2.2 函数的单调性与最值-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

在定义域[0，十∞)上为增函数，不能 构造“同族函数”，函数y=x 一x, ∈，]与数y=-x 21的值城相同，所以是“同族函 1 数”.故选ACD. 1 3 2.1)f(x)=2x-x+含 (2)0,1-2) 2 解析：(1)易知a≠0，因为f(x)= Vax'-2ax+b+1=a(x-1)2- √a十b十1，所以函数f(x)=√ax2 2√ax十b十1在[1,3]上单调递增，又 函教是“同城品数，得)二1即 f(3)=3, f1)=反-2a十b+1=1,解得 f(3)=9√a-6a+b+1=3, 1 a= '所以x) 1 3 1 2x-x+2 b2' (2)由(1)得g(x)=k一 1 6√2x-1)'-2(k≥0)，所以 g(x)在（一∞，0]上单调递增，设[c, d]是函数g(x)的“同域区间”，得 g(c)=c, g(d)=d, k一 1 即 2c2-c=c, 得x2-2(2k d-d-d. k一N21 1)x十2k2=0在(-∞，0]上的根为c 和d,则满足 4=[-2(2k-1)]-4X2k2>0, c十d=2(2k-1)<0, c·d=2k2≥0， k≥0， 即 >1+ 或k<1-2 2” 解得 k≥0， 0≤k<1- 2 2.2函数的单调性与最值 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)f(x1)<f(x2)单调递增单 调递增f(x1)>f(x2)单调递减 单调递减上升的下降的 (2)单调递增单调递减区间I 2.f(x)<M f(x)=M f(x)>M f(x)=M 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.(3,十∞) 解析：，函数y=∫(x)在R上是增函 数，且f(2m)>f(-m十9)，∴.由函数 单调性的定义可知2m>-m十9，解得 m>3,.实数m的取值范围是 (3,十∞). 3.(-1,2),(5,十0∞)(-∞，-1)， (2,5) 解析：y=一x2十4x十5= -x2+4x+5,x∈[-1,5]， x2-4x-5,x∈(-∞，-1)U (5,十0∞)， 画出函数图象如图： 9 -1025x 可得单调递增区间为（一1,2）， (5,十∞)，单调递减区间为（一∞， -1),(2,5). 4.B因为y= 1 z-在区间[2,3]上单 调递浅，所以=3子=子故 1 选B. 5.BC对于A,函数f(x)=一x在定义 域R上单调递减，A不符合题意：对于 B,函数f(x)=x2在(0，十∞)上单调 递增，B符合题意；对于C,函数 f(x)=3x在定义域R上单调递增，C 特合题高：对于D画教)=上在 (0,十○)上单调递减，D不符合题意， 故选BC. …》提升·关键能力《… 例1(1)D解法1（图象法）如图，在 坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项 中函数的大致图象，即可快速直观判 断D符合题意.故选D. y ,y=x2 y=x y x y=-x 解法2（排除法）取x1=一1，x2 0,对于A,f(x1)=1,f(x2)=0,所 以A不符合题意；对于B,f(x1)= 3 ，f(x2)=1,所以B不符合题意；对 于C,f(x1)=1,f(x2)=0,所以C不 符合题意.故选D (2)1,2] x-2x,x≥2， 解析：f(x)=仁x2+2x,x<2, 画 出f(x)的大致图象（如图所示），由图 知f(x)的单调递减区间是[1,2. 对点训练1(1)C对于A,函数的定义域 为(-oo,0)U(0,+oo),f(-1)=-1, f(1)=1,f(-1)<f(1),所以f(x) 不是减函数，故A不正确；对于B, f(x)= 1一x江≤1函数图象如图， x-1,x>1, y 3 -2-101234x 所以函数f(x)=|1一x|不是减函 数，故B不正确：对于C,f(x)=1一2 的定义域为R,因为y=2是增函数， 所以y=一2是减函数，所以∫(x)= 1一2是减函数，故C正确：对于D,函 数∫(x)=log2(x一1)的定义域为 (1,十∞)，令t=x-1,因为t=x 1是增函数，y=log2t是增函数，所以 f(x)=1og2(x-1)在(1，十∞)上是 增函数，故D不正确.故选C (2)(-∞，-1]和[0,1 解析：f(x)= -x2+2x+1x≥0台 -x2-2x+1,x<0 f(x)= 1-(x-1)2+2,x≥0， 画 {-(x十1)2十2，x<0. 出函数图象如图所示，可知函数f(x) 的单调递增区间为（一∞，一1]和 [0,1]. 3 3-2-10123x 例2证明：设x1,x2是区间（一∞，0）上 的任意两个实数，且x1<x2,则 f(x1)- fx)=（2x1-1） x17 (2x,- ）=2-+( x1<x2<0,所以x1-x2<0,2十 1 ->0,因此f(x1)一f(x2)<0, x1x 即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞， 0)上是增函数. 对点训练2证明：设x1,x2是区间 [-1,十∞)上的任意两个实数，且 x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x+ 4x1-(2x号十4x2)=2(x1十 x2)(x1-x2)十4(x1-x2)=2(x1- x2)(x1十x2十2)， 因为一1≤x1<x2,所以x1一x2< 0,x1十x2十2>0， 所以f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)=2x2十4x在区间 [-1,十∞)上是增函数， 例3(1)(-1,1) 解析：由函数有意义得一x2十2x十 3>0,解得一1<x<3.函数 y=一x2十2x十3图象的对称轴为直 线x=1,.y=-x十2x十3在(-1， 1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 参考答案405 1 ∴.y= 的单调递减 √厂x2+2x十3 区间是（一1,1）. (2)[0,3] 解析：因为函数∫(x)的定义域为 [-9,9],所以函数y=f(x2)的定义 域满足一9≤x2≤9，即x∈[-3,3]. 令t=x2,则t=x2在[0,3]上单调递 增，在[一3,0]上单调递减，又y= f(x)在[一3,3]上单调递增，所以函 数y=f(x)的单调递增区间为[0,3]. 对点训练3(1)Af(x)=8十2x一x 在(-∞，1)上单调递增，在(1，十∞) 上单调递减，t=2-x2在(-0∞，0)上 单调递增，在(0，十∞)上单调递减，根 据复合函数的单调性可知，当x∈ (-∞，-1)时，t∈(-∞，1)，函数 g(x)单调递增；当x∈（一1,0）时， t∈(1,2)，函数g(x)单调递减；当 x∈(0,1)时，t∈(1,2)，函数g(x)单 调递增；当x∈(1，十o∞)时，t∈ (一∞，1)，函数g(x)单调递减.故选A (2)(-∞，1] 解析：由x2一5x十4≥0，即(x 4)(x-1)≥0，解得x≥4或x≤1， 令t=x2一5x十4，则t=x2-5.x十 4图象的对称轴方程为x=一 -5 2 = 5 t=x2-5x十4在(-60,1]上单 调递减，在[4，十∞)上单调递增，又 y=√t是增函数，.y=√/x2-5x十4 在(-∞，1]上单调递减，在[4，十∞) 上单调递增. 例4解：(1)①-x十1≥x2-2x十 1→x一x0→0x1, 则-x十1<x2-2x+1→x<0或 x>1,则f(x)= -x+1,x∈[0,1]， {x2-2.x+1,x∈(-∞，0)U(1,+∞)， ②由①可得f(x)的图象如图： y 4 2 ③由②可得∫(x)在(-∞，1)上单调 递减，在(1，十o∞)上单调递增， f(x)的值域为[0，十∞). (2)①令t=x十1，得x=t一1，则 f(t)= 2a-1D+2a1-1<0. a-1)2+(2a-101-1)+a+1f-1≥0， 1 得f(t)= 2at,t<1, at2-t+2.t≥1. 11 即f(x)= 2a.x,x<1, ax2-x十2，x≥1. ②当a=0时，f(x)= /0,x<1, -x十2，x≥1在R上不单调. 406红对沟·讲与练·高三数学· 当f(x)在R上单调递增时， a>0, 1≤1， 1 2a 解得a≥2 2a≤a-1+2, 当f(x)在R上单调递减时， a0, 1≤1， 2a 解得a≤-2. 2a≥a-1+2, 综上，a的取值范围为（一∞， -2u[合+) 对点训练4(1)(1√3] 解折：当x≤子财，x)= 1 ,可得f)在(0，]上单 调递增，要使得函数∫(x)= 1 是R上的单调 1og.(4x)-1z> 3 函数，则满足a>1,且1og(4×子） 1 1≥- 一，解得1<a≤√5，所 以实数a的取值范围为(1，√3]. (2)解：①函数f(x) -x+1,x<1, {x-1,x≥1， 当-1<x<1时，f(x)=-x2+1, 图象是开口向下的抛物线在x∈（一1， 1)的一段， 当x≤-1或x≥1时，f(x)= {一x-1,x≤-1·此时f(x)的图象 x-1,x≥1， 由射线y=-x一1，x≤-1和射线 y=x一1，x≥1组成， 函数f(x)的图象如图. y -2-10 2x ®(()=f(受-) 合)=-() +1=3 1 ③由①中图象可知函数f(x)的单调 递减区间是(-o∞，一1]，[0,1). 例5(1)a<c<b 解析：：对任意x1,x2∈(-∞，0)，且 x1≠x2,均有(x1一x2)[f(x1)一 f(x2]<0成立，∴.函数∫(x)在区 间（一∞，0）上单调递减，：f(x)是偶 函数，当x∈(0，十∞)时，f(x)单 调递增，又f(x)=x在(0，十∞)上 单调递增，1<e<3,又0<ln2< 1,.0<1n2<e<3f(3)> f(e)>f(ln√2)，即a<e<b. 基础版 (2)D函数y=2在R上单调递增， 而函数f(x)=2-》在区间(0,1)上 单调递减，则有函数y=x(x一a)= 在区间(0,1)上单调 4 递减，因北g≥1，解得a≥2，所以a 的取值范围是[2，十oo).故选D 对点训练5(1)f(2.7)<f(e)<f(π) 解析：f(x)=2x-sinx,则f(x)=2 c0sx,因为cosx∈[-1,1]，所以 f'(x)=2-cosx>0,所以f(x)在 R上单调递增，因为2.7<e<π，所以 f(2.7)<f(e)<f(π). e[合) 解析：由题意得0≤2x-1<弓，解得 1 2 2≤x< (3)(1,+∞) 解析：由题意可得f(x)=a2十 2二，因为函数f(x)在区间(a, 十∞)上单调递减，所以≤Q, 、解 la2-1>0 得a>1. 例6(1)-4 7 解析：因为函数f(x)在[一3，一2]上单 调递增，所以函数∫(x)的最大值为 f(-2)=-4,最小值为f(-3)=-7. (2)1 解析：在同一直角坐标系中作出函数 f(x),g(x)的图象，依题意，h(x)的 图象如图所示.易知点A(2,1)为图象 的最高，点，因此h(x)的最大值为 h(2)=1. 2 1A× 对点训练6 2-xx< 1 (1)f(x)= 1 2 x+1,x≥ 2 解析：因为|x十12一x一212 6x一3，所以当x≥2 时，x 112-|x-212=6z-3≥0，则1x十 1≥|x-2|,则f(x)=max{|x十 1,1x-2}=x+11=x+1; 1 当x<2时，x+12-x-22- 6.x-3<0,则x+1<x-2,则 f(x)=max{x十1，x-2}= x-2=2-x.所以f(x)= 2-xx<2 1 故函数f(x)在 1 x+1x≥2 (,上单递减，在[ 十∞)上单调递增，所以函数∫(x)的 最小位为（）=+1=是 x+1 解析：y=2十4红十4 1 x+1 2 2(x+1)'+2= (x+1)十 1,设 x+1 x十1=t≥1，而y=t+上在 [1,十∞)上单调递增，所以y=t十 ≥2，当且仅当1=1时，等号成立， 1 2 则y= 17 (+1)+ e(o4」' x+1 所以函数的最大值为 1 聚焦学科素养 题目呈现ABD对于A,当x>0时， x十1≥2（当且仅当x=1时取等 号)，∴.f(x)>1恒成立，.1是f(x) 的一个下界，故A正确；对于B, .f'(x)=lnx+1(x>0),∴.当x∈ (o,）时fx)<0,当x∈（日 +o∞）时，f(x)>0,∴f(x)在（0， ）上*调递减，在（日十一）上单 调递增f(x)≥f(日)=-日 .f(x)有下界，又当x趋向于十∞ 时，f(x)趋向于十∞，∴∫(x)无上 界，综上所述，f(x)=xlnx有下界， 无上界，故B正确；对于C,x>0, 。>0…号>0fx)有下界，故 e C错误；对于D,:sinx∈[-1,1]， -1 sin x ≤≤中又 x+1≥1， -1 1≤1…-1< x2+1 <1)所有上米又有下 界，故D正确.故选ABD. 素养检别加对于A一 x 当x=0时，十0，当 x≠0时，x⊥ 1 ,2+11x+x 1 ==之，当且仅当 1 x 1 x=正，即x=士1时等号成立， 即对于任意x∈R0≤于 。,所以存在常数M≥0，使得 fx)≤M成立，故y=+为 有界函数；对于B,当x∈R时，由指数 函数的性质可知y=2可以无穷大， 所以对于任意x∈R,不存在常数 M>0,使得|f(x)≤M成立，故 y=2不为有界函数；对于C,当x∈ R时，由指数函数的性质可知y=2 可以无穷大，所以y=16一2可以无 穷小，所以不存在常数M>0,使得 f(x)M成立，故y=16-2"不 为有界函数；对于D,当x∈R时，0≤ x-[x]<1,则0≤x-[x]<1, 所以存在常数M>0,使得f(x)| M成立，故y=x一[x]为有界函数. 故选AD 2.3函数的奇偶性、 周期性、对称性 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x) y轴原点 2.(1)f(x+T)=f(x) (2)正数正数最小正周期 考教衔接 证明：由2产>0得0<1<2，定义 域关于直线x=1对称，f(2一x) 1n22+a(2-x)+b(1-x)3= 一ln2x x -a.x-b(x-1)3+2a= -f(x)十2a,故曲线y=f(x)关于 点(1，a)中心对称. 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.0 解析：因为f(x)是偶函数，函数的定 义域关于原点对称，所以a十2b=0. 3.-2 解析：f(1)=1×2=2,又f(x)为奇 函数，所以f(-1)=一f(1)=-2. 4.0 4 解析：f(5)=f(1+2×2)=f(1)=0, f()=f(3+2×2)=2)= 4 5.ACD对于A,f(x)的定义域为R,其 图象关于点(1,2)中心对称，故f(4 5x)+f(5x 2)=4,故 f(4-5x)十f(5x-2=1,A正确； 对于B,由题意得f(4-x)十f(x 2)=4,又fx)-f4-x)=2-x, 故fx)十fx-2)-4=2-x,令 4 工=4得4)+f2)-4=2-4,即 4 f(4)+f(2)=-8十4=-4，B错误； 对于C,由题意得f(1一x)十f(x+ 1)=4,即f(1-x)-2=-[f(x+ 1)-2],令g(x)=f(x十1)-2，则 g(-x)=-g(x),所以y=f(x十 1)一2为奇函数，C正确；对于D,因为 f(x)-f(4-x) 4 =2一x,所以 f(x+2)-f(2-x）=2-x 4 2=-x,即f(x十2)-f(2-x)= -4x,故f(x十2)十2x=f(2-x) 2x,令h(x)=f(2十x)十2x,则 h(x)=h(-x),故y=f(2+x)+2x 为偶函数，D正确.故选ACD. …》提升·关键能力《… 例1解：(1)原函数的定义域为{xx手 0},关于原点对称，并且对于定义域内 的任意一个x都有f(一x)=（一x)3 =-(-）=-fx)所以 x 函数f(x)为奇函数 2)h,220,4≠0 得一2<x<2,即函数f(x)的定义域 是{x一2<x<2},关于原点对称， 因此f(x)= 1g(4-x2) (2-x)+(x+4) 名g4-),所以f(-z)=fx 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{一1,1}，关于原 点对称.又f(一1)=(1)=0， f(-1)=一f(1)=0,所以f(x)既 是奇函数又是偶函数 (4)由题意得，定义域关于原点对称， 当x<0时，-x>0,f(-x)= -x2-2x+1=-(x2+2x-1)= 一f(x),因此函数f(x)是奇函数. 对点训练1(1)B因为f(x)= 1-x 1+x 1-(x-1D_2-x 所以f(x一1）=1+(x-D工 1-(x十1) fx+1)=1+x+=+2对于 A,设Fx)=fa-1D-1=2-x 1=2一2工，定义域关于原点对称，但 不满足F(x)=一F(一x):对于B,设 G(x)=f(x-1)+1= 2一工+1= x 二，定义裁关于原点对称，且满足 G(x)=一G(一x),即G(x)为奇函 -x 数；对于C,f(x十1)一1= x+2 1=二x二x2=2红十，定义城 x+2 x+2 不关于原点对称：对于D,f(x十1)十 1= 11 一x十x+22 x+2 x+2 定义域不关于原，点对称，故选B (2)B对于Af(x)=e-x ，函数 x2+1 定义城为R,f(-1)=e-1 2,f(1)= 2,则f(一1)卡f(1),故A错误：对 于B,f(x)=cosx十x ,函数定义域 x2+1 为R,且f(-x)= Cos(-x)+(-x)2 (-x)十1 COsx十x -=f(x),则f(x)为偶函 x2+1 数，故B正确；对于C,f(x)=e一工 x+11 参考答案407024亿对沟·讲与练·高三数学·基础版 2.2函数的单调性与最值 考试 会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际 要求 意义 回顾》必备知识 》知识梳理《 O常用结论与知识拓展 1.函数的单调性 函数单调性的等价定义 (1)单调函数的定义 设任意x1,x2∈D(x1≠x2),则 (1)f)-f(x) >0(或(x1一x2)[f(x1)一 日 增函数 减函数 x1一22 f(x2)门>0)台f(x)在D上单调递增 第 般地，设函数f(x)的定义域为D,区间I二D:如 (2)f)-f(x2) <0(或(x1-x2)[f(x1)一 x1一x2 章 果Hx1,x2∈I f(x2)门<0)台f(x)在D上单调递减. 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 》基础检测《 定 ,那么就称函数f(x) ,那么就称函数f(x) 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 在区间1上 。 在区间I上 “√”，错误的画“X”, 特别地，当函数f(x)在特别地，当函数f(x)在 它的定义域上 它的定义域上 ()函数y=的单调递减区间是(-∞，0)U 时，我们就称它是增函数 时，我们就称它是减函数 (0,十∞). () (2)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则 y=f(x) f(x)为增函数. ( 图 f(x) y=fx) (3)函数y=f(x)在[1，十∞)上是增函数，则 :f) Fx)Rx2) 函数的单调递增区间是[1，十∞). () X2 x 述 X2 (4)若y=f(x)在区间D上单调递增，则函数 自左向右看图象是 自左向右看图象是 y=kf(x)(k<O)在区间D上单调递减. ( (2)单调区间的定义 2.(教材改编题)若函数y=∫(x)在R上是增函 如果函数y=f(x)在区间I上 或 数，且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值 ,那么就说函数y=∫(x)在这一区间 范围是 具有（严格的）单调性， 叫做y=f(x) 3.(教材改编题)函数y=|一x2十4x十5|的单调 递增区间是 ,单调递减区间 的单调区间. 是 2.函数的最值 4.(教材改编题)函数y= 般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如 x-1 在区间[2,3]上的 前提 果存在实数M满足 最小值为 ( (1)x∈D,都有 (1)Hx∈D,都有 A.2 B.Z c 5.（多选题)下列函数中，在区间(0，十∞)上是增 条件 (2)了x。∈D,使得(2)]x。∈D,使得 函数的是 () A.f(x)=-x B.f(x)=x2 结论 M为最大值 M为最小值 C.f(x)=3x D.f(x)=1 x 第二章函数的概念与基本初等函数 025 提升>关键能力 考点1确定函数的单调性（区间） 命题角度1直接判断函数的单调性（区间） 【例1】(1)(2021·全国甲卷文)下列函数中是增 函数的为 ( A.f(x)=-x C.f(x)=x2 D.f(x)=元 (2)函数f(.x)=x|x一2|的单调递减区间是 学生试答： 规律总结· 第 利用定义法判断或证明函数单调性的步骤 设x1,x2是函数f(x)定义域内的 章 取值 任意两个值，且x1<x2 作差f(x2)一f(x1),并通过因式分 作差、 解、配方、有理化等方法，向有利于 规律总结 变形 判断差的符号的方向变形 1.图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本 初等函数构成的分段函数)，可以利用图象来判断单 确定差的符号，当符号不确定时，可 定号 调性 以进行分类讨论 2.函数的单调区间是其定义域内的某一个区 结论 根据定义得出结论 间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定 义域. 【对点训练2】用单调性的定义证明函数f(x)= 3.若函数在两个区间上都是单调递增（或递减） 2x2+4x在区间[-1，+∞)上是增函数. 的，这两个单调区间不能用并集符号“U”连接。 【对点训练1】(1)下列函数在定义域上为减函数 的是 A.f(x)=1 B.f(x)=1-x C.f(x)=1-2 D.f(x)=log2 (x-1) (2)函数f(x)=一x2+2|x十1的单调递增 区间为 命题角度2利用定义法判断或证明函数的单 调性 【例2】 求证：函数f(x)=2x一 1 在区间（一∞， 0)上是增函数 学生试答： 026 红对构·讲与练·高三数学·基础版 命题角度3 复合函数的单调性 ①写出f(x)的解析式： 1 ②在如图所示的坐标系中画出∫(x)的图象； 【例3】(1)函数y= 的单调递减 /-x2+2x+3 ③写出f(x)的单调区间和值域. 区间是 (2)已知函数f(x十1)= (2)已知函数(.x)在定义域[一9,9]上单调 1 2a.x+20x<0, 递增，则函数y=∫(x2)的单调递增区间是 ax2+(2a-1)x+a+1,x≥0. ①求函数f(x)的解析式； 学生试答： ②若函数f(x)在R上单调，求a的取值 范围. 学生试答： 第 章 规律总结 复合函数的单调性的判断方法 y=f(g(x)的单调性判断可用口诀：同增 异减. y=f(t)和t=g(x)的单调性相同时，复合后 的y=f(g(x))是单调递增的； y=f(t)和t=g(x)的单调性不同时，复合后 的y=f(g(x)是单调递减的， 【对点训练3】(1)已知f(x)=8十2x一x2,若 g(x)=f(2-x2),则g(x) A.在区间（一1,0）上是减函数 B.在区间(0,1)上是减函数 C.在区间（一2,0）上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数 规律总结 分段函数的单调性 (2)函数y=√x2-5x+4的单调递减区间是 (1)确定分段函数的单调区间：可以借助图象 在分段区间内逐一判断单调区间即可. 命题角度4分段函数的单调性 (2)若已知分段函数的单调性，除注意各段的 a,a≥b, 单调性外，还要注意衔接点的取值. 【例4】(1)定义运算a⊙b= 函数 b;a <b; 【对点训练4】(1)已知函数f(x)= f(x)=(-x+1)⊙(x2-2x+1). 1 3 4 是R上的单调函数，则 1og.(4x）-1,x> 3 4 实数a的取值范围是 -x2+1,1x1<1, (2)已知函数f(x) |x-1,|x1≥1. ①画出函数∫(x)的图象； 第二章函数的概念与基本初等函数 027 ®求()的值： 单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调 的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外， ③写出函数f(x)的单调递减区间， 还要注意衔接点的取值， 【对点训练5】(1)已知函数f(x)=2x-sinx, 则f(e),f(2.7),f(π)的大小关系为 (2)已知函数f(x)是定义在区间[0，+∞)上的 函数，且在该区间上单调递增，则满足∫(2x D<兮)的x的取值范周是 (3)若函数f(x)=ax-1 x-1 在区间(a,十∞) 上单调递减，则实数a的取值范围是 考点3求函数的最值 【例6】(1)已知函数f(x)=3.x十2，则f(x)在 第 [-3,一2]上的最大值为 ,最小值为 章 (2)对于任意实数a,b,定义min{a,b)= 考点2函数单调性的应用 aa≤设函数f(x)=-x十3，g(x)= b;ab. 【例5】(1)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任 log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最 意x1x2∈(-∞，0)，且x1≠xg,均有(x1 大值是 x2)·[f(x1)-f(x2)]<0成立，若a= 学生试答： f(ln√2)，b=f(3),c=f(e),则a,b,c的大 小关系是 (2)(2023·新课标I卷)设函数f(x)=2rru 在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是 ( A.(-∞，-2] B.[-2,0) 规律总结 C.(0,2] D.[2,+∞) 求函数最值的三种常用方法 学生试答： 先确定函数的单调性， 单调性法→ 再由单调性求最值 先作出函数的图象，再观察其 图象法→ 最高点、最低点，求出最值 基本不 先对解析式变形，使之具备 “一正二定三相等”的条件后 等式法 规律总结 用基本不等式求出最值 函数单调性的应用及解题策略 【对点训练6】(1)已知a,b∈R,记max{a,b}= (1)比较大小：转化到同一个单调区间内，再利 a,a≥b, 用函数的单调性解决。 b,a<b, 函数f(x)=max{|x十1|，|x (2)解函数不等式：利用函数的单调性将“f”脱 2|}(x∈R),则f(x)的解析式为 掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域 最小值为 (3)利用单调性求参数的取值（或范围）：①依 x+1 据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间， (2)函数y=2十4十4x≥0)的最大值 与已知单调区间比较；②若函数在区间[a,b]上是 为 028 红对构·讲与练·高三数学·基础版 聚焦)学科素养 数学探究背景下的“函数有界性”问题 若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒 成立，则函数f(x)在D上有下界，其中m为函数 f(x)的一个下界；若存在M,使得f(x)≤M对 任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有上界， 其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数 》素养检测K《 既有上界又有下界，那么称该函数有界. (多选题)定义在D上的函数∫(x),若满足 【题目呈现】（多选题）下列说法正确的是 对任意x∈D,存在常数M>0,都有 ( |f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界 A.1是函数f(x)=x十二(x>0)的一个下界 函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数 x 的有 () 第 B.函数f(x)=xlnx有下界，无上界 章 C两数fx)-有上界，无下哭 A.y= x2+1 B.y=2 D.函数f(x)= 如有界 C.y=16-2 学生试答： D.y=x-[x]([x]表示不大于x的最大 整数) 》温馨提示 学习至此，请完成训练7 2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 考试 1.了解函数奇偶性、周期性的概念和几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式 要求 和推论.3.掌握奇偶性、周期性、对称性的简单应用. a 回顾》必备知识 》知识梳理《 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域 1.函数的奇偶性 为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个 项目 偶函数 奇函数 x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函 数∫(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个 般地，设函数 一般地，设函数 函数的周期. f(x)的定义域为f(x)的定义域为 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有 D,如果x∈D, D,如果x∈D, 定义 都有一x∈D,且 周期中存在一个最小的 都有一x∈D,且 ,那么这个最小 那 就叫做∫(x)的 ,那么 函数f(x)就叫做 么函数f(x)就叫 ○常用结论与知识拓展 偶函数 做奇函数 1.奇（偶）函数定义的等价形式（已知f(x)≠0） (1)f(-x)=f(x)台f(-x)-f(x)=0台 图象特征 关于 对称关于 对称 f一x)=1台f(x)为偶函数. f(x)