核心素养测评(第2章 第10节 二次函数与幂函数)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:90分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)如果二次函数y=2x2+mx-3的图象的对称轴方程是x=,那么当x=1时,y=(　　) A.-7 B.-5 C.-3 D.-1 【解析】选C.由题意得,二次函数图象的对称轴方程为x=-=,得m=-2,则y=2x2-2x-3,把x=1代入得y=-3. 2.(5分)已知f(x)=(m2+m-5)xm为幂函数,则(　　) A.f(x)在(-∞,0)上单调递增 B.f(x)在(-∞,0)上单调递减 C.f(x)在(0,+∞)上单调递增 D.f(x)在(0,+∞)上单调递减 【解析】选B.因为f(x)=(m2+m-5)xm是幂函数,所以m2+m-5=1,解得m=2或m=-3,所以f(x)=x2或f(x)=x-3, 对于f(x)=x2,函数在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减;对于f(x)=x-3,函数在(0,+∞)上单调递减,且为奇函数,故在(-∞,0)上单调递减; 故只有B选项“f(x)在(-∞,0)上单调递减”符合这两个函数的性质. 3.(5分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,函数f(x)的图象可能是(　　) 【解析】选D.由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以函数图象开口向上,排除A,C; 又f(0)=c<0,排除B. 4.(5分)(2024·石家庄调研)已知a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a>b>c D.b<c<a 【解析】选B.由a=(),b=(),c=(), 得a=(),b=(),c=().因为幂函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,且<<,所以()<()<(),即c<a<b. 5.(5分)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则(　　) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 【解析】选A.由f(0)=f(4),得f(x)图象的对称轴为直线x=-=2,所以4a+b=0,又f(0)=f(4)>f(1),所以f(x)的图象开口向上,a>0. 【加练备选】 已知函数f(x)=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是(　　) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.(2,3) 【解析】选B.易知f(x)=x2-4x+1的图象是一条开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线, 当x=1时,y=-2,当x=2时,y=-3,由y=-2,得x=1或x=3,因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为-5,所以2≤t≤3. 二、多选题 6.(5分)若幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若x1>x2>0,则f()> 【解析】选BCD.若幂函数f(x)=xα经过点(9,3),则9α=3,则α=,则幂函数f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数,故B正确;因为函数f(x)=的定义域为[0,+∞),关于原点不对称,所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,故A错误; 当x>1时,f(x)=>1,故C正确; 函数f(x)=的图象如图,其图象在[0,+∞)上是上凸的, 则有不等式<f()成立,所以D正确. 7.(5分)如图,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(-1,0),则(　　) A.f(1-x)=f(x) B.f(2)>0 C.f()<f(0) D.b2-4ac>0 【解析】选BD.因为函数f(x)的对称轴为直线x=1,所以f(2-x)=f(x),故A错误;因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(-1,0),所以f(2)=f(0)>0,故B正确;因为函数图象开口向下,在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且图象关于直线x=1对称,所以f()=f()>f(0),故C错误;由于ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,故b2-4ac>0,故D正确. 三、填空题 8.(5分)若f(x)=,则不等式f(x)>f(8x-16)的解集是________.  【解析】因为f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数,且f(x)>f(8x-16),所以即2≤x<,所以不等式的解集为[2,). 答案: [2,) 9.(5分)已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:图象与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过点(1,-),则函数解析式为________.  【解析】设函数解析式为y=a(x+2)(x-4),则-=a(1+2)(1-4),解得a=.故所求函数的解析式为y=(x+2)(x-4),即y=x2-x-4. 答案:y=x2-x-4 【加练备选】 若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是________.  【解析】当0≤x≤1时,φ(x)=x2-mx+m,此时φ(x)单调递增,则≤0,即m≤0; 当x>1时,φ(x)=x2+mx-m, 此时φ(x)单调递增,则-≤1,则m≥-2. 综上,实数m的取值范围是[-2,0]. 答案:[-2,0] 四、解答题 10.(10分)已知a,b是常数且a≠0,f(x)=ax2+bx且f(2)=0,且使方程f(x)=x有等根. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)由f(x)=ax2+bx,且f(2)=0, 则4a+2b=0,又方程f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,得b=1,从而a=-,所以f(x)=-x2+x. (2)是否存在实数m,n(m<n),使得f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]? 【解析】(2)假定存在符合条件的m,n,由(1)知f(x)=-x2+x=-(x-1)2+≤, 则有2n≤,即n≤. 又f(x)图象的对称轴为直线x=1,则f(x)在[m,n]上单调递增, 于是得即 解方程组得m=-2,n=0,所以存在m=-2,n=0,使函数f(x)在[-2,0]上的值域为[-4,0]. 【能力提升练】 11.(5分)已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2]上任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[0,3] C.(-∞,0]∪[3,+∞) D.[3,+∞) 【解析】选C.二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1, 因为对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),即f(x)在区间[-1,2]上是单调函数,所以a-1≤-1或a-1≥2,所以a≤0或a≥3,即实数a的取值范围为(-∞,0]∪[3,+∞). 12.(5分)(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 【解析】选B.方法一:f(x)=. 因为当x≤a时,-x2+ax-2a2≤0恒成立, 所以x≤a不成立.当x>a时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)在(2,+∞)上f(x)>0. ①当a>0,2a≤2,即0<a≤1; ②当a=0时,f(x)=x2>0恒成立, ③当a<0时,-a≤2,即-2≤a<0, 综上,-2≤a≤1. 方法二:因为当x>2时,f(x)>0, 所以x(x-a)-2a2>0或x(a-x)-2a2>0, 所以(a+x) (a-)<0或(a-)2+x2<0, 所以-x<a<, 所以-2≤a≤1. 13.(5分)设关于x的方程x2-2mx+2-m=0(m∈R)的两个实数根分别是α,β,则α2+β2+5的最小值为________.  【解析】由题意有且Δ=4m2-4(2-m)≥0,解得m≤-2或m≥1.α2+β2+5=(α+β)2-2αβ+5=4m2+2m+1. 令f(m)=4m2+2m+1,而f(m)图象的对称轴为m=-,且m≤-2或m≥1,所以f(m)min=f(1)=7. 答案:7 14.(10分)设二次函数f(x)满足:①当x∈R时,总有f(-1+x)=f(-1-x);②函数f(x)的图象与x轴的两个交点为A,B,且|AB|=4;③f(0)=-. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且方程f(x)=0的两根为-3和1, 设f(x)=a(x+3)(x-1),又f(0)=-, 则f(0)=-3a=-,解得a=. 故f(x)=x2+x-. (2)若存在t∈R,只要x∈[1,m](m>1),就有f(x+t)≤x-1成立,求满足条件的实数m的最大值. 【解析】(2)只要x∈[1,m](m>1),就有f(x+t)≤x-1,即x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0, 取x=1,t2+4t≤0,-4≤t≤0; 取x=m,[m+(t-1)]2≤-4t,即1-t-2≤m≤1-t+2,由-4≤t≤0得0≤-t≤4,1-t+2≤1+4+2×=9,故当t=-4时,m≤9; 当m=9时,存在t=-4,只要x∈[1,9], 就有f(x-4)-(x-1)=(x-1)(x-9)≤0成立,满足题意.故满足条件的实数m的最大值为9. 【创新思维练】 15.(5分)已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=m2,x=m(0<m<1)与y=xa,y=xb的图象分别交于A,B,C,D四点,且|AB|=|CD|,则ma+mb等于(　　) A. B.1 C. D.2 【解析】选B.由题意,|AB|=|(m2)a-(m2)b|,|CD|=|ma-mb|,根据题中图象可知b>1>a>0,当0<m<1时,(m2)a>(m2)b,ma>mb,因为|AB|=|CD|,所以m2a-m2b=(ma+mb)(ma-mb) =ma-mb,因为ma-mb>0,所以ma+mb=1. 16.(5分)(多选题)如图是抛物线y=-(x+1)2+k的部分图象,其顶点为M,与y轴交于点(0,3),与x轴的一个交点为A,连接MO,MA.下列正确的是(　　) A.常数k=3 B.抛物线经过点(-2,3) C.S△O MA=4 D.当x=-3+时,y>0 【解析】选BD.因为抛物线y=-(x+1)2+k与y轴交于点(0,3),所以3=-(0+1)2+k,得k=4,故A错误;所以抛物线为y=-(x+1)2+4,当x=-2时,y=-(-2+1)2+4=3,即抛物线经过点(-2,3),故B正确;由-(x+1)2+4=0,解得x1=1,x2=-3,所以A(1,0),所以OA=1,由抛物线为y=-(x+1)2+4,知抛物线的顶点M(-1,4),所以S△O MA=×1×4=2,故C错误;因为抛物线y=-(x+1)2+4与x轴的交点为(-3,0),(1,0),所以当-3<x<1时,y>0,所以当x=-3+时,y>0,故D正确. - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $