专题08 一次函数几何综合题分类训练（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题08 一次函数几何综合题分类训练 （6种类型48道） 1．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A，C，一次函数的图象与的图象交于点，与轴相交于点．地 城 类型01 一次函数相关最值问题 (1)求的值及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)点是轴上的一个动点，直接写出的最小值． 2．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且 ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示） ②如图2，连接，探究当取最小值时，直线与轴的夹角（锐角）是多少度？ 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，点为轴负半轴上一点，且满足． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点是线段的中点，点，分别是线段，上的两个动点．连接，，，当时，求点的坐标和周长的最小值； (3)若点是轴上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 4．如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 5．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中，． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)如图，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 6．如图，在直角坐标系中，直线解析式为，经过点且与y轴交于点C，与x轴交于点E，过点A的直线与y轴交于点． (1)求m的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值； (3)在x轴上是否存在点D，使，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 8．如图，点，点，，线段的端点P从点A出发沿线段向点B运动，同时另一端点Q随之只在x轴上运动，运动过程中Q点始终不在P点左边，当P点到达B点后，P，Q两点都停止运动，设点Q的坐标为 ． (1)求直线的表达式； (2)求m的最大值； (3)求点Q运动的总路程； (4)当P点的横坐标为时，求与y轴的交点坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是直线上的一个动点，且不与点O重合，连接．地 城 类型02 存在性问题角度相关 (1)求直线l的表达式： (2)若的面积为，求点P的坐标； (3)探究是否存在点P，使得?若存在，请求出此时点P的纵坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．已知． (1)求直线的解析式； (2)若平面直角坐标系内有一点，使得，请直接写出点P的坐标； (3)线段OA上是否存在一个点M，使得?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 12．如图1，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点． (1)求a的值和一次函数的表达式； (2)如图2，若y轴的正半轴上有一点C，使得的面积是的面积的2倍，在x轴有一动点M，求的最小值； (3)如图3，试探究在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．在平面直角坐标系中，点的垂直平分线交于点，交于点，点是直线上一点，且点在点的上方，． (1)求点的坐标： (2)求点的坐标； (3)在第一象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且．若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点是线段上的一动点，连接、，点、分别是轴和轴上的两个动点，连接、、，当，求点的坐标及的最小值； (3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，连接，在轴是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点是线段上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接． (1)求点、点的坐标； (2)若点落在线段上，求点的坐标； (3)在轴是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标． 16．在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，，的面积等于24． (1)求点B的坐标； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，运动时间为秒，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接AE．若的面积为S，请用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 17．如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．地 城 类型03 存在性问题全等三角形相关 (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标； (3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值； (2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； (3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 22．在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)在y轴上有一点，在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当的面积为16时，确定直线的表达式； (3)若点P为点B上方y轴上的点，在直线上是否存在点Q使得与全等，若存在，求出此时点Q的坐标． 23．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 24．如图所示，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，点A为y轴上定点． (1)请求出直线的解析式； (2)若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标； (3)在（2）问条件下，点F在第一象限时，在平面内有点H（不与F重合），以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 25．如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，．地 城 类型04 存在性问题等腰三角形相关 (1)求k的值； (2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值； (3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长． (2)求点的坐标． (3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 27．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式； (2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 28．如图，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，是线段上的一个动点（与点不重合），连接． (1)求直线的解析式； (2)设动点的横坐标为，的面积为． ①求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，轴上存在点，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标． 29．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数 的图象相交于点过点作 x 轴的平行线，分别交 y=kx 的图象于点 B，交的图象于点 C，连接 OC (1)求 t与 k的值； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，直接写出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 31．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点， D（0，6）且 (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点P为直线AB上一点，连接PC，PD，当时，求此时P点的坐标； (3)若点E为直线y=x-4上一动点，是否存在点E使ΔABE是以BE为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标，并写出其中一个点E的求解过程；若不存在，请说明理由． 32．如图，在直角坐标系中，直线过点和点，直线过点，两直线相交于点 (1)求和的表达式； (2)求不等式的解集； (3)连接，求的面积； (4)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请写出所有满足条件的点P的坐标． 33．如图，已知直线：经过点，交轴于点，交轴于点，直线交直线于点，点到轴的距离为．地 城 类型05 存在性问题直角三角形相关 (1)求直线的函数表达式和点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点．一次函数交x轴于点D，过x轴上的动点P作x轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象于点C，连接． (1)求这两个函数的表达式； (2)若点，求的面积； (3)在x轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点P的坐标为 时，的面积被直线分成的两部分． 35．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①求的面积S与时间t的关系式； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 36．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点．直线与x轴交于点D．点P是射线上的一个动点，且点P从点D出发以每秒2个单位长度匀速运动．设点P的运动时间为． (1)求两条直线的关系式； (2)当的面积为15时，求t的值； (3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 37．如图，直线交轴于点，交轴于点，点在直线的上方． (1)若，求的值； (2)是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，A，B是直线与两坐标轴的交点，直线过点A，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标． (2)点D是折线上一动点． ①尺规作图：当点D是线段的中点时，在如图1中的y轴上找一点E，使最小（用无刻度的直尺和圆规画出点E的位置，保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标； ②探究是否存在点D，使为直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 40．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的横坐标为2． (1)用待定系数法求直线的表达式： (2)如图1，点为直线上一点，若，求点的坐标： (3)如图2，点为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点． ①当点落在轴上时，请直接写出点的坐标； ②若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 41．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2．地 城 类型06 存在性问题面积相关 (1)求一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点． (1)点A的坐标是______，点B的坐标是_____； (2)若点是直线上的一点，则直线的解析式是______； (3)在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 43．在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点， ①求线段的长度， ②若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 44．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，B，直线分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线与直线交于点． (1)求直线与的函数表达式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 45．如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2． (1)关于x，y的方程组的解是______． (2)求直线的关系式 (3)求的面积． (4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 48．如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标及直线的表达式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点P，使得的面积是面积的2倍？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一次函数几何综合题分类训练 （6种类型48道） 1．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A，C，一次函数的图象与的图象交于点，与轴相交于点．地 城 类型01 一次函数相关最值问题 (1)求的值及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)点是轴上的一个动点，直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2)18 (3) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，得到的最小值即为，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴的面积； （3）解：作点关于轴的对称点，连接，则，，作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且 ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示） ②如图2，连接，探究当取最小值时，直线与轴的夹角（锐角）是多少度？ 【答案】(1)点的坐标为 (2)①点的坐标为 ②直线与轴的夹角（锐角）为 【分析】本题考查了绝对值的性质、平面直角坐标系中点的坐标求解、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂线段最短的应用，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段与角度关系，结合坐标特征分析点的轨迹与线段最值． （1）利用绝对值的非负性求的值，得点坐标； （2）①作辅助线构造全等三角形，结合平行线的内错角性质推导点坐标； ②确定点的运动轨迹，利用垂线段最短分析最小值时直线与轴的夹角． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴点的坐标为． （2）①解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∵，， ∴（）， ∴，， ∴， ∵，轴为截线， ∴（两直线平行，内错角相等）． 在和中： ∴（）， ∴． 又∵在轴负半轴， ∴点的坐标为． ②解：由①知，即点的纵坐标比横坐标大4， ∴点在直线上． 根据垂线段最短，的最小值为原点到直线的垂线段长度． 直线与轴交于，与轴交于， ∴该直线与轴、轴围成的三角形为等腰直角三角形，其与轴的夹角为． ∵垂直于直线， ∴直线与轴的夹角（锐角）为． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，点为轴负半轴上一点，且满足． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点是线段的中点，点，分别是线段，上的两个动点．连接，，，当时，求点的坐标和周长的最小值； (3)若点是轴上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）分别把、代入求得、，进而求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设，先整理，根据，且，得，解得，即，过点E作轴的对称点，记为，连接交轴于一点，连接，此时周长最小，且周长最小，运用勾股定理列式计算，得，，即可作答． （3）在x轴上取点，连接，过点C作轴，由等腰直角三角形的性质可得，求得，作的角平分线交x轴于点P，则，求得，再根据三角形外角的性质证得，再根据等腰三角形的判定得，再利用勾股定理求解，作点P关于y轴的对称点，此时，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于点， ∴令，即； ∴令，即； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴， 设直线的解析式为 把，分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∴， ∵点是线段的动点，且线段的解析式为， ∴设， 连接，如图所示： ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 即， 点是线段的中点，， ∴， ∴， 过点E作轴的对称点，记为， 即， 连接交轴于一点，连接， ∴， 此时周长最小，且周长最小 ∵，， ∴， ∵ ∴ 则周长最小； （3）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 即， 在x轴上取点，连接，过点C作轴， ∵，且， ∴， ∵轴， ∴，， 作的角平分线交x轴于点P， 则， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， 作点P关于y轴的对称点，此时， ∴点P坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、用待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的性质、勾股定理、轴对称的性质及角平分线的定义，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 4．如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)，；求解过程见解析 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数解析式的求解，一次函数的图像平移，熟练掌握一次函数函数的性质是解决本题的关键． （1）先由直线：求出A、B两点的坐标，再根据可求解C点的坐标，将B、C两点代入即可求解； （2）构造辅助线，利用面积求解点H的坐标，当点，Q，G三点共线时，即可求得最小值； （3）先求解出直线的解析式，再根据点M在点E的右侧即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：交坐标轴于A、B两点， 令，解得，即， 令，即，解得，即， ∵， ∴， ∵直线：过点B交y轴于点C， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：过点H作y轴平行线交直线BC于点K，如图， 设H点得坐标为，则K点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴H点的坐标为， 将点H沿着y轴向下平移个单位得到点， 作点关于y轴的对称点，连接，， ∴点的坐标为， 由题意知点G坐标为， ∴， 当点，Q，G三点共线时取等号， ∴的最小值为，当点，Q，G三点共线时取得最小值． （3）解：， 由题意知：直线的解析式为：， 当点M在点E的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 令：，得：， 解得， ∴． 5．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中，． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)如图，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，点代入求出，，进而可得直线的表达式；过点作轴于点，证明和全等得，，则，由此可得点的坐标； （2）延长到，使，连接交于点，连接，则是线段的垂直平分线，进而得，则，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，则当，，共线时，为最小，此时点与点重合，再分别求出点，点，利用待定系数法求出直线的表达式为，解方程组可得点的坐标； （3）在的条件下，直线的表达式为，点，设点的坐标为，先求出，进而得，过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点M作于点，连接，再求出点，由此得，，，则，因此线段上不存在点，所以有以下两种情况：当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为；当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为，综上所述即可得出答案 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 直线与轴交于点，与轴交于点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 过点作轴于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形，且，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点，点， ，， ，， ， 点的坐标为； （2）解：延长到，使，连接交于点，连接，如图所示： ， 是线段的垂直平分线， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，共线时，为最小，最小值为线段的长， 此时点与点重合， 点，点，点是的中点， 点的坐标为， 点，点，点是的中点， 点的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， 直线的表达式为：， 解方程组：，得：， 点的坐标为， 当为最小时，点与点重合， 点的坐标为； （3）解：点的坐标为或，理由如下： 在的条件下， 直线的表达式为：，点为， 设点的坐标为， ，， ， ， 过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图所示： 点， 点的横坐标为， 对于，当时，， 点， 点，点为， ，，， ， ， 线段上不存在点，使， 有以下两种情况： 当点在的延长线上时，过点作于点，如图所示： 点， ， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为； 当点在的延长线上时，过点作于点，图所示： ， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 6．如图，在直角坐标系中，直线解析式为，经过点且与y轴交于点C，与x轴交于点E，过点A的直线与y轴交于点． (1)求m的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值； (3)在x轴上是否存在点D，使，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的最值问题，一次函数与坐标轴的交点问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）把点代入中，求出m的值；再设直线的函数表达式为：，利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征，得到，，进而得到，利用一次函数的最值求解即可； （3）先求出点C的坐标为，点E的坐标为，再设点D的坐标为，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得； 设直线的函数表达式为：， 把，代入得： ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵点在线段上， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴随t的增大而减小， ∴当，的最大值为． （3）解：在解析式中，令，得，令，得， ∴点C的坐标为，点E的坐标为， 设点D的坐标为，则 ， ∴， ∴或， ∴，， ∴或． 7．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键． （1）将点坐标代入解析式可求的值； （2）由点在直线上可得点坐标，由三角形面积公式可求与的函数关系式； （3）根据（2）中解析式，点的横坐标取值范围即可求面积的最大值． 【详解】（1）解：直线过点， ， ； （2）解：∵点的坐标为， ∴， 点在直线上， 点， ， ， 点在线段上的一个动点， ； （3）解：点是线段上的一个动点，，且， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 8．如图，点，点，，线段的端点P从点A出发沿线段向点B运动，同时另一端点Q随之只在x轴上运动，运动过程中Q点始终不在P点左边，当P点到达B点后，P，Q两点都停止运动，设点Q的坐标为 ． (1)求直线的表达式； (2)求m的最大值； (3)求点Q运动的总路程； (4)当P点的横坐标为时，求与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)6 (4)当P点的横坐标为时，PQ与y轴的交点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）设直线的表达式为，代入点，点，用待定系数法即可求解； （2）当时，m的值才最大，）当时，证明，即可得到的最大值为，从而得到最大值为4； （3）点的运动轨迹为：从点)到点再到点，故运动的总路程为． （4）先求出点坐标，作轴于点H，在中，由勾股定理有：，故，用待定系数法可求得的表达式为，从而可知与轴的交点坐标为． 【详解】（1）解：设直线的表达式为，代入点，点， ∴， 解得， 所以直线的表达式为：． （2）解：∵Q点始终不在P点左边，当P点在A点时，，故， 当P点在B点时，，故． 若要m的值最大，即当时，m的值才最大． 当时，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故m的值最大为4； （3）解：∵点Q运动的轨迹为：从点)到点再到点， 故运动的总路程为． （4）解：把x代入中，得， 故 作轴于点H，如图所示， 在中，由勾股定理有：， 故， 设直线的表达式为， 则， 解得， 所以， 故当P点的横坐标为时，与y轴的交点坐标为． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是直线上的一个动点，且不与点O重合，连接．地 城 类型02 存在性问题角度相关 (1)求直线l的表达式： (2)若的面积为，求点P的坐标； (3)探究是否存在点P，使得?若存在，请求出此时点P的纵坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)存在；点P的纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出直线与的交点，可判定这两直线垂直，再设，由面积关系求得，再由建立方程即可求解； （3）在上取点D，使，连接，过点D作于点E，则，由，则，由（2）知，得，通过计算知，利用面积关系得，从而求得；设，则，从而得，解方程求得a，从而求解． 【详解】（1）解：把，分别代入中，得， 解得：， ∴直线l的表达式为： （2）解：设直线l与直线交于点C，如图， 联立与，即， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，而， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在点P，使得； 如图，在上取点D，使，连接，过点D作于点E， ∵由（2）知，又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 设，则， ∴， 解方程得或， 则或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，求两直线的交点，勾股定理，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．已知． (1)求直线的解析式； (2)若平面直角坐标系内有一点，使得，请直接写出点P的坐标； (3)线段OA上是否存在一个点M，使得?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点坐标为或 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）求出，，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）过B点作直线的平行线为，P点在直线上；直线关于直线的对称直线为，P点在直线上； （3）在x轴上取点H，连接BH，使，过点H作交直线BG于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴，则≌，设，求得，再由G点在直线上，求出n，则，推导出，求出直线与直线的交点即为 【详解】（1）解：， ，， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （2）过B点作直线的平行线为， ， 点在直线上， ， ， ； 直线关于直线的对称直线为， ， 点在直线上， ， ； 综上所述：P点坐标为或； （3）存在点M，理由如下： 在x轴上取点H，连接，使， 过点H作交直线于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴， ， ， ， ， ， ≌， ，， 设， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 与x轴的交点为， 直线的解析式为， 当时，， 11．