训练33 复数-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练33 复数 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.(2025·八省联考)|2-4i= 7.若复数之1一则 A.2 B.4 C.25 D.6 A,之的共轭复数=1十i 2 2.(2024·全国甲卷理)若之=5十i,则i(之十x)= ( B11-号 A.10i B.2i C.复数之的实部与虚部相等 C.10 D.2 D.复数之在复平面内对应的点在第四象限 3.(2025·江苏南京调研)在复平面内，复数之对应的 8.(2025·江西南昌模拟)已知虚数1，之2是方程 点乙在第二象限，则复数对应的点乙，所在象限 之3一8=0的两个不同的根，则下列说法正确的有 () 为 ( A.x7+2x1+4=0 A.第一象限 B.第二象限 B.7=x2 C.第三象限 D.第四象限 C.之1之2=4 4.(2025·广东汕头摸底)设复数之在复平面内对应 D.|1=2 的点的坐标为1，一1D,则千的模为 9.(2024·江苏常州模拟)已知复数之，之1，之2，下列结 A.1 B.2 论正确的是 C.√2 D.0 A.|x11+|2=|1+21 5.已知复数1，之2，之1=3+3（其中i为虚数单位），且 B.|之1·2=|z11·|之2 C.若|之|=5，则|之一2|的最小值为4 1=i,则之2 之2 D.在复平面内，1，之2所对应的向量分别为OZ1, A.-1+3i B.-1-3i OZ,其中0为坐标原点，若OZ,⊥OZ,则 C.1-i D.1+3i |21+之2|=|之1-之2 6.(2025·河北邯郸模拟)已知复数1=1一2i,复数 三、填空题（每小题5分，共15分） 之满足|之十之1=2，则 10.若复数(a2一1)十(a+1)i为纯虚数，则实数a= A.x1·之1=2+i 得分 B.复数1在复平面内所对应的点的坐标是 11.已知复数之=a+(6a一1)i在复平面内对应的点 (-1,2) 在第四象限，则实数a的取值范围是 C.5-2≤|之|≤√5+2 得分 D.复数之在复平面内所对应的点为Z(x,y),则 12.已知复数之满足|之=1，则|之-3+4i|的取值 (x+1)2+(y-2)2=2 范围是 得分 (横线下方不可作答) 325 第五章平面向量、复数 四、解答题（共37分） 14.(20分)已知为复数，且(1+3i)之为纯虚数， 13.(17分)已知复数：=1-i)+3(+) |之|=√10， 得分 2-i (1)求复数之； 得分 (2)若复数w满足|2w一之≤1，求|w|的最大值. (1)求复数之； (2)若之2十a之+b=1一i,求实数a,b的值. 红对勾·讲与练326] 高三数学·基础版 ■A市=a+子b,D范=A忘-A = 3 }访-市-20-0，又1a b=6,a·b=0,所以cos∠EMF= c0D克A)= D元A市 DE·AF (分a-b).(a+号 1 -a 6 -b2 6 √2 3W5X2√10 10 12.①③④ 解析：对于①，若P为△ABC的垂 心，则AB.P元=0，又ABA元=2， 所以A产.AB=AB.(A元-P元) = AB.AC-AB.PC =2-0=2, ①正确；对于②，取CB的中点O,连 接OA,以O为坐标原点，BC,OA所 在直线分别为x轴、y轴，建立平面直 角坐标系，如图， A C 则B(-1,0),C(1,0),A(0,√3)，设 P(m,n),则PA·(P言+P元) (-mW5-n)·(-2m,-2n)= 2m2+2n2-2W8n=2m2+2(n 时 Pi.(pi+p心)=2m2+2(n ) 取得最小值，最小值为 2，②错误：对于③，由题意得 3 A市=xA店+AC=(1-2y)A yAC,则A立-AB=y(-2AB+AC), 即B产=y(BA+BC),如图，设D为 AC的中点，则BA+BC=2BD,故 BP=2yB币，故B,P,D三点共线， 因为P是△ABC的外心，所以BD垂 直平分AC,所以AB=BC,③正确： 对于④，由题意得AP A AB cos B AC (AB+AC),则A市 AC cos C 2 BC AB.BC AC.BC AB cos B AC cos C 子(i-C)成 A方.BC|cos(π-B) AB cos B 花：成C+合，· AC cos C C=-C+成+号A丽+AC)· 武=+)成，所以2证. BC=(AB-+AC)BC,如图，设E是BC 的中点，则AB+AC=2AE,故2A户， BC=2AE.BC,即(APAE)·BC= E户，BC=O,则点P在BC的垂直平 分线上，④正确. 13.