训练13 对数与对数函数-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

1 (2)由(1)知，f(x)=x十 方程f(x)=m在(0，十∞)上有两个 不同的根， 即x2-m.x十1=0在(0，十o∞)上有 两个不相等的实数根， △=m2-4>0, 需满足受>0， 02-m×0+1>0, 解得m>2. .实数m的取值范围为(2，十∞). (3)由题意知h红)=x十 2(x+2） 1 令之=x十 ,y=之2-2tx-2, :函数：=x+上在[合1]上单调 递减，在[1,2]上单调递增， :函数y=之2一2t-2图象的对称 轴为之=t<0, 六函数y=-2g-2在[，]上 单调递增. 当之=2时，ymm=一4t十2；当之= 即h(x)min=-4t十2，h(x)mx= -5+号 又对Hx1x2 [号习都有k) kc,)<只恒成立。 15 ∴h(x)mx一h(x）≤4， 即r+ -(-4+2》≤只， 解得t≥一 又t<0, 3 实数：的取值范围是[o）, 训练12指数与指数函数 a 1.B Ja va -a2 a故选B. 2.A因为22+1十4”=192，所以221+ 40=22m1十22=2(2+1)=3X 2m=192,所以3X22=192=3X 64=3×2,则22m=2,即2n=6,则 n=3.故选A. 3.C由指数函数y=0.6在(0，十∞) 上单调递减，可知0<0.65< 0.68<1,又1.50,8>1，所以b<a< c.故选C. 4.Cf(x)的定义域是R,由题意得 f(0)=1十a=0,所以a=一1， f(x)=2-2,则f(-x)=2x 2=一(x),是奇函数.故选C. 5.A当x=1时，y=a°十4=5，所以 P(1,5).故选A. 6.C 为函数 $$f \left( x \right) = \frac { 2 } { 1 + 3 ^ { x } } ，$$ ，所以 $$f \left( - x \right) = \frac { 2 } { 1 + 3 ^ { - x } } = \frac { 2 \times 3 ^ { x } } { 3 ^ { x } + 1 } ，$$ 所以 $$f \left( - x \right) + f \left( x \right) = \frac { 2 \left( 1 + 3 ^ { x } \right) } { 1 + 3 ^ { x } } = 2 ，$$ vλf(-2025)+⋯+f(-1)+f(0)+ f(1)+f(2)+⋯+f(2025)=2× 2025+f(0)=4050+1=4051. 选 选 C. 7.ABD 对于 A，3a $$2 a ^ { 3 }$$ 不是同类项， 不能合并，故 A 错误；对于 $$B . 3 a ^ { 2 }$$ $$2 a ^ { 3 } = 6 a ^ { 2 + 3 } = 6 a ^ { 5 } ，$$ 故 B 错误；对于 C $$\left( - 2 a ^ { 3 } \right) ^ { 2 } = 4 a ^ { 3 \times 2 } = 4 a ^ { 6 }$$ C 正确；对 fI $$D . 4 a ^ { 6 } \div { a ^ { 2 } } = 4 a ^ { 6 - 2 } = 4 a ^ { 1 }$$ ，故 D )错 D 误.故选 ABD. 8.BD 令 $$t = x ^ { 2 } + 1 ， g \left( t \right) = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { t } ， 则$$ 据指数函数的性质可知 ，g(t)= $$\left( \frac { 1 } { 2 } \right)$$ 在 (-∞，+∞) )上单调递减，而 $$t = x ^ { 2 } + 1$$ 在 (-∞，0) 上单调递减，在 (0，+∞) )上单调递增，故 f(x)= $$\left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { x ^ { 2 } + 1 }$$ 的单调递增区间为 (-∞， $$\left. 0 \right) . t = x ^ { 2 } + 1$$ 1的值域为 [1，+∞)， ，而 $$g \left( t \right) = \left( \frac { 1 } { 2 } \right)$$ 若(-∞，+∞) 上单调 减，故 $$f \left( x \right) = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { x ^ { 2 } + 1 }$$ 的值域为 $$\left( 0 ， \frac { 1 } { 2 } \right]$$ ，故选BD. 9.BCD 对于 A A， 函数 f(x) 的定义域为 R，且 $$f \left( 0 \right) = \frac { 1 } { 2 } e 0 ，$$ ，所以函数 f(x) 的图象不关于原点对称，故 A 错误；对 于 ，因为 $$e ^ { - x } + 1 > 1 ，$$ ，所以 f(x)= $$\frac { 1 } { 1 + e ^ { - x } } \in \left( 0 ， 1 \right) ，$$ 故B正确；对于 C，由 $$f \left( x \right) = \frac { 1 } { 1 + e ^ { - x } } > \frac { 1 } { 2 }$$ 可得 $$9 e ^ { - x } < 1$$ 则 -x<0， ，解得 x>0， ，故 C 正确；对 于D，对任意的 $$x \in R ， y = 1 + e ^ { - x }$$ 1，且函数 $$y = 1 + e ^ { - x } 在 R$$ 上单调递 减，故函数 f(x) 是增函数，故D正确 故选 BCD. 10.102 解析 $$\left( \sqrt [ 3 ] 2 \times \sqrt 3 \right) ^ { 6 } - 4 \times { \left( \frac { 1 6 } { 4 9 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } +$$ $$\left( - 2 0 2 5 \right) ^ { 0 } = \left( 2 ^ { \frac { 1 } { 3 } } \right) ^ { 8 } \times { \left( 3 ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 6 } } - 4 \times$$ $$\left[ \left( \frac { 4 } { 7 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + 1 = 2 ^ { 2 } \times 3 ^ { 3 } - 4 \times \frac { 7 } { 4 } +$$ 1=102. $$1 1 . \frac { 3 } { 2 } \pi$$ $$\frac { 1 } { 2 }$$ 解析：当 a>1 时，函数 f(x) 在区间 [1，2] 上单调递增，由题意可得， $$f \left( 2 \right) - f \left( 1 \right) = a ^ { 2 } - a = \frac { a } { 2 } ，$$ ，解得 a= $$\frac { 3 } { 2 } 或 a = 0 \left($$ (舍去)；当 0<a<1 1时， 函数 f (x)在区间[1，2]上单调递减， 由题意可得， $$f \left( 1 \right) - f \left( 2 \right) = a - a ^ { 2 } =$$ $$\frac { a } { 2 } ，$$ 解 $$a = \frac { 1 } { 2 } 或 a = 0 \left($$ (舍去)，综上 所述 $$， a = \frac { 3 } { 2 } 或 a = \frac { 1 } { 2 } .$$ 12.2√2 解析：x>0,y>0,且x十4y=1, .2+16=2+2≥ 2√2·25=2√2+丽=22，当且 仅当2=2，即x=2y=日时。 等号成立，即2十16的最小值是 22. 13.解：D(-2zy)8r支y)× -4zy)=(-2)×3x-4× 2()-() .5 +0.008言× 总-[倍)门-厚 [门×结-台9- 14.解：(1)f(x)= 1 +4 (号)-2a·()广+4(-1< x≤2.令t= (分）广，得g0 2-2a+4(任<≤2小 当入=子时，g0)=-3十4 (-)广+子（仔<4≤2）所以 g(t)m- g(行）=器 53 g(侵)=子，所以u)= 53 f(x)min=4 故函放1：)的值球为[？，] (2)方程f(x)=0可转化为入=2· 2十 ‘2-1≤x≤2. 1 1(1 设9(x)=2·2+2.2（2≤ 2≤4)小当2”=2即x=-1时， p(x)mn=2;当2r=4,即x=2时， p(x）n= 65 8 所以函数)的值城为] 放实数1的取值范国足等] 训练13 对数与对数函数 1.Alog225×log:2V2=log52× lom gx log. 故选A 2.B因为函数y=√nx十 lnx≥0， 72,所以7->0，即 0<t<7,解得1≤x<7,故选B, x≥1， 参考答案517 3.D因为f(x)= log2x,x≥1， -lbgx0<x<1,所以函数的定 义域为(0，十∞)，即函数图象只出现 在y轴右侧，值域为[0，十∞)，即函数 图象不能出现在x轴下方，其图象在 区间(0,1)上是下降的曲线，在区间 (1,十∞)上是上升的曲线，由增长趋 势知C不正确，只有D满足要求.故 选D. 4.A因为f(x)=1g5×1g(10x)十 (1gx)2,所以f(2)=1g5×lg20+ (1g2)2=lg5×(1g5十lg4)+ (1g2)2=(1g5)2+2×(1g5×1g2)+ (lg2)2=(1g5+lg2)2=(lg10)=1 故选A. 5.A首先0<a<1,0<b<1,因为 1g3 1g3 a--g5 所以a-b=g3 1g4 1g3-g3×4g5-1g)>0,所以 1g5 1g4×1g5 0<b<a1,因为c=log15>1,所 以b<a<c.故选A. 6.C分析函数性质知f(x)的定义域为 {xx≠2}，值域为{y|y≥0}，当 x=1或x=3时，函数f(x)的图象 与x轴相交，交点坐标为(1,0)和(3,0)， 由f(4-x)=1n2-(4-x)= In x-2=In 2-x= f(x),故f(x)的图象关于直线x=2 对称，当x>3时，函数f(x)=ln(x 2)为增函数，同理f(x)在[1,2)上递 增，在（一∞，1），(2,3]上递减，函数 f(x)=|ln2-x川的大致图象如 图所示， y↑ =f式x) -3-2-10123456x 对于A,由图象知函数f(x)在区间 (1,2)上单调递增，故A正确；对于B, 由图知函数y=f(x)的图象关于直 线x=2对称，故B正确：对于D,由图 知函数f(x)有且仅有两个零点，故D 正确；对于C,由图知f(x1)= f(x,)≠0时在对称轴两侧各有2个 对应点，此时x1十x?=4不一定成立， 故C错误.故选C. 7.CD解不等式log(3-2x)<1得 0<3-2x<5,解得-1<x<2, .3 即原不等式的解集为(1，)，(-1， 0=（1,)-1=(-1,） 因此A,B不特合题意：而(-1，)三 (-12.(1,)=(-1+0),因 此C,D符合题意.故选CD 8.ABD对于A,注意到y=-logx= logz,则其与函数y= (日）广互为反 函数，故A正确；对于B,函数y= 518红对构·讲与练·高三数学· l0g1x的图象过定点(1,0)，函数y= (日）广的圈象过定点00且两定点 都在直线y=一x十1上，故B正确；对 于C,当a>1时，两函数均在定义域内 单调递减，当0<a<1时，两函数均在 定义域内单调递增，故C错误；对于D, y=1ogLx的值战为Ry=(日）广的 值域为(0，十∞)，都没有最值，故D正 确.故选ABD. 9.ACD令u=x2十x十1=（x十 )广+号≥所以16十 D0≤1og=2-log3,故f(x)有 最大值2-log23.又f(x)=log1(x2十 x十1)是由函数y=log1u与u= x2十x十1复合而成，且u=x2十x十 1在（-∞，- ）上为减画教，在 (名+∞)上为增函数y=1gu 在(0，十∞)上为减函数，所以由复合 函数的单调性可知函数f(x)在 (0,）上为增画数，在(-分 十o∞)上为减函数.故选ACD. 10.e解析：由f(ln2)f(ln4)=8,可得 an2·a1=8,即an2+Hh1=am2= 8,即(an2)3=23.:a>0且a≠1， am2=2,两边取对数得ln2· lna=ln2,解得a=e. .(1.号) 解析：设函数f(x)的解析式为 f(x)=log.x(a>0,且a≠1)，由函 数的图象过点(4，一2)可得一2= 1 log4,即a2=4,解得a=2、由 f(x-1)-f(x十1)>3，可得f(x- 1)>3+f(x+1),即log1(x-1)> log 8 log (z-+1)=1og (x 1),所以原不等式等价于 x-1>0, 红-1<名（x+1D,解得1<x< x十1>0， 9 7· 12.[-1,0]U[1,+o∞) 解析：当x>0时，f(x)=1gx≥0， 解得x≥1，当x=0时，f(0)=0,当 x<0时，f(x)=一f(-x)= -lg(-x)≥0，得0<-x1,即 一1x<0,故x的取值范围是 [-1,0]U[1,+∞). 13.解：(1)由函数y=l1og。(1十x)十 log。(3-x)的图象过点(1,2)， 得2=log2十log.2,即log。4=2, 基础版 所以a2=4,解得a=2或a= -2(舍去)， 所以y=log(1十x)十log:(3-x), 1+x之0解得-1<x<3, 由3-x>0, 所以a=2,函数的定义域为(-1,3). (2)由(1)知y=log2(1十x)+ 1og2(3-x)=log[-(x-1)2十4]， 又x∈0,2J 37 ,所以当x=1时， 一(x一1)2+4取得最大值4，且函数 y=log2x在定义域(0，十∞)上单调 递增， 故函数在区间0,2] 37 上的最大值 y max =log2 4 =2. 14.解：(1)因为log3<log2,所以0< a1, 所以y=logx在[a,3a]上为减 函数， 因为函数y=logx在区间[a,3a]上 的最大值与最小值之差为1， 1 所以log.a-log。3a=1,即log。3 1,解得a=3 (2)因为1≤x≤3，所以-1≤ 1og1x≤0， 所以y=(logx)2+log。√丘-2= (lo2. 令log1x=t,则t∈[-1,0]，y= +-2=+)- 1 所以当=二子即x三3时y取 得最小值 33 16 训练14函数的图象 1.C当，点P在OA段运动时，s随t的增 大而匀速增大，当点P在AB段运动 时，5=OP三号AB(定值)，当点P在 B)段运动时，s随着t的增大而匀速减 小，故选C 2.B当0<a<1时，函数y=a,y= logx为定义域上的减函数，函数y= x“为定义域上的增函数且上凸，所以 A,C,D不符合，B符合：当a>1时，函 数y=a,y=logx为定义域上的增 函数，函数y=x“为定义域上的增函数 且下凹，所以A,B,C,D不特合.故选B. 3.D因为g(x)= y 一f(x),所以g(x) 的图象与f(x)的 图象关于x轴对称， 0 由f(x)的解析式， 作出f(x)的图象 如图，从而可得g(x)的图象为D.故 选D. 4.A函数f(x)= 2”+2的定义战 3cos x 为R,且f(一x)= 3cos(-x） 2x+2班级： 姓名： 训练13 对数与对数函数 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.计算：log225×log22= 7.不等式1og(3一2x)<1成立的必要不充分条 A.3 B.4 件是 () C.5 D.6 A.-1<x<0 2数y=m十1o:7的定义域是 B.-1<x<1 C.-1<x<2 A.(0,7) D.x>-1 B.[1,7) 8.已知函数y=一logx(a>0,a≠1)和y= C.(0,7)U(7,+∞) D.(0,1)U(1,7) (侣）广a>00≠1，以下结论正确的有《) 3.函数y=|1og2x|的图象是 A.它们互为反函数 B.它们的图象都过定点，且定点在直线y=一x十 1上 C.它们的单调性相反 D.它们都没有最值 9.下列关于函数f(x)=log,(x2+x+1)的说法中， 正确的是 A.有最大值2-l0g23 B.有最小值2-1og23 C.在（←∞，-）上为增函数 4.已知f(x)=lg5×1g(10x)+(1gx)2,则f(2) D在（号+）上为减丽数 A.1 B.2 三、填空题（每小题5分，共15分） C.3 D.4 10.(2025·八省联考)已知函数f(x)=a(a>0且 5.已知a=1og43,b=1og3,c=log5,则 a≠1)，若f(ln2)f(ln4)=8,则a A.b<a<c B.a<b<c 得分 C.a<c<b D.c<a<b 11.已知对数函数f(x)的图象过点(4，一2)，则不等 6.关于函数f(x)=|ln2-x|I,下列描述错误的有 式f(x-1)-f(x+1)>3的解集为 ) A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增 得分 B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 12.设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x> C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1十x2=4 0时，f(x)=1gx,则满足f(x)≥0的x的取值 D.函数f(x)有且仅有两个零点 范围是 得分 (横线下方不可作答) 285 第二章 函数的概念与基本初等函数 四、解答题（共37分） 14.(19分)已知a>0,a≠1且10g3<1og2,若函 13.(18分)设a>0,且a≠1，函数y=1og。(1+x)+ 数y=logr在区间[a,3a]上的最大值与最小值 log(3一x)的图象过点(1,2). 得分 之差为1. 得分☐ (1)求a的值及函数的定义域； (1)求a的值； 「3 (2)求函数在区间0,2 上的最大值. (2)若1≤x≤3，求函数y=(logx)2+log。反- 2的最小值. 红对勾·讲与练286 高三数学·基础版 ■