专题02 勾股定理相关折叠问题分类训练（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题02 勾股定理相关折叠问题分类训练 （6种类型48道） 地 城 类型01 折叠相关最值问题 1．如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（    ）    A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】将放在中，利用三角形的三边关系得出：当，，三点共线时，最小，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】]解：如图，连接，    ， ， 的最小值为， 当，，三点共线时，最小， 在矩形中，，，点E是边的中点，将沿所在直线折叠到，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解当，，三点共线时，最小． 2．如图在三角形纸片ABC中，已知，，，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上移动，则线段AP长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】P点往左运动，则M点向下运，N点就向右运动，则AP的值就变小．当N点与C点重合时，P点停止运动，此时AP的值最小．作PE⊥BC于E点，先根据勾股定理求出EC的长，再求出BE的长，则可知AP的长． 【详解】解：如图， P点往左运动，则M点向下运，N点就向右运动，则AP的值就变小．当N点与C点重合时，P点停止运动，此时AP的值最小． 作PE⊥BC于E点， ∵△ABC中，，AC=5，BC=4 ∴AB=3 ∴PE=3 根据折叠的性质PC=BC=4 ∴EC= ∴BE=BC-EC= ∴AP=BE= 故答案为 【点睛】本题是一道动点问题，主要考查了折叠的性质和勾股定理，关键是分析出N点与C点重合时AP的值最小． 3．如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、4，点P、Q分别在边AB、BC上运动，连接PQ，将△BQP沿着PQ翻折得到△B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD上，则AB的长为 ，CQ长的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，由折叠得：，则点时，最小，即BQ最小，则CQ最大，根据菱形的性质，以及勾股定理即可解决本题． 【详解】解：设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H， 由折叠得：， ∴点时，最小，即BQ最小，则CQ最大， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB⊥BD，AB=BC，，， ∴， ∴AB=BC=AC=4， ∴△ABC是等边三角形， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∴∠BAH=90°－∠ABH=30°， ∴，， ∵AD∥BC，AH⊥BC，， ∴， ∴CQ的最大值=， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解决本题的关键． 4．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．根据折叠的性质，得，故，，当点落在上时，，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，交AC于点O．可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，根据等积法可求出的长，即得出B和的坐标．根据勾股定理可求出A和C的坐标，从而可求出经过A、B的直线解析式和经过、C的直线解析式．故可设P(，)，Q(，)，根据两点的距离公式求出，，根据BP=，即得出m，n的关系．还可求出，结合二次函数的性质求出的最小值即得出PQ的最小值． 【详解】连接，交AC于点O． 由翻折可知，． 故可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图． ∵在中，AB=12，BC=5， ∴． ∵， ∴． ∴B(0，)，(0，)． ∵在中，AB=12，， ∴， ∴， ∴A (，0)，C(，0)． 设经过A、B的直线解析式为， 则，解得：， ∴经过A、B的直线解析式为． 设经过、C的直线解析式为， 则，解得：， ∴经过、C的直线解析式为． 故可设P(，)，Q(，)， 则，， ∵， ∴， 整理，得：． 根据所作坐标系可知，． ∴． ∵， 将代入，并整理得：， 其对称轴为，且开口向上， 又∵， ∴当时，最小，最小值为， ∴此时最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，坐标与图形，两点的距离公式以及二次函数的性质．把几何问题改为二次函数求最值的问题是解题关键．本题数据处理较大，较难． 6．如图在中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接A'C，则长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求出A′C的长即可． 【详解】解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=，CD=AB=9， ∵点M为AD的中点，∠BCD=30°， ∴DM=MA=，∠MDE=∠BCD=30°， ∴ME=DM=，DE= ∴CE=CD+DE=9+3=12， 由勾股定理得：CM2=ME2+CE2， ∴CM==； 由翻折变换的性质得：MA′=MA=， 当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短， 此时A′C=MC-MA′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等几何知识点；解题的方法是作辅助线，得出A′点位置． 7．在等边△ABC中，AB＝6，BD＝4，点E为AC边上一个动点，连接DE，将△CDE沿着DE翻折得到△FDE，则点F到AB距离的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】如图，过点作于．解直角三角形求出，观察图象可知，当点落在上时，点到距离的最小． 【详解】解：如图，过点作于． 是等边三角形， ，， ，， ， ， 观察图象可知，当点落在上时，点到距离的最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，垂线段最短，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【详解】解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 地 城 类型02 多次折叠问题 9．如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．先由折叠的性质得到，，根据，求出，进而求出，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 10．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查勾股定理与折叠问题，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解，熟练掌握折叠的原理和勾股定理是完成本题的关键． 第一步先利用折叠原理，得到为直角三角形，求得的值，并得到的值；第二步，求解，先设，得到，利用第一步的结论，通过勾股定理得到的值；第三步过作交于，利用直角三角形的性质和勾股定理计算得到的值，第四步用三角形的面积公式，利用前两步的结论计算完成求解． 【详解】解：由已知条件和折叠可知，为直角三角形，，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 过作交于，如下图， 由翻转的性质知，为直角三角形， ∴，， 根据直角三角形的面积公式得， ∴， 故的高为的长，底边为， ∴， 故答案为：． 11．如图（1），在等腰直角三角形纸片ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点D，E分别为AB，BC上的动点．将纸片沿DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分为直角三角形时，CE的长为 ． 