解：不存在.如图所示，以B为原点， 建立平面直角坐标系，过点A作 AD⊥BC于点D, 由题可知，A3,4,M(,)，C(6, 0),所以成=（a,号），假设在线段 BM上存在点P(x,y)(0≤x≤4)使 得PC⊥BM,则BP=(x,y),C产= (x-6,y),由BP与BM共线及C产⊥ 4y一 BM得， 3x=0, 4(x-6)+ 3y=0, 54 解得 x1 36 y=13 因为-君>4，所以在线段BN上 不存在点P,使得PC⊥BM. 4.证明：BA=BC+CA,D元.BA DE.(BC+CA),即DE.BA=D克. BC+DE.CA.又：DE.BA=DE· BA cos/EDA =c DE cos 0, DE.BC DE BC cos(B-0)= a DE cos(B -0),DE.CA DE1CA|cos(A+0)=bDE· cos(A +0),..c DE cos 0 aDE|cos(B-8)十b|DE· cos(A十0)，即a·cos(B-8)+b· c0s(A十0)=c·cos0. 训练33复数 ,C|2-4i=√22+(-4)'=25， 故选C. 2.A由x=5+i→g=5-i,x+x= 10,则i(x十之)=10i.故选A. 3.A由在复平面内，复数之对应的点Z 在第二象限，设之=a十bi,Q<0,b> 0,则兰=a十i=么-只i,显然 4i 4i 44 冬>0，-号>0，所以点2(÷ 一号）在第一象限，故选A 4.A因为复数之在复平面内对应的点 的坐标为(1，一1)，所以x=1一i,所以 帝= (1-i)2 (1+0(1-5= 1+丝=年=i 2 √(-1)=1.故选A 5.A依题意，之1=3-i,由=i,得 x2==3-i =-1一3i,所以 之2=-1十3i.故选A. 6.C因为之1=1-21，所以1=1十2i, 所以x11=1”十22=5，又|2+i= √5，所以121≠2十i,A错误；z1在 复平面内对应的点的坐标为(1,2)， B错误；由之十之1=2知，在复平面 内，之对应的点在以一之1对应的点 (一1,2)为圆心，2为半径的圆上，又 之1=√5，因此W5一2≤|之√5十 2,C正确；心1在复平面内对应的点的坐 标为(1，一2)，因此(x十1)十(y一 2)2=4,D错误.故选C. -i 7.ABD之=1-i=1-i 1（1十i)1一11一0 (1-i0(1+i) 2 1 对于A,之= =1十，故正确： 2+2 对于B,之= √)+() 故正确：时于C=号官宾部 2 为 ,虚部为 2,故错误；对于D. 1 之三。一)在复平面内对应的点的坐 标为（分一】，在第四象限，故正 确.故选ABD. 8.ACD对于A,x3-8=(x-2)(z2十 2x十4)，令x2十2x十4=0，其中△= 4-16=-12<0,由于之1,2为虚数， 故1之2为x2十22十4=0的两个根， 则十2x1十4=0，A正确；对于B, x+2十4=0的两根为2±2W5 2 -1士√3i,若x1=-1十5i,x2= -1-51,则x号=(-1十√3i)2=1 2√3i十3i=-2一2√3i≠x2,B错误： 对于C,由根与系数的关系得1之2= 4,C正确；对于D,由B得，x1=一1十 5i或之1=-1-5i,均有|之1= √/1+3=2，D正确.故选ACD. 参考答案539 9.BD对于A,设x1=1,之2=-1，则 之1十2=2，之1十z2=0,因此 A错误；对于B,设1=c十di,z2= m+ni(c,d,m,n∈R),则之1· 之2=(c十di)·(m+ni)=(cm dn)+(cn+dm)i= v(cm-dn)?+(cn+dm)2= /(c2+d)(m2+n2),又之1· 2=√(c十d)(m2十n),则 1·之2=之1·之2，因此B正确； 对于C,设之=5，则之-2=3，此时 之-2|=3，因此C错误；对于D,若 OZ:⊥OZ,则复平面内以有向线段 OZ1和OZ,为邻边的平行四边形是矩 形，根据矩形的对角线相等和复数加 法、减法的几何意义可知，D正确.故 选BD. 10.1 解析：由复数为纯虚数可得 a2-1=0,解得a=1. la十1≠0， .o,) 解析：：复数x=a十(6a一1)i在复 平面内对应的，点在第四象限， ÷a二<0.解释0<a<g中 实：a的取值范国是(0，)】 12.[4,6] 解析：之=1表示之在复平面上对 应的点是单位圆上的点，之一3十4i 表示单位圆上的点和(3，一4)之间的 距离，.最小距离为√3十（一4）2 1=4,最大距离为5十1=6，. 3十4i的取值范围为[4,6]. 13.解：(1=一21+331=3± 2-i 2-i 3+0(2+D=1+i1 (2)把之=1+i代入x2+a之+b=1 i,得(1+i)2十a(1+iD十b=1-i, 整理得a十b十(2十a)i=1一i,所以 g+01每得8= a=-3, 14.解：(1)解法1由(1+3i)z为纯虚 数，设(1十3i)z=ai(a∈R,a≠0)， ai ai(1-3i) 则之=1中3=1十3)0-3D 得+品可得 √)+()=a 10 √10，解得a=±10， 所以之=3十i或x=-3一i. 解法2设x=a+bi(a,b∈R), 则(1十3i)x=(1十3i)(a十bi)=(a 3b)+(3a十b)i, 因为(1十3)之为纯虚数，所以 低的子8解得a=86:且6≠0… 所以之=√a十b=√10b= √10，解得b=士1， 所以之=3+i或义=一3一i. 5402对构·讲与练·高三数学· (2)因为2w一之≤1，所以 。 1 设复数，之：在复平面内对应的点 分别为P,Z,O为坐标原点， 1 则PZ≤乞，可知点P在以点Z为 圆心，2为半径的圆上或圆内，由题 意可知，|OZ= 1 2之 四则w≤o2 110 2 2 子，所以。的最大值为四+子 2 第六章 数列 训练34数列的概念 1.A对于A,设a,=十则1 an=”十1_n n十2n+1 = (n+1)2-n(n+2) (n十1)(n+2) n十1Dn+2)>0,所以数列{” n+1 是递增数列，故A正确；对于B,当n= 1时，a1=1与第1项为0不符，故B错 误；对于C,数列中的项并不完全相同， 故C错误；对于D,根据数列的概念，数 列与顺序有关，所以数列2,4,6,8与数 列8,6,4,2不是相同的数列，故D错 误.故选A. 111 2.A数列-1,2，一3，有…可写成 -11-11 工23，…，可知其分母为n, 其分子是一1,1交替出现，故分子可为 (一1)”，所以该数列的一个通项公式为 (-1)" an= .故选A n 3.D47=√2X23+1,故为第23 项.故选D. 46 8 4.B由数列2，-3行，-气，…可得 a=-4 2 a1= 5,a1= 8 一7，…，归纳可得其通项公式为 am=(-1)"-1 2m一，所以第8项是 2n 2×8 .故 a=(-1)X2x8-1=6. 选B 5.B当n≥2时，an=Sn-Sn1=n2十 n+λ-[(n-1)2+(n-1)+λ]=2n, 故可知当n≥2时，a,单调递增，故 {am}为递增数列只需满足a2>a1,即 4>2十1→入<2.故选B. 6.Da1=-3a1=a,二 a,+1心a2 、&1一1=2a=2—1=1小 a2+=3a, 基础版 82=-名：- 、a1十7 一3，…，数列{an}是以4为周期的 周期数列.又2025=4×506十1， .a2o2s=a1=-3.故选D. 7.BC由数列中项是有次序的，可知A 错误：根据数列中的项有无限个，可判 定数列为无穷数列，故B正确；由于数 列看作函数时，自变量是从1开始的正 整数，故图象为一群孤立的，点，故C正 确；数列的通项公式不是唯一的，如 a,=m受a,=cos2可以表 示同一个数列，故D错误.故选BC. 8.AC依题意，a,=3m-1=3-1 2n 22m 1 1 n∈N,对于A0<27≤2则1≤ 、-<受A正确：对于BC,D.显 1 31 然2m+D<2元，则立-27<2 2(n十，即a,<a1恒成立，因此数 列{an}为递增数列，不是周期数列，也 不是常数列，C正确，B,D错误.故选AC 9.BC由a,=1-。, 一，则a2=1一 11 2=2a=1-1 =-1a=1- 1 =2,则数列{an}是以3为周期的 数列，由2022=3×674，故a202= a3=-1,a2023=a1=2,a2o21=a2= 1 a2o2s=a3=-1.故选BC. 10.7 解析：根据3,8,15,24,35，…归纳出 其通项公式为a,=(n十1)-1，当 (n十1)2-1=63时，n=7,所以63 是数列3,8,15,24,35，…的第7项. /2,n=1, 11,an= {2-1,n≥2 解析：数列{an}的前n项和S,=2”, 当n≥2时，am=Sm-Sm1=2” 2-1=2-1,而a1=S1=2不满足上 式，所以{an}的通项公式为a。= 2,n=1, {21,n≥2. 12.5 解指：0，==(1中 19Y 3m-16心当n≤5时，a,<0,且 单调递减，当n>5时，an>0,且单调 递减，当n=5时a,最小. 13.解：1)a.=9n9m+2- 9n2-1 (3n-2)(3n-1)_3n-2 (3n-1)(3n+1)=3n+1' 出，一额子-器解得四。 3 区因为nN,所以不是数列 {an}中的项.