专题02 三角形和特殊三角形相关动点问题（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题02 三角形和特殊三角形相关动点问题 （6种类型48道） 1．如图所示，四边形中，于点O，且，点P为线段上的一个动点．地 城 类型01 动点定值问题 (1)填空：　　　． (2)过点P分别作于M点，作于H点． ①试说明为定值． ②连接，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)13 (2)①，说明见解析；②的最小值为，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式，垂线段性质，是解决问题的关键． （1）判定四边形为棱形，为直角三角形．由勾股定理得； （2）①连接，根据，得．得；②根据为定值，可知当最短时，最小．由垂线段最短可知，当点P与点O重合时, 最短，最小值为：． 【详解】（1）∵于点O，， ∴四边形为棱形，为直角三角形． ∴． 故答案为：13． （2）①如图所示：连接． ∵， ∴． 即． ∴． ∴． ②∵为定值， ∴当最短时，有最小值． ∵由垂线段最短可知， 当时，最短． ∴当点P与点O重合时, 有最小值． 最小值为：． 2．的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①和②均正确，证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，于是可证得，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，再利用角平分线的判定即可得出答案； （3）选①证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论；选②证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵等边三角形和等边三角形， ，，， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， 如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， ， ， 平分， ， ； （3）解：①和②均正确，理由如下： 选①证明： 如图2，在上取一点，使，连接， ， ∴为等边三角形， ∴，且， ∴，又， ∴， ∴， ∴； 选②证明： 如图3，在上取一点，使，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，利用证明是解题的关键． 3．已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点． (1)设． ①当时，求的度数； ②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)； (2)把沿着所在的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：； ②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①见解析；②是定值， 【分析】（1）①利用三角形内角和定理即可解答；②分别以点为圆心，小于的长为半径画弧与点，连接，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，即作，连接，点E即为所求； （2）①利用三角形内角和定理及邻补角的定义结合角平分线的定义即可证明；②如图，利用三角形外角的性质及三角形内角和定理得到，，由折叠的性质得到，即可求出，由①得，即可得出结论． 【详解】（1）①解： ，， ， ，， ； ②解：如图，作，点E即为所求， 由①可得， ， ， ， ， 与β互补； （2）①证明：如图3， 根据题意得：平分，平分， ， ， ， ， ， ； ②是定值， 如图， ，， 由折叠的性质得到， ，即， ， 由①得． 【点睛】本题考查尺规作图-作角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 4．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．在图①中，；在图②中， ，．图③是该同学所做的一个实验：他将的直角边放在的斜边上（即点D、E在上），并将沿方向移动．在移动过程中（移动开始时点D与点A重合），在沿方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答． (1)能否将移动至某位置，使F、C的连线与平行？如果能，求出的度数； (2)在移动的过程中，与的度数之和是否为定值？若为定值，请求出，请说明理由． 【答案】(1)能， (2)为定值， 【分析】此题主要考查了三角形的外角以及平行线的判定和三角形内角和定理等知识，熟练利用相关定理是解题的关键． （1）要使，则需，进而得出的度数； （2）利用外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：能使， 当时，， 在中， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：与度数之和为定值． 理由：在中， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即与度数之和为定值． 5．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形． (1)_____；（用含的代数式表示） (2)尺规作图：作的角平分线，交于点； 当、、在同一条直线上时，求的值； (3)发现：在点和点运动过程中，的长是一个定值，请你求出这个定值； (4)如图，取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，直接写出的最小值及此时的值． 【答案】(1)； (2)见解析，； (3)； (4)为，的最小值为． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，则有，然后应该直角三角形的性质可得； （）根据作一个角的平分线方法即可； 由为等边三角形，平分，则，，，根据平行四边形的性质可得，，故，得出，最后求出的值即可； （）作交于，证明是等边三角形，由，，，证明，所以，从而有； （）如图中，连接，则，而，故当，，在一条直线上时，最小，由，，故，所以，，从而求出的最小值为，由折叠知，，，得到，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：尺规作图：如图 如图，当、、在同一直线上时， ∵为等边三角形，平分， ∴，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； （3）解：如图中，作交于， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图中，连接， 则，而， ∴当，，在一条直线上时，最小， 即：点在上，（如图） ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴的最小值为， 由折叠知，，， ∴， ∴， ∴， ∴为为时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查了尺规作图——角平分线，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 6．如图，是等边的边上的动点（不与点重合），在边上取点，使．连接交于点． (1)求证：； (2)和所成锐角是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)设的三边长分别为，试探究之间有何数量关系？写出你的结论，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)和所成锐角为定值，为 (3)，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明，得出； （2）由全等三角形的性质得出，得出； （3）过点作，交的延长线于点，求出，由勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：和所成锐角是定值． ， ， 又， ； （3）解：． 证明：过点作，交的延长线于点， 由（2）知， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，，理由见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，掌握“手拉手”的全等模型是解题关键； （1）由题意得且平分，即可求解； （2）证即可； （3）分类讨论①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，线段为边上的中线． ∴且平分； ∴； （2）证明：由题意得：， ∴，即； ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， 同理可得； ③当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 综上所述，是定值，； 8．如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长是定值，定值为 【分析】（）过点作交于点，可证，得到，再证明是等边三角形，得到，即可求证； （）过点作交于点，由得到，由是等边三角形得到，又由是等边三角形，得到，即得到，即可求解． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：的长是定值，定值为，理由如下： 如图，过点作交于点，则，， 由（）知，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（）知，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的长是定值，定值为 9．如图，是边长为的等边三角形，为中点．地 城 类型02 动点最值问题    (1)求的长． (2)如图，点在线段上，连接并延长至点，使，连接，为线段上一动点．    ①当时，求的长； ②若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由等边三角形的性质得，，再利用勾股定理解答即可求解； （）①取中点，连接，同理（）可得，再证明，得到，即可求解；②在上取点，使，同理（）可得，得到，即得，进而可得，得到，即得到，得到，再得到，解得，即可求解； 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形，点为中点， ∴，， 在中，，， ∴； （2）解：①取中点，连接，则，    同理（）可得，， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； ②在上取点，使， 同理①可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 10．如图，中，，，D是边上的一动点（不与A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接．    (1)求证：； (2)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在点D移动过程中，请直接写出的周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形性质及最值问题，解题的关键是利用旋转性质转化线段和角度，结合几何性质分析数量关系与最值． （1）利用旋转得、，结合证，再用证全等； （2）由全等得、，推出，结合等腰直角的，用勾股定理得关系； （3）将周长转化为，由，当最小时周长最小，求出最小后计算即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质得：，． ， ，即． 在和中： ． （2）结论：． 证明：由 (1) 知 ，． 中，，， ，则， ． 在中，由勾股定理得：． ，， 是等腰直角三角形， ． 又， ． （3）的周长为：． 由 (1) 知， 周长． 是定值（）， （等腰直角三角形性质）， 当最小时，最小． 当时，最小（直角三角形斜边中线）， 此时， ． 因此，周长的最小值为：． 11．如图，在中． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，，为外的一点，连接，且，过点作交的延长线于点，请写出之间的数量关系，并给出证明； (3)如图3，，作平分交于点，过点作交的延长线于点，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)6 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于点，先证明为等腰直角三角形，然后利用勾股定理求得，最后利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，分别证明和得到，，再根据勾股定理求得，进而可证得结论； （3）延长到，使，连接，可证，得到，那么，作关于的对称点，连接，则，，连接，则，当三点共线时，最小，且等于的长，推导出的最小值为的值，取的中点，连接，，过点作于点，根据直角三角形的斜边上的中线性质和勾股定理求解即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 的面积为； （2）解：， 证明：在上截取，连接，如图所示： ， ， ，，， ，即， 在和中，， ， ，即， ，则， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ，即， 又， ∴； （3）解：延长到，使，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， 作关于的对称点，连接，则， ， 连接，则， 当三点共线时，最小，且等于的长， 的最小值为的值， 连接，由轴对称的性质可得，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，取的中点，连接，，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、最短路径、勾股定理等知识，有一定的难度，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用，学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 12．如图，是等边三角形，为边上一个动点（与、均不重合）．．，连接． (1)求证：； (2)若，的面积为，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，证明是解答本题的关键． （1）先证明，根据即可证明； （2）根据题意知四边形的周长，，根据垂线段最短得当垂直时，最小，求出的长即可解决问题． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ， ， 在与中 ， ； （2）解：由题（1）得， ， ， 四边形的周长 ， ， ， 当最小时，四边形的周长最小， 当垂直时，最小， 当垂直时，， 最小为， 则四边形的周长最小． 13．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最值和勾股定理等． （1）根据题意证明，即可得到本题答案； （2）过点B分别作于点 F，于点 G，再证明出和，再证明出四边形为矩形，后得到为正方形，继而利用正方形性质即可得到结论； （3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形，      ， ； （3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ． 14．如图，在中，，为边上一动点，过点作的垂线，交于点． (1)若平分，且，，求的长； (2)如图，若，且是的中点，当时，求的长； (3)如图，在上，用尺规作图的方法，找出另一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (4)若，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)的最小值为 【分析】（1）作于，可求得，由求得，进而得出结果； （2）取的中点，连接，根据三角形中位线定理得出，可证得，从而得出，进而求得，进一步得出的长； （3）作的垂直平分线，交于，以为圆心，为半径画弧，交于，从而得出点就是求作的点； （4）当以为直径的圆于只有一个公共点时，最小，连接，，作于，设，由得出，进一步得出结果． 【详解】（1）如图， 作于， 平分，， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图， 取的中点，连接， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，作的垂直平分线，交于，以为圆心，为半径画弧，交于，则点为所求的点， （4）作，交于点，则：， ∵， ∴， ∴ ∴， ， ∴当最小时，最小， ∵点在上， ∴当时，最小， 最小， 连接，，作于， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，等面积法，勾股定理等知识，解决问题的关键是掌握以上知识点． 15．如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以点D和点E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G． (1)连接、，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是______（填序号）． ①；②；③；④ (2)当，______； (3)若，，P为上一动点，求的最小值． 【答案】(1)④； (2)； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质： （1）连接、，证明，即可得出答案； （2）先求出，再根据全等三角形的性质得出，得出，进而得出答案； （3）过点G作于H，即为的最小值，先根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质得出，设，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：连接、， 在和中， ， ∴， 故选：④； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点G作于H，即为的最小值， ∵，，， ∴， ∵，，是的平分线， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵P为上一动点， ∴的最小值． 16．如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明； (3)如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】（1）作交于，根据等腰直角三角形的性质，可推出，即知，通过三角函数求出、，从而求出，继而求出，则的值即可解出． （2）作交于，根据已知条件先证明，得出，，，根据角度关系推出，从而证明四边形是矩形，根据，可知，可证明，即有，则矩形是正方形，所以，则． （3）连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、、、，交于，根据是等腰直角三角形，是的中点，可知，同时，可知当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，再根据关于直线对称，可知，且当点位于的连线上时，等号成立．根据求出，结合三角函数可逐步推出，再根据三角函数求出与的关系，从而求出和，，和，根据值，依次求出和，根据勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：作交于，如图1： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 作交于，如图2， 在和中， ， ∴ ∴，，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、，交于，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，是的中点， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴当点运动时，始终成立，即点在射线上运动， ∵关于直线对称， ∴， ∴，且当点位于的连线上即与点重合时，等号成立． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∵ ∴， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角函数，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，“将军饮马”的模型，熟练掌握等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，“将军饮马”模型的应用是解题的关键． 17．已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有．地 城 类型03 探究角的数量关系 (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为，难度适中． （1）先证明，，进而得出，由三角形外角的性质得，然后求出即可； （2）①只要证明即可； ②由三角形外角的性质得，由角平分线的定义得，，然后整理可得． 【详解】（1）证明：∵分别平分， ∴， ∴ ． 在中， ． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①结论：． 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ②∵是的外角， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴． 18．综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔． 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在中，，平分，于点，尝试取了几组，的特殊值，并量得的度数，得到表中几组对应值． 的度数 的度数 的度数 【结论探究】 （1）若，，则的度数为_____； （2）试探究，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 （3）仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，如图②，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）由表中的数据，可得． （2）由表中的数据，可猜想．结合已知条件，根据三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余， 角的和差关系说明理由即可． （3）过点作，由，得．推出即可． 【详解】解：（1）由表格可知：， ∴当，时，； （2）． 理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． （3）； 过点作，由（2）可知：， ∵， ∴， ∴． 19．如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 20．请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点.                                                                                                         （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）①根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；②根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴    ∵   ∴ ∴ ∴； （3）①点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ②∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 21．图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：____________________； (2)图2中，当，时，求的度数．（写出过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角的知识，． （1）利用三角形外角可得； （2）由（1）可得，， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由三角形外角性质可得， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 22．如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，则______； (2)判断与的数量关系，并加以证明； (3)若的平分线与的外角的平分线相交于点（如图2），直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线、三角形内角和、三角形的外角的性质： （1）（2）如图（见解析）利用三角形内角和定理、并结合角平分线和三角形的外角的性质即可得； （3）利用（2）中结论即可得到，从而可得． 【详解】（1）解：，理由见（2）； 故答案为：． （2）解：，证明如下： 如图， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）结论可知：， 又， ∴， 即． 23．（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立．理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （2）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （3）在射线上取一点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据和等量代换即可得． 【详解】解：如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （2）结论仍然成立．理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）如图3，在射线上取一点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 24．如图，，分别平分，交于点D，探究与的数量关系. (1)若，，则与的数量关系为 ； (2)对于一般情形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，正确运用三角形内角和定理是解答本题的关键． （1）结合已知条件，利用三角形内角和定理及角平分线定义求得，，再利用角的和差求得，从而得出结论 （2）利用三角形内角和定理及角平分线定义求得，然后结合已知条件，利用角的和差即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下: ∵，分别平分，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G．地 城 类型04 探究两条线段的数量关系 (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论依然成立，说明见解析 【分析】本题考查了互余，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，，进而证明出，得到即可； （2）同（1）理可证，得到即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论依然成立，说明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知． 在和中， ， ∴， ∴． 26．【问题背景】 如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线右侧作，且． 【问题再现】 （1）如图1，当点在线段上时，过点作于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题推广】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，过点作交的延长线于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，连接交于点．若，求的值． 【答案】（1），理由见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得，然后结合即可得到； （2）过点作，交延长线于，由“”可证，可得，由“”可证，可得； （3）首先证明出，得到，，然后证明出，得到，，然后求出，，然后利用代入求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ， 在与中 ， ， ， ∵， ∴； （2）如图2，过点作，交延长线于， ∵，， ∴，， ， 在与中， ， ， 又∵， ， 又在与中， ， ∴； （3）∵， ∴设，， ∵，， ∴， ∴，， ， 在与中， ， ，， 又∵， ， 在与中， ， ∴，， ∴，， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 27．在中，． (1)如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，，，求的长度． (2)如图2，M为中点，点P、Q分别为线段、上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与的数量关系并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据中点构造辅助线． （1）证明，得到，，即可得解； （2）连接，可证，得到，，延长至点G，使得，连接，可证，得到，，从而可得，，得到，证得，得到； （3）连接，由共线可得，延长至点H，使得，连接，可证，得到，，从而，连接，令与交于点N，由可得，可证，得到，，，作，可证，得到，推到，，，，最终得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2），理由如下： 如图2，连接，延长至点G，使得，连接， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵M为中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，连接，，延长至点H，使得，连接，作交于K，令与交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵D、Q、M三点共线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段， (1)如图1，若，连接，．求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及几何最值问题，解题的关键是通过构造辅助线（如延长线段构造全等三角形）转化线段和角的关系，利用全等三角形和特殊三角形的性质解决问题． （1）由推出是等边三角形，得；结合等边的性质，证；用证，得出． （2）延长至H使，证，得；证，得；由，推出． （3）延长至Q使，证，得且；结合，证是等腰直角三角形，得，利用（2）的结论分析角度关系，求出． 【详解】（1）解：， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 因，则， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时， 取最小值，即取最小值，此时． 29．在中，，，点D是射线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． (1)观察猜想 如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)类比探究 如图2，当点D在线段的延长线上时，请根据题意补全图形，并判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； (3)拓展应用 当点D在射线上运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，； (2)仍然成立，见解析 (3)2或10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先证明，再证明，得出，，即可得解； （2）先证明，再证明，得出，，即可得解； （3）分两种情况：当点D在线段上时；当点D在线段的延长线上时；分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵在直线的右侧作，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即； （2）解：画出图形如图所示： ， ∵在中，，， ∴， ∵在直线的右侧作，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：当点D在线段上时，； 当点D在线段的延长线上时，； ∴线段的长为或． 30．已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 31．在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；； (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析； (3)或 【分析】（1）解直角三角形得到，由线段中点的性质得到，由旋转的性质可得，则是等边三角形，由等边三角形的性质得到；证明，可得； （2）同（1）求解即可； （3）分点Q在点C左侧和点Q在点C右侧两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得不管点P（不与点C重合）运动到何处都有， ∴， ∴点Q在过点D且与垂直的直线上运动； 如图3-1所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于M，设直线交于N， ∴， ∵， ∴， ∴， ，； 同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作于M，设直线交于N，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 32．如图，中，，D为直线上一动点，连接在直线的右侧作，且，过点E作，垂足为N． 【观察发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的关系，不用证明； 【探究迁移】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；求证：； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （4）当点D在直线上时，连接交直线于点M；当的面积为8，的面积为时，则的面积为 ． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析；（4）8或16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过证明三角形全等实现线段与角的转化，进而推导各结论． （1）通过证明，结合得EN与BC的关系； （2）先证得，再证得； （3）同理证全等得，再证推导BD与MN的关系； （4）分的位置，结合面积与全等关系计算的面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴． ∵ ， ∴． ∴与的数量关系是，位置关系是． （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3）解：． 理由：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴ （4）解：设，分两种情况讨论： 情况一：当在边上时， ，即, , ∴. ∴． 情况二：当在延长线上时， ∴. ∴． 故答案为：8或16． 33．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：．地 城 类型05 探究三条线段的数量关系 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点D在边上，线段、、之间的关系为______（直接写出结论）； ②如图3，若点D在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系； （2）如图4，等腰中，，，，且交于点D，以为边作等边，直线交直线于点F，连接交于点M，写出、、之间的数量关系，并加以说明． 【答案】问题提出：证明见解析；方法应用：（1）①；②；（2），见解析 【分析】问题提出：根据等边三角形的性质可得，再通过角的转换可得，进而可证明，则可证明； 方法应用：（1）①过点E作，交于点，可证是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而由即可求证；②过点E作，交于点，同理①证明是等边三角形和即可求证； （2）由等边三角形的性质得，，，即得，，进而可得，得到，又由线段垂直平分线的性质得，得到，即得到，在上截取，可得是等边三角形，进而可证，得到，由得，即可求解． 【详解】解：问题提出：∵、都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 方法应用：（1）证明：过点E作，交于点G，如下图： 是等边三角形，， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②过点作，交于点，如下图： 是等边三角形，， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，是等边三角形， ，，， ，， 在中， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 如下图，在上截取， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 。 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 34．等边中，点D为边上一动点，连接，与关于直线对称，连接． (1)如图1，点E恰好落在平分线上，则求 °； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，，于点H，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)15 (2)①；②2 【分析】（1）根据三线合一的性质可得，则根据对称的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解； （2）①延长，交于点，证明为等边三角形，再证明，即可得线段、和之间的数量关系； ②连接，取中点，连接，则当、、三点共线且与重合时，最短，此时点与点重合，即可求得长度． 【详解】（1）解：设与交于点，如图， 是等边三角形，点E恰好落在平分线上， ，，， ， 由对称性质得：， ， ， ， 故答案为：15； （2）解：①，理由如下： 如图，延长，交于点， 设， 由对称的性质得：，，，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． ； ②如图，连接，取中点，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 当、、三点共线且与重合时，最短，此时点与点重合，点与点重合， 、分别是、的中点， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点． 35．如图，在等边三角形中，点E是边上一定点，点D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点D在边上，且与不平行时，求证：； (3)如图3，若点D在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质与判定及全等三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定及全等三角形判定与性质是解题关键， （1）先得出，再根据平行得出，可证明即可得出结论； （2）作，交于点M，证明即可得出结论； （3）作，交于点N，证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：在等边三角形中，， ， ， ， 为等边三角形； （2）证明：作，交于点M， 同（1）可得是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 作，交于点N， 同（1）可得是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 36．在中，，，点D是所在直线上的动点，连接，点E是点B关于直线的对称点，直线与直线交于点F． (1)当，点D移动到如图1的位置时，直接写出线段，，之间的数量关系； (2)当，点D移动到如图2的位置时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由； (3)当时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，；当点D在线段延长线上时，． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）延长至点，使，证明≌即可得出结论； （2）延长至点，使，证明≌即可得出结论， （3）分三种情况讨论，用（1）（2）中的方法证明即可． 【详解】（1）解：； 如图：延长至点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 如图，延长至点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：①如图，当点D在线段上时， 延长至点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； ②如图，当点D在线段延长线上时， 在上取点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ③如图，当点D在线段延长线上时， 在上取点，使， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，； 当点D在线段延长线上时，． 37．已知在等边中，点是边延长线上一点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． (1)如图1，若点在边上，点在上，且．求证： ① ②； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）①由判断形状，由，即可得出；②由判定，即可得到，进行边的转化即可得到答案； （2）延长并截取，连接，由判定，进行边的转化即可得到结论． 【详解】（1）证明：①是等边三角形， ． ， 是等边三角形， ， ． ②和是等边三角形， ， ． 在和中， ， ． ， ． （2）解：． 理由：延长并截取，连接，如图2所示： 同（1）得：是等边三角形，， ． ， ． 38．在中，，，点为直线上的一个动点（点不与点、重合），以为边作，，，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时， ①请判断和之间的数量关系为____________，位置关系为____________，并完成证明； ②请直接写出、、三者之间的数量关系____________； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①，，证明见解析；② (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理可得，证明即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）证明，得出，再根据，即可得到． 【详解】（1）解：①，，证明如下： ∵在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：不成立，存在的数量关系为，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵，即， ∴． 39．在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． (1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)图见详解，当点在线段的延长线上运动时：，当点在线段的延长线上运动时： 【分析】（1）根据证明，则可得，由点为的中点，可得，则可得，由可得； （2）同（1）证法相同，先证，则可得，由，，可得； （3）①当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得； ②当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴ ∵，， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 40．如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，需熟练掌握分类讨论的思想，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明； （2）作于点M，分别证明，，根据全等三角形的性质解得即可； （3）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：作于点D，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 作于点M，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：点P在线段上时，此时，如图， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， 即； 点P在线段的延长线上时，此时， 作于点M，如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， 即； 综上，或． 41．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点．且．地 城 类型06 动点存在性问题 (1)求证：． (2)动点以点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． ① （用含的代数式表示）； ②若点是直线上的一点（不与点重合），且，是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）由，，，可得，通过即可证明； （2）①分为当在线段上时和当在线段延长线上时进行求解即可； ②分两种情形：当在线段上时和当在线段延长线上时，结合全等三角形的判定和性质进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：是边上的高，是边上的高， ， ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：①依题意，当在线段上时，得 当在线段延长线上时，， 故答案为：或； ②存在，理由如下： 如图2，当在线段上时， 由（1）可知， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 如图3，当在线段延长线上时， 由（1）可知， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 42．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）分类讨论当和当时两种情况即可； （2）由题意得，可得，分类讨论当和当时两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得厘米， 当时，； 当时，； 则； （2）由题意得， ∴， 当时，， 此时， 解得； 当时，， 此时， 解得； 综上所述：当或时，与的面积相等； （3）由题意得是直角三角形， ∴当时，即点在上运动时，有， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， 解得； （4）存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在长方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 43．如图，在中，D为的中点，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是． (1)在运动过程中，当点C位于线段的垂直平分线上时，求出t的值； (2)在运动过程中，当时，求出t的值； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，据此列出方程求解即可； （2）根据时，，建立方程求解即可； （3）根据时，，，建立方程求解即可说明． 【详解】（1）解：由题意得，则， 当点C位于线段的垂直平分线上时，， ∴，解得， 则当时，点C位于线段的垂直平分线上； （2）解：∵D为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴当时，； （3）解：不存在，理由如下： ∵， ∴，， 则，， 解得，，， ∵， ∴不存在某一时刻t，使． 44．如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂线段最短，一元一次方程的应用，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）分三种情况讨论，根据线段和差以及速度路程的关系建立方程求解即可； （2）设，当时，则，由三角形内角和定理表示出，则，由邻补角可得，再分三种情况讨论，当点在上时，不存在；当点在上时，证明，则，则，即可求解； （3）设点的速度为，分四种情况讨论，根据全等三角形的性质建立方程求解，注意点Q的速度小于点P的速度． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 当点在上时， 根据垂线段最短可得， ∴点在上时不成立； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：， 综上：当或秒时，， 故答案为：或． （2）解：存在，理由如下： 设， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ①当点在上时，， ∵， ∴， 故不成立， ∴不存在； 当点在上时，如图： ∵，， ∴， ∵点Q是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点在上时，显然不成立， ∴综上，存在，． （3）解：设点的速度为， 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：（舍）； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：（舍）， 综上所述：线段分割所形成的三角形恰好与全等，点Q的运动速度为或． 故答案为：或． 45．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了列代数式、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，数形结合是解决问题的关键． （1 ）根据即可列代数式； （ 2）先求出，再由三角形面积公式求解； （3 ）当以为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到，则；当以为底时，则，则． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，，此时点在上，如图所示： ∴的面积； （3）解：存在， 理由如下： 当以为底时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当以为底时，如图所示： 则， ∴， 综上所述：存在，的值为或． 46．如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分为两种情况：当为直角时；当为直角时，分别求解即可； （3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，求解可求得t值． 【详解】（1）解：∵， ，， ； （2）①当为直角时，点P与点C重合， 此时， ∴． ②当为直角时， ， ， ， 在中， 在中， ， 解得 ， 综上， 当或 时，为直角三角形． （3）如图∶ ①当时， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ，， 在中， 所以 解得：， 综上所述：当为等腰三角形 时，或或 47．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (4)设点P到的距离为，求y与t之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4) 【分析】（1）根据线段的和差列式即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，列方程即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据全等三角形的性质即可得到结论； （4）连接，过点C作，垂足为F，根据三角的面积即可得到结论. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵点D，E关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：连接，过点C作，垂足为F， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题几何变换综合题，考查了轴对称的性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 48．如图（1），．点在线段AB上以的速度由点向点运动，同时，点在线段BD上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等；；理由如下； (2)存在；或使得与全等． 【详解】（1）解：与全等，，理由如下： 当时，， ， ， ∴, ， ， 在和中， ， ， ， , . （2）解:由题意可知，， ①若，则， ∴，解得：； ②若，则， ∴，解得：。 综上可得，存在或使得与全等． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角形和特殊三角形相关动点问题 (6种类型48道) 类型动点定值问题 类型2动点最值问题 类型3探究角的数量关系 三角形和特殊三角 形相关动点问题 类型4探究两条线段的数量关系 类型5探究三条线段的数量关系 类型6动点存在性问题 目目 类型01 动点定值问题 1.如图所示，四边形ABCD中，AC1BD于点O,且A0=C0=12,B0=D0=5,点P为线段AC上的 一个动点 B (1)填空：AD=CD= (2)过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点. ①试说明PM+PH为定值. 1/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②连接PB,试探索：在点P运动过程中，是否存在点P,使PM+PH+PB的值最小？若存在，请求出该最 小值；若不存在，请说明理由， 2.△ABC的顶点C是平面内一动点，始终保持LACB<120°，分别以AC,BC为边，向外作等边三角形 ACD和等边三角形BCE,连接BD交AC于点F,连接AE交BC于点G,BD与AE交于点O,连接OC. D (1)求证：BD=AE; (2)求∠A0C的度数； 3)在点C运动过程中，下列结论OO1+OC是定值：②OE-0C 是定值.请选择你认为正确的结论，并证 OD OB 明它，如果你认为都不正确，也请说明理由 3.已知：如图1，在ABC中，点D是AC上一定点，点E是AB上一动点. G D B 图1 图2 图3 (1)设∠ABC=,∠ACB=B ①当a+B=110°时，求∠1+∠2的度数： ②在图2中，作出点E使∠BED与B互补（要求尺规作图，保留作图痕迹.不写作法）： (2)把ABC沿着DE所在的直线折叠，使A的对应点A落在ABC的外部，如图3，∠ABC和∠ACB相邻 的外角的平分线相交于点G.①求证：∠G=】∠4： ②当∠1=78，∠2=160°时，试探究∠G是否为定值，若是定值，求出∠G的度数，若不是定值，请说明理由. 4.某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②.在图①中，∠A=30°；在图② 中，∠D=90°，∠F=45°，图③是该同学所做的一个实验：他将aDEF的直角边DE放在ABC的斜边 2/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC上（即点D、E在AC上），并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中（移动开始时点D与点A重合）， 在△DEF沿AC方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答. B B 图① 图② 图③ (1)能否将aDEF移动至某位置，使F、C的连线与AB平行？如果能，求出LCFE的度数； (2)△DEF在移动的过程中，∠FCB与∠CFE的度数之和是否为定值？若为定值，请求出，请说明理由 5.如图1，在等边ABC中，AB=8cm,动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时 从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运 动时间为以t(s.过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D,以CQ、CE为边作平行四边形COFE, B B C→O 图1 图2 (1)AE=;(用含t的代数式表示) (2)①尺规作图：作∠ABC的角平分线BH,交AC于点H; ②当B、H、F在同一条直线上时，求的值； (3)发现：在点P和点Q运动过程中，DE的长是一个定值，请你求出这个定值： (4)如图2，取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折，得到△B'PM，连接AB′，直接写 出AB'的最小值及此时t的值. 6.如图，D是等边ABC的BC边上的动点（不与点B,C重合），在AC边上取点E,使CE=BD.连接 AD,BE交于点F. 3/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F B D (1)求证：AD=BE; (2)AD和BE所成锐角是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)设△ABF的三边长分别为AB=a,AF=b,BF=c,试探究a,b,c之间有何数量关系？写出你的结论， 并证明. 7.如图，在等边△ABC中，线段AM为边BC上的中线.动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下 方作等边△CDE,连结BE, M (1)求∠CAM的度数； (2)若点D在线段AM上时，求证：∠CAM=∠CBE.; (3)当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点O,试判断∠AOB是否为定值？并说明理由. 8.如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E. B E B E 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若FE=FD,试说明AD=CE, (2)如图(2)，若FE=FD,AB=2,过点D作DG1AC,垂足为点G,GF的长是否为定值？若是，请求 出这个定值；若不是，请说明理由. 目目 类型02 动点最值问题 4/22 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.如图1，ABC是边长为4的等边三角形，O为BC中点. B 0 C 图1 (1)求A0的长. (2)如图2，点E在线段AC上，连接BE并延长至点F,使EF=BE,连接AF,G为线段BC上一动点. F E B GO C 图2 ①当AE=1时，求AF的长； ②若AG=AF,且∠BAF≤150°，求AE+BG的最小值. 10.如图，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4,D是边AB上的一动点（不与A,B重合），连接CD, 将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE,连接BE,DE. E D B (1)求证：ACD≌BCE; (2)探究线段AD,BD,CD之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在点D移动过程中，请直接写出△DBE的周长的最小值. 11.如图，在ABC中. 5/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 图1 图2 图3 (1)如图1，若AC=62,AB=2,∠A=45°，求ABC的面积： (2)如图2，∠A=45°，D为ABC外的一点，连接CD,BD,且CD=CB,∠ABD=∠BCD,过点C作 CE⊥AC交AB的延长线于点E,请写出BD,AB,AC之间的数量关系，并给出证明； (3)如图3，∠CAE=45°，∠C=90°，作AP平分∠CAE交CE于点P,过E点作EM⊥AP交AP的延长线于点 M,点K为直线AC上的一个动点，连接MK,过M点作MN⊥MK,且始终满足MN=MK,连接AN, AC=2,请直接写出(AN+MN)的最小值. 12.如图，ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点(D与B、C均不重合).AD=AE.LDAE=60 ,连接CE. (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AB=4,ABC的面积为4√5，求四边形ADCE周长的最小值. 13.综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变 换的几何问题. D 图1 图2 图3 (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形ABC内部一点，小颜发现：将BM绕点B逆时针旋转60°得到 6/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BN,则MC=NA,请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形ABCD内部一点，将BM绕点B逆时针旋转90°得 到BN,连接CM并延长，交AN于点E.求证：EM+EN=√2EB; (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为ABC内部一点，AB=AC,点P,Q是 AB,AC上的动点，且AP=AQ,若∠ABM+∠ACM=30°，BM=4,CM=3V3请直接写出PM+QM的 最小值 14.如图1，在ABC中，∠A=90°，D为AC边上一动点，过点D作BD的垂线，交BC于点P. A D 图1 图2 图3 备用图 (1)若BD平分∠ABC,且BD=4,DP=3,求AD的长； (2)如图2，若DB=DP,且P是BC的中点，当AB=2时，求BP的长； (3)如图3，在AC上，用尺规作图的方法，找出另一点E,使得LBEP=90°（保留作图痕迹，不写作法）： (4)若AB=6,AC=8,直接写出BP的最小值 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD,使BE=BD;分别以点 D和点E为圆心、以大于。DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G. G D (1)连接EF、DF,通过证明△BEF≌△DEF,得到LABG=LCBG,从而得到BG是∠ABC的平分线，其 中证明△BEF≌△BDF的依据是（填序号）. ①SAS;②ASA;③AAS;④SSS (2)当∠A=56°，LBGC=; (3)若AC=3,BC=4,P为AB上一动点，求GP的最小值. 16.如图所示，等腰直角ABC中，AB=AC,点D是BA延长线上一点，连接CD,点E是CD上一点， 连接BE,交AC于点F, 7/22 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若LCBE=30°，CF=√2，求AF的长： (2)如图2，过点A作AM⊥BF于点M,若BF=CD,试猜想AM、BE、CE之间的关系并推理说明： (3)如图3，在(2)的条件下，若H为射线BD上一动点，BGH为等腰直角三角形，且BG=GH,点P为 GH中点，若BC=25,CE=2,请直接写出EP+FP的最小值 目目 类型03 探究角的数量关系 17.已知ABC的三条角平分线相交于点O,点D在AC边上，且有∠A0B=∠AD0. 图1 图2 (1)如图1，求证：0D10C. (2)如图2，延长BO,交ABC的外角∠ACE的平分线于点F. ①判断OD与CF的位置关系，并说明理由： ②猜想∠BAC和∠F的数量关系，并给出证明 18.综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔。 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D,尝 试取了几组∠B,∠C的特殊值，并量得∠EAD的度数，得到表中几组对应值. ∠B的度数 20° 30° 40° 50° ∠C的度数 50° 60° 60 70° ∠EAD的度数 15° 15° 10 10° 8/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E B D ED ① ② 【结论探究】 (1)若∠B=20°，∠C=80°，则∠EAD的度数为； (2)试探究∠B,∠C与∠EAD之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 (3)仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于点D”改为“F是线段AE上一点， FD⊥BC于点D”,如图②，请直接写出∠B,∠C与∠DFE之间的数量关系. 19.如图1，己知线段AB,CD相交于点O,连接AC,BD,我们把形如这样的图形称为“八字图形”. A D B E 图1 图2 图3 (1)如图1，探究∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系 (2)如图2，AE平分∠CAB,DE平分LBDC,AE,DE交于点E. ①若∠C=30°，∠B=20,求∠E的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成”∠CAE=∠CAB,∠CDE=∠BDC”,试判断∠E与∠B,∠C之 A 4 间存在的数量关系，并说明理由. 20.请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题。 【探究】 9/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (1)如图①，点P是ABC的内角∠ABC与内角∠ACB的平分线BP和CP的交点，若LA=70°，则 ∠BPC=_°. (2)如图②，点P是ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点.求证： ∠8rc=90-4. 【拓展】 (3)如图③，点P是ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，点M、N分别在边 AB、AC上，连接MN.设LBMN+∠CNM=x. ①∠BPC与x的数量关系是一· ②当aBPC为锐角三角形时，直接写出x的取值范围. 21.图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在 图1的条件下，∠DAB和LBCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解 答下列问题： D D M 图1 图2 (1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： (2)图2中，当∠D=50°，∠B=40°时，求∠P的度数.（写出过程） 22.如图1，在ABC中，∠ABC的平分线与ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D. 10/22