训练40 基本立体图形-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 第七章 立体几何与空间向量 训练40 基本立体图形 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） A.35π B1753x 1.水平放置的△ABC的直观 3 3 图如图，其中B'O=O'C' C.875V3m D.875√5π 2,A'O=5,那么△ABC是 3 B 一个 () 6.(2025·河南开封期中)已知圆锥的高与底面半径 之和为3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥 A.直角三角形 的侧面积为 ( B.等边三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 A.2√5π B.(25+4)元 D.4(1+√5)元 D.三边互不相等的三角形 C.4√5π 2.(2025·八省联考)底面直径和母线长均为2的圆 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 7.下列命题中正确的有 ( 锥的体积为 A.一个棱柱至少有5个面 B.π C.2π D.3π B.正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 C.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多 3.已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积 面体是棱台 数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面半径为 D.水平放置的正方形的直观图是正方形 ( 8.(2024·江苏无锡模拟)一个圆柱和一个圆锥的底 A.3 B.12x C.25 D.2√3π 面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下 4.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D D 列结论正确的是 () 中，AB=1,AA1=√3，点E为AB上A, A.圆柱的侧面积为4πR B 的动点，则D,E十CE的最小值为 B.圆锥的侧面积为2πR C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 ( D:-C A D.球的体积是圆锥体积的两倍 A.2√2 B.√10 9.如图，有一个棱台形的容 A C.5+1 D.2+√2 器ABCD-A1B1C1D1(底 5.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年 面A1B1C1D1无盖)，其四 左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善 条侧棱均相等，底面为矩 良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文 形，AB2BC 2AB1B1C=1m,容器的 化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如 深度为1m,容器壁的厚度忽略不计，则下列说法 图1).图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部 正确的是 分)，若两个圆弧DE,AC所在圆台的底面半径分 A.AA1=√2m 别是r1和r2,且r1=5,r2=10,圆台的侧面积为 B.该四棱台的侧面积为(3√2+3√5)m 150π，则该圆台的体积为 C.若将一个半径为0.9m的球放入该容器中，则 球可以接触到容器的底面 D.若一只蚂蚁从点A出发沿着容器外壁爬到点 45 图1 图2 C,则其爬行的最短路程为，生十5m (横线下方不可作答) 339 第七章立体几何与空间向量 三、填空题（每小题5分，共15分） 14.(20分)现有一块正四面体形状的实心木块，其棱 10.一个到球心距离为1的平面截球所得截面的面积 长为9cm.车工师傅欲从木块的某一个面向内部 为π，则球的体积为 得分 挖掉一个体积最大的圆柱，当圆柱底面半径为多 11.已知圆锥SO(O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥 少厘米时，圆柱的体积最大？最大值为多少立方 顶点)的底面半径为1，若其底面圆周上存在两点 厘米？ 得分 A,B,使得∠ASB=90°，则该圆锥侧面积的最大 值为 得分 12.(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥 MM'的高与球O的直径相等，则圆锥MM'的体 积与球O的体积的比值是 ,圆锥MM1 的表面积与球O的表面积的比值是 得分 四、解答题（共37分） 13.(17分)用斜二测画法画一个水平放置的平面图 形的直观图，如图所示.已知A'B'=4,B'℃'=1， AD-,且AD∥BC 得分 (1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCD, 并求其面积； (2)将原平面图形ABCD绕BC所在直线旋转一 周，求所形成的几何体的表面积和体积， D C 0A')B 红对勾·讲与练340 高三数学·基础版 ■am+3=a+1十an(n∈N)知，各项的 奇偶情况如下表(*表示奇数，@表示 偶数)， a2 a3 as @ @ @ a10a11a12a13 a14 @@ @ a15a16 17Q181920 d21 @ @ a22a23a21 C25 a27 @ @ @ 中”中中”中 显然，该数列各项的奇偶以7为周期排 列，一个周期内下标从小到大对应项 依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇 数，1个偶数，而2025=7×289+2，故 a2025是奇数，C正确；由a1=a2十a1, a5=a3十a2,a6=a1十a3,…,am am-2十am-3,且n≥4，所以a1十 a5十…十an=a1十2(a2十a3十…十 am-3)十am-2,又Sm=a1十a2十 a3十…十am,故Sn=2(a1十a2十 …十an-3）十am2十a2十a= 2S,3十Qm2十2，D正确.故选A. 7.ABE为AB的中，点，2GnE= GnA十GnB,即GnB=-GnA+2GnE, D,G,B三点共线，GnD= λG,B=-λGnA十2aGE(λ<0)，又 G,D=aG,A-2(2a,+3)GE, 22a=2a 化简得 a+1=2an十3，.a+1十3=2(an十 3),.{a,m十3}是以a1十3=4为首项， 2为公比的等比数列，故B正确； am十3=4·21=2+1，an= 2+-3,故C错误；aa=2-3=13, 故A正确；Sm=(2十23十… 2”1）-3n= 22(1-2") -3n=2+2 1-2 4一3n,故D错误.故选AB. 8.CD对于A,i∈N”,i≤7，a:十i= 2i,当i≠2时，2i不是正整数的平方， 数列{an}不为“类平方数列”，A错误； 对于B,i∈N”,i4,当a;=11时， a,十i=11十i∈{12,13,14,15}，即无 论11为数列的第几项，11十i都不可能 为正整数的平方，数列{an}不为“变换 类平方数列”，B错误；对于C,当n≥2 时，an三3n-(n-1)]十之[n2 (n=1)叶6n(n-1)]=4m2安 431 n,而a1= 32T6 =3满足上式， 则an=4n2-n,当i∈N”,i≤n时， a,十i=42=(2i)2,数列{an}为“类 平方数列”，C正确；对于D,数列{an} 的4项依次为1,0，一1,0，将此数列调 整为0，一1,1,0时，有0+1=一1+ 2=1,1十3=0+4=22，因此数列 {an}为“变换类平方数列”，D正确.故 选CD. 9.ACD设小王入职后各月工资（单位： 元)依次排成一列，构成数列{an,对 于A,小王前3个月的工资之和为a十 (a十100)十(a+200)=3a十300= 9300,解得a=3000,A正确；对于B, 当1≤n≤13时，{an}是等差数列，首 项a1=a=3000,公差为100，当14 n≤25时，{an}是等差数列，a14= a13十50，公差为50，a2十a14 -a3 100十a13十50=a3十a13-50,B错误； 对于C,小王入职后第13个月的工资为 3000十12×100=4200（元），第20个 月的工资为4200+7×50=4550（元）， C正确；对于D,小王入职后前15个月的 工资之和S15=13×3000+ 13×12× 2 100+a14+a15=46800+4250十 4300=55350,D正确.故选ACD. 10.8 解析：由题意可知，a1=2,a2一a1= 3,a8 -a2=4,…,am-an-1=n十1， n≥2，所以am=a1十(a2一a1）十 (a3一a2）十…十(am am1）=2十 3+4+…+n+1=n(2十n十1) 2 n(n十3)(m≥2)，当n=1时，上式也 2 成立，故a。=nn+3》(m∈N),所 以(n十4)a (n+4)(n+3) 1 2(,3n十4，所以S2=2X [)-(号) 3」 (1-1)=2×（4-6)=8· 1516] 11.-98 解析：设等比数列{am〉的公比为 g(g>0),由题意知a1=2a19十 a1q2= 8,整理得4g2+4g-3=0, 3 (负值舍去)： 2 .所以bn=Clog na]= log2n-n]=-n十[1ogn].当n=1 时，[1og2n]=0;当2≤n<4时， [1og2n]=1；当4≤n<8时， [1og2n]=2;当8≤n<16时， [1og2n]=3;当n=16时，[log2n]= 公 4.故∑b.=-1十2+3+…+ 16)+"1×0+2×1+4×2+8×3+ 1×4= -98. 12.4589 解析：4050是第2025个数，由已知得 前n行所有偶数的个数为1十3十 5+…+(2m-1)=n(1十2n-1) 2 n2,452=2025,2025-44×44=89, 所以4050是第45行的第89个数. 13.解：(1)f(x)=3x-2,数列{am} 的前n项和为Sn,且点(an,2Sn)在函 数y=f(x)的图象上， .2Sn=3am-2①， 当n=1时，2S1=3a1-2,∴a1=2, 当n≥2时，2Sm-1=3a,-1-2②， ①-②得a,=3am1, .{am}是首项为2，公比为3的等比 数列，am=2·3”1 (2)bn=f(an)=2·3”-2, .Tm=2(3+32+…+3")-2n= 3+1-2n-3, T2n+4n 32”-1 3”1 (3”-1)(3”十1D=3”+1, 3”-1 :T。+4n T,+2n <a+1十t对任意的n∈ N“恒成立， .3"+1<2·3”十t对任意的n∈N" 恒成立，即t>(-3”十1)mx, ,n∈N”,且一3”十1随着n的增大 而减小，.当n=1时，(-3”十 1)max=一2.∴.t>一2..t的取值范 围为（一2，十∞） 14.解：(1)依题意，第1个月月底的投资 总金额为a1=20000×(1+10%) 1000=21000, am+1=(1十10%)an-1000,可化为 aH1=1.1am-1000,可化为a+1 10000=1.1(am-10000),又a1 10000=21000-10000=11000, 所以数列{a,一10000}是首项为 11000,公比为1.1的等比数列，可得 an-10000=11000×1.11,故数 列{an}的通项公式为am=11000× 1.1"-1+10000. (2)由(1)知an=11000×1.1-1+ 10000,有a12=11000×1.11 10000≈11000×2.85+10000= 41350,41350<41388,所以小张同 学将一年后投资总资金全部取出来 是不够的. 第七章 立体几何与 空间向量 训练40基本立体图形 1.B由题图知，在△ABC中，AOI BC,因为AO'=√3，则AO=2√3，因 为B'O=OC'=2,则BC=4,所以 AB=AC=4,即△ABC是一个等边 三角形，故选B. 2.A由题可知圆锥的底面半径R=1, 母线长l=2,高h=√P-R= √2一1严=√，所以圆锥的体积为 V= 3πRh= 3π，故选A 3.C圆锥如图 P 示，因为轴截面 △PAB是正三角 形，所以l=2r, h=√3r,圆锥的 侧面积等于πrl A 2πr2,圆锥的体积 v3 等于号rh-,由国维的阁西 积数值与其体积数值相等，得2πr2= πr3,得r=2√3.故选C. 3 4.B如图，连接D1A, D C1B分别延长至F, G,使得AF=AD, A B BG=BC,连接EG, FG,,四棱柱ABCD A1B,C1D1为正四棱 D 柱，AB⊥平面 A ADD1A1,AB⊥平 面BCC1B1,.AB⊥ AF,AB⊥BG,又 AB AD AF, F G 参考答案545 .四边形ABGF为正方形，，，EG √JBE+BG=√/BE+BC CE,.D1E十CE的最小值为D1G,又 D1G=√D1F+FG=√9+I= √10，∴D1E十CE的最小值为√10 故选B 5.C如图，设圆台 的母线长为1，高 为h,r1=5,r2= 10,圆台的侧面积 h 为150π=π(r1十 r2)l=π(5+10)l, 则母线长l=10, A o' 圆台的高h /102-5 5√3，则圆台上、下底面面积分别 为S=πX52=25π，S2=πX102= 100x,剥圆台的体积V=3(S √S·S+S,)Xh=3 X175π× 53 875√3π 故选C。 3 6.A设圆锥的底面半径为r,则圆锥的 高为3一r(0r3),则圆锥的体积 为V）=号r(3-）=r 3 3r3，所以V（)=2πr二πr4 = πr(2-r),当0<r<2时，V'(r)>0, V(r)在(0,2)上单调递增，当2<r< 3时，V'(r)<0,V(r)在(2,3)上单调 递减，所以当r=2时，V(r)取得最大 值，此时圆锥的高为1，母线长= √22+1下=√5，故圆锥的侧面积S= πrl=πX2X√5=2W5π.故选A. 7.AB 对于A,因为一个棱柱底面最少 为三角形，故3个侧面，2个底面，共5 个面，故A正确；对于B,正棱锥的底面 是正多边形，顶点在底面上的射影是 底面正多边形的中心，侧面都是全等 的等腰三角形，故B正确：对于C,因为 多面体可能为两个共用同一个底面的 棱台的组合体，故C错误；对于D水平 放置的正方形的直观图是平行四边 形，故D错误.故选AB. 8.ACD对于A,,圆柱的底面直径和 高都等于2R,∴.圆柱的侧面积S1= 2πR·2R=4πR2,故A正确；对于B, ,圆锥的底面直径和高都等于2R,,圆 锥的侧面积为S2=πR·√R+4R= √5πR,故B错误：对于C,圆柱的侧 面积为S1=4πR2,球的表面积S,= 4πR2,即圆柱的侧面积与球的表面积 相等，故C正确；对于D,球的体积为 πR,国维的体积为V, 4 V1= 3xR·2R 子xR,即球的体积是 圆锥体积的两倍，故D正确.故 选ACD 9.BD 对于A,由题意可得AA1= +()+( 3 (m), 故A错误；对于B,梯形ADD1A1的高 546 红对沟·讲与练·高三数学·基 为-)=号m,所以标 考DDA,的面教为告X 2 35(m)梯移AB那，A的高为 √P+(。)=(m所以蒂形 ABB,A1的面积为2X2 2 3E(m),故该四棱台的侧面积为2× (32+3y5)=(3w2+35)m2,故B 2 2 正确；对于C,若放入容器内的球可以 接触到容器的底面，则当球的半径最 大时，球恰好与平面ADD1A1、平面 BCC1B,、平面ABCD均相切，过三个 切，点的截面如图1所示，由题意可知棱 台的裁面为等腰梯形，则tan∠MPV= 1 2-1 =-2,由于∠MPN,∠MON 2 互补，故tan∠MON=2,则 2tan∠MOP 1-tan2∠MOP =2,所以tan∠MOP= 5-1(负值舍去)，从而球的半径为 2 1 2 5-1 5+1(m<0.9m,所以将 4 2 半径为0.9m的球放入该容器中不能 接触到容器的底面，故C错误；对于D, 将平面ABCD与平面DCC1D1展开至 同一平面，如图2，则AC1= √2+E+() 3+42(m),将平面ABCD与平 面BCC1B1展开至同一平面，如图3，则 AC= √-)+= √厚后m.华+-（ 4V2）=3十5-4W2<0,所以最短路 程为，√四+后m,故D正痛故选m D C D 图1 图2 B D 图3 基础版 10. 3π 解析：作出球的裁面，A 如图，AB是平面截球 所得小圆的直径，C是 小圆圆心，O是球心， 设小圆半径为r= AC,依题意得πr2=π，解得r=1,由 OA=OB,AC=BC,得到OCI AC,又OC=1为球心到小圆所在平 面的距离，故AO=√AC+OC= √瓦，即球的半径为√2，则球的体积为 XE)=82元 3 3元 11.√2π 解析：设圆锥的母线长为l,∠ASB= 90°，.AB=√2l,又OA+OB≥ AB(当且仅当AB为底面圆直径时取 等号)，AB≤2，即l≤√2，∴.圆锥 侧面积S=πX1Xl=πl≤√2π，即 所求最大值为√2π 12.3 2 1 解析：设圆锥的底面半径为r,球的半 径为R,因为圆锥的轴截面为正三角 形，所以圆锥的高h=√3r,母线长 l=2r,由题可知h=2R,所以球的半 径R= 三，所以圆锥的体积V, 言×rX,= 3,球的体积 =R=× 停) 3 V= ，所以 3 子周徐 2 的表面积S1=πrl十πr2=3π2，球 的表场教S=红R=红X(停，)广 2 3r所以袋- 3元r2 =1. 13.解：(1)如图所示，梯形ABCD为还原 的平面图形，作CE⊥AD交AD于 点E. D O(A B 因为AD=5,AB=4,BC=2,所以 DE=3,EC=4,DC=5, 所以S梯形ACD= (2+5)×4=14. 2 (2)将原平面图形ABCD绕BC所在 直线旋转一周，所得几何体是一个以 AB为底面半径的圆柱挖去一个底面 半径为CE的圆锥，S网箭=π×4 5=20π，S同柱侧=2元×4×5= 40元，S网柱底=16π，所以所形成的几何 体的表面积为S=S风能侧十S网柱侧 十 S网柱底=20元十40π十16π=76π， V网性=π×42×5=80π，V国维 3π×4×3=16π，所以所形成的几 1 何体的体积V=V网性一V同能=80π一 16π=64π. 14.解：如图.设圆柱上 底面的圆心为O1, 下底面的圆心为 O2,易知02为正 四面体底面的中 B 心，且圆柱的上底 面与正四面体的侧 面ACD的公共点N在△ACD的中 线AM上.，正四面体的棱长为 9cm,∴.AM=BM=9X √5 9 2 (cm),0,M=3 cm,BO2= 2 3√3cm, ∴.AO2=√AM-O2MP= √)-(） =3√6(cm). 设圆柱的底面半径为rcm,高为 hcm.由O1N∥O,M,得△AO1Ncn △AO2M,则 36-h .h= 3√3 3√6 2 36-2V2r,V网性=πr2(3√6 22r)=36πr2-22πr(0< 3)令fr)=36-2wE 0<r<则)=66 6√2πr2.令f'(r)=0,得r=3.当 0<r<√3时，'(r)>0,此时f(r) 单调递增，当V5<,< 3√3 时， 2 f(r)<0,此时f(r)单调递减，∴.当 r=√5时，f(r)max=3√6πX(5)2- 2√2πX(√5)3=3√6π. 故当底面半径为√5cm时，圆柱的体 积最大，最大值为3√6πcm3. 训练41 球的切接问题 1.C如图，可将正三 B 棱锥P-ABC放到棱 长为2的正方体中， 则正方体的外接球 即为三棱锥的外接 球，且正方体的外接 球的直径为正方体 的体对角线长，设外接球的半径为R, 则(2R)2=22+22十22=12，即4R2= 12,即R=√5（负值舍去），所以外接球 的表面积S=4πR2=12π.故选C. 2.B正方体的棱切球的直径为正方体 的面对角线，设棱切球的半径为R,则 (2R)=1十1=2，解得R=1 2(负 值舍去)，所以其棱切球的表面积S= 4πR2=2π.故选B. 3.B如图所示，设圆锥 的底面圆心为点D,延 长AD与球面交于B, 设圆锥底面半径为r, 母线长为l,则πl十 C πr2=3πr2,得l= 2r,所以圆锥的高h √2-=√r.设球的半径为R,在 Rt△ABC中，CD⊥AB,有CD= AD·BD,即r2=h·(2R-h),即 r2=√5r·(2R一3r),所以R= 2r √3 ,V悠 3r5 = 9 ,故选B. 32 3π5) 4.C设球的半径为R,根据题意可得圆 柱的底面半径为R,高为2R,设圆柱的 表面积为S,球的表面积为S:S 2mπR2十2πR·2R 3 4πR 之，故圆柱的表 面积与球的表面积的比值为之 3 故 选C. 5.B如图，设圆 台上、下底面圆 心分别为O1, O2,则圆台内切 球的球心O一 定在O1O,中点 处，设球O与母 0. 线AB切于点 M,.OM⊥AB,.OM=OO1= OO,=R(R为球O的半径)， .△AOO1与△AOM全等，.AM= r1,同理BM=r2AB=r1十r2, .01O2=(1十r2)2-(r2-r1)2= 4r1r2=12,.0102=2W5,.圆台的 内切球半径R=√，.内切球的表面 积为4πR=12π.故选B. 6.A将圆台母线 S 延长交于点S,得 圆锥SO1,作圆 锥SO1的轴截 面，等腰梯形 D 02 ABCD为圆台的 轴截面，截内切 球O得大圆，并 且是梯形ABCD 的内切圆，令SAA B 0 切圆O于T,如 图，设底面圆直径AB=2R,依题意， 0s∠SA0=3,则SA=3R,S01 2√2R,设内切球半径为r,则OT O01=O02=r,cos∠S0T= 3,S0=3r,S01=4r=22R,于是 R=√2r,且O2为SO1的中点，而内切 球体积V=誓，圆台的体积V 3 日0（）0 27P4r=,所以国台与共内 3 切球的体积的比值为 V27 =,故选A 7.BCD三棱锥P-ABC的外接球即为 以AB,AC,AP为邻边的长方体的外 接球，.2R=√/6十2”+(2√5)2= 2√J13,.R=√/13，取BC的中点O1, 如图，O1为△ABC的外接圆圆心， .OO1⊥平面ABC.当OD⊥截面时， 截面的面积最小，OD= √OO1+01D2=√32+(W5)?= 2√5，此时截面圆的半径为r= √R2一OD=1,∴.裁面面积为 πr=π，当截面过球心时，裁面圆的面 积最大为πR2=13π，故截面面积的取 值范围是[π，13π].故选BCD. 01 8.ACD对于A,由题知，各侧面均为边 长为m的正三角形，故该正八面体结 构的表面积S表=8× X m2= 4 2√3m2,故A正确：对于B,如图，连接 AE,PE,则AE=PE= 2m,PE⊥ 底面ABCD,故该正八面体结构的体 积V2x5×mX号m=E m3, 故B错误：对于C,底面中心E到各顶 点的距离相等，故E为外接球的球心， 外接球的半径R=PE=号 ,故该正 八面体结构的外接球表面积S'=4X πX（ 2 2m =2πm,故C正确；对于 D,该正八面体结构的内切球半径r= 3V √2m3 S表 25m2 一巨m,故内切球的表 25 面积为4π× 2m 2πm -,故D正 2√5 3 确.故选ACD. F(P) (D) (C) (A) 7F(B咧 9.ACD如图，设半 径为2的两球球 心分别为A,B,半 径为4的两球球 心分别为C,D,易 知AB=4,CD= 8,AC AD =A BC=BD=6,取 AB的中，点E,连 参考答案547