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点，直线的表达式为：． (2)点E的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图象及性质，勾股定理，直角三角形的性质，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）分时，时两种情况，分别求出点E的坐标； （3）设点的坐标为，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）当中时，，解得 ∴， 当中时，，解得 ∴， 当时，为直角三角形， 此时，则， 故； 当时，为直角三角形，过作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，得， ∴， 综上，点E的坐标为或； （3）存在，理由： 当点P在y轴左侧时， ∵，则， 即， 设， 由点A，P，C的坐标得，，， 得，即点； 当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时 综上，存在，点的坐标为或 12．如图1，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点． (1)求a的值和一次函数的表达式； (2)如图2，若y轴的正半轴上有一点C，使得的面积是的面积的2倍，在x轴有一动点M，求的最小值； (3)如图3，试探究在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点M的坐标为或． 【分析】（1）将点代入正比例函数中可求解a的值，再将点A与点B代入一次函数中，由此可求； （2）先求出的面积，设出点C的坐标，由面积之间的关系可求解点C的坐标，再由“三点共线”即可求解最小值； （3）当点在轴的正半轴时，过作轴于，轴于，连接，四边形是正方形，在轴上取，连接，则，，分别求出，，再由，求出即可求点的坐标为；当点轴负半轴上时，作关于直线的对称点，由对称性可知点在轴上，则，直线的解析式为，直线与轴的交点为． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上， ∴，即， ∴点， ∵点与点在一次函数上， ∴，解得， ∴； （2）解：∵点，点， ∴，点A的纵坐标为4， ∴， 设点， ∵， ∵的面积是的面积的2倍， ∴, ∴， 即， ∴， 解得， ∴点， 作点关于x轴的对称点， 过点A作轴交y轴于点D，连接交x轴于点M，如图， 当点A，点M，点三点共线时，最小，即， ∵，， 在中，， ∴的最小值为； （3）解：存在， 当点在轴的正半轴时，过作轴于，轴于，连接， ， 点在直线上， ， 四边形是正方形， ， 在轴上取，连接， 则， ，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； 当点轴负半轴上时，作关于直线的对称点， ， ， 点在轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 令，得， 直线与轴的交点为； 综上所述，点的坐标为或． 13．在平面直角坐标系中，点的垂直平分线交于点，交于点，点是直线上一点，且点在点的上方，． (1)求点的坐标： (2)求点的坐标； (3)在第一象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且．若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵，， 设直线的表达式为， 则，解得：， 则直线的表达式为， ∵是的垂直平分线， ， 把代入得：， ． （2）解；设， ∵在点的上方， ， ，即， ，解得：， ． （3）解：存在； 如图，过点分别作轴， ， ， ， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， 设， 由（2）得，， ， ， 则， 解得：， ， 同理可得：； 综上可得：或． 14．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点是线段上的一动点，连接、，点、分别是轴和轴上的两个动点，连接、、，当，求点的坐标及的最小值； (3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，连接，在轴是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值为； (3)存在，或． 【详解】（1）解：直线过， ， ， 当时，， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入，， ， ， 直线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 将代入直线，得到， ， ，， 点为中点， 是的中线，是的中线， ， ，， , ， ， ， ， ， ， ， 或， 点是线段上的一动点， ， 将代入直线，可得，解得， ， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点， ，， ，此时达到最小值，最小值为的长度； 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，如图所示： ，， ， ， 的最小值为， 综上，，的最小值为； （3）解：存在，或，理由如下： 将直线向右平移个单位长度得到直线， ， 当代入，有， ， 设直线为，代入， ， ， 直线为， 第一种情况：过点作交轴于点，如图所示： ， ， 不妨设直线为，代入， ， 直线为， 当代入，有， ； 第二种情况，取，由第一种情况可知，此时，作关于的对称直线交轴于点， 平分， 过点作，交的延长线于点，过点作于于点，如图所示： ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 不妨设，那么， ， ， ， ， （舍去）或， ； 综上，存在，或． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点是线段上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接． (1)求点、点的坐标； (2)若点落在线段上，求点的坐标； (3)在轴是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（）把和分别代入一次函数解析式解答即可求解； （）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，即得，设，则，在中，利用勾股定理求出的值即可求解； （）分点在轴右侧和左侧两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：当点落在线段上，如图， ∵，， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，则， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点在轴右侧时，如图，过点作于点，过点作轴于，过点作的延长线于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， 设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 当点在轴左侧时，如图，过点作，则， ∵， ∴， 由上可知，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 16．在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，，的面积等于24． (1)求点B的坐标； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，运动时间为秒，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接AE．若的面积为S，请用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为 (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，当点P在上时，， ∵， ∴， 又∵过作轴垂线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在延长线上时，， ； ∴与的关系式为； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点P与A重合， ∴， ∴点E的坐标为， 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 同理可得， ∴，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 17．如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．地 城 类型03 存在性问题全等三角形相关 (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标； (3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）先求出点B坐标，再根据求出点A坐标，然后用待定系数法求出直线解析式即可； （2）先求出，再根据面积关系得到，设点C的横坐标为m，利用三角形面积建立方程求出m值，继而确定点C的坐标即可； （3）根据条件可得，分和两种情况分别画出图形，在根据全等三角形的性质确定点Q坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，即， ∴，即， 将点A坐标代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 设点C的横坐标为m，则上边上的高为， ∴，解得：， ∵点C在直线上， ∴当时，，即； 当时，，即． ∴点C的坐标为或． （3）解：存在满足条件的点Q， ∵， ∴， ∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，. ①当时， ∴，即点P的横坐标为或， 如图： ∴点P的纵坐标为或， ∴点Q的坐标为或； ②当时，，即点P、Q的纵坐标为或， 如图所示： ∴点Q的坐标为或． 综上，点Q的坐标为或或或． 18．如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理，要注意分类求解，避免遗漏． （1）先证明，则，即可求解； （2）①由（1）知，轴交于点D，则点D的纵坐标为1，将代入，得，即可求解；②存在，理由: 点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应，有三种情况，分情况讨论即可． 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在第二象限， 所以点C的坐标为． （2）①由（1）知， 轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得， ， ； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时， 则点和点B关于直线对称， 则M的坐标为； 当时， 则点和点B关于的中垂线对称， 故的坐标为； 当时， 则点和点关于对称， 故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值； (2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； (3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或，或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的综合问题，全等三角形的性质，以及坐标与图形等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入解析式即可求出答案． （2）先求出，由折叠的性质可知，，设，则，，，最后由勾股定理求解即可． （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 把代入， 即 解得． （2）解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴． 设， 则，， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 当时， ∴， ∴点E的横坐标为：或， 由（1）直线的解析式为， ∴点E的纵坐标为：，或， 故或 当时， ∴， ∴点纵坐标为或， ∴点E的纵坐标为或， 即或， 解得：或， ∴或 综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或． 20．如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2)点C的坐标为或； (3)存在，、或时，与全等 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可； （3）利用勾股定理列式求出，然后根据，然后分三种情况：当与是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出，再写出点C的坐标即可；②与是对应边时，过点C作轴于E，利用面积法求出，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵点，的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在， 在中，∵， ∴， ∵点C是直线上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线与y轴相交于点D， ∴， 当与是对应边时，    ∵， ， ∴， ∴点； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：，    ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为、或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质，关键在于根据题意得到，从而确定出三角形的对应边，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 21．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 22．在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)在y轴上有一点，在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当的面积为16时，确定直线的表达式； (3)若点P为点B上方y轴上的点，在直线上是否存在点Q使得与全等，若存在，求出此时点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数的解析式求得与坐标轴的交点即可； （2）根据面积求得点D的坐标，利用待定系数法求得解析式即可； （3）分为两种情况：①当；②当时，根据全等三角形的性质和等面积法，以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为，； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∴， ∴或， 设直线的表达式为， ∴或， 解得或， ∴直线的表达式为或； （3）解：分为两种情况：①当时， 则， ∴， ∴Q； ②当时， ， ， ， 过点作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的结合，涉及利用待定系数法求解析式、一次函数或坐标轴的交点、全等三角形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉一次函数的性质和分类讨论思想． 23．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 【详解】（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 24．如图所示，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，点A为y轴上定点． (1)请求出直线的解析式； (2)若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标； (3)在（2）问条件下，点F在第一象限时，在平面内有点H（不与F重合），以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标为或； (3)的坐标为或或. 【分析】（1）先求解，，结合点A为y轴上定点，设直线为，再进一步求解即可； （2）先求解，结合，可得，可得，，当时，则，由中点坐标公式可得：； （3）如图，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，当沿轴对折可得，满足，当沿直线对折可得，则，当沿轴对折可得，满足，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于B，C两点， ∴当时，， 当时，则， 解得：， ∴，， ∵点A为y轴上定点， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴由中点坐标公式可得：； 综上：的坐标为或； （3）解：如图， ∵以点O，B，H为顶点的三角形与全等， 当沿轴对折可得，满足， ∴， 当沿直线对折可得，则， ∴， ∴， 当沿轴对折可得，满足， ∴； 综上：的坐标为或或. 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，求解一次函数的解析式，坐标与图形面积，全等三角形的判定，轴对称的性质，作出图形利用数形结合的方法解题是关键. 25．如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，．地 城 类型04 存在性问题等腰三角形相关 (1)求k的值； (2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值； (3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)、 、、 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求一次函数解析式、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先求得，进而求得，即，然后代入求得k的值即可； （2）先求得，再求得直线的解析式为．由题意可得，进而求得，即的长度为；进而得到求得或，再根据已知条件验证可得； （3）由（2）可得，即，设轴上动点的坐标为，则，，，然后再分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点C， ∴，即， ∵， ∴，即， 将代入可得：， 解得：． （2）解：∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵D为线段上一点，设点D的横坐标为m， ∴， ∵轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同， 将代入直线的解析式，得， 解得：， ∴， ∴ 的长度为， 由，得， 解得：或， ∵D在线段上，， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得，即， 设轴上动点的坐标为，则，，， ①当时，即， 解得：或， ∴对应点的坐标为和； ②当时，即， 解得：或， 当时，P与O重合，不能构成三角形，舍去； 当时，P的坐标为，符合条件； ③当时，， 解得：， ∴对应点的坐标为． 综上，满足条件的点P坐标为、 、、． 26．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长． (2)求点的坐标． (3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出当时，，当时，，再利用勾股定理即可得到答案； （2）由中点坐标公式可得答案； （3）设，而，，可得，，，结合是以为腰的等腰三角形，可得或，进一步利用勾股定理建立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴； ∴． （2）解：∵，，设， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：设，而，， ∴，，， ∵在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴， ∴， ∴或， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的定义，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 27．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式； (2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、，直线的解析式为 (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）先求出，设，则，，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； （3）解：∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∵Q在x轴上， ∴设，则，， ①当时， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q的坐标为或． ②当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ，即， 解得（与A重合，舍去）或， ∴点Q的坐标为， ③当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ， 即， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，满足条件的Q点坐标为：． 28．如图，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，是线段上的一个动点（与点不重合），连接． (1)求直线的解析式； (2)设动点的横坐标为，的面积为． ①求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，轴上存在点，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，自变量的取值范围为；②；③当是等腰三角形时，点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合，勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，设直线的解析式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）①过点作轴于点，由（1）及题意可知：，则有，，，然后根据三角形面积公式可进行求解； ②由（1）可知：，，然后可得，进而求解即可； ③由题意可分当时，当时，当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：令时，则有，即， 令时，则有， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， （2）解：①过点作轴于点，如图所示： 由（1）及题意可知：， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 自变量的取值范围为； ②由（1）可知：，， ∴， ∴， ∴； ③由题意可分：当时，如图，过点作轴于点， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点作轴于点， 由上可知：，， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 设，则有， ∵， ∴， 解得：或； ∴或； 综上所述：当是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 29．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数 的图象相交于点过点作 x 轴的平行线，分别交 y=kx 的图象于点 B，交的图象于点 C，连接 OC (1)求 t与 k的值； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，直接写出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式进行求解t，然后再代入正比例函数解析式进行求解k即可； （2）由点P的坐标可得出点B、C的坐标，进而可得出的长度，由的长度结合三角形的面积公式即可求出的面积； （3）假设存在，设点M的坐标为，分及和三种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入一次函数得：， 解得， ∴， 把代入正比例函数得：， ∴； （2）解：∵轴，， ∴把代入中， 解得：， ∴， 把代入中， 解得：， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； （3）解：假设存在，设点M的坐标为， ∵， ∴， ∵△AOM是等腰三角形， ∴分及两种情况考虑． ①当时，， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②当时， 解得：（舍去）， ∴点M的坐标为． ③当时，， 解得， ∴点M的坐标为 综上所述：存在点M，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出两函数的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点B、C的坐标；（3）分及和三种情况求出点M的坐标． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①7秒；②存在，或或8 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点C，，； （2）①由题意得：，中，当时，，，，即可求解； ②分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， ∴点， ∵直线过点C， ， 解得； （2）①由题意得：， 中，当时，， 解得， ∴， 中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得， 则t的值7秒； ②设点，点A、C的坐标为：， 当时，则点C在AP的中垂线上，即， 解得：； 当时，则点P在点C的正下方，故， 解得：； 当时， 同理可得：或（舍去） 故：当或或8时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中②，要注意分类求解，避免遗漏． 31．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点， D（0，6）且 (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点P为直线AB上一点，连接PC，PD，当时，求此时P点的坐标； (3)若点E为直线y=x-4上一动点，是否存在点E使ΔABE是以BE为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标，并写出其中一个点E的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）先求出点B的坐标，确定的值，从而确定点C的坐标，再用待定系数法，代入点C和点D的坐标，即可求出的解析式． （2）设与相交于点M，求出点M的坐标，借助两点间距离公式求出，，的值，通过勾股定理的逆定理判断出，从而进一步利用求出的值，再过点M作轴，，构造，设出点P的坐标，判断出和的关系，通过勾股定理列方程，求出点P的坐标即可． （3）设出点E的坐标，根据条件表示出和，再分类讨论和两种情况，通过等量关系列方程求出点E的坐标即可． 【详解】（1）当时，． ∴． ∴． ∴． ∴． 设的解析式为． 代入点，，得 解得 ∴的解析式为． （2）如图，设与相交于点M，过点M作轴，． 联立，得． 解得． 当时，． ∴． ∴，． 又， ∴，即是直角三角形，． ∴． ∴． 又， ∴． 设点P的坐标为，则，，． ∴． 设，则． 在中，，即． 解得． ∴，即，或． ∴此时P点的坐标为或． （3）存在，点E的坐标为或或．理由如下： 当时，，． ∴． ∴． 设点E的坐标为，则，． 由题意可知，当是以为腰的等腰三角形时，有两种情况： 第一种：，即． ∴． 解得，或． ∴点E的坐标为或． 第二种：，即． ∴． 解得． ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题考查“一次函数的图象与性质”“待定系数法求一次函数解析式”“两点间距离公式”“勾股定理及其逆定理”的知识点，熟练应用“方程思想”和“数形结合思想”，掌握设参数，并通过两点间距离公式表示出坐标系中线段的长度，再根据题目中所给出的等量关系列方程的方法是解题关键．在点的位置不确定时，注意要分类讨论． 32．如图，在直角坐标系中，直线过点和点，直线过点，两直线相交于点 (1)求和的表达式； (2)求不等式的解集； (3)连接，求的面积； (4)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) (4)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数与一元一次不等式、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意得，，进而可得，再令可得m的值，从而求出的解析式； （2）依据题意，联列方程组，可得D的坐标为，进而结合图象可以判断得解； （3）依据题意，由，，可得，即可得解； （）4依据题意，设，又，，则，，再分、和时进行分类讨论计算即可得解． 【详解】（1）解∶由题意得，， （2）解∶ 由题意，联列方程组， 点D的坐标为 不等式的解集为 （3）解∶ 由题意，，， （4）解∶ 由题意，设， ，， ，， 当时，， 或，即或 当时，， 与A重合，舍去或，即 当时，， ，即 综上，点P的坐标为或或或 33．如图，已知直线：经过点，交轴于点，交轴于点，直线交直线于点，点到轴的距离为．地 城 类型05 存在性问题直角三角形相关 (1)求直线的函数表达式和点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在点，使得是直角三角形；点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，利用待定系数求出直线的函数表达式，即可求出点A的坐标； （2）先求出点C的坐标，根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：交直线于点，点到轴的距离为， 点的横坐标， 把代入得：， ； 直线的函数表达式为，把代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为， 令得：， 解得：， ； （2）解：直线：交轴于点， 当时，， ， ； （3）解：在轴上存在点，使得是直角三角形；理由如下： 点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况： 如图， 当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ； 当时，点在图中的位置： 设，， ，，， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形；点的坐标为或． 34．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点．一次函数交x轴于点D，过x轴上的动点P作x轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象于点C，连接． (1)求这两个函数的表达式； (2)若点，求的面积； (3)在x轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点P的坐标为 时，的面积被直线分成的两部分． 【答案】(1)正比例函数表达式为；一次函数表达式为. (2)14 (3)存在点P，点P的坐标为或； (4)或． 【分析】本题考查了函数的综合应用，能利用数形结合是解答此题的关键. （1）由点A的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值，此题的解； （2）由点P的坐标可得出点B、C的坐标，进而可得出的长度，由的长度结合三角形的面积公式即可求出的面积； （3）假设存在，设点P的坐标为，因为为直角三角形，所以要分是直角边和是斜边两种情况.根据图形，利用勾股定理，求出m即可； （4）设点，则，分两种情况：当时，当时，分别求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与一次函数的图象相交于点， ∴，， 解得：，， ∴正比例函数表达式为； 一次函数表达式为. （2）∵轴，， ∴把分别代入和中， 得：，， ∵. 又∵， ∴. （3）假设存在，设点P的坐标为， ∵为直角三角形， ∴分AO是直角边和AO是斜边两种情况 ∵ ∴ ①当是斜边时，有 则： 解得：， 当不符合题意，故舍弃， ∴点； ②当直角边时，利用勾股定理可得 ∵ ∴在中， 则： 解得：， 当不符合题意，故舍弃， 所以，. 综上，存在点P，点P的坐标为或； （4）设点，则， 如图，当时， ， 解得， ∴； 如图，当时， ∴ 解得， ∴； 故答案为：或． 35．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①求的面积S与时间t的关系式； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值是6，b的值是 (2)①；②或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）根据点在直线上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数的图象上，可以得到b的值； （2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出的长度，然后根据三角形的面积公式用含t的代数式表示出的面积S； ②利用分类讨论的方法分别求得当和对应的t的值即可解答本题． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴点， ∵函数的图象过点， ∴， 解得， 即m的值是6，b的值是； （2）解：①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴点，点， ∵函数的图象与x轴交于点D， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动），点E的运动时间为t秒， ∴，，， ∴的面积， 即当的面积S与时间t的关系式为； ②如图，分两种情况讨论： 当时，， ∵点，点，点，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，当或时，是直角三角形． 36．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点．直线与x轴交于点D．点P是射线上的一个动点，且点P从点D出发以每秒2个单位长度匀速运动．设点P的运动时间为． (1)求两条直线的关系式； (2)当的面积为15时，求t的值； (3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两条直线的关系式为和 (2)当的面积为15时，t的值为或 (3)在点P运动过程中，存在t的值，使为直角三角形，t的值为2.5或5 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点C作于点H，利用点C的坐标求得，则的高可得，利用点A，D的坐标求得，利用t的代数式表示出的长度，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，通过求得的长度解答即可得出结论；当时，过点C作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得的长度，再利用①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴两条直线的关系式为和； （2）解：过点C作于点H，如图， ∵， ∴． 对于，令，则， ∴， ∴， ∴． 对于，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点P是射线上的一个动点，且点P从点D出发以每秒2个单位长度匀速运动．点P的运动时间为， ∴， ∴或． ∵的面积为15， ∴， ∴或， ∴或． ∴当的面积为15时，t的值为或． （3）解：在点P运动过程中，存在t的值，使为直角三角形，t的值为2.5或5．理由： 由题意知：． ①当时，如图， ∵， ∴． 由（2）知：， ∴， ∴； ②当时，过点C作于点H，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 综上，在点P运动过程中，存在t的值，使为直角三角形，t的值为2.5或5． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，三角形的面积，分类讨论的思想方法，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 37．如图，直线交轴于点，交轴于点，点在直线的上方． (1)若，求的值； (2)是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)E的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理的逆定理等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）过E作轴交于M，用待定系数法求出直线解析式为，可得，，根据，有，即可解得a的值为3； （2）求出，①当为斜边时，，②当为斜边时，，③为斜边时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：过E作轴交于M，如图： 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴a的值为3； （2）存在点E，使得是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ①当为斜边时，， 解得或， ∵点E在直线的上方， ∴； ②当为斜边时，， 解得， ∴； ③为斜边时，， 解得（舍去）， 综上所述，E的坐标为或． 38．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）由勾股定理和已知条件得出，求出，，得出，即可得出结果； （2）分两种情况：①当点P在线段上时，②当点P在射线上时，利用两个三角形等高求解即可． （3）先利用待定系数法求出的解析式，设，由勾股定理得出，解方程求出，进一步即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为 （2）解：分两种情况：①当点P在线段上时， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴， ∵和等高， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ②当点P在射线上时，即， 同理可得出：， ， ∴ 综上： （3）解：存在，点P坐标为； 由（1）知：，，， ∴，，， 设的解析式为：， 则， 解得， ∴的解析式为：， 设， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴ ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的综合题，一次函数的实际应用，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 39．如图，A，B是直线与两坐标轴的交点，直线过点A，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标． (2)点D是折线上一动点． ①尺规作图：当点D是线段的中点时，在如图1中的y轴上找一点E，使最小（用无刻度的直尺和圆规画出点E的位置，保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标； ②探究是否存在点D，使为直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①图见解析，； ②存在，D点的坐标为或． 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，将点A坐标代入求出m可得直线的解析式，然后即可求出点C坐标； （2）①如图1，作，连接交y轴于E，点E即为所求，根据点A，B坐标求出，，求出直线的解析式，即可得到E点的坐标； ②当点D在AB上时，由得，根据等腰直角三角形的性质得到点D横坐标，进而可得点D坐标；当点D在上时，设交y轴于点F，证明，根据全等三角形的性质求出点F坐标，然后求出直线的解析式，联立解析式求出点D坐标即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得； 令，得，则 ∴， 把代入，则 得， ∴直线解析式为：． 即直线的解析式为：． 在中， 令，得，， ∴C点的坐标为； （2）①如图，作，连接交y轴于E，点E即为所求； ∵点D是的中点，， ∴， 点B关于y轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得：， 故直线的解析式为：， 令，得 ∴E点的坐标为； ②存在，D点的坐标为或； 当点D在上，时， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵，， ∴点D的横坐标为， 把代入得：， ∴D； 当点D在上，时，如图，设交y轴于点F． ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， 代入， ， 得， 解得：， ∴直线的解析式为y=x＋3， 依题意，联立， 解得： ∴点D的坐标为 综上，D点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 40．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的横坐标为2． (1)用待定系数法求直线的表达式： (2)如图1，点为直线上一点，若，求点的坐标： (3)如图2，点为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点． ①当点落在轴上时，请直接写出点的坐标； ②若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)①；②或 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点M的坐标，先求出点，得出，求出，根据列出关于m的方程，，解方程即可； （3）①过点C作轴于点E，求出，根据折叠得出，根据勾股定理求出，即可得出答案； ②分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时， ∴， 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点 ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设点M的坐标， 把代入得：， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 解得或， ∴点M的坐标或； （3）解：①过点C作轴于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据折叠可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点C作轴于点M，过点D作交延长线于点F，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 当时，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴轴， ∴，， ∴，， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴此时点N的坐标为：； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 41．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2．地 城 类型06 存在性问题面积相关 (1)求一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数与几何图形， 对于（1），先求出点C的坐标，再根据待定系数法求出直线关系式； 对于（2），先求出点A的坐标，即可得，再根据三角形的面积公式得出答案； 对于（3），先求出，再根据三角形的面积得，结合点A的坐标即可求出答案. 【详解】（1）解：把代入得， ， 设， 把，代入可得： 解得： ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ∴， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， 当在轴上时，，即， ， ， 点的坐标为或. 42．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点． (1)点A的坐标是______，点B的坐标是_____； (2)若点是直线上的一点，则直线的解析式是______； (3)在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了一次函数的几何综合，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别令，即可求解； （2）先求出的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （3）先求出，设点的坐标为，根据的面积等于的面积，列出方程，即可求解； 【详解】（1）解：令， 令， ∴点的坐标是．点的坐标是； 故答案为：． （2）解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：； （3）解：存在， 由（1）得：点的坐标是．点的坐标是， ， 设点的坐标为， ∵的面积等于的面积， ， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 43．在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点， ①求线段的长度， ②若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可． （2）①求出点B的坐标为，从而得出；②根据等腰三角形的定义分两种情况：或，分别求解即可． （3）根据三角形面积公式可得，过P作轴交于Q，则，再由，结合的面积等于面积的一半，列方程即可解答． 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为3， ∴把代入中，得， ∴点C的坐标为， 把，代入，得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）①把代入得， 解得， ∴点B的坐标为， ∴； ②∵为以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴或（舍去）， 当， 过B作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． （3）∵，， ∴， 过P作轴交于Q， ∵， ∴， ∵，的面积等于面积的一半， ∴， 解得或， ∴或． 44．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，B，直线分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线与直线交于点． (1)求直线与的函数表达式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为 (2) (3)存在，点P坐标为或 【分析】（1）由点A和点E坐标可求出直线函数表达式，再求出点C坐标，根据点C和点E坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点B和点D坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）分类讨论，点P在点E上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设表达式为，将点，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； 由题可知， ， 设直线表达式为，将，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； （2）令：，得， ， 令：，得， ， ， ； （3）当点P在点E上方时，如图， 此时， ， 解得， 此时， ； 当点P在点E下方时，如图， 此时， ， 解得正值舍去， 此时， ； 综上，满足题意的点P坐标为或． 45．如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2． (1)关于x，y的方程组的解是______． (2)求直线的关系式 (3)求的面积． (4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查了两直线交点与对应二元一次方程组的解，两直线围成的三角形面积等知识，理解两直线交点的坐标是对应方程组的解，掌握直线与坐标轴交点的求法是解题的关键； （1）由点C的横坐标为2求出C的坐标，即可求解； （2）将C的坐标代入，即可求解； （3）由和求出、的坐标，由三角形的面积公式即可求解； （4）由三角形面积公式得，由面积相等，即可求解； 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2， ∴把代入，解得：， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 把代入， 即， 把代入， 即； （3）解：对于直线，把代入得：， ∴， 对于直线，把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴通过观察图像可得以为底边的高， ∴； （4）解：由题意得：， ∵与的面积相等， ∴， 解得：， ∵点是异于点， ∴， ∴， 把代入，解得：， ∴； 46．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查一次函数，求一次函数的解析式，正确理解题意是解题关键： （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0，得出随的增大而增大，所以当时，取得最大值为4，再求出，进而得出答案； （3）设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点，所以．求出点的坐标为，再根据求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最大值为4， 将代入， 得， 解得， 所以． （3）存在．如图，设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点， 所以． 将代入， 得， 所以点的坐标为， 所以． 因为， 所以． 因为 ， 解得， 所以点的坐标为． 47．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为：． (2)M的坐标为：或． 【分析】本题考查一次函数的几何问题，熟练掌握基本性质和三角形面积公式是解题关键； （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）分两种情况，当分别在点的上方和下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为：， ∵点、的坐标分别为、， ∴， 解得， 故直线的函数表达式为：． （2）解：∵直线的函数表达式为：，的图像交坐标轴于、两点，且直线、相交于点． ∴， ∴联立解得， ∴， 如图， 当在点下方时，要使得的面积是的面积的2倍， 则点为的中点， ∴； 当在点上方时， ∵， ， 又∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵在直线上， ∴， ∴， ∴, 故M的坐标为：或． 48．如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标及直线的表达式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点P，使得的面积是面积的2倍？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，求解两直线的交点坐标，图形与坐标，掌握以上知识是解题的关键． （1）当时，由，解方程可得点D的坐标，设直线的表达式为，利用待定系数法求解解析式即可； （2）联立，先解方程组求解点C的坐标，再求解的长度，利用，从而可得答案； （3）设点P的坐标，再利用，解方程可得P的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 点D的坐标为， 由图知， 设直线的表达式为，则 ， 解得：， 直线的表达式为； （2）由题意得：， 解得：， 点C的坐标为， ， ， ， 的面积为； （3）存在，点P的坐标为或，理由如下： 点P在直线上， 设点P坐标为， ， ， ， ， ， 解得：， 点P坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $