48.二次函数利润最大化实际应用题型【中档】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类特色专项训练 48.二次函数利润最大化实际应用题型【中档】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】利润函数模型 · 定义表述：在经济生活中，利润等于总销售收入减去总成本，若销售收入和成本均为销售量的二次函数或一次函数，则利润可表示为销售量的二次函数。 · 数学符号/表达式：设销售量为，销售收入为，成本为，利润为，则 · 关键特征：利润函数常为二次函数（），其最值由开口方向和顶点横坐标决定 · 跨章节关联：适用于二次函数的最值求解、一元二次方程的实际应用 2. 【概念2】二次函数利润最大化条件 · 定义表述：对于利润函数（），当且该值在实际销售量的取值范围内时，利润取得最大值。 · 数学符号/表达式： · 关键特征：需验证顶点横坐标是否在实际定义域内，若不在则需比较区间端点的函数值 · 跨章节关联：适用于二次函数的定义域与值域、区间最值问题 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 利润最大化的核心 利润函数开口向下时，顶点横坐标在定义域内则顶点处取最大值；否则取区间端点值 忽略实际定义域限制，直接用顶点横坐标求最值；混淆销售收入与单件利润的关系 对比：，定义域，顶点在区间内，最大值为；定义域，最大值为 利润函数的构建 利润 = 单件利润 × 销售量 = 销售收入 - 总成本 误将单件利润与销售量的一次关系直接当作利润函数，遗漏成本中的固定成本 某商品单件利润，销售量，固定成本，利润函数应为，而非 三、题型分类与例题精析 题型1：已知单件利润与销售量关系的利润最大化问题 题型特征：题目给出单件利润随销售量的变化关系，含或不含固定成本，求最大利润及对应销售量 解题步骤： 1. 根据题意设销售量为，列出单件利润表达式； 2. 构建利润函数单件利润固定成本； 3. 确定函数定义域，判断顶点横坐标是否在定义域内，计算最大利润。 例题1 某商店销售一款文具，若销售量为件（且），则单件利润为元，且销售该文具的固定成本为元。 (1) 求利润关于的函数解析式； (2) 当销售量为多少时，利润最大？最大利润为多少？ 解析：(1) 利润 = 单件利润 × 销售量 - 固定成本 定义域为 (2) 二次函数，，开口向下 顶点横坐标 且为正整数，符合定义域要求 最大利润 综上，当销售量为75件时，利润最大，最大利润为1025元 答案：(1) （）；(2) 75件，最大利润1025元 举一反三1-1 某水果摊销售草莓，销售量千克（且）时，单件利润为元，无固定成本。 (1) 求利润函数的解析式； (2) 求最大利润及对应销售量。 解析：(1) （） (2) 顶点横坐标，在定义域内 答案：(1) （）；(2) 销售量25千克，最大利润312.5元 举一反三1-2 某服装店销售T恤，固定成本200元，销售量件（）时，单件利润为元。求最大利润及对应销售量。 解析：利润函数 顶点横坐标，在内 验证端点：， 故最大值为200元 答案：销售量20件，最大利润200元 举一反三1-3 某文具店销售笔记本，销售量本（）时，单件利润为元，固定成本50元。求最大利润。 解析： 顶点横坐标，不在定义域内 函数在上单调递减，故最大值在处 答案：最大利润-10元（即最小亏损10元） 题型2：已知价格与销售量关系的利润最大化问题 题型特征：题目给出商品单价随销售量的变化关系，同时给出单件成本，求最大利润 解题步骤： 1. 设销售量为，根据单价与销售量的关系列出销售收入； 2. 计算总成本单件成本固定成本； 3. 构建利润函数，求区间内的最大值。 例题2 某商店销售一款玩具，当销售量为件（）时，单价为元，单件成本为20元，无固定成本。 (1) 求利润函数解析式； (2) 求最大利润及对应销售量。 解析：(1) 销售收入，成本 利润 定义域 (2) 顶点横坐标，在定义域内 答案：(1) （）；(2) 销售量80件，最大利润3200元 举一反三2-1 某超市销售饮料，销售量瓶（）时，单价为元，单件成本1元，固定成本100元。求最大利润。 解析：， 顶点横坐标，不在内 函数在上单调递增，最大值在处 答案：最大利润275元 举一反三2-2 某书店销售教辅书，销售量本（）时，单价为元，单件成本20元，固定成本300元。求最大利润及对应销售量。 解析：， 顶点横坐标，在定义域内 验证端点： 答案：销售量20本，最大利润100元 举一反三2-3 某水果店销售橙子，销售量千克（）时，单价为元，单件成本4元，无固定成本。求最大利润。 解析： 顶点横坐标，在定义域内 答案：最大利润80元 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 某商品利润函数为（），则最大利润为（） A. 50 B. 45 C. 60 D. 55 解析：顶点横坐标，在定义域内， 答案：A 2. 多选题 关于二次函数利润最大化问题，下列说法正确的有（） A. 利润函数开口必须向下才存在最大值 B. 顶点横坐标在定义域内时，顶点处取最大利润 C. 固定成本不影响利润函数的顶点横坐标 D. 单件利润与销售量成一次函数关系时，利润函数一定是二次函数 解析：A正确，开口向上无最大值；B正确；C正确，固定成本是常数项，不影响顶点横坐标；D正确，为二次函数 答案：ABCD 3. 填空题 某商品利润函数（），则最大利润为__________ 解析：顶点横坐标， 答案：250 4. 解答题 (1) 某商店销售台灯，单件利润元，销售量件（），无固定成本。求最大利润。 解析：，顶点， 答案：562.5元 (2) 某文具店销售钢笔，固定成本100元，销售量件（）时，单件利润元。求最大利润。 解析：，顶点，取或 ， 答案：36.8元 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 某商品单价（元）与销售量（件）满足，单件成本20元，固定成本50元，定义域，则最大利润为（） A. 350 B. 300 C. 250 D. 400 解析：，顶点， 答案：D 2. 多选题 某商品利润函数，定义域，若最大利润为125，则可能的定义域区间为（） A. B. C. D. 解析：顶点，，定义域需包含，ABC均包含，D不包含 答案：ABC 3. 填空题 某商品销售量件（）时，利润函数，则最大利润为__________ 解析：顶点， 答案：100 4. 解答题 (1) 某超市销售零食，单价（为销售量，），单件成本3元，固定成本80元。求最大利润及对应销售量。 解析：，顶点， 答案：销售量70件，最大利润175元 (2) 某服装店销售外套，固定成本500元，销售量件（）时，单价，单件成本80元。求最大利润。 解析：，顶点，在定义域内 答案：1300元 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 某商品利润函数，定义域，若最大利润为250，则的最小值为（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析：顶点，，满足的只有15，故最小区间长度为1，选项中最小为2 答案：D 2. 多选题 某商品销售量与单价满足（），单件成本10元，无固定成本，利润最大值为400，则的可能取值为（） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.5 D. 1 解析：，最大值 答案：D 3. 填空题 某商品利润函数，定义域，若最大利润为100，则的取值范围为__________ 解析：顶点，，，，故 答案： 4. 解答题 (1) 某工厂生产零件，固定成本1000元，单件变动成本20元，销售量件（）时，单价。求最大利润。 解析：，顶点， 答案：3000元 (2) 某商店销售季节性商品，销售量件（）时，单件利润元，且销售量超过25件时，每多卖1件需额外支出仓储费2元。求最大利润。 解析：分两段： ① ：，顶点， ② ：，顶点，区间内单调递减， 故最大利润为225元 答案：225元 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类特色专项训练 48.二次函数利润最大化实际应用题型【中档】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】利润函数模型 · 定义表述：在经济生活中，利润等于总销售收入减去总成本，若销售收入和成本均为销售量的二次函数或一次函数，则利润可表示为销售量的二次函数。 · 数学符号/表达式：设销售量为，销售收入为，成本为，利润为，则 · 关键特征：利润函数常为二次函数（），其最值由开口方向和顶点横坐标决定 · 跨章节关联：适用于二次函数的最值求解、一元二次方程的实际应用 2. 【概念2】二次函数利润最大化条件 · 定义表述：对于利润函数（），当且该值在实际销售量的取值范围内时，利润取得最大值。 · 数学符号/表达式： · 关键特征：需验证顶点横坐标是否在实际定义域内，若不在则需比较区间端点的函数值 · 跨章节关联：适用于二次函数的定义域与值域、区间最值问题 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 利润最大化的核心 利润函数开口向下时，顶点横坐标在定义域内则顶点处取最大值；否则取区间端点值 忽略实际定义域限制，直接用顶点横坐标求最值；混淆销售收入与单件利润的关系 对比：，定义域，顶点在区间内，最大值为；定义域，最大值为 利润函数的构建 利润 = 单件利润 × 销售量 = 销售收入 - 总成本 误将单件利润与销售量的一次关系直接当作利润函数，遗漏成本中的固定成本 某商品单件利润，销售量，固定成本，利润函数应为，而非 三、题型分类与例题精析 题型1：已知单件利润与销售量关系的利润最大化问题 题型特征：题目给出单件利润随销售量的变化关系，含或不含固定成本，求最大利润及对应销售量 解题步骤： 1. 根据题意设销售量为，列出单件利润表达式； 2. 构建利润函数单件利润固定成本； 3. 确定函数定义域，判断顶点横坐标是否在定义域内，计算最大利润。 例题1 某商店销售一款文具，若销售量为件（且），则单件利润为元，且销售该文具的固定成本为元。 (1) 求利润关于的函数解析式； (2) 当销售量为多少时，利润最大？最大利润为多少？ 举一反三1-1 某水果摊销售草莓，销售量千克（且）时，单件利润为元，无固定成本。 (1) 求利润函数的解析式； (2) 求最大利润及对应销售量。 举一反三1-2 某服装店销售T恤，固定成本200元，销售量件（）时，单件利润为元。求最大利润及对应销售量。 举一反三1-3 某文具店销售笔记本，销售量本（）时，单件利润为元，固定成本50元。求最大利润。 题型2：已知价格与销售量关系的利润最大化问题 题型特征：题目给出商品单价随销售量的变化关系，同时给出单件成本，求最大利润 解题步骤： 1. 设销售量为，根据单价与销售量的关系列出销售收入； 2. 计算总成本单件成本固定成本； 3. 构建利润函数，求区间内的最大值。 例题2 某商店销售一款玩具，当销售量为件（）时，单价为元，单件成本为20元，无固定成本。 (1) 求利润函数解析式； (2) 求最大利润及对应销售量。 举一反三2-1 某超市销售饮料，销售量瓶（）时，单价为元，单件成本1元，固定成本100元。求最大利润。 举一反三2-2 某书店销售教辅书，销售量本（）时，单价为元，单件成本20元，固定成本300元。求最大利润及对应销售量。 举一反三2-3 某水果店销售橙子，销售量千克（）时，单价为元，单件成本4元，无固定成本。求最大利润。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 某商品利润函数为（），则最大利润为（） A. 50 B. 45 C. 60 D. 55 2. 多选题 关于二次函数利润最大化问题，下列说法正确的有（） A. 利润函数开口必须向下才存在最大值 B. 顶点横坐标在定义域内时，顶点处取最大利润 C. 固定成本不影响利润函数的顶点横坐标 D. 单件利润与销售量成一次函数关系时，利润函数一定是二次函数 3. 填空题 某商品利润函数（），则最大利润为__________ 4. 解答题 (1) 某商店销售台灯，单件利润元，销售量件（），无固定成本。求最大利润。 (2) 某文具店销售钢笔，固定成本100元，销售量件（）时，单件利润元。求最大利润。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 某商品单价（元）与销售量（件）满足，单件成本20元，固定成本50元，定义域，则最大利润为（） A. 350 B. 300 C. 250 D. 400 2. 多选题 某商品利润函数，定义域，若最大利润为125，则可能的定义域区间为（） A. B. C. D. 3. 填空题 某商品销售量件（）时，利润函数，则最大利润为__________ 4. 解答题 (1) 某超市销售零食，单价（为销售量，），单件成本3元，固定成本80元。求最大利润及对应销售量。 (2) 某服装店销售外套，固定成本500元，销售量件（）时，单价，单件成本80元。求最大利润。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 某商品利润函数，定义域，若最大利润为250，则的最小值为（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 多选题 某商品销售量与单价满足（），单件成本10元，无固定成本，利润最大值为400，则的可能取值为（） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.5 D. 1 3. 填空题 某商品利润函数，定义域，若最大利润为100，则的取值范围为__________ 4. 解答题 (1) 某工厂生产零件，固定成本1000元，单件变动成本20元，销售量件（）时，单价。求最大利润。 (2) 某商店销售季节性商品，销售量件（）时，单件利润元，且销售量超过25件时，每多卖1件需额外支出仓储费2元。求最大利润。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $