训练10 二次函数-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

训练10 (总分 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1.函数y=√一x(x>0)的最大值为 ( B.0 c号 D.1 2.已知函数f(x)=a.x2+bx+c,若a>b>c,且 a+b十c=0,则函数f(x)的图象可能是() A.i B 3.(2025·山东潍坊模拟)已知a,b,c∈R,函数 f(x)=a.x2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则 A.a>0,4a+b=0 B.a0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a0,2a+b=0 4.若函数f(x)=一x2+2(1一m)x+3在区间 (一∞，4]上单调递增，则实数m的取值范围是 () A.[-3,+o∞) B.L3,+∞) C.(-∞，5] D.(一∞，一3 5.已知函数f(x)=x2+(3m+5)|x|+1的定义 域为R,且函数有四个单调区间，则实数m的取值 范围为 A.m<-5 3 、或m>-1 7 C.m<- Dm《音或m、- 6.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a| 2a2,若当x>2时，f(x)>0,则a的取值范围是 () (横线下方不可作答)2 班级： 姓名： 二次函数 100分) A.(-∞，1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 7.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字： “已知二次函数y=a.x2+bx十c的图象过点(1， 0)…求证：这个二次函数的图象关于直线x=2 对称.”根据现有信息，题中的二次函数可能具有 的性质是 () A.图象在x轴上截得的线段的长度是2 B.图象与y轴交于点(0,3) C.图象的顶点是(-2，一2) D.图象过点(3,0) 8.(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x一x2,则下列 说法正确的是 () A.f(x)的最大值为 B.f(x)在（一1,0）上是增函数 C.f(x)>0的解集为(-1,1) D.f(x)+2x≥0的解集为[0,3] 9.(2024·河北邯郸模拟)若函数f(x)=x|x一a 在[0,2]上的最大值为2，则a的取值可以为 ( A.1 B.3 C.2√2 D.4√2-4 三、填空题（每小题5分，共15分） 10.当0≤x≤2时，二次函数y=x2一2m.x+m一 1(m>0)的最小值为一7，则m= 得分 11.若函数f(x)=a.x2+(a-3)x+1在区间 [一1，十∞)上单调递减，则实数a的取值范围 是 得分■ 12.已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值 域为[2，十o),则。+。的最小值是 16 得分 79 第二章函数的概念与基本初等函数 四、解答题（共37分） 14.(19分)一家图文广告公司制作的宣传画板颇受 13.(18分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数， 商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为 当x≤0时，f(x)=x2十2x.如图所示，现已画 正方形，边长在5~25dm之间（包括边界）.每张 出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象. 画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：dm) 得分 成正比，每张画板的出售价y(单位：元)是画板的 y 边长x(单位：dm)的一次函数.在营销过程中得 5 到了表格中的数据。 得分 3 画板的边长x/dm 8 10 每张画板的出售价y/元 148 160 -4-3-210/ 1234元 (1)求y关于x的函数解析式 2 (2)已知出售一张边长为6dm的画板获得的利 (1)请画出y轴右侧的图象，并写出函数 润为130元（利润=出售价一成本价）. f(x)(x∈R)的解析式和单调递减区间； ①求一张画板的利润与边长之间满足的函数解 (2)若函数g(x)=f(x)-2ax+1(x∈[1,2])， 析式. 求函数g(x)的最大值. ②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润 最大？最大利润是多少？ 红对勾·讲与练 280 高三数学·基础版所以f(x-2)>-f(x2-2x)= f(2x-x2), 所以x-2>2x-x2,解得x<-1或 x>2,故不等式的解集为（一∞， -1)U(2,十∞). 14.解：(1)由f(x)=-f(4-x)得 f(-x)=-f(x十4)， 又因为f(x十2)=f(-x), 所以f(x十4)=一f(x十2)，所以 f(x+2)=-f(x）, 所以f(x十4)=f(x),且 f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)周期为4，且是奇 函数. 当x∈[-2,0]时， f(x)=-f(-x)=x2+2x, 当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0]， f(x)=f(x-4)=(x-4)”十 2(x-4)=x2-6x十8. (2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=-1, 则f(0)十f(1)+f(2)+f(3)=0, 由f(x)周期为4知，f(0)十f(1) f(2)+f(3)+f(4)+…+f(506X 4)=f(2024)=f(0)=0. 训练10二次函数 1,A因为y=√E-x=-(√E)2十 F=-(-2)+红>0. 当反=子即x=子时y=反 1 x(x>0)取得最大值，且ymx=: 故选A. 2.D由a>b>c,且a十b十c=0,得 a>0,c<0,所以函数图象开口向上， 排除A,C:又f(0)=c<0,排除B.故 选D. 3.A由f(0)=f(4),得a≠0，且 f(x)=a.x2十bx十c图象的对称轴为 -6=2,所以4a十b=0, 直线x=一2a 又f(0)>f(1),f(4)>f(1),所以 f(x)先减后增，于是a>0.故选A. 4.D函数f(x)=-x2十2(1-m)x十 3的图象的对称轴为直线x _21一m）=1-m,因为函数 -2 f(x)=-x2+2(1-m)x十3在区间 (一∞，4]上单调递增，所以1一m≥4， 解得m≤-3，所以实数m的取值范围 为(-∞，一3].故选D. 5.Af(x)=x2+(3m十5)x+1, f(-x)=(-x)2+(3m十5)-x十 1=x2+(3m+5)|x+1=f(x), 所以f(x)为偶函数.因为f(x)= x2十(3m十5)x十1有四个单调区 间，所以f(x)在y轴右侧有两个单调 区间，所以-3m,+5>0,解得m< 2 5 故选A 6.B①若a>2,当2<x<a时， f(x）=xx-a-2a2=-x2十 a.x-2a2,此时4=a2-4X(-1)X (-2a2)=-7a2<0,又-1<0，所以 f(x)<0,不满足当x>2时， f(x)>0,故a>2不符合题意；②若 0<a≤2，当x>2时，f(x)= x x-a-2a?=x2-ax-2a2= (x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,由 于当x>2时，f(x)>0,故2a≤2， 解得0<a≤1：③若a=0,当x>2 时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意； ④若a<0,当x>2时，f(x)= xx-a-2a2=x2-a.x-2a2= (x-2a)(x十a)>0,解得x>-a,由 于当x>2时，f(x)>0,故-a≤2， 解得一2≤a<0.综上，a的取值范围 为[-2,1].故选B. 7.ABD因为二次函数的图象过点(1， 0),且对称轴为直线x=2,所以图象 与x抽的另一个交点为(3,0)，所以在 x轴上截得的线段的长度是2，故A,D a十b十c=0, 正确；由已知得 b 2a=2, 解得 b=一4a'所以二次函数为y= c=3a, a(x2一4x十3)，其图象顶，点的横坐标 为2，所以顶点一定不是（一2，一2），当 a=1时，与y轴交于点(0,3)，故B正 确，C错误.故选ABD. 8.AD由题意得，当x≥0时，f(x)= x-x”=- -2)》°+7x< 0时，f(x)=f(一x)=一x一x= -(2+)》+x)的最大值为 1 2 A正确：fx)在(0)上是减 1 函数，B错误；f(x)>0的解集为(-1， 0)U(0,1),C错误；当x≥0时，f(x)+ 2x=3.x一x2≥0的解集为[0,3]，当 x<0时，f(x)十2x=x-x2≥0无 解，D正确.故选AD. 9.AC当a≤0时，f(x)在[0,2]上单 调递增，f(x)mx=f(2)=22 a=2,解得a=1(舍去)或a=3(舍 去).当a>0时，f(x)= x(-a…当号 >2,即 x(x-a),x>a, a>4时，f（x)mx=f(2)=-2(2- a)=2,解得a=3(舍去).当x>a 时，令f(x)=f(经)，解得x E十1Da(负值舍去).当号≤2≤ 2 5+1Da,即42-1)≤a≤4时， 2 fx)=f(侣）-=2，解得a= 22.当2> (W2+1)a,即0<a< 2 4(W2-1)时，f(x)mx=f(2)=2(2 a)=2,解得a=1.故选AC. 10 10. 解析：y=x2-2.x十m-1(m>0) 图象的对称轴为直线x=m.当0 m<2时，yi=m2-2m2十m 1=-7,解得m=3或m=-2,与 0<m<2矛盾，舍去；当m≥2时， ymim=22-2mX2十m-1=-7,解 综上可知，m=10 得m=10 3 11.[-3,0] 解析：当a=0时，f(x)=一3x十1 在[一1，十∞)上单调递减，满足题意： 当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线 x=3.0,由f(x)在[-1，+∞)上单 2a a<0, 调递减，知3一a≤-1， 解得一3≤ 2a a<0.综上，a的取值范围是[-3,0]. 12.5 解析：因为二次函数f(x)=a.x2十 2x十c(x∈R)的值域为[2，十∞)，所以 a>0, f(x)n=4如c4=ac-1=2, 4a 解得a= 1 2>0,则c>2,所以 +16 16 a T+=(+1)+ c+1 3≥ 16 2√c+1)·中-3=5，当且仅当 c=3时，学号成立，所以已+片的 最小值是5. 13.解：(1)如图所示，根据偶函数的图象 关于y轴对称，可作出f(x)的图象。 当x>0时，一x<0,因为函数f(x) 为偶函数，所以(x)=f(一x)= x2-2x, 所以函数f(x)的解析式为f(x)= {x2+2x,x≤0， x2-2x,x>0, 可得f(x)的单调递减区间为[0,1门 和（一0o,一1]. y 人、 2 -4-3-29八234 (2)当x∈[1,2]时，g(x)=f(x) 2ax+1=x2-2(a+1)x+1, 可得其图象开口向上且对称轴方程 为x=a十1， 3 ①当a十1≤2，即a≤ 时， 2 g(x）mx=g(2)=1-4a; 1时 ②当a+1之？，即a≥2 g(x）mx=g(1)=-2a. 综上可得， 1-4a,a≤2’ .1 g(x）nx= 2a,a>2 14.解：(1)设y=kx+b(k≠0). 由题表格中的数据可得 86中。1180解得台二im 10k+b=160, 所以y与x之间满足函数解析式y= 6x十100,5≤x≤25. 参考答案515 (2)①设一张画板的成本价为ax 元，利润为心元， 则0=6.x十100-ax2,5≤x≤25， 当x=6时，0=130， 所以36+100-36a=130, 1 解得a= 6 所以与x之间满足函数解析式 x2+6x+100. 1 ②由 1x2+6x十100= 6 6(x-18)2+154知，当x=18 时，有最大值，最大值为154， 因此当正方形画板的边长为18dm时， 可获得最大利润，最大利润为154元. 训练11 幂函数及其拓展 1.D 设f(x)=x°，则2°= 一解得 a=一2，即f(x)=x2,它是偶函数， 单调递增区间是（一∞，0）.故选D. 2.B由题意得m2一4m十4=1，m2 6十8>0，解得m=1.故选B. 1n2+2n-2=1, 3.B 根据题意，得n2-3n<0, n∈Z, n=-3或n=1, 即0<n<3, 解得n=1,经 n∈Z, 验证，n=1符合题意.故选B. 1 4.D 因为画数y=x的定义域为 [0,十∞)，且在定义域内为增函数，所 以不等式等价于 2m+ ≥0， m2+m-1≥0. 2m+1>m2+m-1, 1 21 解得 m≤ 5-1或m≥5-1 2 2 -1<m<2, 5-1 ≤m<2.故选D. 2 1 2 5.B = 300 -40 300 (v-40)2+80(v-40)+1600 U-40 [o-40)+0 因为 -40 +80, 60≤v≤120，所以20v-40≤80， (u-40)十 1600 则 +80 ≥ u-40 1 300 +80 8 1600 当且仅当 即U 15 -40= -40 80时取等号，所以当每千米油费最低 时，U=80.故选B. 6.B 函数f(x)= x+4x十4 =x十 4+兰又x∈[日十)所以上 ≥2·=4，当且仅当x=2 516红对构·讲与练·高三数学 时取等号，所以f(x)=工十4十4≥ 8,故f(x)的最小值为8，故B正确，D 错误；由y=x十 -,知x→十00时， 4 0,所以f(x)→十∞，故f(x)无 x 最大值，故A,C错误.故选B. 7.BC由幂函数的定义可知m一2=1， 所以m=3,所以f(x)=x3,故A错 误；由f(x)=x3可知其定义域为R, 故B正确；f(x)=x3为奇函数，所以 f(一x)=一f(x),故C正确；将 ∫(x)=x3的图象向左平移1个单位 长度得到函数y=(x十1)3的图象，故 D错误.故选BC. 8BCDf()==x中 x 对于A,定义域为{xx≠0}，且 f-x)=x十=fx).故 f(x)是偶函数，故A错误：对于B,当 x∈(0，+o0)时，f(x)=x+1≥2， 当x=1时，取得最小值，故B正确：对 于C,当x∈(0，十∞)时，f(x)=xH 1f'(x)=1 1 x (0,1)时，f'(x)<0,故f(x)在(0,1) 上为减函数，而f(x一1)的图象可以 由f(x)的图象向右平移1个单位长度 得到，故f(x一1)在区间(1,2)上单调 递减，故C正确；对于D,当x∈ (0,十∞)时，f'(x)= (0,1)时，f'(x)<0,故f(x)在(0,1) 上为减函数，当x∈(1，十∞)时， f'(x)>0,故f(x)在(1，十∞)上为 增函数，故x=1为极小值点，且当 x∈(0，十∞)时只有一个极小值，点， 因为f(x)是偶函数，所以f(x)有两 个极值点，故D正确.故选BCD. 9.AD由双勾函数的性质可得，f(x) 在(0，√a)上单调递减，在（√a,十∞） 上单调递增.①当0√a≤2，即0 a≤4时，f(x)在[2,4]上单调递增， f(2)ox-f()min =f(4)-f(2)= 4+号-2受=8-号 =1,解得a= 4,满足题意：②当√a≥4，即a≥16 时，f(x)在[2,4]上单调递减， f(x)mox-f(2)min =f(2)-f(4)= 2+-4-号- a a -2=1,解得a= 12,不满足题意，舍去；③当2<√a 4,即4<a<16时，f(x)在[2，Wa上 单调递减，在（√a,4幻上单调递增， f(x)n=f(va)=2va,a.f(4)= 4+号≥f(2)=2+号时，即4<a≤ 8时，f(x)a=f0=4十子，故 f(x)m-f(2)min =f(4)-f(a)= 4十4 -2√a=1,解得a=4或a=36, 均不满足题意，舍去，b.当f(4)=4十 号<f2)=2+受，即8<a<16时， 基础版 fx==f2)=2十号，从而 f()x-f()in=f(2)-f(a)= 2+号-26=1，解得a=6-NE(含 去)，Q=6十4√2，满足题意.综上所 述，a的值所组成的集合为{4,6十 4√2.故选AD. 10.6 解析：由题意0。-2三1→a=3→ lam =27 m=3 a+m=6. 11.(-∞，3] 解析：由题意可得Hx∈(2,4)，x十 >a是真命题，因为f(x)=x十 x 在(2,4)上单调递增，则(x)> x f(2)=3,可得a≤3，所以实数a的 取值范围是（一∞，3]. 12.3 解折：饺题意得Q(a),p(a, 三，记a=t(t>1), f(t)=|AQ十|CP|,则f(t)= 后+，所以f)= t 2 时取等号，此时a=√3. 4 13.解：fx)=2x-1十2x--4 令2x-1=m,:1≤x≤3,1≤ m≤5. 设f(x)=九(m)=m一4 由双勾函数的性质，可得h(m)在[1， 2]上单调递减，在(2,5]上单调递增， 137 fx)在[12 上单调递减，在 (受，3]上单调递增。 f=11()=0,f3)=号， 综上可得，f(x)的单调递减区间为 ,引，单酒区间为（信 值域为0,5」： 。97 14.解：(1)f(-1)=一2，又f(x)是奇 函数，.f(1)=2,则 2 -a十b =-2, 2 (a+6=2, 解得低二8： 六f(x)=x+1 经验证，f(x)=x十上满足要求， ∴.a=1,b=0.