【答案】2或 【分析】根据题意可得要使，的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图：①当时，②当，根据翻折的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由翻折可知：要使，的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图： ①当时， 由翻折可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴； ②当， 由翻折可知：，， ∴点E在∠BAC的平分线上， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 综上所述：CE的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是分情况讨论并准确画图． 12．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD−CG＝6−x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°， ∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE＝3， ∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠， ∴EF＝AE＝3，FG＝CG， 设CG＝x，则： DG＝CD−CG＝6−x，FG＝CG＝x， ∴EG＝EF＋FG＝3＋x， 在Rt△DEG中，DE2＋DG2＝EG2， 即32＋（6−x）2＝（3＋x）2， 解得：x＝2， ∴CG＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是将Rt△DEG各边表示出来． 13．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】先利用矩形的性质与勾股定理求解 再利用轴对称的性质求解，从而可得答案. 【详解】解： 矩形纸片ABCD， 由折叠可得： 同理： 故选： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键. 14．如图，折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作： ①把翻折，点A落在边上的点F处，折痕为，点E在边上； ②把纸片展开并铺平；③把翻折，点C落在线段上的点H处，折痕为，点G在边上，若，则为（    ) A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设AD=x，则AB=x+2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x+2，当AH=AE-HE=x-1，然后根据勾股定理得到x2+（x-1）2=（x+2）2，再解方程求出x即可． 【详解】解：设AD=x，则AB=x+2， ∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处， ∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°， ∴四边形AEFD为正方形， ∴AE=AD=x， ∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上， ∴DH=DC=x+2， ∵HE=1， 当AH=AE-HE=x-1， 在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2， ∴x2+（x-1）2=（x+2）2， 整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+，x2=3-（舍去）， 即AD的长为3+． 故选A． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理． 15．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为CD、BC的中点，把△ADE沿AE翻折得到△AD'E，延长AD'交BC于点G，连接EG，M是AB边上一点，连接FM，把△BMF沿MF翻折，点B的对应点B'恰好落在AG上，则B'D'的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，由折叠的性质可得，，由“”可证，可得，由勾股定理可求，通过证明，可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 点、分别为、的中点， ，， 把沿翻折得到△， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ，， 把沿翻折， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，先利用折叠性质和勾股定理求出，在利用相似三角形求出，的长是本题的关键． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF的长为（　　） A．5 B． C． D．4.5 【答案】B 【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可得到结论． 【详解】解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处， ∴BD＝DE，BC＝CE＝6，∠B＝∠CED， ∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合， ∴∠A＝∠DEF，AD＝DE，AF＝EF， ∴∠FED+∠CED＝90°， ∴AD＝DB， ∴CD＝DA＝DB＝AB， ∵DC＝5， ∴AB＝10， ∴AC＝＝＝8， ∴CF＝8﹣AF， ∴EF2+CE2＝CF2， ∴AF2+62＝（8﹣AF）2， ∴AF＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题． 地 城 类型03 折叠问题求折痕 17．如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．① ；②若，则折痕为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠问题，用勾股定理解三角形等知识，解题的关键是掌握翻折的性质和勾股定理的应用． ①由翻折可得，，，而，故，即知； ②过D作于H，由翻折可知，，求出，，即可得，，设，则，解得，得，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：①如图： 由翻折可得，，， ， ， ， 即， 故答案为：； ②过D作于H，如图： 由翻折可知，， 为中点， ，， ， ， ，， ， 为中点， 为AC中点， ，， 设，则， 由翻折知， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为： 18．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 19．如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是 ． 【答案】/ 【分析】连接，，设与相交于点O，先求出，设，则，由折叠性质得，，，，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理求出得，由菱形的面积公式得菱形的面积，即，据此可得折痕的长． 【详解】解：连接，，设与相交于点O，如图所示： ∵四边形是长方形，且，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由折叠性质得：，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， ∴， 解得：， 即折痕的长是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 20．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形的翻折，解决本题的关键是根据翻折的性质可得边长与角度翻折前后不变，根据直角三角形建立等式求解． 根据勾股定理可求解，再由图形翻折可得，，设，由勾股定理建立等式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 设， ∴，， 在中，，，， ∴，即， 解得， 即， 在中，，， ∴． 故选：D ． 21．如图，矩形中，，，若将矩形折叠，使点和点重合，折痕的长（   ） A． B． C．15 D．16 【答案】A 【分析】该题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识解答．连接．设，则，，由勾股定理得，求出，在中，由勾股定理求出得，由求出，同理，进而可求出的长 【详解】解：连接． 点与点重合，折痕为，即垂直平分， ，，． 又四边形为矩形， ，，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得 ，且为中点， ，． ， ． 同理． 即． 故选A． 22．如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（  ） A． B．10 C． D．15 【答案】C 【分析】根据折叠性质，，，从而由长方形性质知，，根据，得到，在中，利用勾股定理得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，从而在中，利用勾股定理得到，从而得到答案． 【详解】解：由折叠性质可知，， 在长方形中，， ， ， 在中，利用勾股定理得到， 设，则， 在中，利用勾股定理得到，即，解得， ， 在中，利用勾股定理得到， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 23．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝，则折痕CE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由矩形和折叠的性质可OE是AC的垂直平分线，则可得AC=2CB，则可求，在中，由勾股定理可求CE． 【详解】解：△CEO是△CEB翻折而成，四边形ABCD是矩形, ∴ . ∵O是矩形ABCD的中心，BC=OC, ∴OE是AC的垂直平分线， ∵在中，，, ∴ 解得. 设OE=x, ∴ 在中 解得：1 在Rt△BCE中， 故选：A． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 24．如图，在长方形纸片中，，．将这张纸片沿过点的直线翻折，使点落在长方形内的点处，折痕交边于点．若直线恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键．通过折叠得到对应边相等，结合长方形的边长，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 在中，． 故答案为：． 地 城 类型04 折叠问题求线段长 25．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键；由折叠可知：，则有，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：由折叠可知：， ∵点D为的中点，， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：，即， 故答案为． 26．如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，，F是边上一点，将沿翻折，使点E的对应点G落在边上，连接交折痕于点H，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形与折叠，勾股定理与折叠，正确求出和的长度是解题关键．根据正方形和折叠的性质结合勾股定理可求出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∴． 由翻折可知，，，， ∴， ∴． 设，则，．　 在中，，即， 解得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 27．如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及用勾股定理列方程是解题的关键．设，根据轴对称的性质可得，，进一步求得，根据勾股定理可求得，最后在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， 沿翻折得到， ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：． 28．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 29．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：在中，，，， ，则， ． 由折叠的性质得， ． 故选：C． 30．如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，，，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得． 【详解】解：∵沿着直线翻折，得到， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是， 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求得，再列面积等式求得是解题的关键． 31．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作EH⊥FG，交FG于点H．由翻折的性质得出AF＝AD＝6，DE＝EF．根据题意即可求出GD＝2，从而可求出AG．再根据勾股定理即可求出的长．又易证四边形GHED为矩形，即可得出GH＝DE，HE＝GD＝2．设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝-x，最后根据勾股定理即可列出关于x的等式，解出x，即得出的长． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥FG，交FG于点H， 由翻折可知AF＝AD＝6，DE＝EF． ∵AD＝6，AD＝3GD， ∴GD＝2． ∴AG＝AD-DG＝6-2＝4． ∵FG⊥AD， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°． ∵FG⊥AD，EH⊥FG， ∴四边形GHED为矩形． ∴GH＝DE，HE＝GD＝2． 设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝-x， ∵在Rt△HEF中，， ∴． 解得：． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 32．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 地 城 类型05 折叠问题求面积 33．如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】138 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 由长方形与折叠可证，得到，在中，由勾股定理有，因此，结合厘米，求出厘米，厘米，从而根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴厘米，厘米，， 由折叠可得，，厘米，， ∴，，， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理有， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米，厘米， ∴厘米， ∴ （平方厘米）． 故答案为：138 34．如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则 ，的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．设，利用折叠的性质和勾股定理列方程求解，求出，再证明，得到，求出． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ，即， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：，． 35．如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由，得出为直角三角形，且，设，由折叠的性质，可得，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， 设，由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 36．如图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处．若AD＝6，且5（BF﹣DF）＝3AB，则矩形ABCD的面积＝ ． 【答案】15 【分析】由图形翻折的性质，得故DF＝CD．由四边形ABCD是矩形，得AB＝DF．进而得出BF＝，BD＝．由勾股定理得AB＝．即可求矩形面积． 【详解】解：由题意得：△DEF≌DEC． ∴DF＝CD． 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝90°． ∴DF＝AB． 又∵5（BF﹣DF）＝3AB， ∴5（BF﹣AB）＝3AB． ∴BF＝． ∴BD＝BF+DF＝＝． 在△ABD中，∠A＝90°， ∴AB2+AD2＝BD2． ∴． ∴AB＝． ∴S矩形ABCD＝AB•AD＝6×＝15． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查图形翻折的性质、矩形的性质以及勾股定理，推断出AB＝DF是解题的关键． 37．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上的点处，折痕与交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． 由折叠得，，，可得，利用勾股定理求出长，可得长，设，，，在中，利用勾股定理列方程可求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠得：，，， ∴， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴ 故答案为： 38．如图，在正方形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点B恰好与对角线上的点F重合，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等，先根据折叠性质得到边长及角度，求得对角线的长度，最后根据三角形的面积公式可求得结果，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： ， ∵为正方形， ∴，， ∵沿折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故选：C． 39．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．则FCD的面积是（　 　）． A．24 B．40 C．48 D．54 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得AD=DF，设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x，然后利用勾股定理列出方程求出x值，进而可以求出△CDF的面积． 【详解】解：由折叠的性质得，EF=AE=5，AD=DF， 在长方形ABCD中，∠B=90°， 在RtBEF中，由勾股定理得， BE=＝4， ∴AB=AE+BE=9， 折叠的性质得，AD=DF， 在长方形ABCD中，∠C=90°，BC=AD，CD=AB=9， 设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x， 在RtCDF中，由勾股定理得，， ∴， ∴x=12， ∴CDF的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 40．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可． 【详解】解：ABCD是长方形纸片， ∴AB=CD=3， ， ∴， ∴BF=4， ∴AF=， ∴AF=AD=BC=5，CF=1， 设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x， x2=(3-x)2+1， 解得，x= ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程． 地 城 类型06 折叠与动点综合问题 41．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】9或25 【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论． 分为两种情况，一种是点E在线段上，另一种是点E在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：将沿翻折得到， ，， ①如图1，当点E在线段上时， ， ，，E三点共线. ， . ， ； ②如图2，当点E在的延长线上时， ，，， . 设，则， ， ， ， 解得， ， 综上，的值为9或 故答案为：9或 42．如图，在矩形中，，点在边上，且，点是边上的一个动点，将四边形沿翻折，、的对应点、与点在同一条直线上，与边交于点，当时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质，矩形的性质及勾股定理．根据折叠的性质及矩形的性质可得，根据相似三角形的性质可求出，进而得出，利用勾股定理求出的长，即可得出的长，利用同角的余角相等可证明，利用相似三角形的性质得出的长即可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是矩形，将四边形沿翻折，、的对应点、与点在同一条直线上， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 43．如图，矩形中，，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点的对应点为． （1）若点落在边上，则 ． （2）若，则线段的长为 ． 【答案】 2 10或． 【分析】（1）设，则，利用勾股定理计算即可． （2）根据，分点在射线内侧和外侧两种情况计算即可． 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ，， ， 解得， 故答案为：2． （2）当点在射线内侧时， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ，， ， ， 是等边三角形， ； 当点在射线外侧时， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ∴ ，， ， ， ， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴ ，， ， ； 故答案为：10或． 44．如图，在中，，，点D为边的中点，点E是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点F．当△DEF为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，，分两种情况：，，分别画出图形，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，点为边的中点， ∴， 依题意得：， 如图，当时，点重合， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴， 又由折叠可得，， 设，则， ∵，， ∴， 即， 解得， ∴； 综上，的长为为或， 故答案为：或． 45．如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】如图作点D关于的对称点，连接，由，推出，又是定值，即可推出当E、F、P、共线时，定值最小，最小值． 【详解】解：如图作点D关于的对称点，连接， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∵是定值， ∴当E、F、P、共线时，定值最小，最小值， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题． 46．如图，在矩形中，10，12，点，分别在，上，且，，为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到△，当点恰好落在线段上时，的长为　　 A．5 B．5 C．3 D．3 【答案】A 【分析】设CE=x，则C′E=x，证明四边形MNCD是矩形，由矩形的性质得出∠DMN=∠MNC=90°，MN=CD=10，由折叠的性质得出C′D=CD=10，求出，则,在中，由勾股定理得出，解方程可得出答案． 【详解】解：设CE=x，则C′E=x， ∵矩形ABCD中，AB=10， ∴CD=AB=10，AD=BC=12，AD∥BC， ∵点M，N分别在AD，BC上，且3AM=AD，BN=AM， ∴DM=CN=8， ∴四边形CDMN为平行四边形， ∵∠NCD=90°， ∴四边形MNCD是矩形， ∴∠DMN=∠MNC=90°，MN=CD=10， 由折叠知，C′D=CD,10， ∴， ∴， ∵EN=CN-CE=8-x， ∴C′E2-NE2=C′N2， ∴， 解得，， 即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 47．如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时， ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或， 故答案为：或． 48．如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理相关折叠问题分类训练 （6种类型48道） 地 城 类型01 折叠相关最值问题 1．如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（    ）    A．2 B．4 C． D． 2．如图在三角形纸片ABC中，已知，，，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上移动，则线段AP长度的最小值为 ． 3．如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、4，点P、Q分别在边AB、BC上运动，连接PQ，将△BQP沿着PQ翻折得到△B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD上，则AB的长为 ，CQ长的最大值为 ． 4．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 5．如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ． 6．如图在中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接A'C，则长度的最小值是 ． 7．在等边△ABC中，AB＝6，BD＝4，点E为AC边上一个动点，连接DE，将△CDE沿着DE翻折得到△FDE，则点F到AB距离的最小值是 ． 8．如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 地 城 类型02 多次折叠问题 9．如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为 ． 10．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为 ． 11．如图（1），在等腰直角三角形纸片ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点D，E分别为AB，BC上的动点．将纸片沿DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分为直角三角形时，CE的长为 ． 12．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 13．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（　　） A． B．2 C． D．1 14．如图，折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作： ①把翻折，点A落在边上的点F处，折痕为，点E在边上； ②把纸片展开并铺平；③把翻折，点C落在线段上的点H处，折痕为，点G在边上，若，则为（    ) A． B． C． D．2 15．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为CD、BC的中点，把△ADE沿AE翻折得到△AD'E，延长AD'交BC于点G，连接EG，M是AB边上一点，连接FM，把△BMF沿MF翻折，点B的对应点B'恰好落在AG上，则B'D'的长度为（　　） A． B． C． D． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF的长为（　　） A．5 B． C． D．4.5 地 城 类型03 折叠问题求折痕 17．如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．① ；②若，则折痕为 ． 18．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ． 19．如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是 ． 20．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 21．如图，矩形中，，，若将矩形折叠，使点和点重合，折痕的长（   ） A． B． C．15 D．16 22．如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（  ） A． B．10 C． D．15 23．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝，则折痕CE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 24．如图，在长方形纸片中，，．将这张纸片沿过点的直线翻折，使点落在长方形内的点处，折痕交边于点．若直线恰好经过点，则的长为 ． 地 城 类型04 折叠问题求线段长 25．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为 ． 26．如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，，F是边上一点，将沿翻折，使点E的对应点G落在边上，连接交折痕于点H，则的长为 ． 27．如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为 ． 28．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 29．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 30．如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，，，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 31．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（    ） A． B． C． D． 32．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 地 城 类型05 折叠问题求面积 33．如图，在长方形纸片中，厘米，厘米．现将纸片沿直线折叠，使点与点重合，折痕为．则阴影部分的面积是 平方厘米． 34．如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则 ，的面积 ． 35．如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 36．如图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处．若AD＝6，且5（BF﹣DF）＝3AB，则矩形ABCD的面积＝ ． 37．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上的点处，折痕与交于点，若，，则的面积为 ． 38．如图，在正方形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点B恰好与对角线上的点F重合，连接，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 39．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．则FCD的面积是（　 　）． A．24 B．40 C．48 D．54 40．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（   ）． A． B． C． D． 地 城 类型06 折叠与动点综合问题 41．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为 ． 42．如图，在矩形中，，点在边上，且，点是边上的一个动点，将四边形沿翻折，、的对应点、与点在同一条直线上，与边交于点，当时，的长为 ． 43．如图，矩形中，，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点的对应点为． （1）若点落在边上，则 ． （2）若，则线段的长为 ． 44．如图，在中，，，点D为边的中点，点E是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点F．当△DEF为直角三角形时，的长为 ． 45．如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是 ． 46．如图，在矩形中，10，12，点，分别在，上，且，，为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到△，当点恰好落在线段上时，的长为　　 A．5 B．5 C．3 D．3 47．如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时， ． 48．如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $