专题03 三角形和特殊三角形相关几何综合问题（4种类型32道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形和特殊三角形相关 几何综合问题（4种类型32道) 类型三角形和全等三角形相关综合问题 类型2等腰三角形相关综合问题 三角形和特殊三角形相 关几何综合问题 类型3等边三角形相关综合问题 类型4直角三角形相关综合问题 目目 类型01 三角形和全等三角形相关综合问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AACB的角平分线AD,BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延 长线于点F,交AC于点H,给出下列结论： ①LAPB=135°；②PA=PF;③AD=PF+PH;④S△PH=S△4DE,其中正确的有(） B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F.延长FA至点 G,使得FG=AE,连接GC.下列结论中正确的序号是() 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G ①BE=CF;②LBAC=LG+2LACG;③SAGCF-SACDF=SAABD;④SAAGC=2 SA BED: A.①②③ B.①②4 C.①③④ D.①④ 3.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的 过程中，其两边分别与射线OA,OB交于点M,N,则以下结论：①PM=PN恒成立；②0M+ON的值 不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变；其中正确的为() B A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 4.如图，∠ABC=∠ACB,BD、CD、AD分别平分ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC.以下 结论：①AD∥BC:②∠4CB=2∠4DB:®∠B0C=)B1C:①2∠4D8+1CD8=90;共中正确的结 论有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.如图，CD是ABC的中线，点E在线段CD上，延长CD至F,使DF=DE,连接BF、AE、BE,下列 说法：①AE=BF;②AABE和△BEF面积相等；③BF∥AE;④ABAE≌△BCE,其中一定正确的有() 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，BD是ABC的角平分线，AE⊥BD,垂足为F,交BC于点E.有下列结论：①BE=BA;② DE=DA;③LDEC=90°；④△ADF的面积=△EDF的面积，其中正确的有() B C A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AC于E,交AD于F, FG∥BC,FH∥AC,下列结论：①AE=AF;②AF=FH;③AG=CE;④AB+FG=BC,其中正确 的结论有() B D H C A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 8.如图，在ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AEBF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过 点0作0D⊥BC于D,在下列结论中：①LA0B=90°+LC;②若AB=4,OD=1,则S△4Bo=2;③当 ∠C=60°时，AF+BE=AB;④若0D=a,AB+BC+CA=2b,则S。c=ab,其中正确的结论为(） ED A.②③ B.②④ C.②③④ D.①②④ 目目 类型02 等腰三角形相关综合问题 3/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.如图，在ABC中，点P是边BC上一点，连接AP,过点P作PR⊥AB交AB于点R,过点P作 PS⊥AC交AC于点S,点Q为线段AS上的点，连接PQ,若AQ=PQ,PR=PS,则下列三个结论：① AS=AR;②QP∥AR;③△BPR≌△OSP,其中所有正确的结论个数为() P A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.如图点C为线段BD上一动点（不与点B、D重合），∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC,EC=DC, BE与AD交于点O,BE与AC交于点M,AD与CE交于点N,连接MN,以下四个结论：①AD=BE, ②MN∥BD,③AC⊥BE,④LAOB=60°.正确的有多少个？() B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P是BC的中点，∠EPF=90°，当∠EPF在ABC内绕 顶点P旋转时，∠EPF两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F·下列结论：①AE=CF;② ∠PE=<CPF:@,EF是等股直角三角形，国Sm分，c:⑤EP=P.关中结论正确的个数为 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 12.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点 D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交AC,BC于点E,F(点E,F与点A,B,C不重合)， 连接EF,下列结论：①DE=DF,②ADE与△EFC有可能全等，③△CEF的周长等于ABC的周长的一 半，④四边形CEDF的面积等于ABC的面积的一半.上述结论正确的有() 4/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.如图，在ABC中，AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F,AD=BD,连接CF, 则下列结论：①BF=AC;②CF⊥AB;③若BF=2EC,则△FDC的周长等于AB的长；④ LFCD=∠DAC.其中正确的有() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 14.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点E,BD⊥AD,AC⊥BC,AD=BD,AC平分∠DAB.下 列结论：①∠ACD=45°；②AE=2BC;③AB-BD=DE;④BC=CD,其中结论正确的有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.由三角板我们可以知道，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角也相等，如图：Rt△ABC中 ∠A=90°，AC=AB,BD平分∠CBA交AC于点D;过点D作DF⊥AC交BC于点F,过点D作 DE⊥BC交BC于点E. 下列结论：①DF∥AB;②DE是△FDB的高；③∠BDF=∠DBF;④S,CDB=SDAB;⑤aCDE的周长 与CB的长度相等，上述结论正确的个数是() B 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.4 D.5 16.如图，在ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F, 过点O作0D⊥BC于D,在下列结论中：①LAOB=90°+∠C;②若AB=4,OD=1,则S。ABo=2;②当 ∠C=60时，AF+BE=AB;④若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S。Bc=ab,其中正确的结论为() ED A.②③ B.②④ C.②③④ D.①② 目目 类型03 等边三角形相关综合问题 17.如图， ABC与△CDE都是等边三角形，点B,C,D在同一条直线上，AD与BE相交于点G,BE与 AC相交于点F,AD与CE相交于点H.连接FH、CG.给出下列5个结论：①△ACD兰△BCE;② BF=AF;③LDGE=60°；④CF=FH;⑤GC平分∠BGD.其中正确的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 18.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,LCAD=∠CBD=15°，延长BD到点E,使CE=CB,有 以下结论：①CD平分∠ACB;②∠CDE=60°；③△ACE是等边三角形；④DE=AD+CD,则正确的结 论有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19.如图，已知ABC与△CDE均是等边三角形，点B,C,E在同一条直线上，AE与BD交于点O,AE与 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD交于点G,AC与BD交于点F,连接0C,FG,那么下列结论：①AG=BF;②∠B0E=120°；③ FG=CG;④LAC0=∠DC0.其中正确的个数为() D B A.1 B.2 C.3 D.4 20.如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、AC的对称点分别是点R、点B,连结PD分别与AB, AC交于点M,点N,连结PM,PN,下列结论： M ①若∠BAC=30°，则△PPA是等边三角形； ②aPMN的周长等于线段PP的长； ③PA平分∠MPN; ④∠MPN+∠BAC=90°.正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 21.如图，在等边ABC中，AD⊥BC,E为AD上一点，连接BE,CE,∠ABE=15°，将△ABE沿BE折叠， 使点A落在点F处，连接AF,BF,CF.下列结论：①BE⊥AF;②△AEC≌△FEB;③∠ACF=15°；④ SA4BF=2SAEC,其中，正确的结论个数是（). 7/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 22.如图，AD,CF分别是ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G,AE平分∠CAD交BC于E,交 CF于M,连接BM交AD于H,且BM⊥AE,有下列结论：①LCMA=120°；②ABC是等边三角形； ③8C=8H+2MH:国Sm+S.w+Sa=)S4c其中，正确的结论的个数是() 2 A F G H D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 23.如图，己知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，LAEB=LDEC=90°，连接AD,AC,BC,BD,若 AD=AC=AB,则下列结论：①AE垂直平分CD,②△ABD是等边三角形，③AC平分∠BAD,④ ∠BCD的度数为150°.其中正确的结论为() D B A.②③ B.①③4 C.①②④ D.①②③④ 24.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,且DE=BE·下列结论：①ADE是等边 三角形；②DEIl AC;③∠DAE=60°.其中正确的有() E B 0 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型04 直角三角形相关综合问题 25.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE于 点H,给出以下结论：①LAFG=LAGF;②LFAG=2LACF;③S△ABE=S△CE;④BH=CH;⑤ AD·BC=AB·AC,其中结论正确的有() A D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 26.如图，ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,BE⊥AC于E,与CD相交于点F, H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G,下列结论正确的有()个. ①BF=AC;②AE=BF;③LA=67.5°：④△DGF是等腰三角形；⑤Ss边形ADGE=Ss拉彩GHCE· ☑ G H A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 27.如图，在ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,交BC于点E,F为BC的延长线上一点， FG⊥AE,交AE的延长线于点G,FG与AC的延长线交于点M,与AD的延长线交于点N,连接BN,给 出下列结论：①∠DEA=LF;②LDAE=LABD-ACE;③SAEB:SAAEC=AB:AC;④∠BNF= ∠BAE+∠ACB.其中正确的有() E G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 28.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE于 点H,给出以下结论：①BF=AF;②AF=AG;③∠FAG=2LACF;④SBFH=SHEC,其中结论正确的 有()个 A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 29.如图，ABC中，∠I=∠2，点G为AD中点，延长BG交AC于点E,F为AB上一点，且CF⊥AD于 点H,下列判断中，①线段BG是△ABD边AD上的中线；②线段CH是△ACH中AH边上的高；③△ABG与 △BDG面积相等；④AB-AC=BF;⑤∠2+∠FBC+∠FCB=90°，其中正确的结论有() /2 G H 0 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 30.如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,延长BA、BC,PM⊥BE, PN⊥BF,则下列结论中正确的个数() ①CP平分∠ACF;②LABC+2∠ACP=I80°；③∠ACB=2∠APB;④S△PAc=SA△MAP+S△NCP· E D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 31.如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD,CB⊥AB,垂足分别是D,B,CD=CB.求证： ∠DAC=∠BAC,以下是排乱的证明过程： 10/11 专题03 三角形和特殊三角形相关 几何综合问题（4种类型32道） 1．如图，在中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，给出下列结论：地 城 类型01 三角形和全等三角形相关综合问题 ①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴故③正确， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； 所以，正确的结论有4个， 故选：D． 2．如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的序号是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明，即可判定①；证明，得到，进而可得,即可判定②；由全等三角形的性质得，，即得，即可判定③；由可得，进而得到，即得，即可判定④，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵AD为的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 故①正确； 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵与不一定相等， 故②不正确； ∵，， ∴，， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故④正确； 综上，结论中正确的是①③④， 故选：C． 3．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由可得， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 4．如图，，、分别平分的内角、外角、外角以下结论：①；②；③ ；④；其中正确的结论有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，主要考查学生的推理能力，有一定难度． 根据角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得，继而得到，可判断结论①；根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，再根据，可判断结论②；根据角平分线的定义得，由平角定义得，根据三角形外角的性质得，可推出，根据三角形三角和定理得，可判断结论③；根据角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，得到，，可推出，可判断结论④． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，故结论②正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∴正确的有4个， 故选：C． 5．如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形中线的定义可得，运用可证明可得，即可判断①；由全等三角形的性质可得，再根据面积的和差可判定②；由全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；直接根据全等三角形的判定判断④即可． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，所以①正确； ∵ ∴， ，即和面积相等，所以②正确； ∵， ， ∴，所以③正确； 与BC不一定相等， 不能判断，所以④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 6．如图，是的角平分线，，垂足为F，交于点E．有下列结论：①；②；③；④的面积的面积，其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题需要根据角平分线的性质、垂直的定义以及全等三角形的判定与性质，对每个结论进行分析判断． 【详解】解：结论①：∵是的角平分线 ∴ ∵，所以 在和中： ∴ ∴，结论①正确； 结论②：由可得 ∵ ∴是的垂直平分线 ∴，结论②正确； 结论③：仅根据已知条件，无法得出，结论③错误； 结论④：∵，和以为底时，高相同 根据三角形面积公式（a为底，h为高） ∴的面积=的面积，结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，掌握“利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段相等和面积相等的关系”是解题的关键． 7．如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ）    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上判定与性质是解题的关键，①根据角度之间的计算和角平分线的性质即可得到答案；②由平行线的性质和全等三角形的判定与性质可证得答案；③利用平行四边形的判定与性质即可证得答案；④根据平行四边形的性质和全等三角形的性质即可证得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故④正确， 综上所述，①②③④均正确， 故选：A． 8．如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，在下列结论中：①；②若，则；③当时，；④若，则．其中正确的结论为（　　） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过点作于，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于于，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ， ∴，故①错误； 过点作于， ∵平分， ， ， ∴，故②正确； ， ， ∵分别是与的平分线， ， ， ， ∴， 如图，在上取一点，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴，故③正确； 作于于， ∵和的平分线相交于点， ， ， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 9．如图，在中，点P是边上一点，连接，过点P作交于点R，过点P作交于点S，点Q为线段上的点，连接，若，，则下列三个结论：①；②；③，其中所有正确的结论个数为（    ）地 城 类型02 等腰三角形相关综合问题 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质及平行线的判定．通过以上的相关知识来判断三个结论是否正确即可． 【详解】解：①∵，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③在与中，只能得到，不能判断三角形全等，故③错误， 综上所述，正确的结论是①②，共2个． 故选：C． 10．如图点C为线段上一动点（不与点B、D重合），，，，与交于点O，与交于点M，与交于点N，连接，以下四个结论：①，②，③，④．  正确的有多少个？（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． ①根据，得到，所以，所以①正确； ②由①得，所以，，所以是等边三角形，，，所以，②正确； ③若，则，可证明， 得，而点C不一定是线段的中点，此说法不一定正确； ④，，④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ③若，则， ， ， ，而点C不一定是线段的中点，此说法不一定正确； ， ∴④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：C ． 11．如图，在中，，，是的中点，，当在内绕顶点旋转时，两边，分别交，于点，．下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 在和中，根据，，，证明，可知①②符合题意；根据①可得是等腰直角三角形，故③符合题意；④根据全等三角形面积相等得：，利用割补法得：，故④符合题意；⑤随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，在其它位置时，故⑤不符合题意． 【详解】解：∵，P是的中点，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，；故①②符合题意； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴ ∴，故④符合题意； 由等腰直角三角形的性质，， ∴随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，， 在其它位置时，故⑤不符合题意； 综上所述，正确的结论有：①②③④ 故选：C 12．如图，在等腰中，为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交于点（点，与点不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，先证明≌，根据全等三角形的性质得到，，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰中，为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，故①正确； ∴的周长， ∵的周长， ∵、不一定相等， ∴的周长不一定等于的周长的一半，故③错误； ∵ ∴是直角三角形， ∵，点，与点不重合， ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，此时， 又∵也为等腰直角三角形，，， ∴， 而， ∴也为等腰直角三角形， 同理可证， 在与中， ∴≌，故②正确； ∵≌， ∴， ∴． 综上所述，其中正确的结论是①②④． 故选：C ． 13．如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则的周长等于的长；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质. 证明，可判断①结论；延长交于点，证明和是等腰直角三角形，可判断②结论；证明垂直平分，可判断③结论；根据等边对等角和三角形外角的性质，可判断④结论． 【详解】解：分别为边上的高， ， ，， ， 在和中， ， ， ，①结论正确； 如图，延长交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，即，②结论正确； ，， ， 垂直平分， ， 周长， 即周长等于的长，③结论正确； ， ， ， ， 即，④结论错误； 故选：A． 14．如图，在四边形中，与交于点，，，，平分．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要运用等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质；过点D作交于点F，证出，得到，得到是等腰直角三角形，即可求出①；根据题意得到，求出，得到，求出，，即可判断②和④；过点E作于点H，证出，得到，求出是等腰直角三角形，得到，得到，即可判断③；从而求出结论． 【详解】解：①过点D作交于点F，如图1所示： 则， 是等腰直角三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故结论①正确； ②是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论②和④正确； ③过点E作于点H，如图2所示： ∵AC平分 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， 故结论③正确； ∴结论正确的有4个； 故选：D． 15．由三角板我们可以知道，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角也相等，如图：中，，平分交于点 D；过点 D作交于点 F，过点 D 作交于点 E． 下列结论：①； ②是的高； ③； ④；⑤的周长与的长度相等，上述结论正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． ①根据交于点E，得，根据平行线的判定可对结论①进行判断； ②根据三角形高的定义可对结论②进行判断； ③根据得，再根据平分得，，由此可对结论③进行判断； ④进而依据判定得，再根据即可对结论④进行判断； ⑤证明和是等腰直角三角形得，，根据得，由此得，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵交于点E，， ∴， ∴； 故结论①正确； ②∴交于点E， 根据三角形高的定义得：是的高， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴， 故结论③正确； ④∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故结论④不正确； ⑤在中，，， ∴， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长与的长度相等， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：C． 16．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，在下列结论中：；②若，则；②当时，；④若，，则．其中正确的结论为（   ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①② 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过点O作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于于H，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ， ∴ ． 故①错误． 过点O作于P， ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 故②正确． ∵， ． ∵，分别是和的平分线， ． ． ∴． ∴． 如图，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴． 在和中， ， ， ． ． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故③正确． 作于N，于H， ∵和的平分线相交于点，， 且，， ∴． ∴ ． 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 17．如图，与都是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点．连接、．给出下列个结论：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的个数是（   ）地 城 类型03 等边三角形相关综合问题 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟悉等边三角形的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．利用证明，即可判定①；通过,则判断，则可判定②；根据三角形的内角和定理、对顶角性质可得出,即可判定③；利用证明，即可证明为等边三角形，即可判定④；过点作、，利用证明，即可判定⑤． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴,,, ∴，即 ∴，故①正确； ∴， ∴，故②错误； ∴ ∵， ， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形, ∴，故④正确； 如图，过点作、， ∴， ∵，， ∴ ∴, ∴点在的角平分线上， ∴平分，故⑤正确． 综上，正确的有①、③、④、⑤，个结论． 故选． 18．如图，在中，，，，延长到点，使．有以下结论：平分；；是等边三角形；，则正确的结论有（        ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出，则，证明是边的垂直平分线，得出，根据三角形外角的性质求出即可判断；根据三角形的内角和定理可得，从而可得，即可判断；在上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，利用线段的和与等量代换即可判断． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵； ∴，即平分； ∴正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴正确， 在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正确， ∴正确的结论有：， 故选：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质． 19．如图，已知与均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，，那么下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．首先根据等边三角形的性质，得到，，，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等和全等三角形的对应角相等，得到，根据，证得，即可得到①正确，同理证得，得到是等边三角形，易得③正确，根据三角形外角性质即可得出②正确，利用全等三角形的性质判定得出④不正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②正确． ∵，而、不是对应边， ∴O到、的距离不一定相等， ∴不一定平分，故结论④不正确． 故选：C． 20．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①若，则是等边三角形； ②的周长等于线段的长； ③平分； ④．正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】 解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形． 故①正确． 由轴对称可知，，， ． 故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ，． ． 平分． 故③正确． ，， ． ， ． ． 故④正确． 故选：D． 21．如图，在等边中，，为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由折叠的性质可得，易得是线段的垂直平分线，即可判断①； 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，进而，即可判断②；先说明，再运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角的和差可判断③；先证明可得，再说明，即边上的高为，如图：过F作，则四边形是矩形，即，易得边上的高为，无法得到，据此可判断④． 【详解】解：∵将沿折叠，使点落在点处，连接． ∴， ∴是线段的垂直平分线，即，故①正确； ∵在等边中，， ∴是线段的垂直平分线，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， 在和中， ， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即③正确； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴边上的高为， 如图：过F作，则四边形是矩形，即， ∴边上的高为， ∵无法得到， ∴无法得到，即无法得到，故④错误． 综上，正确的有3个. 故选B． 22．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 23．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（   ） A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，②正确；根据与都是等腰直角三角形，得到得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，得出的度数为④正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴②是等边三角形正确， ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ， ，， 为的角平分线， 为等腰三角形， ①垂直平分正确， ， ③平分正确， 为等腰三角形，顶角， ， 同理， ∴④的度数为正确． 故选D． 24．如图，在中，，，，且．下列结论：①是等边三角形；②；③．其中正确的有（  ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，求出相关角的度数，根据有两个内角为的三角形是等边三角形，然后利用同位角相等，得出两直线平行． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以， 又因为， 所以，． 所以， 所以是等边三角形，故①③正确． 因为， 所以， 所以，故②正确． 综上，正确选项为①②③， 故选：D． 25．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ）地 城 类型04 直角三角形相关综合问题 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是高得到，根据直角三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则有，可判断①；根据直角三角形的性质得到，，则有，可判断②；根据中线的性质可判断③；根据三角形的面积公式可判断⑤；由题意无法证明，可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵是中线， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故⑤正确； 由题意无法证明，故④不正确； ∴综上所述，结论正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 26．如图，中，，于D，平分，于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③；④是等腰三角形；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出，求出，根据全等三角形的判定推出，，根据全等三角形的性质得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，故①正确； ，，， ， ， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，H为的中点， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形，故④正确； ， ， 又和的面积不一定相等， ，故⑤错误； 即正确的是①②③④， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 27．如图，在中，于点，平分，交于点，为的延长线上一点，，交的延长线于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．给出下列结论：；；；．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，根据三角形的内角和即可；根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可判断；根据三角形的面积公式角平分线性质即可判定；根据三角形的内角和和外角的性质即可判断，正确的识别图形，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ，故错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故错误； ∵平分， ∴点到和的距离相等， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故错误， 综上可知：正确，共个， 故选：． 28．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定等知识点，掌握它们的定义是解题的关键． 根据角平分线得到，再根据互余关系、等量代换得到，故，即可判断②；根据同角的余角相等得到，即可判断③；过点F作于点P，由角平分线性质定理得到，而在中，，故，即可判断①，然后再由共高三角形面积比等于底之比结合三角形中线等分面积判断④． 【详解】解：是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ，， ∴ ，故③正确，符合题意； 过点F作于点P， ∵，是角平分线， ∴， 在中，， ∴，故①错误，不符合题意； ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴故④错误，不符合题意； 故选：B． 29．如图，中，，点为中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，①线段是边上的中线；②线段是中边上的高；③与面积相等；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线、高的定义，三角形面积公式以及三角形外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练运用这些几何概念和性质，逐一分析每个结论的正确性． 根据三角形中线、高的定义，三角形面积公式，以及三角形角度关系，逐一分析五个结论的正确性． 【详解】解：①因为为中点，所以是边上的中线，故正确； ②因为于，所以是中边上的高，故正确； ③因为为中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确； ④因为，可知，根据等角对等边得，故正确， ⑤因为于，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，，所以，故正确． 所以正确的个数是5个． 故选：A． 30．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明，得出，同理可得，从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①如图，过点作于， ， ∵、的角平分线、交于点P，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，故③正确，符合题意； ④由②可得：，， ∴，， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 31．如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是排乱的证明过程： ①∴； ②∴； ③∴； ④∵在和中，； ⑤∵，． 证明步骤正确的顺序是（   ） A．⑤②④①③ B．③①④⑤② C．④①⑤②③ D．①③④⑤② 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握直角全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据垂直定义得出，再根据判定三角形全等即可． 【详解】解：⑤∵，， ②∴． ④∵在和中，， ①∴． ③∴． 故正确的顺序是⑤②④①③． 故选：A． 32．如图，两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，小明同学得出了下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④． 其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过点P作于点，根据角平分线的性质定理可得，，易得，即可判断结论①；根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可判断结论②；根据角平分线的定义和平行线的性质可得，即可证明，即可判断结论④；首先证明，再根据三角形内角和定理可得，结合，即可得，即可判断结论③． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，且点在内部， ∴点在的平分线上，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∵，， ∴， ∵ 又∵， ∴， ∴， 即，故结论③错误． 综上所述，结论正确的是①②④，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $