专题03 勾股定理相关最值问题分类训练（5种类型40道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题03 勾股定理相关最值问题分类训练 （5种类型40道） 地 城 类型01 求周长的最值 1．如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、折叠问题、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质推出，，连接、、，将的周长转化为，其中的长度为定值，得到当、、三点共线时，有最小值，进而解题． 【详解】解：如图，连接、、， 由轴对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 由题意知，、关于对称，即垂直平分， ∵F是直线上的一动点， ∴， ∴，其中， 当、、三点共线时，有最小值， 即周长的最小值为； ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为： ． 2．如图，在中，．其中分别是边上的动点，在运动过程中始终保持，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．已知，且为中点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，轴对称，勾股定理，熟练掌握“一线三等角”和“将军饮马”模型是解题的关键．根据题目中给出的和，且顶点在同一条直线上，作辅助线构造，通过角度转化找出动点E与成60度角的射线上移动，再通过轴对称发现当三点共线时，的周长最小，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在线段上取一点H，使得，连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 结合题意可知动点E在与成60度角的射线上移动， 如图，作点G关于直线对称的点P，连接，延长，过点P作的垂线，交于点Q， 由轴对称可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得， 根据图形可知， ∴当C、E、P三点共线时，值最小，此时，同时，的周长最小，为， 故答案为：． 3．如图，中，边，面积是，腰的垂直平分线交于点，交于点是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键，连接，由等腰三角形三线合一的性质及面积得，再利用线段垂直平分线的性质得出，即可得出，进而可得出当点三点共线时，有最小值，最小值．最后根据三角形的周长计算即可． 【详解】解：如图所示： 连接， 是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是的垂直平分线， ∴． ∴． ∴当点三点共线时，有最小值，最小值为8． ∴的周长的最小值为． 故答案为：11 4．在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，由轴对称的性质可得，，，表示出的周长，由两点之间线段最短，此时的周长最小，为，过点作，交的延长线于点，则为等腰三角形，结合勾股定理可得，求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，则此时的周长最小， ， 由轴对称的性质可得，，， ∴的周长， ∵两点之间线段最短， ∴此时的周长最小，为， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 5．如图，在矩形中，点、、、分别是边、、、上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足、，且、，则四边形周长的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质、平行四边形判定及最短路径问题，解题关键是准确作对称点并转化线段，易错点是对称点的位置或勾股定理计算失误；解题思路是运用对称思想与勾股定理，通过作对称点将折线转化为直线，利用两点之间线段最短求周长最小值． 【详解】解：由、及矩形性质， 可证是平行四边形，因此周长； 作点关于的对称点，关于的对称点； 则，； 周长; 当 、 、 、 、共线时，最小， 因为、，利用勾股定理可得： 最短周长 故答案为：． 6．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．根据题意知点B关于直线的对称点为点A，故当点P与点E重合时，的最小值，求出的值即可得到结论． 【详解】解：垂直平分， 关于对称， 如图，连接， ， ， ∴当P和D重合时，的值最小， 此时，， 在中，，，， ， 周长的最小值是． 故答案为：7． 7．如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接证明，再计算周长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接 ，， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 的最小值为， 的周长最小值为． 8．如图，在中，，，，边AB上有一动点P，将绕点C顺时针旋转90°得，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为，连接CP，，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，进而可知当CP的长度最小时，周长即可取得最小值，再根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，CP取得最小值，再利用勾股定理及等积法计算即可求得答案． 【详解】解：由旋转可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∴当CP的长度最小时，周长即可取得最小值， ∵边AB上有一动点P， ∴当CP⊥AB时，CP取得最小值， ∵，，， ∴， ∵当CP⊥AB时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用以及等积法的应用，熟练掌握旋转的性质以及垂线段最短是解决本题的关键． 地 城 类型02 求线段的最值 9．如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，利用勾股定理求出AH，再由当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH的长． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC， ∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点， ∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=， ∵菱形的边长为10，即AB=BC=10， 设BH=x，则AH=10+x， 则， 即， 解得：x=6， ∴AH=16， ∴CH==8， 当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH=8， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 10．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求CQ的最小值就是求CM的最小值，故当CM⊥AB时，CM最小，利用等积法求出CM的长度即可 【详解】∵BC=6，AC=8，AB=10 ∴ ∴△ABC为直角三角形 ∴∠C=90° 又∵MP⊥BC，MN⊥AC ∴四边形PCNM为矩形 ∵Q为PN的中点， ∴CQ=CM ∴当CM⊥AB时，CM最小，即CQ最小 ∵ ∴ ∴CM=4.8 ∴CQ=2.4 故答案：C 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理的应用，等积法的应用，知道CM⊥AB时最小是解决本题的关键． 11．在中，，，，为边上一动点，于．于，为中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短； 根据题意可证是直角三角形，则可以证四边形是矩形，可得，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得，则值最小时，值最小，根据垂线段最短，可求最小值，即可得的最小值． 【详解】解：连接， ，， ， ，且，， 四边形是矩形， ，， 又是的中点， ， 当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小． 根据垂线段最短，即当时值最小， 此时， ， ， ， 故选：D． 12．如图，在中，为边上一动点，于于，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，进而得出四边形是矩形，则，然后根据等面积法即可求解． 【详解】解：连接， 如图所示，    ∵ ∴， ∴，则是直角三角形，且 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 当时，最短，然后根据三线合一得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，当时，最短， ∵， ∴此时， ∴， ∴的最小值为5． 故选：A． 14．如图，E是的斜边上一点，作点E关于，的对称点F，G，连接．若，，则的最小值为 . 【答案】/9.6/ 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理及利用三角形面积公式求对应边的高，根据轴对称的性质得出，，进而得到与的关系，再利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式求出的最小值即可． 【详解】解：在中，， 由题意知，，， ∴， ∴如图，当时，最小，此时为中边上的高， 由可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．中，，，点为上的一点，且，则的最小值为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形外接圆、等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 在的右侧，分别过点C、D作、，、交于点E，作的外接圆，连接交于点F，点D在圆上运动，当点D于点F重合时，最小，连接、，根据，可以得到，并且，由勾股定理得到，再次证明利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在的右侧，分别过点C、D作、，、交于点E，作的外接圆，连接交于点F，点D在圆上运动，当点D于点F重合时，最小，连接、，如图： ， ． 故答案为：4． 16．如图，在四边形中，，连接，，且，，，点E是边上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握勾股定理，难点是作垂线段找线段的最小值． 由勾股定理求出，再求出，根据等积法求出，根据点到直线的距离垂线段最短得出当点运动到与点重合时最短，其长度为长． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又 ∵点是边上的一个动点， ∴当点运动到与点重合时最短，其长度为长等于， 即长的最小值为． 故答案为：． 地 城 类型03 求线段和的最值 17．如图，在中，，，点，分别为，上的动点，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先找到点关于的对称点，再根据垂线段最短找到最小值，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：延长到，使得，过点作于点，如图所示： ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，，点是轴上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质应用，勾股定理的应用，正确转化的值是解题的关键．根据题意先作点B关于y轴的对称点，求出坐标，连结，交y轴于P，用勾股定理求出即可． 【详解】解：作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于P，连接， ，即的最小值为线段的长， ， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 19．如图，在等腰直角中，，，，动点从点出发，向点运动，以为边构造等腰直角，，，连接，则点运动过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的性质全等三角形的判定与性质，轴对称，“两点之间，线段最短”，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，先证明，推导出，得到当点D在上运动时，总有，令所在直线为l，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为E，根据“两点之间，线段最短”，可得此时的值最小，过点A作于点F，求出，，，则，即可解答． 【详解】解：连接如图， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当点D在上运动时，总有 令所在直线为l，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为E，如图 有，， ∴，根据“两点之间，线段最短”，可得此时的值最小， 过点A作于点F， 有， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．如图，在等腰直角三角形中，，点D，E分别为边上的动点，且，当的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作，且，连接，作，证，得，推出，故当三点共线时，有最小值，且最小值为线段的长度； 【详解】解：作，且，连接，作，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当三点共线时，有最小值，且最小值为线段的长度； 由题意得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 21．如图，在河岸l的同侧新建A，B两个居民小区，现计划沿着河岸修建一条长为s的绿化带（宽度不计）．过A，B分别作，垂足为，，垂足为，设，，，用a，b，c，s表示出的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，作出B关于x轴的对称点E，过E作轴，使，连接交x轴于C，过E作，交x轴于D，再根据勾股定理即可求得． 【详解】解：作出B关于x轴的对称点E，过E作轴，使，连接交x轴于C，过E作，交x轴于D， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 根据两点之间线段最短，所以此时C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小， 的最小值为， 故答案为：． 22．如图，在中，，，，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，等面积法，作点关于的对称点，连接，过点作于点，与交于点，连接，根据对称性，可得，则当点，重合时，最小，最小值为的长，在中，，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，过点作于点，与交于点，连接， 根据对称性，可得，则当点，重合时，最小，最小值为的长， 在中，，， 因为， 所以， 故的最小值为， 故答案为：． 23．如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、勾股定理等知识点，利用垂直平分线将转化为，找到P、A、D三点共线时最短成为解题的关键． 由作法知是的垂直平分线，可得，线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可，由可得，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 24．如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】-3 【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADF＋∠CDF＝90°， ∵， ∴∠DCF＋∠CDF＝90°， ∴∠DFC＝90°， ∴点F在以DC为直径的半圆上移动， 如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P， 连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3， ∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6， ∴OG＝9， ∴OP＝， ∴FP＝-3， ∴BE＋FE的长度最小值为-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 地 城 类型04 平面中的最短路径问题 25．如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 【答案】(1)是，见解析； (2)观景台与观景台之间距离的长为． 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）在中，∵，， ∴ ∴，即 根据垂线段最短， ∴是露营区到湖边的最短路径； （2）∵ ∴ ∴在中，由勾股定理得 解得： 答：观景台与观景台之间距离的长为． 26．在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 【答案】（1）①，②两点之间，线段最短，（2）作图见解析，（3）作图见解析，最短路径的长为 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的三边关系，最短路径问题的转化思想及垂直平分线的性质． （1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别过点A作关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短．根据三角形内角和定理求得的度数，再通过含特殊直角三角形的性质求得，根据已知条件推出，利用轴对称的性质推出，，利用“”证明得出，最后通过已知条件进而推出的长度即可． 【详解】解：（1）①在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得，. ②由可知，用到的数学依据为三角形两边的和大于第三边． 故答案为：，三角形两边的和大于第三边． （2）如图所示，点C，D即为所确定的点． ∴此时步道总长度即为所建的最短路线． （3）如图所示，画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短． ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∵点D为边的中点，即， ∴， ∵点A，关于的对称， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即最短路径的长为． 27．如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 【答案】(1)见解析，最短路径的长度米 (2)米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． （1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求，利用勾股定理求出可得结论； （2）利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B． 过点作交的延长线于点T， ∵米，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴最短路径的长（米）； （2）∵（米）， （米）， ∴行走路程比（1）中的最短路径长：米． 28．如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为，，，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使得到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离． 【答案】图见解析；最短距离为 【分析】本题主要是运用轴对称求最短距离问题，作点A关于直线的对称点，连接与交于点P，则点P为所求的水泵站的位置，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接与交于点P， 则点P为所求的水泵站的位置．过点作，交的延长线于点E， 则为直角三角形，． 在中， 由题意，得． 由勾股定理，得， 所以， 故铺设水管的总长度最短为． 29．在数学活动课上，小华同学将四个如图1所示的直角三角形纸片拼成了如图2所示的图形．小刘同学根据面积法得到了一个关于的三条边的等式，即．    请解决下列问题： (1)请你利用面积法，求证：； (2)如图3，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点，可得，求边上的高； (3)如图4，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，．由于某种原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在一条直线上），新修一条最短的路．现测得千米，千米，千米，求最短的路的长． 【答案】(1)见解析 (2)边上的高为； (3)千米 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所给图形的面积的不同表示方法得到勾股定理是解决本题的关键． （1）从整体和整体的组成分别得到各个图形中最大图形的面积，整理后可得勾股定理； （2）利用割补法和等积法求解即可； （3）过点作，设千米，则千米，在和中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，，，． 因为， ∴，即； （2）解：如图1，过点作，    由网格图知，． 因为，所以， 解得，故边上的高为； （3）解：如图2，过点作，则．    由垂线段最短可知，即为最短的路． 设千米，则千米． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 所以，即， 解得，即千米， 所以（千米）． 30．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 31．如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图-应用设计作图，勾股定理，轴对称-最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程求出x的值即可求解； （2）作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站E应建在离A点处； （2）解：如图，作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点F， 则， 即最短距离为． 32．如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村和李庄送水，已知张村、李庄到河边的距离分别为和，且张、李两村庄相距． (1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置； (2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)最节省的铺设水管的费用为元 【分析】本题主要考查了最短路线问题，正确作出图形，确定线路是解决该题的关键． （1）作关于的对称点，连接，与的交点即为水泵站的位置； （2）首先利用轴对称的性质得到，然后在中，利用勾股定理可以求出的长，再在中，利用勾股定理可以求出的长，最后根据两点之间线段最短的性质即可求解． 【详解】（1）如图所示，作关于的对称点，再连接，与的交点为，点即为水泵站的位置； （2）过点作的垂线，过作的平行线， 设这两线交于点，则． 又过点作于点， 依题意得，，， 由勾股定理得，， ． 由平移关系，， 在中， ，， ， ． ， ． 铺设水管的工程费用为每千米元， 最节省的铺设水管的费用为：（元）． 答：最节省的铺设水管的费用为元． 地 城 类型05 立体图形中的最短路径问题 33．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 【答案】30米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如答图，将木块展开． 由题意可知，长相当于是（个正方形的边长）， ∴长为（米），宽为18米， 由勾股定理，得：最短路程为米． 答：最短路程是30米． 34．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【答案】． 【分析】把圆柱侧面展开成平面矩形，利用轴对称性质将蚂蚁爬行的路径转化为平面上两点间的线段，再借助勾股定理计算最短路径长度．本题主要考查了圆柱侧面展开图、轴对称性质及勾股定理的应用，熟练掌握“将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中两点间线段问题，借助轴对称和勾股定理求解”是解题的关键． 【详解】解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 35．如图，长方体的长和宽分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，求蚂蚁爬行的最短路径的长度． 【答案】蚂蚁爬行的最短路径的长度为 【分析】本题考查勾股定理的应用．长方体的侧面展开图如图所示．连接，则为蚂蚁爬行的最短路径的长度．在中根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：长方体的侧面展开图如图所示．连接，则为蚂蚁爬行的最短路径的长度． 长方体的长为，宽为，高为， ，． 由题意可知， ∴在中，． ∴蚂蚁爬行的最短路径的长度为． 36．如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到点，求它走的最短路径是多少？    【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论．连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时长，再找出最短的即可． 【详解】解：若小虫在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，    则在中，，，， 由勾股定理知：， 若小虫在正面和侧面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，    则在中，，，， 由勾股定理知：， 如图    同法可得：， ∵， ∴小虫走的最短路径是在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，长度为． 37．如图，有一圆柱形透明玻璃容器，高，底面周长为，在容器内壁距上边沿的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了到达B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？请正确画出最短路径的展开图并解答．（容器厚度忽略不计） 【答案】图见解析，蜘蛛沿外壁B处爬到上沿C处，再爬到A处路线最近，且它至少要爬行 【分析】本题考查勾股定理的实际应用—最短路径问题，利用轴对称解决线段和最小的问题，将圆柱体展开，作于O，作A点关于直线的对称点，连接，则即为所求，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将圆柱沿着A，B所在直线垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个长方形，如图，作于O，作A点关于直线的对称点，连接，则即为所求； 由图和题意可知：，，， ∴， 由勾股定理，得； 故蜘蛛沿外壁B处爬到上沿C处，再爬到A处路线最近，且它至少要爬行． 38．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求边长是解题的关键；先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得， 在中，， 故选：． 39．如图所示，长方形地面上有一块地毯(阴影部分)，地毯因使用时间过长而变形，成为了一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径，且点、均在边上，点、均在边上，已知，，，，若一只蚂蚁要从点爬到点且必须翻过半圆柱凸起，则它爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，最短路径的计算，理解最短路径，正确运用勾股定理是做题的关键．根据题意得到半圆的周长为，得到展开后图形的长，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，连接， 根据题意得到半圆的周长为：， ． 在长方形中，，，， 在中， 由勾股定理得，， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：． 40．如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理相关最值问题分类训练 （5种类型40道） 地 城 类型01 求周长的最值 1．如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是 ． 2．如图，在中，．其中分别是边上的动点，在运动过程中始终保持，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．已知，且为中点，连接，则周长的最小值为 ． 3．如图，中，边，面积是，腰的垂直平分线交于点，交于点是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为 ． 4．在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为 5．如图，在矩形中，点、、、分别是边、、、上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足、，且、，则四边形周长的最小值等于 ． 6．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 7．如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ． 8．如图，在中，，，，边AB上有一动点P，将绕点C顺时针旋转90°得，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为，连接CP，，，则周长的最小值为 ． 地 城 类型02 求线段的最值 9．如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D． 10．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．在中，，，，为边上一动点，于．于，为中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 12．如图，在中，为边上一动点，于于，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 13．如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．如图，E是的斜边上一点，作点E关于，的对称点F，G，连接．若，，则的最小值为 . 15．中，，，点为上的一点，且，则的最小值为__________． 16．如图，在四边形中，，连接，，且，，，点E是边上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 地 城 类型03 求线段和的最值 17．如图，在中，，，点，分别为，上的动点，若，则的最小值是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，，点是轴上的动点，连接，则的最小值为 ． 19．如图，在等腰直角中，，，，动点从点出发，向点运动，以为边构造等腰直角，，，连接，则点运动过程中，的最小值是 ． 20．如图，在等腰直角三角形中，，点D，E分别为边上的动点，且，当的最小值为 ． 21．如图，在河岸l的同侧新建A，B两个居民小区，现计划沿着河岸修建一条长为s的绿化带（宽度不计）．过A，B分别作，垂足为，，垂足为，设，，，用a，b，c，s表示出的最小值为 ． 22．如图，在中，，，，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 23．如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为 ． 24．如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为 ． 地 城 类型04 平面中的最短路径问题 25．如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 26．在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 27．如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 28．如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为，，，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使得到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离． 29．在数学活动课上，小华同学将四个如图1所示的直角三角形纸片拼成了如图2所示的图形．小刘同学根据面积法得到了一个关于的三条边的等式，即．    请解决下列问题： (1)请你利用面积法，求证：； (2)如图3，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点，可得，求边上的高； (3)如图4，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，．由于某种原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在一条直线上），新修一条最短的路．现测得千米，千米，千米，求最短的路的长． 30．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 31．如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 32．如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村和李庄送水，已知张村、李庄到河边的距离分别为和，且张、李两村庄相距． (1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置； (2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？ 地 城 类型05 立体图形中的最短路径问题 33．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 34．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 35．如图，长方体的长和宽分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，求蚂蚁爬行的最短路径的长度． 36．如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到点，求它走的最短路径是多少？    37．如图，有一圆柱形透明玻璃容器，高，底面周长为，在容器内壁距上边沿的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了到达B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？请正确画出最短路径的展开图并解答．（容器厚度忽略不计） 38．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 39．如图所示，长方形地面上有一块地毯(阴影部分)，地毯因使用时间过长而变形，成为了一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径，且点、均在边上，点、均在边上，已知，，，，若一只蚂蚁要从点爬到点且必须翻过半圆柱凸起，则它爬行的最短路径长为 ． 40．如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $