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高；瓶子的容积＝底面积×（酒的高度＋空气的高度）；底面积＝瓶子的容积÷（酒的高度＋空气的高度），代入数据，求出瓶子的底面积，进而求出酒的容积，注意单位的换算。 【解答】1050mL＝1050cm3 1050÷（15＋6）×15 ＝1050÷21×15 ＝50×15 ＝750（cm3） 750cm3＝750mL 瓶中有750mL葡萄酒。 10．226.08立方厘米/226.08 【分析】增加的表面积等于2个长为8厘米、宽为圆柱形木料的底面直径的长方形的面积，用增加的表面积除以2，求出1个长方形的面积，再用长方形的面积除以8求出圆柱形木料的底面直径，再除以2求出半径，再根据圆柱的体积＝，代入数据解答即可。 【解答】96÷2÷8÷2 ＝48÷8÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14××8 ＝3.14×9×8 ＝28.26×8 ＝226.08（立方厘米） 所以这根圆柱木料的体积是226.08立方厘米。 11．体积107.44cm3；表面积166.84cm2 【分析】观察图形可知，这个零件的体积＝长方体的体积－圆柱的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解； 这个零件的表面积＝长方体的表面积－2个圆的面积＋圆柱的侧面积，根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），圆的面积公式S＝πr2，圆柱的侧面积S侧＝πdh，代入数据计算求解。 【解答】体积： 6×5×4－3.14×（2÷2）2×4 ＝6×5×4－3.14×12×4 ＝6×5×4－3.14×1×4 ＝120－12.56 ＝107.44（cm3）   表面积： （6×5＋6×4＋5×4）×2－3.14×（2÷2）2×2＋3.14×2×4   ＝（30＋24＋20）×2－3.14×12×2＋3.14×2×4   ＝74×2－3.14×1×2＋3.14×2×4   ＝148－6.28＋25.12 ＝166.84（cm2） 这个零件的体积是107.44cm3，表面积是166.84cm2。 12．2198cm3 【分析】立体图形的体积＝底面直径8cm，高是100cm的圆柱的体积－底面直径6cm，高是100cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（8÷2）2×100－3.14×（6÷2）2×100 ＝3.14×42×100－3.14×32×100 ＝3.14×16×100－3.14×9×100 ＝50.24×100－28.26×100 ＝5024－2826 ＝2198（cm3） 立体图形的体积是2198cm3。 13．3391.2克 【分析】先根据圆柱的体积公式：V＝Sh＝πr2h，求出一节竹筒的容积，也就是能装竹筒饭的体积，再乘竹筒的节数得到总体积，最后用总体积乘每立方厘米的重量，即可求出妈妈一共做了大约多少克竹筒饭，据此解答。 【解答】3.14×32×20×2×3 ＝3.14×9×20×2×3 ＝3391.2（克） 答：妈妈一共做了大约3391.2克竹筒饭。 14．3.6立方米 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，在本题中，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米，可知增加了4个小底面，也就是4个底面的面积是4.8平方米，先计算出底面积，再用底面积乘高计算出体积。 【解答】30分米＝3米 4.8÷[（3－1）×2]×3 ＝4.8÷4×3 ＝1.2×3 ＝3.6（立方米） 答：原来这个圆柱形木料的体积是3.6立方米。 15．117.75立方厘米 【分析】根据题意，石头的体积等于下降的那部分水的体积，首先求出下降的水的高度，再利用圆柱的底面积乘下降的水的高度就是石头的体积。 【解答】 （立方厘米） 答：这块石头的体积是117.75立方厘米。 16．（1）153.86平方米； （2）113.04吨 【分析】（1）抹水泥部分包括圆柱的内壁（侧面积）和底面（一个底面积）。 圆柱侧面积公式：圆柱侧面积＝底面周长×高，其中底面周长＝πd（d是底面直径）； 圆的面积公式：圆的面积＝πr2，半径＝d÷2 将圆柱侧面积和圆的面积相加，即可得到抹水泥部分是多少。 （2）蓄水池的蓄水量等于圆柱的容积 圆柱容积公式为：容积＝底面积×高，底面积＝πr2，r＝d÷2（d是底面直径） 再根据每立方米水重1吨，用容积乘1得到蓄水池可蓄水的吨数。 现在蓄水池所蓄的水占这个水池的，用蓄水池可蓄水的吨数乘，即可得到现蓄水多少。 【解答】（1）10÷2＝5（米） 圆柱侧面积：3.14×10×2.4 ＝31.4×2.4 ＝75.36（平方米） 圆的面积：3.14×5² ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 75.36＋78.5＝153.86（平方米） 答：抹水泥部分是153.86平方米。 （2）圆柱容积：3.14×52×2.4 ＝3.14×25×2.4 ＝78.5×2.4 ＝188.4（立方米） 188.4×1＝188.4（吨） 188.4×＝113.04（吨） 答：现蓄水113.04吨。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $