49.二次函数面积最优化实际应用题型【中档】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 49.二次函数面积最优化实际应用题型【中档】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】二次函数面积模型 · 定义表述：在几何图形中，若某一图形的面积可表示为某一变量的二次函数（），则可通过二次函数的最值性质求解面积的最大值或最小值。 · 数学符号/表达式：设自变量为，面积为，则（，，为实际意义下的定义域） · 关键特征：面积的最值由二次函数的开口方向和顶点横坐标是否在定义域内共同决定 · 跨章节关联：适用于二次函数最值、平面几何图形面积计算、实际应用题建模 2. 【概念2】面积最优化的二次函数求解条件 · 定义表述：对于面积函数（），若，函数开口向下，顶点处取最大值；若，函数开口向上，顶点处取最小值；若顶点横坐标不在定义域内，则最值在区间端点处取得。 · 数学符号/表达式：顶点横坐标，若，则；若，则或（为定义域端点） · 关键特征：必须结合几何图形的实际意义确定自变量的取值范围 · 跨章节关联：适用于二次函数区间最值、几何约束条件分析 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 面积最值的判断 开口向下时，顶点横坐标在定义域内则面积取最大值；开口向上时，顶点横坐标在定义域内则面积取最小值 忽略几何图形的实际约束，自变量取值超出合理范围；混淆开口方向与最值的对应关系 对比：（）开口向下，顶点在区间内，最大值；（）开口向上，最小值 面积函数的构建 需根据几何图形的边长、高、夹角等关系，利用面积公式推导函数解析式 错误使用几何面积公式；遗漏自变量的实际限制条件 矩形长，宽，面积，自变量的范围应为，而非全体实数 三、题型分类与例题精析 题型1：矩形面积最优化问题 题型特征：已知矩形的周长或边长的约束条件，求矩形面积的最大值或最小值 解题步骤： 1. 设矩形的一边长为，根据约束条件表示出另一边长； 2. 根据矩形面积公式构建二次函数； 3. 确定自变量的定义域，计算二次函数的最值。 例题1 用一根长为的铁丝围成一个矩形，求矩形面积的最大值及此时矩形的长和宽。 解析：设矩形的长为，则宽为 自变量的定义域为 面积函数 ，函数开口向下，顶点横坐标 ，此时面积最大值 对应的宽为 答案：矩形面积最大值为，此时长和宽均为（为正方形） 举一反三1-1 用一根长为的铁丝围成一个矩形，且矩形的长不小于宽的2倍，求矩形面积的最大值。 解析：设矩形的宽为，则长为 根据约束条件：，定义域为 面积函数 顶点横坐标，不在定义域内 函数在上单调递增，故最大值在处取得 答案：矩形面积最大值为 举一反三1-2 已知矩形的一边长为，对角线长为，求矩形面积的最大值。 解析：设矩形的另一边长为，由勾股定理得 面积，由基本不等式，也可构建二次函数求解 ，，换元令， 顶点，此时，， 答案：矩形面积最大值为 举一反三1-3 某矩形菜园一面靠墙，墙长，另外三面用总长为的篱笆围成，求菜园面积的最大值。 解析：设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为 约束条件：，且，定义域为 面积函数 顶点横坐标，在定义域内 答案：菜园面积最大值为 题型2：三角形面积最优化问题 题型特征：已知三角形的边长、周长或高的约束条件，求三角形面积的最大值或最小值 解题步骤： 1. 设三角形的某一边长或高为，根据约束条件表示出相关的边长或高； 2. 根据三角形面积公式构建二次函数； 3. 确定自变量的定义域，求解二次函数的最值。 例题2 已知三角形的底边长为，底边上的高为，求三角形面积的最大值。 解析：三角形面积公式 面积函数 自变量的定义域为 ，函数开口向下，顶点横坐标 ，此时面积最大值 答案：三角形面积最大值为 举一反三2-1 已知等腰三角形的周长为，设底边长为，求三角形面积的最大值。 解析：等腰三角形的腰长为 根据三角形三边关系：，定义域为 底边上的高 面积函数，换元令， ，求导或用二次函数方法，当时， 答案：三角形面积最大值为 举一反三2-2 已知直角三角形的一条直角边长为，斜边长为，求三角形面积的最大值。 解析：另一条直角边长为，定义域 面积函数， 令，，顶点，此时 答案：三角形面积最大值为 举一反三2-3 已知三角形的两边长分别为和，夹角为（），求三角形面积的最大值。 解析：三角形面积公式 的最大值为（当时），此时 也可转化为二次函数模型，设夹角邻边为，用余弦定理推导，结果一致 答案：三角形面积最大值为 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 用一根长的铁丝围成一个矩形，矩形面积的最大值为（） A. B. C. D. 解析：设长为，宽为，面积，顶点， 答案：A 2. 多选题 关于二次函数面积最优化问题，下列说法正确的有（） A. 面积函数开口向下时一定存在最大值 B. 顶点横坐标必须在定义域内才能取到最值 C. 矩形周长固定时，正方形面积最大 D. 三角形的两边长固定时，夹角为直角时面积最大 解析：A正确；B错误，顶点不在定义域时端点取最值；C正确；D正确 答案：ACD 3. 填空题 某矩形菜园一面靠墙，墙长，另三边用总长的篱笆围成，设与墙垂直的边长为，则菜园面积的最大值为__________ 解析：面积，顶点，， 答案： 4. 解答题 (1) 已知三角形的底边长为，底边上的高为，求三角形面积的最大值。 解析：，顶点， 答案： (2) 用长的铁丝围成一个矩形，且长比宽多，求矩形的面积。 解析：设宽为，长为，，长为，面积 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知直角三角形的周长为，一条直角边长为，斜边长为，则该三角形面积的最大值为（） A. B. C. D. 解析：另一条直角边长为，或，面积 答案：A 2. 多选题 某矩形场地的面积函数为（），则下列说法正确的有（） A. 顶点横坐标为 B. 面积最大值为 C. 面积最小值为 D. 函数在上单调递增 解析：顶点，，，，最小值为，函数在递增 答案：ABCD 3. 填空题 等腰三角形的腰长为，底边长为，则三角形面积的最大值为__________ 解析：高，面积，，顶点，， 答案： 4. 解答题 (1) 某矩形花圃的一边靠墙，墙长，另三边用总长的篱笆围成，要使花圃面积不小于，求与墙垂直的边长的取值范围。 解析：面积，同时，故 答案： (2) 已知三角形的两边长为和，夹角为，求三角形面积的最大值及此时的大小。 解析：，最大值为，此时， 答案：最大值， （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 用总长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），中间用一道篱笆隔成两个小矩形，设与墙垂直的边长为，则养鸡场面积的最大值为（） A. B. C. D. 解析：与墙平行的边长为，面积，顶点，（此题选项有误，按正确计算应为，若按选项选最接近的则无，实际计算过程正确） 答案：无正确选项（实际最大值为） 2. 多选题 已知面积函数（）的最大值为，则可能的区间为（） A. B. C. D. 解析：顶点，，区间需包含，ABC均包含，D也包含，全部正确 答案：ABCD 3. 填空题 已知直角三角形的面积为，斜边长为，则的最大值为__________ 解析：设直角边为，， 答案： 4. 解答题 (1) 某农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边靠墙，另外三边用长的篱笆围成，墙长，若猪舍的面积为，求猪舍的长和宽。 解析：设与墙垂直的边长为，则长为，或，当时，长为（舍去）；当时，长为，符合条件 答案：长，宽 (2) 已知等腰三角形的顶角为，腰长为，求三角形面积的最大值及此时的取值。 解析：面积，最大值为，此时， 答案：最大值， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 49.二次函数面积最优化实际应用题型【中档】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】二次函数面积模型 · 定义表述：在几何图形中，若某一图形的面积可表示为某一变量的二次函数（），则可通过二次函数的最值性质求解面积的最大值或最小值。 · 数学符号/表达式：设自变量为，面积为，则（，，为实际意义下的定义域） · 关键特征：面积的最值由二次函数的开口方向和顶点横坐标是否在定义域内共同决定 · 跨章节关联：适用于二次函数最值、平面几何图形面积计算、实际应用题建模 2. 【概念2】面积最优化的二次函数求解条件 · 定义表述：对于面积函数（），若，函数开口向下，顶点处取最大值；若，函数开口向上，顶点处取最小值；若顶点横坐标不在定义域内，则最值在区间端点处取得。 · 数学符号/表达式：顶点横坐标，若，则；若，则或（为定义域端点） · 关键特征：必须结合几何图形的实际意义确定自变量的取值范围 · 跨章节关联：适用于二次函数区间最值、几何约束条件分析 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 面积最值的判断 开口向下时，顶点横坐标在定义域内则面积取最大值；开口向上时，顶点横坐标在定义域内则面积取最小值 忽略几何图形的实际约束，自变量取值超出合理范围；混淆开口方向与最值的对应关系 对比：（）开口向下，顶点在区间内，最大值；（）开口向上，最小值 面积函数的构建 需根据几何图形的边长、高、夹角等关系，利用面积公式推导函数解析式 错误使用几何面积公式；遗漏自变量的实际限制条件 矩形长，宽，面积，自变量的范围应为，而非全体实数 三、题型分类与例题精析 题型1：矩形面积最优化问题 题型特征：已知矩形的周长或边长的约束条件，求矩形面积的最大值或最小值 解题步骤： 1. 设矩形的一边长为，根据约束条件表示出另一边长； 2. 根据矩形面积公式构建二次函数； 3. 确定自变量的定义域，计算二次函数的最值。 例题1 用一根长为的铁丝围成一个矩形，求矩形面积的最大值及此时矩形的长和宽。 举一反三1-1 用一根长为的铁丝围成一个矩形，且矩形的长不小于宽的2倍，求矩形面积的最大值。 举一反三1-2 已知矩形的一边长为，对角线长为，求矩形面积的最大值。 举一反三1-3 某矩形菜园一面靠墙，墙长，另外三面用总长为的篱笆围成，求菜园面积的最大值。 题型2：三角形面积最优化问题 题型特征：已知三角形的边长、周长或高的约束条件，求三角形面积的最大值或最小值 解题步骤： 1. 设三角形的某一边长或高为，根据约束条件表示出相关的边长或高； 2. 根据三角形面积公式构建二次函数； 3. 确定自变量的定义域，求解二次函数的最值。 例题2 已知三角形的底边长为，底边上的高为，求三角形面积的最大值。 举一反三2-1 已知等腰三角形的周长为，设底边长为，求三角形面积的最大值。 举一反三2-2 已知直角三角形的一条直角边长为，斜边长为，求三角形面积的最大值。 举一反三2-3 已知三角形的两边长分别为和，夹角为（），求三角形面积的最大值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 用一根长的铁丝围成一个矩形，矩形面积的最大值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于二次函数面积最优化问题，下列说法正确的有（） A. 面积函数开口向下时一定存在最大值 B. 顶点横坐标必须在定义域内才能取到最值 C. 矩形周长固定时，正方形面积最大 D. 三角形的两边长固定时，夹角为直角时面积最大 3. 填空题 某矩形菜园一面靠墙，墙长，另三边用总长的篱笆围成，设与墙垂直的边长为，则菜园面积的最大值为__________ 4. 解答题 (1) 已知三角形的底边长为，底边上的高为，求三角形面积的最大值。 (2) 用长的铁丝围成一个矩形，且长比宽多，求矩形的面积。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知直角三角形的周长为，一条直角边长为，斜边长为，则该三角形面积的最大值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 某矩形场地的面积函数为（），则下列说法正确的有（） A. 顶点横坐标为 B. 面积最大值为 C. 面积最小值为 D. 函数在上单调递增 3. 填空题 等腰三角形的腰长为，底边长为，则三角形面积的最大值为__________ 4. 解答题 (1) 某矩形花圃的一边靠墙，墙长，另三边用总长的篱笆围成，要使花圃面积不小于，求与墙垂直的边长的取值范围。 (2) 已知三角形的两边长为和，夹角为，求三角形面积的最大值及此时的大小。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 用总长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），中间用一道篱笆隔成两个小矩形，设与墙垂直的边长为，则养鸡场面积的最大值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知面积函数（）的最大值为，则可能的区间为（） A. B. C. D. 3. 填空题 已知直角三角形的面积为，斜边长为，则的最大值为__________ 4. 解答题 (1) 某农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边靠墙，另外三边用长的篱笆围成，墙长，若猪舍的面积为，求猪舍的长和宽。 (2) 已知等腰三角形的顶角为，腰长为，求三角形面积的最大值及此时的取值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $