专题04 三角形和特殊三角形相关最值问题（5种类型40道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题04 三角形和特殊三角形相关 最值问题（5种类型40道） 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，若分别为线段上的动点，则的最小值为（    ）地 城 类型01 三角形和全等三角形相关最值问题 A．3 B． C．10 D．7 【答案】C 【详解】解：如图：过点A作交于一点，再连接， ∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵分别为线段上的动点， ∴的最小值为， ∵， ∴，即，解得：， ∴的最小值为10． 故选C． 2．如图，锐角三角形的面积是15，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【详解】解：过C作于点E，交BD于点，过点作于，如图： 平分，，， ， 是最小值， 此时M与重合，N与重合， 三角形的面积为15，， ， 即的最小值为 故答案为： 3．如图，是的平分线上的一点，，垂足为，且，是射线上一动点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、垂线段最短，作于点，由角平分线的性质定理可得，再由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时长的最小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵是的平分线上的一点，，垂足为，且，于点， ∴， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时长的最小，为， 故答案为：． 4．如图，中，，为角平分线，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，与三角形的高有关的计算，根据，结合三角形的面积公式，求出的长，根据垂线段最短结合角平分线的性质，得到线段的最小值的等于的长，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵P为直线上一动点， ∴当时，线段的值最小， ∵为角平分线，， ∴线段的最小值的等于的长为4； 故选B． 5．如图，在中，，，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度．由D是中点，得；利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 【详解】解：的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）， ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半， ∵， ∴， 又∵，（h为点D到的距离）， 即， 解得， ∴的最小值为． 故答案为：． 6．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形面积，角平分线定义等知识，在截取，证明，所以，由于，则通过垂线段最短可得，当时，此时三点共线，最小，即最小，然后通过面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，由垂线段最短可得，当时，此时三点共线，最小，即最小， ∵，， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 7．如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点C作交于点G，作交于点H，连接，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：过点C作交于点G，作交于点H，连接，如图： ∵平分交于点， ∴点与点H关于对称， ∴， ∴， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 8．如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值． 【详解】解：如图，连接， 直线垂直平分的边， ， ， ，当点F与点D重合时等号成立， ， 周长的最小值是7． 故答案为：7． 9．如图，在面积为4的中，，的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是 ．地 城 类型02 等腰三角形相关最值问题 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质. 连接，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短. 故答案为：． 10．如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 11．如图，的面积是18，，，点与点关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．连接，，由题意易得，，，则有，要使的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，进而问题可求解． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵，点D是的中点，， ∴，， ∵面积是18， ∴， ∴， ∵点A与点C关于直线对称， ∴， ∴， 要使的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，即， ∴的周长为最小值为． 故选：B． 12．如图，等腰三角形底边的长为6，面积是24，腰的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为（   ） A．5 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称−−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键， 连接，由等腰三角形三线合一的性质及面积得，再利用线段垂直平分线的性质得出，即可得出，进而可得出当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值8．最后根据三角形的周长计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线，是线段上一动点， ∴． ∴． ∴当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值为8． ∴的周长的最小值为． 故选：C． 13．如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 14．如图，等边三角形的边长为，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．连接，根据题意可得垂直平分，，得到，则，当、、三点共线时，取得最小值为，根据题意推出垂直平分，则，最后根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， 是等边三角形，是边上的中线， 垂直平分，， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值为， 等边三角形的边长为，， 是的中点， 垂直平分， ， ， 故选：B． 15．如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出．本题主要考查了等腰三角形的性质以及垂线段最短，熟练掌握等腰三角形三线合一和利用面积法求线段长度是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵ ，， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ． 根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度． ∵ ， ，，， ∴ ， 解得． ∴ 的最小值为． 故选：C． 16．如图，在中，，，面积是4，的垂直平分线分别交，边于点，．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质. 连接，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：C． 17．如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为（   ）地 城 类型03 等边三角形相关最值问题 A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：A． 18．如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴就是的最小值， ∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短， ∴时，最小， ∵是等边三角形， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为8，故C正确． 故选：C． 19．如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由对称性质可知，， ∴， ∴． ， ∴． ∴． ∴， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为：6． 20．如图，在等边中，于点D，F是直线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为直线上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 即线段的最小值为． 故答案为：． 21．如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ． 【答案】105 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点F的位置，有难度． 作于点C，且，连接交于M，连接，证明，得，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作于点C，且，连接交于M，连接， ∵为等边的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值， 此时， ∴， 故答案为：105． 22．如图，中，，，以为边向外作等边，连接，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】如图，在直线的上方作等边三角形，连接，只要证明，推出，推出点D的运动轨迹是以O为圆心长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，的值最大． 【详解】解：如图，在直线的上方作等边三角形，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，的值最大，最大值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查旋转变换、轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 23．如图，在中，，点是边上的中点，点为上的一个动点，连结，在的下方作等边，连结，则最小值是（） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【详解】解析：如图在的右边作等边，作射线． ∵， ∴， 在和中， ， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴点在射线上运动（点是定点，是定值）， 当时，的值最小，． 故选：． 24．如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴，则， 作点关于的对称点，连接，如图所示： 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为， ∴，则， ∴， ∵， ，即， 在等边中，，，则为等边三角形， ， 故选：D． 25．如图，在中，，，，．点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，若，则的最小值是（   ）地 城 类型04 直角三角形相关最值问题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而得点的运动轨迹，则当时，的长度最短，即最短，由直角三角形面积计算公式求出后即可得的最小值． 【详解】解：连接， ，点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，， ， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动， 垂线段最短， 当时，的长度最短，此时，也最短， ， ， 最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段最短，解题关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出点的运动轨迹． 26．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在，上滑动，且，若点M、N分别是的中点，连接，则的长度最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为． 【详解】解：如图所示，连接，， 在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ， 当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：， 的最小值为：2． 故选B． 27．已知等腰直角三角形的底边长是其腰长的倍．如图，和是等腰直角三角形，，点在上，是的中点，连接．若，则的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，可证明得到，则可证明，由直角三角形的性质得到，由垂线段最短可知，当线段，有最小值，则此时有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知，当线段，有最小值， ∴此时是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 28．如图，在四边形中，，连接，若，，点是边上一动点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查点到直线垂线段最短、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握点到直线垂线段最短、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键；由题意易得，过点D作于点E，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即平分， 过点D作于点E，如图所示： ∴， 根据点到直线垂线段最短可知：长的最小值为3； 故答案为3． 29．如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，得到，则，当、、三点共线时，有最小值等于的长，最后判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， ，， 平分， ， ． 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又，，， ， 是等边三角形， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 30．如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】过点G作于H．根据角平分线性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，得出，求出x的值，根据垂线段最短可知，的最小值为， 【详解】解：如图，过点G作于H． 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 根据垂线段最短可知，的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-基本作图，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 31．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．连接，，根据直角三角形斜边的中线的性质，可得，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得的长度，根据勾股定理求出的长，根据垂线段最短即可确定的最小值． 【详解】解：连接，，如图， ∵，是对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴， ∴点是线段的中点， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， 由垂线段最短可知当时有最小值，即的长， 故选：B． 32．如图，在等腰直角中，，，点在上，点在上，若，连接、则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作使得，连接，，可得，由此可知当 三点共线的时候最小，在中，可得，在，可得，最后在中，可得，即可求解. 【详解】解：如图，过点作使得，连接，， ∵，，， ∴， ∴， 当 三点共线的时候最小， ∴， 过点作的延长线交于点， 在中，，根据勾股定理得：， 在， ， ∴ ， ∴，根据勾股定理得， ∴在中， ， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定，利用辅助线构造全等及两点之间线段最短，在根据勾股定理求解等相关知识点，解题关键在于熟练掌握辅助线及最小值的方法． 33．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ．地 城 类型05 坐标系中的几何最值问题 【答案】 【分析】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作关于的对称点，连接交于，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 34．如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B，点B在y轴上，则点B的坐标为 ；线段经过原点O，点D是上一动点，若点，点，且，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，根据平移方式可得，根据点B在y轴上，可得，据此可得点B坐标；可求出，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时有，据此可得答案． 【详解】解：∵点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时有， ∵， ∴， 故答案为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中的平移，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 将向左平移2个单位，使点B和点A重合，连接，，根据题意得到当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 36．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一点，连接，，，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】作于D，先根据，，分别求得，，，再求得，从而可用勾股定理求得，要使的周长最小，一定，则最小，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点，点即为使最小的点，利用勾股定理求得即可求得周长的最小值． 【详解】解：作于D，如图所示： 则， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 要使的周长最小，一定， 则最小，    作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点， 点即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得：， 则， ∵点A关于y轴的对称点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，两点之间线段最短，勾股定理，轴对称确定最短路线问题，解题关键是掌握正确作出图形． 37．如图，线段经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了坐标与图形，垂线段最短，等面积法，利用数形结合的思想解决问题是关键．过点作轴于点，过点作轴于点，由垂线段最短可知，当时，长度有最小值，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，，， ，，， 垂线段最短， 当时，长度有最小值， ， ， ， ，即长度的最小值为1， 故答案为：1． 38．在平面直角坐标系中，点，点，点D为线段外一动点，且，以为斜边作如图所示的等腰直角，，．连接，以为直角边，作如图所示的等腰直角，，，连接，则线段长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．连接，证明，可得，从而得到当最大时，线段的长取得最大值，在中，根据三角形的三边关系，可得当点D，B，C三点共线时，取得最大值，此时的长取得最大值，为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴当最大时，线段的长取得最大值， 在中，， ∴当点D，B，C三点共线时，取得最大值，此时的长取得最大值，为， ∵，点， ∴， ∵， ∴线段的长的最大值为． 故答案为： 39．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接， ，，， ， ， ， 即的最小值为4， 故答案为：4． 40．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，过作轴于，证明，可得，在直线上运动，作关于直线的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，如图，过作轴于，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴在直线上运动， 作关于直线的对称点，连接， ∴，， ∴当三点共线时，取最小值， 如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角形和特殊三角形相关 最值问题（5种类型40道) 类型三角形和全等三角形相关最值问题 类型2 等腰三角形相关最值问题 三角形和特殊三角 类型3等边三角形相关最值问题 形相关最值问题 类型4直角三角形相关最值问题 类型5坐标系中的几何最值问题 目目 类型01 三角形和全等三角形相关最值问题 1.如图，在ABC中，BC=6,SABc=30,AC的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E,F,若D,M分别为 线段BC,EF上的动点，则CM+DM的最小值为() B A.3 B.2.4 C.10 D.7 2.如图，锐角三角形ABC的面积是15，AB=5,BD平分∠ABC,若M,N分别是BD、BC上的动点， 则CM+MN的最小值是 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M B 3.如图，P是∠AOC的平分线上的一点，PD⊥OA,垂足为D,且PD=3,M是射线OC上一动点，则 PM长的最小值为 D M C 4.如图，ABC中，LACB=90°，AD为角平分线，BD=AC,SAABD=18,S△ACD=12,P为直线AB上一动 点，连接PD,则线段PD的最小值是() D A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图，在ABC中，AC=5,，SAABC=12,CD是AB边上的中线，点P是AC边上的动点，则DP的最 小值为 D D C B 6.如图，在锐角ABC中，AC=6,S,ABC=24,∠ACB的平分线交AB于点D,点M,N分别是CD和 CB上的动点，则BM+MN的最小值是： C N D 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,BC=5,AC=12,AB=13,其中E是AC上的动点，F 是AD上的动点，则EF+FC的最小值为一· E F B D 8.如图，在ABC中，直线I垂直平分AB分别交CB、AB于点D,E,点F为直线I上任意一点，AC=3 ,CB=4,则△ACF周长的最小值是」 D A E B 目目 类型02 等腰三角形相关最值问题 9.如图，在面积为4的ABC中，AB=AC,BC=2,AC的垂直平分线EF分别交AB,AC边于点E,F.若 点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值是 D 10.如图，在等边ABC中，AC=BC,∠ACB=60°，D,E分别是边AB,AC上的点，AD=AE.若 AB=4,当CD+BE取最小值时，线段AD长为 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.如图，ABC的面积是18，AB=AC,BC=4,点A与点C关于直线EF对称，若D为BC的中点， 点M为EF上一动点，则CDM周长的最小值为() B A.12 B.11 c.10 D.9 12.如图，等腰三角形底边BC的长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,交AB于点E ,D是BC的中点，M是线段EF上一动点，连接BM,DM,AD,则△BDM的周长最小值为() E D A.5 B.8 C.11 D.14 13.如图，在ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是BC边上的高，若P,Q分别是AD和 AC上的动点，则PC+PQ的最小值是() D B A.2.4 B.4.8 C.7.2 D.9.6 14.如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点.若 AE=3,当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为() 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.45° B.30° C.250 D.15° 15.如图，ABC是等腰三角形，AB=AC=13,BC=1O,AD是ABC的高线，且AD=12.点E,F分别 是AD,AC上任意一点，连接CE,EF,则CE+EF的最小值为() A.12 B.10 c.120 D.65 13 6 16.如图，在ABC中，AB=AC,BC=2,面积是4，AC的垂直平分线EF分别交AB,AC边于点E, F,若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值是() A F A.3 B.4 c.5 D.6 目目 类型03 等边三角形相关最值问题 17.如图，等边ABC中，BD平分∠ABC,点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD=6,BP=AQ=8, 在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为() 5/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C A.20 B.18 C.16 D.14 18.如图，等边ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=8,E,P分别是AC,AD上的动点，则 CP+EP的最小值等于() E B D A.4 B.6 C.8 D.9 19.如图，等边ABC与△A'BC'关于直线1对称，且ABC的边长为3，D为线段BC'上一动点，则 AD+CD的最小值是 B 20.如图，在等边ABC中，AD⊥BC于点D,F是直线AD上一动点，连接BF,以BF为边在其上方作等 边△BFE,连接AE,若BC=9,则线段AE的最小值为一· D 21.如图，AD为等边ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF,当BF+CE取得最 小值时，∠AFB=—°. 6/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 22.如图，ABC中，AB=3,AC=5,以BC为边向外作等边△BCD,连接AD,则AD的最大值为 23.如图，在ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,点D是AC边上的中点，点P为BC上的一个动点， 连结DP,在DP的下方作等边aDPE,连结CE,则CE最小值是() A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 24.如图所示，在等边三角形ABC中，D为AC中点，点P,Q分别为AB,AD上的点， BP=AQ=4,QD=2,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为() A.4 B.12 C.6 D.8 目目 类型04 直角三角形相关最值问题 25.如图，在aABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=3,BC=4.点D、E、Q分别是边AC、BC、AB 7/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 上的动点，点P是DE的中点，若DE=2,则PQ的最小值是() y Q D D 7 B. C.3 D.2 26.如图， ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=6,BC=8,线段DE的两个端点D、E分别在AC, BC上滑动，且DE=6,若点M、N分别是AB、DE的中点，连接MN,则MN的长度最小值为() D B E 3 A. B.2 c. 2 D.3 2 27.己知等腰直角三角形的底边长是其腰长的√2倍.如图，△0AB和△OCD是等腰直角三角形， ∠AOB=∠COD=90°，点D在AB上，E是CD的中点，连接AE.若OB=√2，则AE的长的最小值为 D B 28.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3,AB=4,连接BD,若BD⊥CD,∠ADB=∠C,点P是 BC边上一动点，则DP长的最小值为 B 29.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，BD平分∠ABC,P,Q分别为边BD,BC上一点，且 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BP=CQ,当AB的长为4时，则AP+AQ的最小值为 30.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=5,利用尺规在BC、BA上分别截取BE,BD,使 BE=BD:分别以D,E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点P作射线BF交 AC于点G.点P为AB上一动点，则GP的最小值为() A.1 B.5 D.无法确定 3 31.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点， 连接EF.若AC=I0,BD=8,则EF的最小值为() B E A.4 B.3 C.5 D.2 32.如图，在等腰直角ABC中，∠A=90°，AB=AC=3,点E在AB上，点F在AC上，若AE=CF, 连接CE、BF则CE+BF的最小值是(). A A.32 B.35 C.6 D.35 目目 类型05 坐标系中的几何最值问题 33.如图，在平面直角坐标系中，RtAOAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为(3,3)，点C的坐 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 34.如图，在平面直角坐标系中，已知点M(m,3m-5)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 到点B,点B在y轴上，则点B的坐标为一；线段AC经过原点O,点D是AC上一动点，若点 A(-2,a,点C(4,c,且AC=7,则BD长度的最小值为一 D B 35.如图，在平面直角坐标系中，点A,B在x轴上，AB=2,点C的坐标为(0,2)，点D的坐标为(6，-1)， 则CA+AB+BD的最小值为一· D 36.如图，在平面直角坐标系中，A(3,3),B(1,0),点C是y轴上一点，连接AB,AC,BC,则ABC周 长的最小值为 A(3,3) B(1,0) 10/12