八年级数学上学期期末模拟卷03（新教材人教版八上全册：三角形+全等三角形+轴对称+整式乘法+因式分解+分式）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八上：三角形+全等三角形+轴对称+整式乘法+因式分解+分式 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 7．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 9．如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 10．如图，是的中线，点E是的三等分点（点E靠近A），F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．下列说法：①；②；③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．分解因式： ． 12．若分式的值为0，则的值为 ． 13．计算： ． 14．若，，则 ． 15．甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ． 16．如图，在等腰中，，于点D，E是上一动点，F是射线上一点，且，，当取得最小值时， ．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）先化简，再求值：，其中． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． (2)请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 20．（10分）如图，在中 ，，点D、E分别在上，且，连接 ，交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 21．（10分）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 22．（10分）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 23．（12分）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 24．（12分）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若交的延长线于点，求证：； (3)如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B A C B A A A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12． 13． 14．4 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解： ．……（4分） 当时，原式．……（6分） 18．（6分） 【详解】解： ，……（4分） 当时， 原式．……（6分） 19．（6分） 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：；……（2分） （2）解：如图所示，点即为所求．……（6分） 20．（10分） 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴ ∴ ∴……（5分） （2）证明：由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴．……（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；……（5分） （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品．……（10分） 22．（10分） 【详解】（1）原式 ；……（5分） （2） ， ， ，即， 时，有最大值．……（10分） 23．（12分） 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，．……（4分） （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50．……（8分） （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴．……（12分） 24．（12分） 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴……（4分） （2）解：如图，在上取一点，使得，连接， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设， 由（1）可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∴，……（8分） （3）解：如图，过点作交的延长线于点，在上取一点，使得，连接， 由（2）可知 ∴ 由（1）可知 ∴ ∴， ∵， ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴．……（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八上：三角形+全等三角形+轴对称+整式乘法+因式分解+分式 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 7．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 9．如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 10．如图，是的中线，点E是的三等分点（点E靠近A），F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．下列说法：①；②；③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．分解因式： ． 12．若分式的值为0，则的值为 ． 13．计算： ． 14．若，，则 ． 15．甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ． 16．如图，在等腰中，，于点D，E是上一动点，F是射线上一点，且，，当取得最小值时， ．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）先化简，再求值：，其中． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． (2)请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 20．（10分）如图，在中 ，，点D、E分别在上，且，连接 ，交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 21．（10分）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 22．（10分）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 23．（12分）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 24．（12分）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若交的延长线于点，求证：； (3)如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八上：三角形+全等三角形+轴对称+整式乘法+因式分解+分式 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：变形为整式乘法，不是因式分解； 选项C：变形为整式乘法，不是因式分解； 选项D：右边为，是积的形式，符合因式分解． 故选D． 3．下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，利用能判断，故本选项正确； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，不能判断，故本选项错误； 故选：B． 4．将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：题图①中，题图②中阴影部分为一个平行四边形，底为、高为， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【答案】B 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 7．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 8．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【答案】A 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A． 9．如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 【答案】A 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 10．如图，是的中线，点E是的三等分点（点E靠近A），F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．下列说法：①；②；③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，①正确， ②∵， ∴， ∴ ，②正确 ③， ∵， ∴， ∴，③正确； ④∵点E是的三等分点（点E靠近A），是的中线， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴与的面积之比是，④错误． 综上所述，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．分解因式： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 12．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴或，且， ∴. 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 14．若，，则 ． 【答案】4 【详解】解：由平方差公式，得． 代入已知条件，，解得． 故答案为4． 15．甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ． 【答案】 【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件， 则甲做180个零件的时间为小时，乙做240个零件的时间为小时． 由题意，甲的时间比乙的时间少小时，即． 故答案为：． 16．如图，在等腰中，，于点D，E是上一动点，F是射线上一点，且，，当取得最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：过点A作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， 当G、E、C三点共线时，的值最小，即点与重合，点F与重合， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ．……（4分） 当时，原式．……（6分） 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【详解】解： ，……（4分） 当时， 原式．……（6分） 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． (2)请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：；……（2分） （2）解：如图所示，点即为所求．……（6分） 20．（10分）如图，在中 ，，点D、E分别在上，且，连接 ，交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴ ∴ ∴……（5分） （2）证明：由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴．……（10分） 21．（10分）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；……（5分） （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品．……（10分） 22．（10分）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【详解】（1）原式 ；……（5分） （2） ， ， ，即， 时，有最大值．……（10分） 23．（12分）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，．……（4分） （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50．……（8分） （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴．……（12分） 24．（12分）如图，在等边中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若交的延长线于点，求证：； (3)如图3，点在的延长线上，，若，用表示的值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴……（4分） （2）解：如图，在上取一点，使得，连接， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设， 由（1）可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∴，……（8分） （3）解：如图，过点作交的延长线于点，在上取一点，使得，连接， 由（2）可知 ∴ 由（1）可知 ∴ ∴， ∵， ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴．……（12分） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $