专题01 三角形和特殊三角形相关含辅助线证明题分类训练（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形和特殊三角形相关 含辅助线证明题分类训练 (6种类型48道) 类型到倍长中线 类型2截长补短 类型3半角模型 含辅助线证明题 类型4作垂直 类型5作平行 类型6构造直角三角形证明边的关系 目目 类型01 倍长中线 1.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=4,AC=6,D是BC的 中点，求BC边上的中线AD的取值范围. E D 图1 图2 (1)求AD的取值范围 (2)如图2，ABC中，∠B=90°，AB=4,AD是ABC的中线，CE⊥BC,CE=8,且∠ADE=90°，求 1/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE的长. 2.八年级数学兴趣小组在一次活动中对“倍长中线法”进行了探究试验活动，请你和他们一起参与本次探究 活动吧. E B D B A 图1 图2 图3 【探究与发现】 (1)如图1，在ABC中，AD是ABC的中线，小聪同学表示：延长AD至点E,使ED=AD,连接BE, 就可以求证ADC≌EDB,请你帮助他写出证明过程， 【理解与应用】请你运用类似方法解决下列问题： (2)请你运用如图2，在ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F,且AE=EF.求 证：AB=CF; (3)如图3，CD是ABC的中线，且AB=BE=AC,求证：CE=2CD. 3.(1)如图1，在ABC中，AB=10,AC=6,AD是边BC上的中线，通过倍长中线，使DE=AD,可 求出AD的取值范围，请直接写出AD的取值范围： 图1 图2 (2)如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于点E,，交AD于点F,且AE=EF.求证：AC=BF· 4.(1)阅读理解：如图①，在ABC中，若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问 题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,这样就把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利 用三角形三边的关系即可判断AE的取值范围是 ,则中线AD的取值范围是 (2)问题解决：如图②，在ABC中，D是BC边上的中点，过点D作DE⊥DF于点D,DE交AB于点 E,DF交AC于点F,连接EF,求证BE+CF>EF. (3)问题拓展： 2/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=160°，以C为顶点作∠ECF=80°，角 的两边分别交AB,AD于E、F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明. B B 图① 图② 图③ 5.积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在ABC中， AB=8,AC=6,求ABC中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2， (1)延长AD到E,使DE=AD,连接BE,则有△ACD≌△EBD,得AC=BE,利用三角形三边之间关 系得AD的取值范围为；（直接写出结果） D 图1 图2 学会运用：(2)如图3，在ABC中，(AB>AC),D,E为BC边上的点，DE=DC,连AD,过点E作 AB的平行线交AD于F点，若EF=AC,求证：∠EFD=∠BAC. E 图3 举一反三：(3)在ABC中，D为BC中点，E为DA延长线上一点，过点C作AB的平行线，并在其上取 一点F,连EF,使∠BAD=∠DEF,若AB=I3,CF=3,直接写出EF的长 3/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (备用图) 6.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线. B (1)按要求作图：延长AD到点E,使DE=AD;连接BE, (2)求证：△ACD≌△EBD. (3)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围， 7.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法 图1 图2 (1)如图1，在ABC中，AB>AC,AD是中线，延长AD至点E,使DE=DA,可得ADC≌EDB,请 你说明理由. (2)如图2，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M为BC中点，求证：DE=2AM· 8.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在ABC中，AC=6,AB=8,D是 BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. B E 图1 图2 (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题.延长AD到点E,使DE=AD, 4/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接BE,可以判定ADC≌EDB,得出AC=BE,这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利 用三角形三边的关系，探究得出AD的取值范围是 (2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在ABC中，点D、E在BC上，且DE=DC,过E作EF∥AB与AD相交于点F,且EF=AC.求 证：AD平分∠BAC. 目目 类型02 截长补短 9.在ABC中，∠ABC=LACB,点D与点E分别在AB、AC边上，DE∥BC,且DE=DB,点F 与点G分别在BC、AC边上，∠FDG= ·∠BDE G D E B 图1 图2 图3 (1)若∠BDE=120°，DF⊥BC,如图1，点G与点C重合，证明：FG=BF+EG; (2)当G在线段EC上时，如图2，探究线段BF,EG,FG的数量关系，并给予证明； (3)当G在线段AE上时，如图3，猜想线段BF,EG,FG之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不 需要证明. 10.如图1，等腰ABC,AB=AC,∠A<60°，D为ABC外部一点，在AB的右侧作∠ABD=60°，且 ∠ADB=∠ACB. 图1 图2 (1)探究线段AB、CD和BD的数量关系； (2)若将“∠A<60°”改为“∠A>60°”，(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，给出正确的 结论，并简要说明理由， 5/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.如图，己知AP∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,CE的连线交AP于点D,求证： AD+BC=AB. P 12.如图所示，在ABC中，∠ABC=2LC,AD是∠BAC的平分线.求证：AC=AB+BD. B D 13.已知：如图，在ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F.若 AE、CD为ABC的角平分线. B D (1)求∠AFC的度数； (2)若AD=6,CE=4,求AC的长. 14.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,CA平分LBCD,∠CAD=号∠BAE. B D (1)求证：CD=BC+DE; (2)若∠B=75°，求∠E的度数. .CA平分∠BCD, 6/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AD=AE,求证∠ABE=LACD;在此问题的基础 上，老师补充：过点A作AF⊥BE于点G,交BC于点F,过F作FP⊥CD交BE于点P,交CD于点H, 试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由.小白通过研究发现，∠AFB与∠HFC有某种数量 关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可 以得出结论.阅读上面材料，请回答下面问题： D 图1 图2 (1)求证∠ABE=∠ACD; (2)猜想∠AFB与∠HFC的数量关系，并证明； (3)探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并证明. 16.在四边形ABDE中，点C是BD边的中点. C D 图0 图② (1)如图①，AC平分∠BAE,∠ACE=90°，写出线段AE,AB,DE间的数量关系及理由； (2)如图②，AC平分∠BAE,EC平分∠AED,∠ACE=120°，写出线段AB,BD,DE,AE间的数量关 系及理由 目目 类型03 半角模型 17.问题背景如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别在BC 、CD上，且LEAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由， 由“∠EAF=60°，∠BAD=120°"的数据信息，解决问题的方法是：延长FD到G,使得DG=BE,连接AG, 则可以先证△ABE≌△ADG,再证 2 从而得到BE,EF,FD之间的数量关系是： 验证猜想写出上述推理的详细过程； 7/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 探索延伸如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+LD=I80°，E、F分别在BC、CD上，且 ∠BF-B4D,上述结论是否成立，并说明理由， D D E E B 图1 图2 18.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD,BD=5cm,BC=4cm, F 图1 备用图 (1)求AD的长； (2)点E从点A出发以每秒2cm速度沿着射线AB运动，设运动时间为t秒，点F在射线BC上，且 ∠EDF=∠ADC. 2 ①如图1，若点E在线段AB上，判断线段AE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明. ②在整个运动过程中，求△BEF的周长（结果可用含t的式子表示）. 19.在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为ABC外一点，且 ∠MDN=60,∠BDC=I20°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之 间的数量关系及△AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系. M M B M D D D 图1 图2 图3 8/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；此 时Q (2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？若成立请直 接写出你的结论；若不成立请说明理由， (3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证 明 20.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,LB=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAP-B4D,线段EF,BE,FD之间的关系是一：（不需要证明） (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠BF-BD,(1)申的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系， 并证明. (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点， 且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系， 2 并证明. D B 图1 图2 图3 21.已知：边长为4的正方形ABCD,∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F,且∠EAF=45°， 连接EF,求证：EF=BE+DF, 9/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -E O B E 图1 图2 图3 思路分析： (1)如图1，：正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90, 把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE,则F、D、E在一条直线上， ∠EAF=度，… 根据定理，可证：△AEF≌△AEF. ∴EF=BE+DF. 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程： 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,D、E在BC上，∠BAC=2∠DAE.若SMABC=14,SADE=6,求线 段BD、DE、EC围成的三角形的面积. 22.问题情境 在等边△ABC的两边AB,AC上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°， BD=DC. B D D (图1) (图2) 特例探究 如图1，当DM=DN时， (1)∠MDB=度； 10/21 专题01 三角形和特殊三角形相关 含辅助线证明题分类训练 （6种类型48道） 1．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．地 城 类型01 倍长中线 (1)求的取值范围． (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （2）延长交于点F，证明，根据全等性质得，，利用得等腰三角形即可求得答案． 【详解】（1）证明：延长到点E，使 ∵D是的中点 ∴ 在和中， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故 （2）延长交于点F，如图 ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．八年级数学兴趣小组在一次活动中对“倍长中线法”进行了探究试验活动，请你和他们一起参与本次探究活动吧． 【探究与发现】 （1）如图，在中，是的中线，小聪同学表示：延长至点，使，连接，就可以求证，请你帮助他写出证明过程． 【理解与应用】请你运用类似方法解决下列问题： （2）请你运用如图，在中，为中线，为上一点，、交于点，且．求证：； （3）如图，是的中线，且，求证：． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）证明见详解． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，“倍长中线法” 是解决此类三角形线段关系问题的核心方法，熟练构造全等三角形并运用全等性质转化线段、角的关系是解题关键． （1）利用中线的定义得到线段相等，结合对顶角相等，通过判定定理证明三角形全等； （2）通过 “倍长中线” 构造全等三角形，将转化为等长线段，再利用等腰三角形的角相等关系完成线段等量代换； （3）同样借助 “倍长中线法” 构造全等三角形，结合已知边的等量关系，通过证明三角形全等，进而将转化为倍长后的中线线段，得出结论． 【详解】（1）证明：是的中线，延长至点， 使， ， 在和中， ， ； （2）证明：在中，为中线，如图，延长至点，使， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，即； （3）证明：是的中线，如图，延长至点，使， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ，即． 3．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，通过倍长中线，使，可求出的取值范围，请直接写出的取值范围：________． （2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三边关系，等边对等角，等角对等边．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解是边上的中线，得，再结合，，证明，根据三角形三边关系进行列式计算，即可作答． （2）与（1）同理，证明，得出，．因为，得，又因为，即，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 即， 即． （2）证明：如图，延长到点，使，连接． 是的中线， ． 在与中， ， ，． ， ． ， ， ， 即． 4．（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断的取值范围是___________，则中线的取值范围是___________． （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，过点D作于点交于点交于点，连接，求证． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，角的两边分别交于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）详见解析（3），详见解析 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，由线段垂直平分线的性质可得，在中，，即； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，延长到点使，再连接， ， ， ∴， ， ∴， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图②，延长至G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即； （3）解：，理由如下： 如图③，延长至使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在中，，，求中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2，（1）延长到E，使，连接，则有，得，利用三角形三边之间关系得的取值范围为_______；（直接写出结果） 学会运用：（2）如图3，在中，，D，E为边上的点，，连，过点E作的平行线交于F点，若，求证：． 举一反三：（3）在中，D为中点，E为延长线上一点，过点C作的平行线，并在其上取一点F，连，使，若，，直接写出的长． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【分析】本题主要考查倍长中线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是解题的关键． （1）延长到E，使，连接，根据题意可证，由三角形三边数量关系即可求解； （2）如图所示，延长到点，使得，连接，可证，得到，，结合题意得到，再根据平行线的性质，角度的和差计算即可求解； （3）如图所示，延长交于点，可证，得，，结合题意，运用等角对等边即可求解． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接， ∵是中线， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴点是的中点， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵过点E作的平行线交于F点，即， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，延长交于点， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1)图形见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定（）及三角形三边关系．解题关键是用“中线倍长法”构造全等三角形，将分散的边（）转化为的边（），再利用三边关系求范围；易错点是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆． （1）按要求作辅助线：延长到E使，连接． （2）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （3）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入得，化简得． 【详解】（1）如图所示： （2） 是边上中线， ， 在和中， ， ． （3）由全等得，； 在中，用三边关系， 代入得，化简得． 7．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． (1)如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． (2)如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）是解题的关键． （1）要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． （2）通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】（1）解： 是中线， ． 在和中， ， ． （2）解：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 8．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，探究得出的取值范围是___________； (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过作与相交于点，且．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接，可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围； （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 解得， 的取值范围是； 故答案为：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即平分． 9．在 中，，点 D 与点 E 分别在、边上， ，且，点 F 与点 G分别在、边上， 地 城 类型02 截长补短 (1)若，，如图1，点G与点 C重合，证明：； (2)当G在线段上时，如图2，探究线段，，的数量关系，并给予证明； (3)当G在线段上时，如图3，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）直角三角形得到，，则，再证明得到，即可得到； （2）在上截取，使得．先证明，得到，，再证明，得到，即可根据得到． （3）在射线上截取，使得．先证明，得到，，再证明，得到，最后根据得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2中，结论：． 理由：在上截取，使得． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3中，结论：． 理由：在射线上截取，使得． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 10．如图1，等腰，，，为外部一点，在的右侧作，且． (1)探究线段、和的数量关系； (2)若将“”改为“”，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，给出正确的结论，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长至点使得，由得到是等边三角形，利用三角形内角和定理得到，通过证明，得到，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上取点使得，由得到是等边三角形，利用三角形内角和定理得到，通过证明，得到，再利用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长至点使得，设与交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，，理由如下： 如图，在上取点使得，设与交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 12．如图所示，在中，，是的平分线．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查等腰全等三角形判定及性质，角平分线性质，等腰三角形判定及性质．要证，而三者没有直接的关系，首先进行等线段转化，而已知条件中出现，因此考虑构造等腰三角形，再利用边的关系出角的关系即可得到本题答案． 【详解】证明：如图所示，在上截取，连接，   ， ∵是的平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 14．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 15．数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证； （2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解． 【详解】（1）解：∵在和中， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）可知，，设， ∵， ∴，且， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，      ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 16．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 17．问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由．地 城 类型03 半角模型 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 18．如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①它们的关系为．证明见解析；②当秒时周长为，当时，不存在；当秒时，周长为 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由勾股定理直接求解； （2）①如图1，延长到点G，使，连结，先证明，再证明，即可求解；②依题意得，记的周长，则，故（I）当秒时，点在线段上，点在上，由①知，II）当时，点与点重合，不存在；III）当时，点在延长线上，点在延长线上，如图2，在上取点G，使，连结，同理可得，，． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：①它们的关系为．理由如下 如图1，延长到点G，使，连结， 又， ，， ， 又， 即 ②依题意得，记的周长， ，， ， （I）当秒时，点在线段上，点在上， 由①知 ， II）当时，点与点重合，不存在. III）当时，点在延长线上，点在延长线上， 如图2，在上取点G，使，连结， 同理可得， 综上所述，当秒时周长为， 当时，不存在. 当秒时，周长为． 19．在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； (2)如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，详见解析 (3)，详见解析 【分析】对于（1），由，可证得是等边三角形，又由是等边三角形，，易证得，然后由直角三角形的性质，即可求得之间的数量关系，此时； 对于（2），在的延长线上截取，连接，可证，即可得，易证得，则可证得，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； 对于（3），首先在上截取，连接，可证，即可得，然后证得，易证得，则可得． 【详解】（1）解：如图1，之间的数量关系． 此时． 理由：∵， ∴是等边三角形. ∵是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∵， ∴， ∴； 故答案为：，． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：， ∴； （3）， 证明：在上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 21．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 22．问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4） 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 23．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由见解析． 【详解】解：（1）如图，延长EB到G，使BG=DF，连接AG， 在与中， ； （2）（1）中结论EF=BE+FD仍成立，理由如下， 证明：如图，延长CB到M，使BM=DF， 在与中 即 在与中 即 ； （3）结论EF=BE+FD不成立，理由如下， 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， 在与中 ． 24．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明） （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，见解析；（3）不成立，新的关系为AE＝EF＋CF． 【详解】解：（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下： ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠C=90°， ∵AB=BC，AE=CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠ABE=∠CBF，BE=BF， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴， ∵∠MBN=60°，BE=BF， ∴△BEF是等边三角形， ∴， 故答案为：AE+CF=EF； （2）如图2，（1）中结论成立；理由如下： 延长FC到H，使CH=AE，连接BH， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠BCH=90°， ∴△BCH≌△BAE（SAS）， ∴BH=BE，∠CBH=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°， ∴∠HBC+∠CBF=60°， ∴∠HBF=∠MBN=60°， ∴∠HBF=∠EBF， ∴△HBF≌△EBF（SAS）， ∴HF=EF， ∵HF=HC+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF； （3）如图3，（1）中的结论不成立，关系为AE=EF+CF，理由如下： 在AE上截取AQ=CF，连接BQ， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠BCF=90°， ∵AB=BC， ∴△BCF≌△BAQ（SAS）， ∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ， ∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE， ∴∠CBE+∠ABQ=60°， ∵∠ABC=120°， ∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN， ∴∠FBE=∠QBE， ∴△FBE≌△QBE（SAS）， ∴EF=QE， ∵AE=QE+AQ=EF+CF， ∴AE=EF+CF． 25．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．地 城 类型04 作垂直    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 26．定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．    (1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________； (2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，进而可得； （2）过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，由角平分线的性质定理和判定定理可得，根据可得； （3）过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可． 【详解】（1）解：是中的遥望角， 平分，平分， ，， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，   平分，，， ， 同理， ， ，， 平分，即， ， ； （3）证明：如图，过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，   ，，， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 平分， 平分， 是中的遥望角． 【点睛】本题考查角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，三角形外角的定义和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． 27．如图，正方形中，点在边上，延长至，连结，使，平分，交于点，连接、、．    (1)依题意补全图形； (2)判断的形状，并证明； (3)用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）利用证明，可得，，在通过，可得，由此得出是等腰直角三角形， （3）过点作交延长线于点，证明可得，，是等腰直角三角形，再根据45°直角三角形的边长关系即可证明． 【详解】（1）解：依题意补全图形    （2）是等腰直角三角形 证明：∵正方形 ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵中， 又∵ ∴中， ∴ ∴为等腰直角三角形 （3）过点作交延长线于点    ∴ ∵   ∴ ∵   ∴ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴   ∴   ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB⊥MN于点B，如图易证BD＋ABCB，过程如下： 解：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E ∵∠ACB＋∠BCD＝90°，∠ACB＋∠ACE＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE． ∵DB⊥MN，∴∠ABC＋∠CBD＝90°， CE⊥CB，∴∠ABC＋∠CEA＝90°， ∴∠CBD＝∠CEA． 又∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB（AAS）， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BECB． 又∵BE＝AE＋AB，∴BE＝BD＋AB， ∴BD＋ABCB． （1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明． （2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论． 【答案】（1）AB-BD=CB，证明见解析．（2）BD-AB=CB，证明见解析． 【分析】（1）仿照图（1）的解题过程即可解答．过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，根据同角（等角）的余角相等可证∠BCD=∠ACE及∠CAE=∠D，由ASA可证△ACE≌△DCB，然后由全等三角形的对应边相等可得：AE=DB，CE=CB，从而确定△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理可得：BE=CB，由BE=AB-AE，可得BE=AB-BD，即AB-BD=CB； （2）解题思路同（1），过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，根据等角的余角相等及等式的性质可证∠BCD=∠ACE及∠CAE=∠D，由ASA可证△ACE≌△DCB，然后由全等三角形的对应边相等可得：AE=DB，CE=CB，从而确定△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理可得：BE=CB，由BE=AE-AB，可得BE=BD-AB，即BD-AB=CB． 【详解】解：（1）AB-BD=CB． 证明：如图（2）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD=90°，∠ECB=90°， ∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD， ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD， ∵∠AFC=∠BFD， ∴∠CAE=∠D， 在△ACE和△DCB中， ∴△ACE≌△DCB（ASA）， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=CB． 又∵BE=AB-AE， ∴BE=AB-BD， ∴AB-BD=CB． （2）BD-AB=CB． 如图（3）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD=90°，∠BCE=90°， ∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB， ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD， ∵∠AFC=∠BFD， ∴∠CAE=∠D， 在△ACE和△DCB中， ∴△ACE≌△DCB（ASA）， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=CB． 又∵BE=AE-AB， ∴BE=BD-AB， ∴BD-AB=CB． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等．注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等． 29．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DCF＝45°． 【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论； （2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°． 【详解】证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）； （2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M， ∵FA⊥FM，∠FAM＝45°， ∴∠FMA＝45°＝∠FAM， ∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°， ∵EF＝FC， ∴∠FEM＝∠FCA， 在△AEF和△MCF中， ， ∴△AEF≌△MCF（AAS）， ∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF， ∵△EAF≌△DAF， ∴∠EFA＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠MFC， ∴∠AFM＝∠DFC＝90°， ∵DF＝EF＝CF， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 30．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】详见解析 【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 31．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.    【答案】详见解析 【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案. 【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F， 则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°， 又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC， ∴， ∴DF=CG，. 又， ∴≌， .    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 32．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【答案】见解析. 【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°． 【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 33．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点．地 城 类型05 作平行 (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 34．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 35．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF； (2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4. 【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； （2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； ②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可． 【详解】（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 延长DF交AB于H，连接AF， ∵∠EDC=∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴∠ABF=∠FED， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， 又∠BFH=∠DFE， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD，AB=AC， ∴BH=CD，AH=AD， ∴△ADH为等腰直角三角形， ∴∠ADF=45°， 又HF=FD， ∴AF⊥DH， ∴∠FAD=∠ADF=45°， 即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF; （2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示， 则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD， ∴BH=CD， 延长ED交BC于M， ∵BH∥EM，∠EDC=90°， ∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°， 又∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠HBA+∠DCB=45°， ∵∠ACD+∠DCB=45°， ∴∠HBA=∠ACD， ∴△ACD≌△ABH， ∴AD=AH，∠BAH=∠CAD， ∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°， 即∠HAD=90°， ∴∠ADH=45°， ∵HF=DF， ∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF． ②由①知，S△ADF=DF2=AD2， 由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2， 当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4， ∴1≤S△ADF≤4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线． 36．如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF． （1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明； （2）求证：∠BDF＝∠EFC； （3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）∠DEF＝∠ACE，证明见解析；（2）见解析；（3）k 【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案； （2）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性质可得出∠EDF＝∠EMC，证出∠EMD＝∠EFC，则可得出结论； （3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性质可得出GF＝DC，证出GD＝DM，则根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：（1）∠DEF＝∠ACE． 证明：∵∠DEC是△ACE的外角， ∴∠DEC＝∠A+∠ACE， ∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF， ∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE， ∵∠CEF＝∠A， ∴∠DEF＝∠ACE； （2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵EM∥AC， ∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE， ∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM， ∴ED＝EM， 又∵EF＝EC， ∴△DEF≌△MEC（SAS）， ∴∠EDF＝∠EMC， ∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°， ∴∠BDF＝∠EMC， ∵EM∥AC， ∴∠DEM＝∠A， ∵∠A＝∠CEF， ∴∠DEM＝∠CEF， ∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝， ∴∠EMD＝∠EFC， ∴∠BDF＝∠EFC； （3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M， ∵EG＝AG， ∴∠GAE＝∠GEA， ∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°， ∴∠DAC＝∠GED， ∵∠CEF＝∠DAC， ∴∠DEG＝∠CEF， ∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF， 即∠GEF＝∠DEC， ∵△DEF≌△MEC， ∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC， 又∵EF＝EC， ∴△EFG≌△ECD（ASA）， ∴GF＝DC， ∴DC﹣MC＝GF﹣DF， 即GD＝DM， ∵EM∥AC， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 37．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求证： 【答案】见详解 【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 38． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 39．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 【答案】(1)DM=EM．理由见详解； (2)成立，理由见详解； (3)MD=ME． 【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论； 【详解】（1）解：DM=EM； 证明：过点E作EF//AB交BC于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ， ∴△DBM≌△EFM， ∴DM=EM． （2）解：成立； 证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ∴△DBM≌△EFM； ∴DM=EM； （3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF ∴△DBM∽△EFM， ∴BD：EF=DM：ME， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠F=∠ABC， ∴∠F=∠C， ∴EF=EC， ∴BD：EC=DM：ME=1：2， ∴MD=ME． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键． 40．如图，在中，是边上的高，点与点关于直线对称，点是线段上的点，． (1)求证：； (2)连接，过点作于点，交于点． ①依题意补全图形： ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析． (2)①图见解析，②． 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是利用对称和全等转化线段关系从而证明结论． （1）连接，结合对称可得，进而证明，可得，由四边形内角和等于即可得出结论， （2）①按要求作图即可，②延长交于，连接，过点作交于点，证明，得出，，进而证明，可得，进而证明，再证明，利用等角对等边证明，从而证明，由此得出结论． 【详解】（1）证明：连接， 由对称可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， （2）①如图， ②延长交于，连接，过点作交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．如图，在中，，，为的中线，为上一点，连结，交于点，作，垂足为点，交于点，连结．地 城 类型06 构造直角三角形证明边的关系 (1)求证：； (2)若平分，求的值； (3)若是中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，再证明，即可得证； （2）作于，由等腰直角三角形的性质可得，，，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，证明出，结合角平分线的性质定理可得，证明为等腰直角三角形，得出，进而可得，即可得解； （3）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，，由（1）可得，证明出，结合题意可得，，，证明，得出，从而可得，再由勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵在中，，，为的中线， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵作，垂足为点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图：作于， ， ∵在中，，，为的中线， ∴，，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接， ， ∵在中，，，为的中线， ∴，，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 42．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 43．如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点． (1)问题解决： （i）求证：； 连接，试探究之间的数量关系，并证明； (2)类比迁移： 如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)（i）见解析；（ii），证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ， 点M是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：如图1， ，理由如下： 由（1）得，，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ； （2）解：如图2， ，理由如下： 连接，并延长，交于G，连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ，，， ， ， ， 在中，，过点N作的垂线，垂足为点（如下图），则,， 在中， ， ， 44．如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 45．已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 46．在中，为边上的中线． (1)如图（1），过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证：． (2)如图（2），当时，P为中线的中点，连接、．恰有．则________（填一个恰当的数字）． (3)如图（3），当时，P为中线的四等分点，且．若．猜想、与的关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据三线合一的性质得出，，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，根据等角对等边得出，结合已知可得出，根据勾股定理求出，即可求解； （3）过B作于E，过C作于D，同（1）可证，则，，根据直线三角形的性质可得出∴，结合已知可得出，根据勾股定理求出 ，，则可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又P为中线的中点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：过B作于E，过C作于D， 同（1）可证， ∴，， ∵，， ∴， ∵P为中线的四等分点，且， ∴， 在中， ， 同理， ∴ ， 又， ∴， ∴． 47．在直角中，，点是直线上一点，，垂足为点，于点，点为的中点，连接． (1)如图，若，，求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用勾股定理求出，再根据三角形的面积利用等面积法解答即可求解； （）连接，设相交于点，可证，得到，，再根据等腰直角三角形的性质可得，，进而可证，得到，，即可得，得到是等腰直角三角形，即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，垂足为点， ∴， 即， ∴； （2）证明：如图，连接，设相交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵在等腰中，为斜边的中点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 48．在中，，，点为边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角三角形，使． (1)如图1，，点为中点，与交于点，若， ①___________；②___________； (2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； (3)如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，推出，由点为中点，得到，由是等腰直角三角形，且可得，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解； （2）过点作交于点，结合题意推出，，，证明，可得，，证明可得，可得，可得结论； （3）在上截取，连接，证明得到，则，当点、、三点共线，且时，有最小值，再证明点、、三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，，， ， 点为中点， ， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为：，； （2）如图2，过点作交于点， ，， ，， ， ，， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， 如图4，当点、、三点共线，且时，有最小值， ，， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， ， ， 又， 点、、三点共线， 由折叠的性质得：， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $