训练3 等式性质与不等式性质-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

a=0,.a=b=c.a2+b2+c2 ab十ac十bc的充要条件是a=b=c. 训练3等式性质 与不等式性质 1.D对于A,若b=1.1,a=0.9,满足 0<a<1<b,此时b-a=0.2<1, 故A错误；对于B,若b=1.1,a= 0.1.满足0a<1<b,此时ab= 0.11<1,故B错误：对于C,因为0 a<1<b,所以么>1，故C错误：对于 D,因为0<a<1<b,所以a十b> 1十a>1,故D正确.故选D. 2.A由a十b<0,且a>0可得b<0, 且a<-b,所以a2-(-ab)=a(a+ b)<0,所以0<a2<-ab.又因为 0<a<-b,所以0<-ab<(-b)', 所以0<a2<-ab<b2.故选A. 3.C依题意可设买大竹子x根，每根单 价为钱，则购买小竹子(78一x)根， 每根单价为(1-1)钱，所以576= m.x十(78-x)(m-1),即78m十x= 654,即x=6(109-13).因为0 ≤78片以0og8008. m≤13·96 即 m≥治 m≤罗根桃 13 选项知m=8,x=30,所以买大竹子 30根，每根8钱.故选C. 4.B因为(W7十√2)2-（√6+√5）2= 9+2√/14-9-2√18<0，所以√7+ √2<√6+√5，所以7一5< 2,即b<c.又a-c=2W2-V6 √8-√6>0，故a>c.综上，a>c> b.故选B. 5.Bi 4a-2b=m(a-b)++n(a+ b)=(m十n)a-(m-n)b,所以 m十n二名：解得m=1, m-n =2. m=3,所以4a 2b=3(a-b)+(a+b),又a-b∈[0， 1],a十b∈[2,4]，所以4a-2b∈[2， 7门.故选B. 6.D对于A,如果a<b,c<d,那么 a-c<b一d不一定成立，如5<6， 4<9,但5一4>6-9：对于B,如果 a<b,c<d,那么ac<bd不一定成 立，如一2<一1,14，此时ac>bd: 对于C,如果a<b,c<d,且cd≠0， 那么≤台不-定成立，如12 1<8,此时a> ;易知D成立，故 b 选D. 7AC<<0，可6<a<0 对于A,因为a十b<0,ab>0,所以 1 1 a十60，m6>0,故】 数a中b<ab,故A 正确；对于B,因为b<a<0,所以 -b>-a>0,故-b>a|,即a十 b<0,故B错误；对于C,因为b<a 0 1<0,所以-a 所以a-是>6-方，故C正确：对于 508红对构·讲与练·高三数学· D,因为b<a<0,根据y=x2在 (-∞，0)上单调递减，可得b2>a> 0,而y=lnx在(0，十∞)上单调递 增，所以lnb>lna2,故D错误.故 选AC. 8,.ACD对于A,由a<b,a <方，可 得1-1=6二8<0，所以b<0, ab 故A正确：对于B,若a>b>0,c< 4<0,e>0,则e 别a=c-b-a e0-d)-ca-2_+W-atc-d< (a-c)(b-d) (a-c)(b-d) 0,所以e e a-c <b一a:故B不正确：对 于C,若c>a>b>0,则a c-a b =a(c-b)-b(c-a) c-b (c-a)(c-b) c(a-b) (c-a)(c-b) ≥0，所以a -6故C正确：对于D,若a>b> b c>0,则g-a士 bb+c ab+e)'ba+2-a0>0, b(b+c) b(b-c) 所以a>&二，故D正确.故选ACD. 9.AC对于A,6<a<60,15<b< 18,故6+15<a十b<60+18,即21< a十b<78,A正确；对于B,-18< -b<-15,故6-18<a-b<60 15,即-12a一b<45,B错误；对于 C<方<，故8×6<号< 1 1 1 ×60，即号<分<4，C正确：对于 1 D,因为5<6<4，且2十6 2=a+ b b 1,故4 二a5,D错误，故选AC b 10.a <ab'<ab 解析：因为一1<b<0,所以0< b2<1,又因为a<0,所以a<ab2< 0<ab,所以a<ab'<ab. 11.(3,10) 解析：设3x十y=m(x十y)十n(x y)=(m十n)x十(m-n)y,则有 m十n=3解得m=2,故3x十 m-n=1,1 ln=1, y=2(x+y)+(x-y),又2<x十 y<3,所以4<2(x十y)<6,又 一1<x一y<4,所以上述两不等式 相加可得3<2(x十y)十（x-y)< 10,即3<3x十y<10,所以3x十y 的取值范围是(3,10). 12.3 解析：若ab>0,bc一ad>0成立，不 等式bc一ad>0两边同时除以ab可 得￡ -4>0,即ab>0,bc-ad> 0→C-d >0;若ab>0, d d>0成立，不等式。-方>0两边 b 同时乘ab,可得bc一ad>0,即ab> 基础版 0:后-号>0Pbc-ad>0:若2 >0，bc-ad>0成立，则C d =c-ad>0,又bc-ad>0,则 b ab a60.6->0c-ad 0→ab>0.综上可知，以三个不等式 中任意两个为条件都可推出第三个 不等式成立，故可组成的正确命题有 3个. 13.解：(1)由题意知，公寓窗户面积与地 板面积分别为am,bm,a>0,b> 0,则6≥10%，所以b≤10z a+b=220, 10a,所以a十b=220≤a十10a,所 以a≥20，所以这所公寓的窗户面积 至少为20m. (2)变好了.理由：由题意得0<a 6,n>0,则8十”-g b十nb ab+bm-ab-an=n(b-a） b(b+n) b(b+n)' 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 又a<b,所以n(b-a)>0. 因此8日-号>0，即+>分， 所以窗户和地板同时增加相等的面 积，公寓的采光效果变好了. 14.解：(1)证明：由题意知，a>0,b>0, c>0,则abc>0,设a≥b≥c, a2“b0c2 abbcs= (后)·（合）°· ().(分)·()·() (8).()() 由a≥b≥c>0, 可得a-b≥0，b-c≥0，a-c≥0， 8≥1，≥1,2≥1， 即有（层）≥1.（伫）≥1 (2）≥1 则有（会）·（白）·()”≥ 1(当且仅当a=b=c时取得等号) 则不等式a“bc≥a中b“c+ 成立. (2)由题意知，√a十√b>0,则 a .6 ava+bb 6大6，Va6w6+6由立方 和公式x3十y3=(x十y)(x2-xy+ y), 可得分子aa十bb=(a)3+ (b)3=(a+√b)(a-√ab+b), 将其代入原式得a6十b6 √ab(Wa+√b) (√a+Wb)(a+b-Jab) /ab(√a+√b) a+b-√ab ab 进一步对其分子利用基本不等式可 得a+b-√ab≥2√ab-√ab= √ab,当且仅当a=b时，等号成立， 将其代入原式得十b一√b ≥1. √ab b 综上所述6+6≤后+后（当且 仅当a=b时取等号). 训练4基本不等式 1.D 对于A,当Q=1,b=-1时， b =一2，故A错误；对于B,因为(a b b)2≥0，所以a2+b2≥2ab,所以 a2+b2+2ab 4 ≥ab,脚(）≥ ab,当且仅当a=b时取等号，故B错 误：对于C,当a=-1,b=-1时，a十 b=-2<2√abT=2,故C错误；对 于D,因为(a十b)2≥0，所以a2十b2十 2ab≥0，即a2+b2≥-2ab,当且仅当 a=一b时取等号，故D正确.故选D. 2.C 当x>0时， 1=x+1≥2 当且仅当工=】，即工=1时取等号， 当x+1 ≥2时，x+1-2≥0，可得 x2-2x ≥0，即x-1)≥0，解 x 得x>0,所以“x>0”是工十] 2”的充要条件.故选C. 3.C对于A,y=x2+2x+4=(x十 1)2十3≥3，当且仅当x=-1时取等 号，所以其最小值为3，A不符合题意； 对于B,因为0<|sinx,所以y= 4 sin x ≥2√4=4，当且 sin x 仅当|sinx|=2时取等号，等号取不 到，所以其最小值不为4，B不符合题 意：对于C,因为函数定义域为R,而 2>0,y=2x+22=2+ 4 2√4=4，当且仅当2=2，即x=1时 取等号，所以其最小值为4，C符合题 意：对于D,y=lnx十 4 ，函数定义 域为(0,1)U(1,十o∞)，而lnx∈R且 lnx≠0，当lnx=-1时，y=-5,D 不符合题意.故选C 4B()≤ 1 ,即 √m十√n≤√2，当且仅当m=n= 1 2 时，等号成立，故选B 5.A由a十b=ab(a>1,b>1)得 ab一a一b+1=1,因式分解得(a 1)(b-1)=1,则(a-1)2十(b-1)2≥ 2(a-1)(b-1)=2,当且仅当a= b=2时，等号成立.故选A 6.B由题意知，x,ya>0,则(x十 w(}+品)=1+a…+￥+a≥ 1+a+2a=(a+1)2,当且仅当a· 工=义，即ax”=y时，等号成立. :十（位+品）≥9对程意正实 数x,y恒成立，.（√a十1）2≥9， a≥4，即正实数a的最小值为4.故 选B. 7.BCa2+b2≥2ab成立的条件是a, b∈R,A错误，B正确；a+b≥2√ab 成立的条件是a≥0，b≥0，C正确，D 错误.故选BC. 8.BD对于Aa>0,b>0,由2a+b= 1≥2V,得b≤g,当且仅当 2如=b=子时，等号成立，故A错误： 对于B,因为a>0,b>0,2a+b=1, 1 所以0<a<2a2+b=a2+(1- 2ay=5(a-号)+号所以当a= 号时a+公有最小值日故B正确： 对于c日+-（日+）2a+ 1 1=3+号≥8+2吾 a b 3+22,当且仅当 b 公，即= 2-E.b=2-1时，等号成立，故C 2 2:因为0<。三子·所以=13 a-1< 2,所以-2< 1 -71, 1 所以0-2。己<2，所以41 2 a-1 (0,2),故D正确.故选BD. 9.ABC因为实数a,b是方程x2一(k一 3)x十k=0的两个根，所以(k一3)2 4k≥0，所以k≥9或k1,由根与系 数的关系得，a十b=k-3,ab=k,又 a>1,b>1,所以k-3>2,即k>5, 综上得k≥9.由ab=k,得ab≥9，当 且仅当a=b=3时取等号，所以ab的 最小值为9，故A正确；因为a2十b2≥ 2ab≥18，当且仅当a=b=3时取等 号，所以a2十b2的最小值为18，故B正 确：由a十b=k一3，ab=k,得ab=a十 b十3，所以(a-1)(b-1)=4,所以 3 1 31 。十≥26= a-1=6-即a=25十 当且仅当3 1 1b=25+1时取等号，所以3 3 -1 b-7的最小值为，故C正确：因为 1 (a一1)(b一1)=4，所以a+4b=a一 1+4(b-1)+5≥ 2√(a-1)·4(b-1)+5=13,当且 仅当a-1=4(b-1),即a=5,b=2 时取等号，所以Q十4b的最小值为13， 故D错误.故选ABC. 10.[36,+o∞) 解析：因为a>0,b>0,所以ab= 4a+b+12≥2√/4ab+12=4√ab+ 12,即ab-4√ab-12≥0，解得 √ab≥6，即ab≥36，当且仅当 b。86中份二让时，等号成2 lab =36, 故ab的取值范围是[36，十∞). 11.7+26 4 +点{ 解析：3 1 6+)(2a+2+b+1)= 1 ++ 7+26 4 当且仅当6b十1) 2a+2 6+,即6(6+1)2-(2a+2),即 2a+2 a= 7-25,6=45-9时，等号成 5 5 立，所以3 1 中十6十的最小值 为7+26 4 12.2√2 解析：由“≤√ 2 +b,得a十 2 a2十b b≤22 ，则y=2x-1十 √5-2x≤2 /2x-1+5-2x 2 2√2，当且仅当√2x-I=√5-2z, 即红=子时：管号或立，所以画数 y=√2x一1十√5一2x的最大值 为2√2. 13.证明：因为0<a<b,所以0<a十 6<所以兰6>1 因为a>0,所以2a afb>a. 因为0<a<b,所以a十b-2ab= (a-√6)2>0， 所以a十b>2√ab, 所以a十b>Vab, 1 1 2 2√aba+b' 所以ab 2 Vab > 所以√ab> 2ab a十b' 因为0<a<b,所以a2+b2>2ab, 所以2(a2+b2)>a2+b2+2ab, 所以2(a2+b2)>(a+b)2, 所以十6 a+b)2 2 4 a2+b 所以2 :>a+b 2 因为0<a<b, 2b2 a2+b2 所以b=√2之√ 2 参考答案509班级： 姓名： 训练3 等式性质与不等式性质 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） C.如果a<b,c<d,且cd≠0，那么a< 1.已知0<a<1<b,则下列不等式一定正确的是 D.如果a<b,那么a3<b3 ( 二、多项选择题（每小题6分，共18分） A.b-a>1 B.ab>1 c.b<1 ).若1<】<0，则下列不等式正确的是()力 D.a+6>1 a 1 1 2.已知a+b<0,且a>0,则 A.a+b-ab A.- A.a2<-ab<b2 B.1a|+b>0 B.62<-ab<a2 C.a- C.a2<b2<-ab a D.-ab<b2<a2 D.In a2>In 62 3.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道 8.下列命题为真命题的是 题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八个.欲其大 1 .1 A.若a<b, <6,则ab<0 小率之，问各几何？”其意是“今有人出钱576，买 竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算， B.若a>b>0,c<d≤0，e>0,则 -c-b-d 每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多 C.若c>a>b>0,则a>b 少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问 c-ac-b 题中大竹子的单价可能为 ( n若a>6>c>0.则号>8日 A.6钱 B.7钱 9.已知6<a<60,15<b<18,则下列正确的是 C.8钱 D.9钱 () 4.设a=√2，b=√7-5，c=√-2，则a,b,c的大 A.21a+b78 小关系为 B.-9<a-b<42 A.abc B.ac>b C.ba>c D.b>c>a c<<4 5.已知a-b∈[0,1]，a+b∈[2,4]，则4a-2b的 n<< 取值范围是 A.[1,5] B.[2,7] 三、填空题（每小题5分，共15分）】 C.[1,6] D.[0,9] 10.若a<0,-1<b<0,则a,ab,ab2从小到大的 6.下列命题成立的是 排列为 得分 A.如果a<b,c<d,那么a-c<b-d 11.已知-1<x-y<4,2<x十y<3,则3x十y B.如果a<b,c<d,那么ac<bd 的取值范围是 得分 (横线下方不可作答) 265 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 12.已知三个不等式：ab>0,bc-ad>0,C-d 14.(20分) 得分 a b (1)设a>0,b>0,c>0,求证：ab2c2x≥ 0(其中a,b,c,d均为实数)，用其中两个不等式 ab+bareca+h。 作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个 (2)已知a>0,b>0,试比较a+万与g+ b 命题，可组成正确命题的个数是 得分 的大小. 四、解答题（共37分） 13.(17分)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于 地板面积，但窗户面积与地板面积的比值应不小 于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某 所公寓的窗户面积与地板面积分别为am, b m2. 得分 (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为 220m2,求这所公寓的窗户面积至少为多少平 方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm2,判 断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明 理由. 红对勾·讲与练266 高三数学·基础版 ■